2021-2022学年湖北省武汉市江岸区高一（下）期末数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市江岸区高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中。只有一项

是符合题目要求的.

1.（5分）己知”,⅛∈R,α+3i=（t>+i）i（i为虚数单位）,则（）

A.a=∖,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3D.a=1,b=3

2.（5分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地

区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个

作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代

表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽

样方法是（）

A.系统抽样B.分层抽样

C.简单随机抽样D.非以上三种抽样方法

则SEe（I+sin26＞）=（）

3.（5分）已知sinθ+2cosθ=0,

、sinθ+cosθ

3412

A.-B.-C.一D.一

5555

4.（5分）已知工Z是平面内两个不共线向量，AB=∕nα+2b,BC=3a-b,A,B,C三点

共线，则M=（）

22

A.-5B.-C.-6D.6

33

5.（5分）已知三条不重合的直线a,n,I,三个不重合的平面α,β,γ,则下列命题不正

确的个数是（）

①若〃?〃"，"ua,则胆〃a；

②若/_La,/"U0,ILm,则a〃0；

③若aJ_y,β±γ,a∩β=/,则/J_y；

④∕nua,“ua,rn//β.n∕∕β,则a〃β.

A.4B.3C.2D.1

6.（5分）在AABC中，已知（a-ccosB）COSA=acosBCOSC,那么44BC一定是（）

A.等腰或直角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等边三角形

7.（5分）已知A,B,C是半径为3的球。的球面上的三个点，且/ACB=120°,AB=汽,

AC+BC=I,则三棱锥

O-ABC的体积为（）

VδVeVeL

A.—B.—C.—D.V6

1263

8.（5分）已知正方体ABCD-AIBlClD1,的棱长为2,点M为线段CCI（含端点）上的动

点，AM_L平面α.下列说法正确的是（）

CMI-

A.若点N为。。I中点，当4M+MN最小时，——=2-√2

CCɪ

B.当点M与Cl重合时.若平面a截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就

越大

C.直线AB与平面a所成角的余弦值的取值范围为[字，孝]

9

D.若点例为CC的中点，平面a过点B,则平面a截正方体所得截面图形的面积为a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得（）分.

（多选）9.（5分）已知i是虚数单位，若z（2+i）=招，则（）

A.复数Z的虚部为-1

13

B.5=一打?

C.复数Z对应的点在第二象限

D.IZ-Il=I

（多选）10.（5分）若数据Xi,X2,…，刻的平均数为a方差为SS数据yι,yn

的平均数为区方差为反，下列说法中一定正确的有（）

A.这"?+〃个数据的平均数为丝三也

m+n

B.若这m+〃个数据的平均数为3,则这〃?+〃个数据的方差为：S2=

m[s^+（x-ω）2]+n[s∣+（y-ω）2]

m+n

C.若加=〃，yι=axi+b（i=l,2,…〃），则歹=Q±+b

D.若加=myi=ax∣+b（z=1,2,…〃），则y=Ms2+匕

（多选）11.（5分）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台。1。2,在

轴截面A8CO中，AB=AD=BC=Icm,且CO=2A8,下列说法正确的有（）

B.该圆台轴截面ABCZ）面积为3√5C7∏2

7y∕3ττQ

C.该圆台的体积为一十cn?

D.沿着该圆台表面，从点C到AO中点的最短距离为5cm

（多选）12.（5分）己知函数/（x）=SinW-∣cosx∣,下列关于此函数的论述正确的是（）

A.π是F（X）的一个周期

B.函数/G）的值域为［-√L1］

C.函数f（x）在［竽，竽］上单调递减

D.函数F（X）在［-2ιτ,2n］内有4个零点

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）某篮球队有8名运动员，身高（单位：Cm）如下：186,194,216,198,192,

201,211,208,则身高从低到高的第40百分位数是cm.

14.（5分）已知面=2,值I=3,Z与否夹角为135°,则之在，方向上的投影向量

为.（用b表示）

15.（5分）一个封闭的正三棱柱容器的高为24,内装水若干（如图（1）,底面处于水平状

态）.将容器放倒（如图（2）,一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点E,F,

Fι,Ei,分别为所在棱的中点.则图（1）中水面的高度为.

图1图2

16.（5分）已知4ABC,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,c=∖,NC的角平分线

交AB于点。.若SinA+sin8=2SinNAcB,则a+b=,CD的取值范围

是.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知平面直角坐标系中，点。为原点、A（2,-1）,B（-1,2）.

（1）若向=1,且a与½⅛的夹角为45。，求（2之一6）《秘+几）的值；

（2）设"为单位向量，且"1OAf求工的坐标.

18.（12分）在aABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足CSinA=acosC.

（1）求角C大小；

⑵求√5sinA-cos（5+左）的最大值，并求取得最大值时角A,8的大小.

19.（12分）《九章算术》记录形似锲体的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边

形（其中最多只有一个平行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体，如图，羡除

ABCDEF的底面ABC。是边长为1的正方形，且aE4ZλZ∖FBC均为正三角形，棱EF

平行于底面ABC。，EF=2.

（1）求证：AEVCF-,

（2）求三棱锥A-8CE的体积.

20.（12分）为建设一支听党指挥，能打胜仗，作风优良的人民军队.某部队加强了新兵的

训练，今随机对其中的IoOo名新兵的初训成绩（满分：100分）作统计，将抽取的成绩

整理后分成五组，从左到右依次记为[50,60）,[60,70）[70,80）,[80,90）,[90,100],

并绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图估计这1000名新兵成绩的中位数和平均数（求平均值时同一

组数据用该组区间的中点值作代表）;

（2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，若分数在区间[70,90）的新

兵实际成绩的平均数与方差分别为78分和打，第三组新兵实际成绩的平均数与方差分

21.(12分)如图菱形48C。和平面四边形ABM的面积相等，且菱形ABCD和平面四边形

ABE尸所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，AB=AE,/EAF=30°.NBAD

=120°.

(1)设P是线段CO上一点，且CB=3Jk在直线AE上是否存在一点例，使得PM〃

平面5CE?若存在，指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

(2)求二面角尸-BD-A的正切值.

22.(12分)已知函数/(x)=dsin?©+*)siττx+(cosx+sMx)(cosx-sinx)—1.

(1)求函数/(x)的最小正周期；

(2)常数3>0,若函数y=f(3x)在区间［一5,竽］上是增函数，求3的取值范围；

Tr

(3)将函数/(x)的图像向左平移孑个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标

11

变为原来的「，再保持图像上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的；，得到函数g(x)

2m2

的图像，若存在非零常数入，对任意XeR,

有g(x+λ)=Xg(X)成立，求实数"7的取值范围.

2021-2022学年湖北省武汉市江岸区高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中。只有一项

是符合题目要求的.

1.（5分）已知α,⅛∈R,α+3i=（⅛+z）i（i为虚数单位），则（）

A.a=∖,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,h=-3D.a=l,b=3

【解答】解：∙."+3i=（b+i）i=-l+bi,a,⅛∈R,

.'.a--1,b=3,

故选：B.

2.（5分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地

区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个

作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代

表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽

样方法是（）

A.系统抽样B.分层抽样

C.简单随机抽样D.非以上三种抽样方法

【解答】解：因为所研究的总体中差异很大，为了让样本具有代表性，最合理的抽样方

法是分层抽样.

故选:B.

八、L,sinθ（l+sin2θ'）

3.（5分）已知sinθ+2cosθ=0,n则----1-------1=（）

sιnθ+cosθ

3412

A.-B.-C.-D.-

5555

【解答】解：因为sin0+2cos0=0,

所以tanθ=-2>

∏.,sinθ（l+sin20）sinθ{sinθ+cosθ）2.八，.C八、sin2θ+sinθcosθ

贝t------------=--------------=sιnθ（sιnθ÷cosθ）=~--------=

sιnθ+cosθsιnθ+cosθSIΠΔΘ+COSΔΘ

t-∏2e+tα7le_4—2_2

tαn20+l4+15,

故选：D.

4.（5分）已知工》是平面内两个不共线向量，AB=ma+2h,BC=3α-h,A,B,C三点

共线，则加=（)

22

A.—ɔB.—C.-6D∙6

33

【解答】解：.N,B,C三点共线，

与成■共线，

，存在入，使n=/!立，

.,.ma+2b=3λa—λb,且α,b不共线，

・•・｛：/£,解得m=-6.

故选：C

5.（5分）已知三条不重合的直线机，〃，I,三个不重合的平面α,0,丫，则下列命题不正

确的个数是（）

①若m〃九，∕ιcα,则m〃a；

②若LLCGmcβ,I.Lmf则a〃β；

③若a_Ly,β±γ,a∩β=/,贝

④mua,〃ua,加〃β,n∕∕βf则Cι“β.

A.4B.3C.2D.1

【解答】解：对于①，相〃〃Ua时，m〃a或加ua,所以①错误；

对于②，已知/_La,加uβ,ll_m,此时平面B可以是绕直线”旋转的任一平面，所以a

〃3或仁B相交，所以②错误；

对于③，ifia∩y=∕π,β∩γ=n,在平面Y任取一点A（不在直线/上），过点A作A8J_

m=B,AC_L/i=C,

因为a∙lγ,βlγ,所以A8La,AC±β,所以ABJJ,ACl/,即/_1_丫，所以③正确；

对于④，当小〃〃时，平面a与平面。可以平行，可以相交，所以④错误；

则不正确的有3个，所以8正确；

故选：B.

a

COSA=々cosJBCoSC,那么aABC一定是（）

B.等腰三角形

C.直角三角形D.等边三角形

【解答】解：:-CCOS8)COSA=QCOSBCOSC,

(SirL4-SinCcosB)CoSA=SinACOSBcosC

ΛSinAcosA-SinCCoSBcosA=SinAcosBcosC,

ΛSinAcosA=(sinCcosA+sinΛcosC)cosB,

ΛsiπAcosA=sin(A+C)cosB,ΛsinΛcosA=sinBcosB,

Λsin2A=sin2B,VA,BE(0,π),

.∖2A=2β或2A+28=π,

或A+5=ɪ,

・・・AABC一定是等腰或直角三角形，

故选：A.

7.(5分)已知A,B,C是半径为3的球O的球面上的三个点，且NAC5=120°,AB=√3,

AC+BC=2,则三棱锥

O-ABC的体积为()

√6√6√6

A.—B.—C.—D.√6

1263

【解答】解：因为AB=百，∆ACB=120°,

所以aABC的外接圆半径为r=2(J‰=2d20。=1，

ZStTlZ.?!CDZStHlZU

所以三棱锥0-ABC的高为力=√32-r2=2√2,

在BC中，由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2-2ACBCcosiZACB,

BP3=AC2+BC2+ACBC=(AC+BC)2-ACBC,

解得ACBC=I,

AC

所以SΔ%BC=∖-BCS讥120°=孚，

所以'Zo-ABC=扣AABC•八=qX乎X2√2=2.

故选：B.

8.（5分）已知正方体ABen-481Clo1,的棱长为2,点M为线段CG（含端点）上的动

点，AM_L平面α.下列说法正确的是（）

A.若点N为。Dl中点，当AM+MN最小时，—=2-√2

ceɪ

B.当点M与Cl重合时.若平面a截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就

越大

C.直线AB与平面a所成角的余弦值的取值范围为［宇，与

9

D.若点例为CeI的中点，平面a过点B,则平面a截正方体所得截面图形的面积为一

2

【解答】解：对于4,将矩形ACCIAl与正方形CCiDiD展开到一个平面内，如图，

若AM+MN最小，则A、M、N三点共线,

MCAC2√2L

''CCi//DD∖>/-=—=-F—=2—72,

DNAD2√2+2

.,.MC=(2-√2)DN=^y^-CCl-

.MC子=1一芋，故A错误;

''CC1

对于8,当点M与点。重合时，连接Al。、BD、AI8、AC、ACi,如图,

在正方体ABCD-AiBIClz)I中，CCI_L平面A8CZ),

BDCΞF≡ABCD,：.BDLCCi,

,：BDVAC,且ACnCCl=C,平面4CC1,

「ACiu平面ACe1,ΛBD±ACi,

同理可证AIDLACI,

"：A\DQBD=D,，/!。，平面人出力，

由题意知AAiBD是边长为2鱼的等边三角形，

其面积为SAABD=^x(2√2)2=2√3,周长为2√Σ×3=6√2,

设E,F,Q,N,G,H分别是Aιθι,AiBi,BBι,BC,CD,Dol的中点，

由题意知六边形EPONG”是边长为√Σ的正六边形，且平面EFQNGH〃平面AiSD,

正六边形EFQNGH的周长为6√2,面积为6×^×(√2)2=3√3,

则AAiBO的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，故8错误；

对于C,直线AB与平面α所成角的余弦值，

即为直线AB与平面a的垂线AM所成角的正弦值，即SinZBAM,

如图，连接BM,

在正方体中，A8_L平面3CCι,BMU平面BCCl,.∙.AB_L8M,

AD

在RtΔABΛ∕中，CoSNBaM=箭

点M为线段CcI(含端点)上的动点，故ACWAMWAC1,即2√Σ≤AM≤2百,

AB足近√2√6

,COSZBAM=^yesinZBAMe[~,—1，

√2Vβ

从而直线AB与平面α所成角的余弦值的取值范围为[],y],故C错误；

对于£>,取">1中点N,连接MMAN,则MN〃C£),

设平面a与侧面ADDiAi的交线为DE,E为平面a与囱Al的交点，

：C£>1.平面AOOIAI,：.CDA.DE,LMNLDE,

平面a,DEU平面a,J.AMA.DE,

:MNCAN=N,.∙.QE,平面AMM：.DE±AN,

又在正方形AoQIAl中N为。Di的中点，.∙.E为AIz)I的中点，

设平面a与侧面ABB∖A↑的交线为DF,尸为平面a与BIAI的交点,

同理得尸为BIAI的中点，连接EF,得到截面为BDEF,

22

BD=√4T4=2√2,EF=√1T1=√2,DE=BF=JBB1+B1F=√4∏=√5,

.∙.截面8。EF为等腰梯形，

底边上的高为h=JD底—(£2孚%2=Js一哈2=挈，

，截面BDEF的面积为S=ɪ×(√2+2√2)X挈=会故。正确.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(多选)9.(5分)已知i是虚数单位，若z(2+i)=招，则()

A.复数Z的虚部为一!

-lɪɜ.

Bβ-z=^5+5l

C.复数Z对应的点在第二象限

D.∣z-1∣=I

【解答】解：由题意可得，Z=箫=⅜⅛=g¾(鼠，，∣i,

复数Z的虚部为-1,故A正确，

z=∣+∣i,故3错误，

13

复数Z对应的点(g,--)在第四象限，故C错误，

iɪ-n=ι-∣-∣i∣=J(-⅛2+(-∣)2=ι-故。正确.

故选：AD.

(多选)10.(5分)若数据Xi,X2,∙∙∙,X”,的平均数为元，方差为竭，数据yι,yι,∙∙∙,y∏

的平均数为歹，方差为反，下列说法中一定正确的有()

A.这“+〃个数据的平均数为7n"+n'

m+n

B.若这m+〃个数据的平均数为3,则这〃计〃个数据的方差为：S?=

m[s⅞+(x-ω)2]+n[s^+(y-ω)2]

m÷n

C.若加=〃，yi=axi+b(z=l,2,…〃)，则歹=QM+b

D.若加="，yi=axi+b(z=l,2,…”)，则SJ=Ms2+匕

【解答】解：对于A,若数据Xi,X2,∙,,,初?的平均数为a数据yι,”，…，y〃的平均

数为小

.∙.这m+n个数据的平均数为丝叶殛，故A正确；

τn+n

rn

对于丛∙.∙这丁+〃个数据的平均数为'+"y,

m+n

数据Xi,Λ2,…，如的方差为SS数据yι,y2,…，y〃的方差为年，

・・・这根+〃个数据的方差为：

22

，=焉(曲(xz-ω)+∑JL1(yz-ω))

x22ωx2222

(∑胃1t-∑i^ιi+mω+∑]L1yi-2ω∑JL1yi+πω),

,-X=xi`∙,∙∑ilιXi=府，

22222

.∙.V=⅛Σ⅛1(Xi-X)=⅛(∑^ιxi-2x∑^L1xi+mx)=i∑^1(xi-τnx),

222

∙,∙Σ曙1Xj=mSx+τnx,

222

同理，∑∏=ι%=ny,求1yi=nSy+τiy9

222222222

S=+mx-2ωnix+mω+nSy+riy÷∕nω+nSy+riy-2ωny+77ω),

.∙.这〃?+〃个数据的方差为：§=♦回+(元-3%；窗+(A/,故B正确；

11

j

对于C,若m=n,yi=axifbAi=1,2,?〃)，则歹=-∑∙Lnyi=-∑∙t1(QXj+Hb)=αx+ð,

故C正确；

对于。，若机=〃，yi=axi+b,Ci=I,2,?〃)，

222

则Sy2=1%ιOi-y)=⅛∑IL1[αxi+6-(αx+h)J=⅛∑jlι(.axi-ax)=

222

^∙∑il1(Xi-x)=aSx,故D错误.

故选：ABC.

(多选)IL(5分)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台Olo2,在

轴截面ABCQ中，AB=AD=BC=Icm,且CL>=2AB,下列说法正确的有()

A.ZADC=30o

B.该圆台轴截面ABCQ面积为3√^cm2

7∣3τι

C.该圆台的体积为七∖一门√Q

D.沿着该圆台表面，从点C到AO中点的最短距离为5cm

【解答】解：对于4,由己知及题图知，cos440C=粗0<NAOC书，

.∙.NAOC=60°,故A错误；

对于8,由A知I,圆台高为∕z=2Xsin60°=√3,

圆台轴截面ABCD面积为S=WX(2+4)X√5=3√^C7∏2,故8正确；

对于C,圆台的体积V=号X(12+√I^方+22)x√5τr=空0/,故C正确;

对于。，将圆台一半侧面展开，如下图中ABCZX且E为Ar)中点，

而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形COD,且0C=4,

VZCOD=ɪ=p在Rt△«)£：中，CE=√42+32=Scm,

即C到AO中点的最短距离为5cm,故O正确.

故选：BCD.

(多选)12.(5分)已知函数/(x)=SinlΛ∙∣-∣cosx∣,下列关于此函数的论述正确的是()

A.π是/(x)的一个周期

B.函数/(x)的值域为［一企，1］

C,函数F(X)在［当，等］上单调递减

D.函数/(x)在［-2π,2n］内有4个零点

■…z0一"、TT5π5π√2√2L

【解答】解：/(―)=0，/(―+π)=Sin—COS—1=—■ɔ-----ɔ-=—√2,

4444//

TrTr

则(一+n)≠∕(-),即不是/(x)的一个周期，故A错误，

44π

函数/(x)定义域为R,并且/(-x)=∕(x),所以函数为偶函数；

因为工∈[0,÷o°),/(x)=SirLrTCoSX则/(x)=f(x+2π),为周期函数，

故仅需研究函数FG)在区间[O,2π]上的值域及零点个数即可，

因为x∈[0,—]U[―,2π]时，f(x)=SirEl-CoSX=&sin(x-彳)；

Tt3ττ,,—π

当lx∈[,三]时'∙f(X)=si∏Λ÷cosx=V2sin(工+,)；

τc37Γ,.7τr,77■兀57Γ7JT

当lx6[0,~]U[―,2n]时，令f=x-q,则%[一干-]U[―,—],

则y=√∑sinf,r∈[-1—]U[―,—],可得y∈[-√Σ,1]有且仅一个零点，

—444

lπ3π,π,3π7π

当x∈[ς∙,—]f⅛-令r=χ+4,则怎[^τ^,—].

22444

3yr7τr

y=√2sinΛte[一,一],可得y∈[-V^,1]有且仅有一个零点,

44

所以函数f(x)的值域为L√Σ,1]且在[-2π,2π]上有4个零点.故选项8正确，选项

。正确.

选项C函数/(x)在[苧，竽]上，有/(x)=sinx÷cosx=V∑sin(X+今)；

19ττ

此时x+*e[π,ɪ],此时/(x)在该区间上不是单调减函数.故C错误，

故选：BD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题S分，共20分.

13.(5分)某篮球队有8名运动员，身高(单位：cm)如下：186,194,216,198,192,

201,211,208,则身高从低到高的第40百分位数是198cm.

【解答】解：8名运动员从小到大排列为186,192,194,198,201,208,211,216,

8*0.4=3.2,身高从低到高的第40百分位数是198.

故答案为：198.

14.(5分)已知同=2,区I=3,；与了夹角为135°,则:在7方向上的投影向量为一写).

(用Z表示)

【解答】解：：向=2,山=3,2与君夹角为135°,

.∙.Z在b方向上的投影向量为向COSVZð>∙-⅛-=2×cosl35°×ih

∖b∖

=2×（-ɪ）×∣h=-ɪð.

故答案为：—等b.

15.（5分）一个封闭的正三棱柱容器的高为2小内装水若干（如图（1）,底面处于水平状

态）.将容器放倒（如图（2）,一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点E,F,

3

Fl,E∖,分别为所在棱的中点.则图（1）中水面的高度为二α

-2

图I图2

【解答】解：设正三棱柱的底面积为S,图（1）中水面的高度为〃，则水的体积η=S∕7,

因为E,F,Fι,El分别为所在棱的中点，所以SMEF=*S,SBCFE=，

所以图（2）中水的体积七=AS）X（2α）=∣Sα,

Q

又W=V2,所以力=2。.

3

故答案为：-a.

16.（5分）已知aABC内角A、B、。所对的边分别是〃、b、c,c=l,NC的角平分线

3√3

交AB于点。.若SinA+sin8=2SinNAC8,则α+b=2,CD的取值范围是（一，—I.

4~z-

【解答】解：因为c=l,

所以由正弦定理可得总b1

—=-----------=2R,

SinBsιn∆ACB

又sinA+sinB=2sinZACB,

一,ab1

所以石+石=2x诙,

贝IJa+b=2,

又因为CD为NACB的角平分线，可得面积关系为SΔABC=SΛCAD+S^CBD,

ɪ[81θ

记NACB=θ,贝IJ有万出?Sine=2b9CD9Sin-+-t7∙CD∙sin-,

乙日"Cabsinθ.‘

—可r得CD=------------≡=abcos-

(α÷b)sin∣29

由余弦定理l=c2=α2+⅛2-由余osθ=(α+⅛)2-2ab(l+cosθ)=4-2ab(1+cosθ),

加33cos⅝3

,

得ab=-----n∖即CD=O-工----ʌʌ-------n∙>

2(l+cos6)2(l+cos6)4cos^

α+hɔ

又出?≤(——)2=即---------≤1

22(l+cos6)

yJ3θ√Q

所以cosθ≥21’0<θ≤守π此时三≤cos-<l,即Z3<CD<当,

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知平面直角坐标系中，点0为原点、A(2,-1),B(-1,2).

(1)若向=1,且Q与易的夹角为45。，求(2i-∕⅛)∙G+Λ⅛)的值;

(2)设)为单位向量，且"1。4,求己的坐标.

【解答】解：(1)AB=(-3,3),故∣∕⅛=3√∑,

故26=向∣√⅛cos450=3,

所以(2之一/)・(2+&)=2a2+a-AB-AB2

=2+3—(3√Σ)2=-13；

(2)设"=O,v),由已知得仔+『==，，

Z11

(X=IX=

1J而!

故

或<√25

一)2)

5,Iy=y=

k一I

√5,√5

2√一5

55

18.(12分)在aABC中，角A,B,C所对的边分别为α,b,c,且满足CSinA=αcosC.

(1)求角C大小；

(2)求WSinA-COS(B÷?)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小.

zT

【解答】解：(1)由正弦定理得SinCsinA=sinΛcosC,

因为OVAVπ,所以SinA>0.从而SinC=CoSC,

又COSCW0,所以tanC=l,C=

(2)有(1)知，B=竽一A,于是

√3si∏A-cos(3+/)=V3sinΛ+cosA

=2sin(A÷5).

6

因为0<AV孚，所以g<4+a<⅛⅛,

46blz

从而当A+看=*,即A=守时

2sin(A÷^)取得最大值2.

o

综上所述百SinA-CoS(8+的最大值为2,此时A=冬B=⅛

4,ɔ1-6

19.(12分)《九章算术》记录形似锲体的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边

形(其中最多只有一个平行四边形)、两个不平行对面是三角形的五面体，如图，羡除

ABCOEF的底面ABC。是边长为1的正方形，且Z∖EBC均为正三角形，棱EF

平行于底面ABC。，EF=2.

(1)求证：AEVCF-,

(2)求三棱锥A-8CE的体积.

【解答】证明：(1)延长A8到M点，使BM=A8,连接CM,FM,则CM=√Σ

〃平面ABCQ,平面AMFrl平面ABCQ=AM,£7七平面AWF,

.∖EF∕∕AM,

∙.∙AM=2=EF,，四边形AMFE是平行四边形，，AE〃M凡

在AFCM中，FC=FM=I,

.∖FC2+FM2=CM2,.../CFM=90°,BRMFlCF,

ΛAE±CF；

解：（2）在（1）的几何体中连接AC,AF,EC,EB,则

VA-BCE—VE-ABC,

E⅛EF//AB,EF⊄5P≡ABCD,ABu平面ABCZ）,故EF〃平面4BCZλ⅛VA.BCE=VE

-ABC=VFABC>

而AB=BM,故VA-BCE=VF-CBM,

在三棱锥F-BCM中，由（1）可得是以aFCM是以/CFM为直角的等腰直角三角形，

而CB=BM=1,ZCBΛ∕=90o,故ACBM也为等腰直角三角形，

取CM的中点为S,连接尸5,BS,则尸S=85=TCM=孝，

且FSLCM,BSLCM,因FSCBS=S,故CM_L平面FCB,

而FB=1,故/解=尸S2+BS2,所以AFBS也为等腰直角三角形，

故SAFSB=l×（ɪ）2=

20.（12分）为建设一支听党指挥，能打胜仗，作风优良的人民军队.某部队加强了新兵的

训练，今随机对其中的IOOo名新兵的初训成绩（满分：100分）作统计，将抽取的成绩

整理后分成五组,从左到右依次记为[50,60）,[60,70）[70,80）,[80,90）,[90,100],

并绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图估计这IOOO名新兵成绩的中位数和平均数（求平均值时同一

组数据用该组区间的中点值作代表）;

（2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，若分数在区间[70,90）的新

兵实际成绩的平均数与方差分别为78分和打，第三组新兵实际成绩的平均数与方差分

别为74分和2.求第四组新兵实际成绩的平均数与方差.

f频率

组距

0.040-------------

0.030---1-----H

0.020

0.015--------------------------

0.010--------------------------------

0.005--------------------------------------,

0—--------------►

5060708090100成绩/分

【解答】解：（I）这IOOO名学生成绩的中位数为65

平均数元=55×0.30+65×0.40+75×0.15+85×0.10+95×0.05=67（分），

（2）由分层抽样可知，第三组和第四组分别抽取3人和2人，

设分数在区间［70,90）的学生实际成绩分别为“i（i=l,2,3,4,5）,其平均数与方差

分别为五,s,

则五=78,S=挈.

设第三组学生实际成绩分别为XMi=1,2,3）,其平均数与方差分别为迅s,,则亍=74,

SX=2.

设第四组学生实际成绩分别为玖（i=l,2）,其平均数与方差分别为歹，Sy.

由——-——=78可得歹=84,

2

v∑f=ιuf-5u_128.∑⅛1*+∑f=ιW-_128

5—5..55

...电13x=2.CX?=6+3×742=16434

2

.∙.2?=1W=128+5X78-16434=14114.

22

_∑f=1y？-2y_14114-2×84_

λSy=2=2=1

第四组学生实际成绩的平均数为84,方差为I.

21.（12分）如图菱形ABCZ）和平面四边形ABEF的面积相等，且菱形ABe。和平面四边形

ABE尸所在平面互相垂直，AABE是等腰直角三角形，AB=AE,ZEAF=30o.ZBAD

=120o.

(1)设P是线段C。上一点，且6⅛=3ck在直线AE上是否存在一点M,使得PM〃

平面8CE?若存在，指出点M的位置