2023年安徽(初三毕业考试)中考数学真题试卷含详解

2023年安徽省初中学业水平考试

数学

（试卷卷）

注意事项：

1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.

2.试卷包括“试卷卷”和“答题卷”两部分.“试卷卷”共4页，“答题卷”共6页.

3.请务必在“答题卷”上答题，在“试卷卷”上答题是无效的.

4.考试结束后，请将“试卷卷”和“答题卷”一并交回.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.

1.-5的相反数是（）

1

D.——

5

3.下列计算正确是()

、4

A.a4+a4=aitB.a4-a4=ai6C.(za4)=/

r—1

4.在数轴上表示不等式—<0的解集，正确的是（）

2

—1~~…二一一AB―1~1~~1~~1~~1,~~C—j-1-~~ι~ι~~l-

-2-1012345-2-1012345-2-1012345-2-1012345

5.下列函数中，）的值随X值的增大而减小的是（）

A.y=X2+1B.y=-X2+1C.y=2%+lD.j=-2x+l

6.如图，正五边形ABe。石内接于：。，连接OC,8,则NBAE—NCOD=)

A

C.48oD.36o

7.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1,则称该三位数为“平稳数”.用1，2，3这三个

数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（）

A.—B.ɪC.—D.—

9239

8.如图，点E在正方形ABC。的对角线AC上，EF工AB于点F,连接OE并延长，交边BC于点M,交边

AB的延长线于点G.若AE=2,FB=I,则MG=（）

R3小

A.2√3D.--------C.√5+lD.√io

2

k

9.已知反比例函数y=1伏≠0）在第一象限内的图象与一次函数y=-χ+b的图象如图所示，则函数

y=/一历c+A-i的图象可能为（）

10.如图，E是线段AB上一点，VAOE和，BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P,尸分别是

CRAB的中点.若A6=4,则下列结论错误的是（）

∕λ

A.∕%+PB的最小值为36B.PE+P尸的最小值为

C.CDE周长最小值为6D.四边形ABCD面积的最小值为3相

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.计算：册+1=.

12.据统计，2023年第一季度安徽省采矿业实现利润总额74.5亿元，其中74.5亿用科学记数法表示为

13.清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给

出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AO是锐角.ABC的高,

1(AR~~Ar2、

则3。=2BC+-~~.当AB=LBC=6,AC=5时，CD=

2BC

RtQ4B的直角顶点A在X轴的正半轴上，AB=2,NAOB=30。，反比例函数

y=K（A>0）的图象经过斜边08的中点C.

（2）D为该反比例函数图象上的一点，若08〃AC,则OB2-BZ>2的值为.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.先化简，再求值：λ^^-2∙^^1,其中χ=√∑-1∙

x+1

16.根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%,乙地降价5元，已

知销售单价调整前甲地比乙地少1（）元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.

四、（本大题共2小题、每小题8分、满分16分）

17.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点AB,C,。均为格点（网格线的交点）.

（1）画出线段AB关于直线CZ）对称的线段A4；

（2）将线段AS向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段为与，画出线段为&；

（3）描出线段AB上的点M及直线Co上的点N,使得直线MN垂直平分AB.

18.【观察思考】

◎

◎

◎◎**©

◎◎*◎©**◎◎***◎

◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

【规律发现】

请用含“的式子填空:

（1）第〃个图案中的个数为；

（2）第1个图案中的个数可表示为»乌，第2个图案中的个数可表示为U,第3个图案中

22

3x44x5

的个数可表示为2—,第4个图案中的个数可表示为——，……，第”个图案中的个数可表示为

22

【规律应用】

（3）结合图案中的排列方式及上述规律，求正整数〃，使得连续的正整数之和1+2+3+…+〃等于第〃个

图案中“◎”的个数的2倍.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.如图，QR是同一水平线上两点，无人机从。点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m,R点的

俯角为24.2。，无人机继续竖直上升到8点，测得R点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB

（精确到0.1m）.参考数据：sin24.2o≈0.41,cos24.2o≈0.91,tan24.2o≈0.45,

sin36.9o≈0.60,cos36.9o≈0.80,tan36.9o≈0.75.

40m

20.已知四边形ABCD内接于O0,对角线8。是。。的直径.

（1）如图1,连接Q4,C4,若Q4J,8D,求证；C4平分/BC。；

（2）如图2,E为OO内一点,满足4ELBC,CE_LAB,若80=3JLAE=3,求弦8C的长.

六、（本题满分12分）

21.端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包

粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活

动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如

下：

七年级K）名学生活动成绩扇形统计图

八年级1（）名学生活动成绩统计表

成绩/分67891()

人数12ab2

已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分.

请根据以上信息，完成下列问题：

（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是,七年级活动成绩的众数为分;

(2)a=>b

(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也

高，并说明理由.

七、(本题满分12分)

22.在RtA√LBC中，M是斜边AB的中点，将线段绕点M旋转至用£>位置，点3在直线AB外，连接

AD,BD.

(1)如图1,求—4)3的大小;

(2)已知点。和边AC上的点E满足ME±AD,DE//AB.

(i)如图2,连接CZ),求证：BD=CD;

(ii)如图3,连接BE,若AC=8,BC=6,求tanNAδE的值.

八、(本题满分14分)

23.在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，抛物线>=融2+历v(α∕0)经过点A(3,3),对称轴为直线X=2.

(1)求α,b的值;

(2)已知点8,C在抛物线上，点B的横坐标为点。的横坐标为/+1.过点B作X轴的垂线交直线Q4于点

D,过点C作X轴的垂线交直线OA于点E.

(i)当0<f<2时，求工OBD与A4CE的面积之和；

3

(ii)在抛物线对称轴右侧，是否存在点8,使得以B,C,Q,E为顶点的四边形的面积为一？若存在，请求出点

2

8的横坐标/的值；若不存在，请说明理由.

2023年安徽省初中学业水平考试

数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.

1.-5的相反数是（）

A.5B.—U5CC.—1D.—1

55

【答案】A

【分析】根据相反数的定义即可求解.

【详解】解：-5的相反数是5,

故选：A.

【点睛】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义.

2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）

【答案】B

【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解.

【详解】解：主视图是直角三角形，

故A,C,D选项不合题意，

故选:B.

【点睛】主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的

图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形,掌握三视图的定义是解题关键.

3.下列计算正确的是（）

A.a,+α4=αsB.a4∙a,=αl6C.W=α"'D.÷ai-a2

【答案】C

【分析】根据同底数昂的乘法，同底数基的除法，幕的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：444故该选项不正确，不符合题意;

A.a+a=2a,

44

B.a-a=a^故该选项不正确，不符合题意；

C.（a。，="6,故该选项正确，符合题意；

844

D.fl÷α=α,故该选项不正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，同底数幕的除法，基的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数昂的乘法，同

底数幕的除法，辱的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键.

Y—1

4.在数轴上表示不等式——<O的解集，正确的是（）

2

A..,山，...>R..................d），，A「♦，，山，♦,一，》D111-11_⅛I

-2-1012345-2-1012345-2-1012345-2-1012345

【答案】A

【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解.

X—1

【详解】解：——<0

2

解得：x<1,

数轴上表示不等式的解集

_____I_____1_____I____φ_I_____I_____I_，A

-2-1012345

故选：A.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键.

5.下列函数中，y的值随X值的增大而减小的是（）

A.y=χ2+lB.y=-x2+1C.y=2x+lD.y=-2x+∖

【答案】D

【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A.y=f+ι,a>Q,对称轴直线x=（）,

当x<o时，>的值随X值的增大而减小，当χ>o时∙，y的值随X值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题

-«*y-

忌；

B.y=-X2+∖,a<0,对称轴为直线X=0,

当x<o时，y的值随X值的增大而增大，当χ>o时，y的值随X值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题

意；

C.y=2x+l,k>0,y的值随X值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意;

D.y=-2x+i,k<0,y的值随X值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键.

6.如图，正五边形ABcDE内接于、0,连接OC,8,则N84E—NC0D=()

C.48°D.36°

【答案】D

【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可.

3600360°

【详解】∙.∙N8AE=180°-O=

3600360°

NBAE-ZCOD=180。—ɪ--ɪ-=36。，

55

故选D.

【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键.

7.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1,则称该三位数为“平稳数”.用1，2，3这三个

数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为()

A.—B.ʌ-C.—D.—

9239

【答案】C

【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解.

【详解】解：依题意，用1,2.3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，

123,132,213,231,312,321共六种可能,

只有123,321是“平稳数”

2I

•••恰好是“平稳数”的概率为

63

故选：C.

【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键.

8.如图，点E在正方形ABC。的对角线AC上，EFLAB于■点F，连接。上并延长，交边BC于点、M,交边

AB的延长线于点G.若AE=2,FB=I,则MG=()

B

ʌ-2超手C.√5+lD.√io

【答案】B

DFAFCMDF

【分析】根据平行线分线段成比例得出——=—=2,根据ES得出J=一=2,则

EMFBADEM

132

CM=2AO=不，进而可得MB=§,根据BC〃AQ,得出一GMBS一GDA,根据相似三角形的性质得出BG=3,

进而在RtZXBGM中，勾股定理即可求解.

【详解】解：Y四边形ABa）是正方形，AF=2,FB=I,

.AD=BC=AB=AF+FG=2+1=3,AD//CB,ADLAB,CBYAB,

•EFYAB,

•AD//EF//BC

DEAFC

.------=------=2,公ADESACME,

EMFB

CMDEC13

.------=-------=2,则CM=-AD=二

ADEM22

.MB=M

3

'BC//AD,

.一GMBS_GDA,

3

.BGMB2\

13

.BG=-AB=-,

22

在RtABGAf中,MG=∖∣MB2+BG2=

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上

知识是解题的关键.

k

9.已知反比例函数y=1优≠0）在第一象限内的图象与一次函数y=-χ+b的图象如图所示，则函数

y=/一。x+上一1的图象可能为（）

ALb⅜Lk

TVɪ

【答案】A

【分析】设A(I㈤，则B(Z,1),k>∖,将点B(Z,1),RΛy=-x+*,得出攵=匕一1,代入二次函数，可得当

X=I时，丁=-1,则y=无2-⅛χ+A-i,得出对称轴为直线x=∙∣>l,

抛物线对称轴在y轴的右侧，且过定点

(1,-1),进而即可求解.

【详解】解；如图所示，

O；

Iy=~x+b

设A(IM),则3仅,1),根据图象可得&>1,

将点8化1)代入y=τ+Z>,

.φ.l=-k+b,

k=b-∖,

,・%>1,

：.b>2,

/»\2

.∙.y=x2-hx+k-l=X2=x2—⅛x+⅛-2=^x--+-+b-2,

4

b

对称轴为直线x=—>1,

2

当X=I时，1—8+6—2=—1,

∙∙.抛物线经过点(1,-1),

•••抛物线对称轴在X=I的右侧，且过定点(1,-1),

当X=O时，y=Z-l=b-2>0,

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出％=/?-1是解题的关键.

10.如图，E是线段AB上一点，VADE和VBCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P,F分别是

CΓ),A8的中点.若AB=4,则下列结论第俅的是()

A

A.PA+PB的最小值为3相B.PE+P尸的最小值为2

C.E周长的最小值为6D.四边形ABC。面积的最小值为

【答案】A

【分析】延长AT>,8C,则一ABQ是等边三角形,观察选项都是求最小时，进而得出当E点与斤重合时，则

Q,P,厂三点共线，各项都取得最小值，得出B,(2,D选项正确，即可求解.

【详解】解：如图所示，

(?

A

延长AD,BC,

依题意乙QAD=ZQBA=60°

.∙.-ABQ是等边三角形，

,：尸是CD的中点，

PD=PC,

∙.∙ZDEA=ZCBA,

/.ED//CQ

：.ZPQC=NPED,ZPCQ=ZPDE,

.∙.PDEaPCQ

：.PQ=PE,

∙∙.四边形DECQ是平行四边形，

则P为EQ的中点

如图所示，

设AQ,BQ的中点分别为G,”,

当E点在AB上运动时，尸在GH上运动，

当E点与厂重合时，即AE=EB,

则Q,P,F三点共线，P尸取得最小值，此时AE=EB=；(4E+E8)=2,

则A4DE段4ECB,

G。到AB的距离相等，

则C£>〃AB,

此时PF=—AD=

2

此时VADE和BCE的边长都为2,则AP,PB最小,

.∙.PF=—×2=√3.

2

∙∙.PA=PB=^22+(√3j2=√7

PA+PB=2√7.

或者如图所示，作点B关于G"对称点B',则PB=P笈，则当AP,8'三点共线时，AP+PBAB'

此时Ag=√AB2+BB'

故A选项错误,

根据题意可得P,Q,R三点共线时，PF最小,此时PE=PE=6，则PE+PF,故B选项正确;

..COE周长等于CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4，

即当C。最小时，qC。E周长最小，

如图所示，作平行四边形GDMH，连接CM，

∙.∙ZGHQ=60o,ZGHM=ZGDM=60°,则ZCHM=120°

如图，延长£>E,用，交于点N,

则ZNGD=ZQGH=60o,ZNDG=ZADE=60°

.∙.Z∖NGD是等边三角形，

.∙.ND=GD=HM,

&NPD与AHPC中,

NNPD=NHPC

<NN=NCHP=60°

PD=PC

:.ANPD^HPC

：.ND=CH

：.CH=MH

.∙./HCM=/HMC=30°

.∙.CM//QF,则CM_LDM,

，二。MC是直角三角形,

0

，当DC=JDM时，DC最短,DC=GH=-AB=I

2

'：CD=PC+2PC

.∙•0。£)£周长的最小值为2+2+2=6,故C选项正确；

∙.∙JNPg一HPC

...四边形ABa)面积等于SADE+SEBC+SDEC=Sade+S平行四边NEBH

0

.∙.当ABGO的面积为O时，取得最小值，此时，D,G重合，C,“重合

.∙.四边形ABCD面积的最小值为3χ3χ22=3√3＞故D选项正确，

4

故选:A.

【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E点与

F重合时得出最小值是解题的关键.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.计算：唬+1=.

【答案】3

【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解.

【详解】解：随+1=2+1=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键.

12.据统计，2023年第一季度安徽省采矿业实现利润总额74.5亿元，其中74.5亿用科学记数法表示为

【答案】7.45×IO9

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为αχlθ",其中l≤∣α∣<10,〃为整数.

【详解】解：74.5β=74.5×IO8=7.45×IO9.

故答案为：7.45XIO9.

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为α*10"的形式，其中l≤∣”∣<10,〃为整数.确定〃的

值时，要看把原来的数，变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10

时，”是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数，确定α与〃的值是解题的关键.

13.清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出计算三角形面积的“三斜求积术”给

出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AO是锐角ABC的高，

AB2-AC2

则8。=；BC+.当AB=7,BC=6,AC=5时，CD

BC,

【答案】1

【分析】根据公式求得3。,根据。D=BC-BD,即可求解.

【详解】解：∙.∙AB=7,8C=6,AC=5,

1AB2-AC2"49-25ɔ

.∙.BD=-BC+=5

2BC,6)

.,.CD=BC-BD=6-5=∖,

故答案为：1∙

【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键.

14.如图，。是坐标原点，Rt二。43的直角顶点A在X轴的正半轴上，AB=2,NAOB=30。，反比例函数

k

y=一（攵>0）的图象经过斜边。8的中点C.

X

ʃl

(1)k=i

(2)。为该反比例函数图象上的一点，关DB"AC、则OB2-BL>2的值为.

【答案】0.√34

【分析】(1)根据已知条件得出A8的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出C的坐标，进而即可求

解；

(2)根据题意，求得直线AC,80,联立BD与反比例函数解析式，得出。的坐标，进而根据两点距离公式求得

OB-，BD2'进而即可求解.

【详解】解：(1)..∙AB=2,ZAO8=30°,

QA=2的,08=2AB=4

ΛA(2√3,0),B(2Λ2),

：C是。8的中点，

ΛC(√3,1),

k

・・・反比例函数y=-(A>O)的图象经过斜边。3的中点C.

X

∙*∙k—yfi;

••反比例数解析式为y=----

X

故答案为：色;

(2)VA(2^,0),C(G,1)

设直线AC的解析式为y=依+。

0=2®+/?

:.<

1=y∣3k+b

解得：J-3

b=2

.∙.直线AC的解析式为y=一轧+2,

∙∙,DB//AC,

设直线BO的解析式为y=-弓x+b,将点B（262）代入并解得6=4,

直线8。的解析式为y=-3X+4，

•••反比例数解析式为y=走

X

y

联立＜

√3

y

X

X=2y∕s+3x=2下-3

解得:或

y=2-√3y=2+√3

当《时，BD2=(26+3—2代『+(2—2+有J=9+3=12

X-26-3

当VBD2=(2百-26+3)2+(2+括-2『=9+3=12

r-时,

y=2+代

OB2=(2√3)'+22=16

AOB2-BD2=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解

题的关键.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.先化简，再求值：χ2+2j^i,其中X=近一1.

%+1

【答案】x+1；√2

【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解.

Y2+2r+1

［详解］解：

x+1

=（X+1）2

x+1

=x+l,

当x=0^-l时，

∙'∙√2-l+l=√2•

【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解.

16.根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%,乙地降价5元，已

知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.

【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元

【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为羽丁元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求

解.

【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为χ,y元，根据题意得,

x+10=y

'x（ι+ιo%）+ι=y-5

X=40

解得"S

Iy=5。

答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键.

四、（本大题共2小题、每小题8分、满分16分）

17.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点AB,C,。均为格点（网格线的交点）.

1___J->--

(I1O1

`rwΓ*-HΓL-W:r-W-rV-L**∣i-----k⅛*

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JJL

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J-W-W产——

a一彳上步卜卜,

∙.r⅛-Γwvr.rv.r∙>⅛

T<a-FWf∙τ∙vr*∙r**rn■4,V.

一工JLhJ

（1）画出线段AB关于直线Co对称的线段44；

（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段4名，画出线段45；

（3）描出线段AB上的点M及直线CO上的点N,使得直线MN垂直平分AB∙

【答案】（1）见解析（2）见解析

（3）见解析

【分析】（I）根据轴对称的性质找到A,B关于直线CD的对称点，Al,Bl,连接4，4，则线段44即为所求;

（2）根据平移的性质得到线段4员即为所求;

（3）勾股定理求得AM=BW=」尸+32=Jjj,M∕V=√l2+32=√K）＞则AM=MN证明NPMmMQA

得出NNMP+NAMQ=90°,则V,则点MN即为所求.

【小问1详解】

解：如图所示，线段4片即为所求;

【小问2详解】

解：如图所示，线段为&即为所求;

【小问3详解】

解：如图所示，点M,N即为所求

7AM=βM=√12+32=√10>Λ17V=√l2+32=√1O-

：.AM=MN,

又NP=MQ=1,MP=AQ=3,

Λ..NPMMQA,

.∙.NNMP=NMAQ,

又ZMAQ+ZAMQ=90o,

：.NMWP+ZAMQ=90°

：.AMIMN,

.∙.MN垂直平分AB.

【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键.

18.【观察思考】

◎

◎

◎◎*◎◎**©

◎◎*◎©**◎◎***©

◎*◎◎*◎*◎◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

【规律发现】

请用含〃的式子填空:

(1)第〃个图案中“◎”个数为；

(2)第1个图案中的个数可表示为幺2,第2个图案中的个数可表示为"，第3个图案中

22

3x44x5

的个数可表示为——，第4个图案中的个数可表示为——，……，第〃个图案中的个数可表示为

22

【规律应用】

(3)结合图案中的排列方式及上述规律，求正整数"，使得连续的正整数之和1+2+3++〃等于第九个

图案中的个数的2倍.

【答案】(1)3n

⑵2÷10

2

(3)H=Il

【分析】(1)根据前几个图案的规律，即可求解；

(2)根据题意，结合图形规律，即可求解.

(3)根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解.

【小问1详解】

解：第1个图案中有3个◎，

第2个图案中有3+3=6个◎,

第3个图案中有3+2乂3=9个©,

第4个图案中有3+3x3=12个◎，

第〃个图案中有3”个@,

故答案为：3〃.

【小问2详解】

]X2

第1个图案中的个数可表示为——，

2

2'3

第2个图案中的个数可表示为

2

第3个图案中的个数可表示为

2

4×5

第4个图案中的个数可表示为

~2~

第"个图案中的个数可表示为“*（"+D

2

【小问3详解】

/7x(72+1)

解：依题意，1+2+3+........+n=——-------

2

第"个图案中有3几个@,

解得：〃=0（舍去）或〃=11.

【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.如图，O,R是同一水平线上的两点，无人机从。点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m,R点的

俯角为24.2。，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB

（精确到0.1m）.参考数据：sin24.2o≈0.41,cos24.2o≈0.91,tan24.2o≈0.45,

sin36.9o≈0.60,cos36.9o≈0.80,tan36.9o≈0.75.

^r

ς^<36.9°

40m

【答案】无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米

【分析】解RLAOR,求得A。，OR,在RjBOH中，求得60,根据=AO,即可求解.

【详解】解：依题意，ZARO=24.T,NBRo=36.9。,AH=40,

在RtAOR中，ZARO=24.2°,

AO=AR×sinZARO=40xsin24.2o,RO=AR×cosZARO=40Xcos24.2o,

在Rt一一BOR中，OB=ORXtanNBRo=40×cos24.2o×tan36.9o,

/.AB=Bo-Ao

=40×cos24.2o×tan36.9o-40×sin24.2o

≈40×0.91×0.75-40×0.41

≈10.9(米)

答：无人机从A点到B点的上升高度A3约为1().9米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

20.已知四边形ABcD内接于CO,对角线8。是。。的直径.

图I图2

(1)如图1,连接O4,C4,若OALBD,求证：C4平分N5CP；

(2)如图2,E为内一点,满足AELBC,CE_LAB,若BO=3曲，AE=3,求弦BC的长.

【答案】(1)见解析⑵βC=3√2

【分析】(1)利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可.

(2)证明四边形AECz)平行四边形，后用勾股定理计算即可.

【小问1详解】

；对角线80是I。的直径，OA±BD

∙'∙AB-AD，

：.ZBCA^ZDCA,

.∙.C4平分NBCO.

【小问2详解】

••♦对角线8。是I。的直径，

.∙.ABAD=ABCD=90°,

：.DCLBC,DALAB

'：AE±BC,CE±AB,

：.DCAE,DACE,

：.四边形AEGD平行四边形，

DC=AE>

VBD=3y∕3<AE=3,

：.BD=3√3.OC=3,

.,∙BC=^(3√3)2-32=3√2∙

【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌

握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键.

六、(本题满分12分)

21.端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包

粽子”实践活动，对学生的活动情况按1()分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数、为了解这次活

动的效果，现从这两个年级各随机抽取1()名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如

七年级IO名学生活动成绩扇形统计图

八年级10名学生活动成绩统计表

成绩/分67891()

人数12ab2

已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分.

请根据以上信息，完成下列问题:

(1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是,七年级活动成绩的众数为分;

(2)Ci=,b=；

(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也

高，并说明理由.

【答案】(1)1,8

(2)2,3

(3)优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见解析

【分析】(1)根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%,即可得出七年级活动成绩为7分

的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；

(2)根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得〃的值，即可求解；

(3)分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解.

【小问1详解】

解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为7分的学生数的占比为1—5()%—2()%—20%=l()%

•••样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是10'1()%=1,

根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为8分，

故答案为：1,8.

【小问2详解】

；八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，

，第5名学生为8分，第6名学生为9分，

∙"∙a=5—1—2=2,

⅛=10-l-2-2-2=3,

故答案为：2,3.

【小问3详解】

优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，

七年级优秀率为20%+20%=40%,平均成绩为：7χl0%+8χ50%+9χ20%+10χ20%=8.5,

3+21

八年级优秀率为不-XlOO%=50%>40%,平均成绩为：—×(6+7×2+2×8+3×9+2×10)=8.3<8.5,

二优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，

•••优秀率高的年级不是平均成绩也高

【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数,从统计图表获取信息是解题的

关键.

七、(本题满分12分)

22.在RtZ∖A3C中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置,点Z)在直线AB外，连接

AD,BD.

CCC

,X¾EX∖D

λ

MmbAMH

图1图2图3

(1)如图1,求—4)3的大小；

(2)已知点。和边AC上的点E满足腔，A。,OE〃AB.

(i)如图2,连接CZ),求证：BD=CD;

(ii)如图3,连接5E,若AC=8,BC=6,求tanNABE的值.

【答案】(1)ZADB=90°

(2)(i)见解析；(ii)占

【分析】(1)根据旋转的性质得出M4=MD=MB,根据等边对接等角得出NMAO=NMD4,NMBO=NMDB,

在Z∖A8O中，根据三角形内角和定理即得出NM4D+NMZM+NMBD+NMZ)5=18()°,进而即可求解；

(2)(i)延长AC,6。交于点尸，证明四边形AEDW是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，AF=AB>

根据等腰三角形的性质，得出。是BF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；

(ii