2023年广东省深圳市福田区中考二模 数学 试卷（学生版+解析版）

2023年广东省深圳市福田区中考数学二模试卷

一、选择题

1.如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）

力JIIIIII»

-3-2-10123

A-3B.--C.2D.3

3

2.如图，是由相同大小的五个小正方体组成的立体模型，它的俯视图是（

3.位于深圳市光明中心区科学公园的深圳科技馆占地面积为660000?，66000用科学记数法可以表示成

A.66XIO3B.6.6,IO4C.6.6XIO3D.0.66XIO5

X-1>1

4.不等式组〈解集是（）

-Ix<2

A.x>()B.x>2C.X≥-lD.x≤-l

5.下列计算正确的是（)

2β1241236

A.a∙a=«B./÷π=aC.(-2β)=-8tzD.Cl+。—Cl

6.观察下列尺规作图痕迹，其中所作线段AD为JLBC的角平分线的是（)

7.为响应“双减”政策,进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，深圳某学校积极推进学生综合

素质评价改革，小芳在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为9,8,10,

8,7,则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（）

智

5、

/3、、、、

德二之：/、'、体

A.8,8,8B.7,8,7.8C.8,8,8.7D.8,8,8.4

8.小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如

图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两

条等高线的数值范围内），若点A,B,C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则——的值为

9.我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足

三.问人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问

人数、货物总价各多少？设人数为X人，货物总价为），钱，可列方程组为（）

y=lx-2y=7冗+27x=y-2Jx=y-2

y=6x+3y=6x-3y=6x-3γ=6x+3

10.如图，在RLA5。中，ZC=90,点。在斜边AB上，以8。为直径的，。经过边AC上的点E连

接班，且BE平分NABC,若｛。的半径为3,4）=2,则线段BC的长为（）

40249

A.——B.8C.D.

3T5

二、填空题

11.因式分解：ai-a=.

12.一个不透明的袋中装有2个红球和4个黄球，这些球除颜色外完全相同.从袋中随机摸出一个球，摸

到黄球的概率是

13.某城市几条道路的位置关系如图所示，道路ABCD,道路C。与。尸的夹角NCZ)/=54°.城市规

划部门想新修一条道路BE，要求BE=EF，则/3的度数为

14.如图，在平面直角坐标系中，将菱形ABC。向右平移一定距离后，顶点C,0恰好均落在反比例函数

y=-(k≠Q,x>0)的图象上，其中点A(-6,6),B(-3,2),且A。〃X轴，则Z=

X

15.如图，正方形ABC。的边长为8,对角线AC、BO相交于点。，点M,N分别在边3C、CDk,且

ZMON=QOo,连接MN交OC于P,若BM=2,则OP∙OC=.

三、解答题

16.计算：—士-√12-(-2023)°+6tan30°.

I2

17.先化简，再求值：一÷W--其中q=3.

α~+4α+4CT—44+2

18.“读书让生活更加多彩，阅读让城市更有温度”.近年来，作为深圳中心城区和“首善之区”的福田

各学校积极打造“阅读永恒、书香满溢”的爱阅之校.为了解今年福田区15000名初三学生的每天平均课

外阅读时间，从中随机抽取若干名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根

据图表中所给的信息，解答下列问题：

组别时间（小时）频数（人数）频率

A0≤rV0.5400.1

B0.5≤r<la0.3

Cl≤r<1.5140b

D1.5≤r<2800.2

E2≤r<2,5200.05

（1）表中的α=,b=；

（2）补全频数分布直方图；

（3）结合调查信息，请你估计今年该区初三学生中，每天课外阅读小于1小时的学生约有多少人？

19.为迎接“五一”国际劳动节，某市政府准备购买紫花风和洋红风两种观花树苗，用来美化某大道沿路两

侧景观，在购买时发现，紫花风树苗的单价比洋红风树苗的单价高了50%,用1800元购买紫花风树苗的棵

数比用1800元购买洋红风树苗的棵数少10棵.

（1）问紫花风、洋红风两种树苗的单价各是多少元？

（2）现需要购买紫花风、洋红风两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过8700元，求至少需要购买多

少棵洋红风树苗？

20.如图，已知抛物线y=a（x-炉+h与X轴交于点A（-2,0）和点8,与y轴交于点C（0,4）.

（1）求该抛物线表达式；

（2）点E是线段BC中点，连接AE并延长与抛物线交于点。，求点。的坐标.

21.【综合与实践】我国海域的岛屿资源相当丰富，总面积达72800多平方公里，有人居住的岛屿达45（）

个.位于北部湾的某小岛，外形酷似橄榄球，如图1所示.

如图2所示，现把海岸线近似看作直线小岛面对海岸线一侧的外缘近似看作AB，经测量，AB的长可

近似为250%海里，它所对的圆心角（NAoB）的大小可近似为90。.（注：AS在，"上的正投影为图中线段

Co,点。在〃?上的正投影落在线段C。上.）

（1）求AB的半径r；

（2）因该岛四面环海，淡水资源缺乏，为解决岛上居民饮用淡水难的问题，拟在海岸线上，建造一个淡

水补给站，向岛上居民输送淡水.为节约运输成本，要求补给站到小岛外缘AB的距离最近（即要求补给站

与AB上的任意一点，两点之间的距离取得最小值）；请你依据所学几何知识，在图2中画出补给站位置及

最短运输路线（保留画图痕迹，并做必要标记与注明；不限于尺规作图，不要求证明）.

（3）如图3,若测得AC长为600海里，Bo长为500海里，试求出（2）中的最小距离.

22.【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率（SCOP）.如图1,在VXYZ中,

Xy=XZ，顶角X的张率记作Sc。PNX=底边+腰=——.容易知道一个角的大小与这个角的张率也是

Xy

相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义Na(O°<Nα<180°)的张率，例如，

Scop60°=∖,SCOP90。=血,请根据材料，完成以下问题:

如图2,尸是线段AB上的一动点(不与点A,8重合)，点C,。分别是线段ΛP,BP的中点，以AC，

CD,DB为边分别在AB的同侧作等边三角形A4CE,CD/，/XDBG,连接PE和PG.

(1)【理解应用】①若等边三角形&CE,CDF,4DBG的边长分别为。，b,c,则α,b,

三者之间的关系为

②SCOP/EPG=

(2)【猜想证明】如图3,连接EE,FG,猜想SCoPNEFG的值是多少，并说明理由;

(3)【拓展延伸】如图4,连接£F，EG,若AB=I2,EF=2√7.则AEPG的周长是多少？此时

"的长为多少？(可直接写出上述两个结果)

2023年广东省深圳市福田区中考数学二模试卷

一、选择题

L如图，数轴上点A表示的数的相反数是（)

4Ill

J----------1-------------1_>

-3-2-10123

b∙4C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根据图示,数轴上点A表示的数是-3,据此求出它的相反数即可.

【详解】根据图示,数轴上点A表示的数是-3,

所以数轴上点A表示的数的相反数是：-（-3）=3.

故选：D

【点睛】此题主要考查了数轴特征和应用，以及相反数的含义以及求法，解答此题的关键是要明确：相反

数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加负号.

2.如图，是由相同大小的五个小正方体组成的立体模型，它的俯视图是（）

【答案】D

【解析】

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应该表现在俯视图中.

【详解】这个几何体的俯视图为：

故答案为：D.

【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上方向下看到的视图，正确理解三视图相关概念是

解题关键.

3.位于深圳市光明中心区科学公园的深圳科技馆占地面积为66000m2,66000用科学记数法可以表示成

()

A.66×IO3B.6.6,IO4C.6.6×103D.0.66×lO5

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为αχ10"的形式，其中IsaI<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：将66000用科学记数法表示为6.6'104，

故选：B.

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中l≤∣α∣<10,n

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

%—1>1

4.不等式组《CC解集是()

-Ix<2

A.χ>0B.χ>2C.x≥-lD.x≤-l

【答案】B

【解析】

【分析】先分别求出各不等式的解集，进而得出不等式组的解集.

除一AKD

【详解】解：C，

-2x≤2②

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：x>-l,

.,・原不等式组的解集为：x>2,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.

5.下列计算正确的是()

A.cr∙cιb=O12B.as÷a4-a^C-(-2α~)'=-8α'D.ai+a4-a1

【答案】C

【解析】

【分析】利用合并同类项的法则，同底数基的乘法的法则，同底数塞的除法的法则，积的乘方的法则对各项

进行运算即可.

【详解】解：A、a2-a6^a^故A不符合题意;

B、aii÷a4=a4,故B不符合题意；

C、（-2a2）3=Sa6,故C符合题意;

D、/与/不属于同类项，不能合并，故D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查同底数塞的除法，合并同类项，积的乘方，同底数罪的乘法，解答的关键是对相应的

运算法则的掌握.

6.观察下列尺规作图痕迹，其中所作线段A。为JBC的角平分线的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据基本作图的方法对各选项进行判断即可.

【详解】解：对于A选项，由作图痕迹可知，A。为/C4B的平分线，故A选项符合题意；

对于B选项，由作图痕迹可知，AD为G45C中BC边上的高线，故B选项不符合题意；

对于C选项，由作图痕迹可知，A。为一ABC的中线，故C选项不符合题意；

对于D选项，由作图痕迹可知，AD为ABC中BC边上的高线，故D选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查作图一基本作图：作三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握基本作图的方法是解答本题

的关键.

7.为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，深圳某学校积极推进学生综合

素质评价改革，小芳在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为9,8,10,

8,7,则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（）

A.8,8,8B.7,8,7.8C.8,8,8.7D.8,8,8.4

【答案】D

【解析】

【分析】利用众数、中位数及平均数的定义即可得.

【详解】解：该同学这五项评价得分从小到大排列分别为7,8,8,9,10,

则其中位数为8,

因为出现次数最多的数是8,

所以众数为8,

平均数为7+8+―+1。=8.4，

故选：D.

【点睛】本题考查了众数、中位数及平均数，熟记定义是解题关键.

8.小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如

图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两

AQ

条等高线的数值范围内），若点A,B,C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为

AC

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.

【详解】：点A,B,C三点均在相应等高线上，且三点在同一直线上,

.AB_200_2

,,AC-3θδ^3

故选：B

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，根据定理列出比例式是解题的关键.

9.我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足

三.问人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问

人数、货物总价各多少？设人数为X人，货物总价为），钱，可列方程组为（）

y=7x-2y=lx+2Ix=y-2rIx=y-2

y=6x+3[y=6x-3[y=6x-3y=6x+3

【答案】A

【解析】

【分析】根据“今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱”，即可得出关于*,y

的二元一次方程组，此题得解.

【详解】今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱，

.∙.y=7x-2

每人出六钱，又差三钱,

.∙.y=6Λ+3.

y=7x-2

根据题意可列方程组《

y=6x+3

故选：A.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方

程组是解题的关键.

10.如图，在RdABC中，ZC=90,点。在斜边AB上，以Bo为直径的，。经过边AC上的点E,连

接8E,且BE平分NABC,若（。的半径为3,49=2,则线段BC的长为（）

40249

A.——B.8C.—D.

355

【答案】C

【解析】

【分析】连接。E,由角平分线的性质，等腰三角形的性质的推出NQEB=NeBE,得到因

此Z∖AOEABC,得到A。：AB=OE:BC代入有关数据，即可求出BC的长.

【详解】解：如图，连接。石，

BE平分/ABC,

.∙.ZABE=ZCBE,

OE=OB,

:.NOEB=ZABE,

..ZOEB=ZCBE,

:.OE//BC,

:.AOEABC>

AO：AB-OE：BC>

Q的半径为3,AD=2,

∖AO=AD+8=2+3=5,AB=AD+30=2+6=8,

.'.5：8=3：BC,

24

.∙.BC=-.

5

故选：C.

【点睛】本题考查角平分线定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的

判定和性质.

二、填空题

11.因式分解：a3-a=.

【答案】a（67-1）（。+1）

【解析】

【分析】先提取公因式“，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

【详解】解：ai-a

=«(«2-1)

=a(α+1)(α-l)

故答案为：a(α-l)Ca+]).

【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键.

12.一个不透明的袋中装有2个红球和4个黄球，这些球除颜色外完全相同.从袋中随机摸出一个球，摸

到黄球的概率是.

【答案】I2

【解析】

【分析】先求出袋子中总的球数，再用黄球的个数除以总的球数即可.

【详解】解：∙.∙一个不透明的袋中装有2个红球和4个黄球共有6个小球，黄球有4个，

，从袋中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是：P=4T2.

63

」.2

故答案为：—.

【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现

m种结果，那么事件A的概率P(A)=—.

n

13.某城市几条道路的位置关系如图所示，道路A6CD,道路CD与。尸的夹角NeD/=54°.城市规

划部门想新修一条道路8/，要求BE=EF，则NB的度数为.

【答案】27°##27度

【解析】

【分析】先根据平行线的性质，由ABCD得到/AE/=/CQb=54°,根据等腰三角形的性质得出

ZF，再根据三角形外角性质计算/3的度数.

【详解】解：ABCD,

：.NAEF=NCDF=54。,

BE=EF,

..ZB=ZF,

∙∕AEF=NB+NF，

.∙.ZB=-/AEF=i×54°=27°.

22

故答案为：27。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关

键.

14.如图，在平面直角坐标系中，将菱形ABC。向右平移一定距离后，顶点C,。恰好均落在反比例函数

y=-(A≠(),x>0)的图象上，其中点A(-6,6),8(-3,2),且A£>〃X轴，则Z=.

【解析】

【分析】根据点A、B的坐标先求出菱形的边长，再求出点C和。的坐标，根据平移方法可得C和。C的坐

标，根据反比例函数图象特点列方程求解即可.

【详解】解：；四边形43CD为菱形，A(-6,6),β(-3,2),

/.Aδ=3C=CD=ZM=5,

ΛP(-l,6),C(2,2),

设菱形向右平移〃个单位，得到。'(—l+α,6),C'(2+α,2),

•••向右平移使顶点C,。两点都落在反比例函数y=K(Z≠O,x>0)的图象上，

X

.∖6(-l+tz)=2(2+a),

.".a=—,

2

：.k=9,

故答案为：9.

【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，坐标与图形变化-平移，待定系

数法求反比例函数的解析式，关键是掌握反比例函数图象上的点横纵坐标之积等于我.

15.如图，正方形ABC。的边长为8,对角线AC、3。相交于点。，点M,N分别在边3C、CD±,且

NMON=90°,连接MN交。。于P,若3M=2,则OPoC=.

【答案】20

【解析】

【分析】过点。作OE_LBC于点E，根据正方形的性质可得OB=OC=OD，ZBOC=ZCOD=90°,

ZOBC=ZOCB=ZOCD=45°,再根据同角的余角相等可得NBOM=NCON,以此即可通过AS4证

明.QBM丝OCN,得至IlBM=CN=2,OM=ON,进而得到NQWP=/OCM=45°,易证明

OMOP

二OMPSJoCM,根据相似三角形的性质可得——=——，即OP∙OC=QM2,由等腰直角三角形的

OCOM

性质可得OE=BE=4,则ME=2,最后根据勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，过点。作OE_LBC于点E,

四边形ABC。为边长为8的正方形，

.∙.OB=OC=OD,BC=8,BDA.AC,

：.NBOC=NCOD=90o,ZOBC=ZOCB=ZOCD=45°,

NBOC=NBOM+NCoM=90。，

又∙/MON=NCOM+NCON=90°,

:./BOM=/CON,

在.03M和OCN中,

NBoM=NCoN

<OB=OC,

ZOBM=NoCN

二_0创/丝_OCN(ASA),

:.BM=CN=2,OM=ON,

ZXMON为等腰直角三角形，

.∙.AOMN=ZONM=45°,

.∙.NoMP=ZOCM=45°,

•；/POM=NMOC,

;._0MPSqCM,

•_O_M___O__P

"OC~OM,

:.OP∙0C=OM2,

ZBoC=9()。，OB=OC,OEVBC,

：.OE=BE=-BC=A,

2

：.ME=BE-BM=2,

在RtAOME中，OM2^OE2+ME2，

：.OM2=42+22=20,

.∙.OP∙OC=20.

故答案为：20.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角

形的判定与性质，正确寻找出全等三角形和相似三角形是解题关键.

三、解答题

16.计算：f-ɪl-√12-(-2023)°+6tan300.

【答案】3

【解析】

【分析】首先计算零指数幕、负整数指数累、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右

依次计算，求出算式的值即可.

【详解】解：-√12-(-2023)°+6tan30°

=4-2√3-l+6×-

3

=4-20-1+20

=3.

【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，

要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按

照从左到右的顺序进行.

17.先化简，再求值：丁+一——2_,其中α=3.

α~+4α+4a—4。+2

【解析】

【分析】先计算分式的除法，再算减法，然后把“的值代入化简后的式子进行计算，即可解答.

4。cr一2。2

【详解】-9---------；----

α+4α+4<2-4α+2

4αα(α-2)2

(α+2)-(α+2)(α—2)α+2

4α(«+2)(«-2)2

(α+2)~α(α—2)α+2

42

a+2a+2

_4-2

a+2

2

α+2'

22

当α=3时，原式=上==—.

3+25

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键.

18.“读书让生活更加多彩，阅读让城市更有温度”.近年来，作为深圳中心城区和“首善之区”的福田

各学校积极打造“阅读永恒、书香满溢”的爱阅之校.为了解今年福田区15000名初三学生的每天平均课

外阅读时间，从中随机抽取若干名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根

据图表中所给的信息，解答下列问题:

组别时间(小时)频数(人数)频率

A0≤r<0.5400.1

B0.5≤r<la().3

Cl≤r<1.5140h

D1.5≤f<2800.2

E2≤r<2.5200.05

(I)表中的α=___,b=；

(2)补全频数分布直方图；

(3)结合调查信息，请你估计今年该区初三学生中，每天课外阅读小于1小时的学生约有多少人？

【答案】(1)120；0.35

(2)见解析(3)6000

【解析】

【分析】(1)先求得抽取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率；

(2)根据每周课余阅读时间不足0.5小时的学生的频率，估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不

足().5小时的学生数即可：

(3)每天课外阅读小于1小时的学生人数的频率为0.1+0.3=0.4,然后直接乘总人数即可.

【小问1详解】

40

a——×0.3—120(人)，

0.1

匕=1-0.1-0.3-0.2-0.05=0.35,

故答案为：120；0.35.

【小问2详解】

补全频数分布直方图如下图：

【小问3详解】

15000x(0.1+0.3)=6000(人),

答：估计今年该区初三学生中，每天课外阅读小于1小时的学生约有6000人.

【点睛】此题考查统计图，解题关键是计算出对应阅读时间的频率与频数即可.

19.为迎接“五一”国际劳动节，某市政府准备购买紫花风和洋红风两种观花树苗，用来美化某大道沿路两

侧景观，在购买时发现，紫花风树苗的单价比洋红风树苗的单价高了5（）%,用1800元购买紫花风树苗的棵

数比用1800元购买洋红风树苗的棵数少10棵.

（1）问紫花风、洋红风两种树苗的单价各是多少元？

（2）现需要购买紫花风、洋红风两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过8700元，求至少需要购买多

少棵洋红风树苗？

【答案】（1）紫花风树苗的单价是90元，洋红风树苗的单价是60元

（2）至少需要购买70棵洋红风树苗

【解析】

【分析】（1）设洋红风树苗单价是X元，则紫花风树苗的单价是（1+50%）X元，由题意：用1800元购买

紫花风树苗的棵数比用18（X）元购买洋红风树苗的棵数少10棵.列出分式方程，解方程即可；

（2）设需要购买加棵洋红风树苗，则购买（120-〃?）棵紫花风树苗，由题意：购买的总费用不超过8700元，

列出一元一次不等式，解不等式即可.

【小问1详解】

设洋红风树苗的单价是X元，则紫花风树苗的单价是（1+50%）X元，

18001800，八

由题意得：丁一许硕=10'

解得：%=60,

经检验，x=60是原方程的解，且符合题意,

.∙.(l+50%)x=l∙5x=1.5×60=90,

答：紫花风树苗的单价是90元，洋红风树苗的单价是60元；

【小问2详解】

设需要购买加棵洋红风树苗，则购买(120-〃?)棵紫花风树苗，

由题意得：60∕π+90(120-m)≤8700,

解得：/W≥70,

答：至少需要购买70棵洋红风树苗.

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分

式方程和一元一次不等式.

20.如图，已知抛物线y=a(x—lp+h与X轴交于点A(-2,0)和点B,与y轴交于点C(0,4).

(2)点E是线段BC的中点，连接AE并延长与抛物线交于点。，求点。的坐标.

1,

【答案】(1)y—~~χ+χ+4

2

【解析】

【分析】(1)把A,C坐标分别代入解析式，用待定系数法求函数解析式即可；

(2)令y=0,解方程求出B的坐标，再根据中点坐标公式求出点E的坐标，用待定系数法求出直线AE的

解析式，再联立直线AE和抛物线解析式，解方程组求出点。的坐标即可.

【小问1详解】

解：抛物线丁=4。-1)2+力与尢轴交于点4(-2,0),与V轴交于点C(0,4),

α(-2-l)^+A=0

a(0-l)2+A=4，

解得《

.∙∙该抛物线的表达式为y=-ɪ(ɪ-l)2+∣=-^√+%+4;

【小问2详解】

1，

解：令y=0,则一一%2+Λ+4=0,

2

解得玉=-2,X2=4,

8(4,0),

E是8C的中点，

.∙.E(2,2),

设直线AE的解析式为y=mx+n,

-2m+n=0

则〈CC，

2m+n=2

1

m=-

解得J2,

n=1

直线AE的解析式为γ=→+l,

1,

y=-x+1

联立方程组《-2

1，

y=——X+x+4λ

2

%=3

X=-2

解得V5或4

y=­y=0

.2

【点睛】本题考查了抛物线与X轴的交点，中点坐标公式，直线和抛物线的交点等知识，关键是求出抛物线

解析式.

21.【综合与实践】我国海域的岛屿资源相当丰富，总面积达72800多平方公里，有人居住的岛屿达450

个.位于北部湾的某小岛，外形酷似橄榄球，如图1所示.

如图2所示，现把海岸线近似看作直线"?，小岛面对海岸线一侧的外缘近似看作AB，经测量，AB的长可

近似为250万海里，它所对的圆心角（NAoB）的大小可近似为90°∙（注：AB在机上的正投影为图中线段

CO,点。在，"上的正投影落在线段CZ）上.）

（1）求A,B半径，:

（2）因该岛四面环海，淡水资源缺乏，为解决岛上居民饮用淡水难的问题，拟在海岸线上，建造一个淡

水补给站，向岛上居民输送淡水.为节约运输成本，要求补给站到小岛外缘AB的距离最近（即要求补给站

与AB上的任意一点，两点之间的距离取得最小值）；请你依据所学几何知识，在图2中画出补给站位置及

最短运输路线（保留画图痕迹，并做必要标记与注明；不限于尺规作图，不要求证明）.

（3）如图3,若测得AC长为600海里，BD长为500海里，试求出（2）中的最小距离.

【答案】（1）500海里

（2）见解析（3）400海里

【解析】

【分析】（1）根据弧长公式代入计算即可；

（2）先找出圆心。，作OEL机于点E,交圆弧AB于点尸，则图中点E即为所建补给站，线段E户表示

最短运输路线；

（3）作AT_LQE于点T，作OE于点U,证明ATg.。UB（AAS）,得AT=OU,OT=BU,

设线段OT长为X海里，则线段AT=（IOO+x）海里，利用勾股定理列方程进而解决问题.

【小问I详解】

圆弧AB的长为250π海里，它所对的圆心角为90°,圆的半径为「，

C2U5CQπ=9-0-。-仃

180o

.∙.r=500海里;

【小问2详解】

如图所示，图中点E表示所建补给站;

简要作法：先找出圆心O,作OELm于点E,交圆弧AB于点F，则图中点E即为所建补给站，线段

表示最短运输路线;

【小问3详解】

如图，作AT,OE于点T,作BULOE于点U,

QNAQB=90°，

.∙.ZOAT+ZAOT=NBoU+ZAOT=90°,

NoAT=NBOU,

XOA=OB,

ATO^OUB(AAS),

：.AT=OU,OT=BU,

AC=ET=600海里，BD=UE=500海里,

.∙.UT=100海里，

设线段OT长为X海里，则线段AT=(IoO+x)海里,

则f+(ioo+χ)2=50()2,

解得X=300，或X=-400(舍去),

.∙.OT=300海里,

..OE=OT+AC900(海里)，

.∙.EE=QE-r=9(X)-5(X)=4(X)(海里)，

(2)中的最小距离为400海里.

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，全等三角形的判定与性质，点与直线的距离，勾股定理

等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

22.【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率(Scop).如图1,在VXiZ中，

YZ

Xy=XZ,顶角X的张率