四边形与新定义综合问题 -2023年中考数学压轴题复习（教师版含解析）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题32四边形与新定义综合问题

典例剖析“

【例1】2022∙汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：

四边形ABC。中，若∕A+∕C=180°或/8+/。=180°,则四边形ABC。是“对补四

边形

【概念理解】（1）如图1,四边形ABCO是“对补四边形”.

①若N4：NB：NC=3：2：1,则ND=90度.

②若NB=90°.且AB=3,AO=2时.则CD2-CB2=5.

【类比应用】（2）如图2,在四边形ABCZ）中，AB=CB,BO平分/AOC.求证：四边形

ABe。是“对补四边形”.

【分析】（1）①设/A=3x°,则N8=2Z,/C=x°,利用“对补四边形”的定义列出

方程，解方程即可求得结论；

②连接4C,利用“对补四边形”的定义和勾股定理解答即可得出结论；

⑵在。C上截取OE=D4,连接8E,利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质

和“对补四边形”的定义解答即可.

【解答】（1）解：①NB：ZC=3：2：I,

二设NA=3x°,则NB=Zr°,NC=X°,

四边形ABCo是“对补四边形”，

ΛZΛ+ZC=180°,

.∙.3x+x=18O,

,x=45°.

ΛZB=2x=90o.

：四边形ABCo是“对补四边形”,

ΛZB+ZD=180o,

.∙.∕O=90°.

故答案为：90；

②连接AC,如图,

VZB=90°,

：.AB2+BC1=AC2.

∙.∙四边形A8C。是“对补四边形”，

ΛZB+ZD=l80o.

ΛZD=900.

ΛAD2+CD2=AC2.

.∖AB2+BC1=AD2+Cb1,

.'.CD1-CB2=AB2-AD1,

VΛB=3,AD=2,

.".CD2-CB2=32-22=5.

故答案为：5；

(2)证明：在。C上截取DE=D4,连接8E,如图,

•.•8。平分乙4。。，

二ZADB=NEDB.

在AAOB和aECB中，

,AD=ED

<ZADB=ZEDB.

DB=DB

.∙.∕∖ADB^ΛEDB(SAS),

LNA=NDEB,AB=BE,

"：AB=CB,

LBE=BC,

：.ZBEC=ZC.

Λ:ZDEB^ZBEC=ISOO,

，NDEB+NC=180°,

ΛZA+ZC=180o,

，四边形ABC。是“对补四边形”.

【例2】(2022•赣州模拟)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：

如图1,NB=NC,则四边形ABC。为等邻角四边形.

(1)定义理解：已知四边形ABCO为等邻角四边形，且NA=I30°,N5=120°,则ND

=55度.

(2)变式应用：如图2,在五边形ABeQE中，ED//BC,对角线BD平分NABC.

①求证：四边形A80E为等邻角四边形；

②若NA+NC+NE=300°,NBDC=NC,请判断aBCD的形状，并明理由.

(3)深入探究：如图3,在等邻角四边形ABC。中，ZB=ZBCD,CELAB,垂足为E,

点P为边BC上的一动点，过点P作PNLCD,垂足分别为M,N.在点P的

运动过程中，判断尸M+PN与CE的数量关系？请说明理由.

(4)迁移拓展：如图4,是一个航模的截面示意图.四边形ABCD是等邻角四边形，ZΛ

=∕ABC,E为A8边上的一点，EDA.AD,ECLCB,垂足分别为£＞、C,AB=2yfl3dm,

AD=3dm,BD=yf37dm.M、N分别为AE、BE的中点，连接。M、CN,求ADEM与

△CEN的周长之和.

A

【分析】(1)由等邻角四边形的定义和四边形内角和定理可求解；

⑵①由角平分线的性质和平行线的性质可得NEQB=NA8。，可得结论；

②由三角形内角和定理和四边形内角和定理可求∕C=60°,即可求解；

(3)由面积关系可求解；

(4)由直角三角形的性质可得AM=OM=ME,EN=NB=CN,由勾股定理可求DG=1,

BG=6,即可求解.

【解答】(1)解：：四边形ABC。为等邻角四边形，NA=130°,ZB=120°,

ΛZC=ZD,

.∙.NQ=55°,

故答案为：55；

⑵①证明：・・•8。平分NABe

ΛZABD=ZDBCf

*：ED〃BC,

."EDB=NDBC,

：.ZEDB=ZABDf

・♦・四边形ABDE为等邻角四边形；

②解：48DC是等边三角形，理由如下：

•：/BDC=NC,

：・BD=BC,ZDβC=180o-2ZC,

VZA+Z£+ZABD+ZBD£=360°,

：.ZA+ZE=360o-2/ABD,

VZΛ+ZC+ZE=300o,

Λ300o-NC=360°-2(180o-2ZC),

ΛZC=60o,

又•：BD=BC,

•••△BDC是等边三角形；

(3)解：PM+PN=CE,理由如下：

如图，延长84,CD交于点H,连接"P,

图3

•：/B=NBCD,

.'.HB=HC,

∙.∙SABCH=SABPH+SACPH，

：.—×BH×CE=-×BH×PM+-×CH×PN,

222

：.CE=PM+PN；

(4)解：如图，延长AO,BC交于点H,过点B作BGLAH于G,

∖'ED±AD,ECLCB,M、N分别为AE、BE的中点,

：.AM=DM=ME,EN=NB=CN,

'：AB2=BG2+AG2,BD2=BG2+DG2,

Λ52-(3+OG)2=37-DG2,

.".DG=∖,

.∙.BG=YDB2-DG2=6,

山(3)可得DE+EC=BG=6,

：.△DEM与△CEN的周长之和=ME+DM+DE+EC+EN+CN=AE+BE+BG=AB+BG=

(6+2√13W«i.

【例3】(2022•常州二模)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的

夹边称为邻余线.

(1)如图/,在aABC中，AB=AC,Ao是AABC的角平分线，E,F分别是B。，A。上的

点.求证：四边形ABM是邻余四边形；

(2)如图2,在5X4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABER

使AB是邻余线，E,F在格点上；

(3)如图3,己知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB=15,AD=6,BC=3,

ZADC=135°,求CO的长度.

【分析】(1)根据邻余四边形的定义证明结论即可：

(2)连接48,在NA+N8=90°的基础上选择合适的E点和厂点连接作图即可;

(3)邻余四边形的定义可得∕H=90°,由勾股定理可求解.

【解答】(1)证明：:AB=AC,A。是AABC的角平分线，

：.ADlBC,

ΛZADB=90o，

ΛZDΛB+ZDβA=90",

,NFAJgNEBA互余，

.∙.四边形ABEF是邻余四边形;

（图2）

•••四边形ABCQ是以AB为邻余线的邻余四边形，

ΛZA+ZB=90o,

VZADC=I35°,

.∖ZHDC=45σ,

：.NHDC=NHCD=45°,

ΛCH=DH,

'JAB2=AH2+BH2,

：.225=(6+DH)2+(3+D//)2,

.∙.O"=6(负值舍去)，

ΛCD=6√2.

［例4］(2022∙工业园区模拟)［理解概念］

如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点

恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”.如图①，矩

形ABDE即为AABC的“矩形框”.

(1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的_£_；

(2)钝角三角形的“矩形框”有1个;

【巩固新知】

(3)如图①，A4BC的“矩形框”ABOE的边A8=6cm,AE=Zcm,则AABC周长的最小

值为(6+2λ∕^j^^)_cm；

(4)如图②，己知AABC中，ZC=90o,AC=4cm,BC=3cm,求AABC的“矩形框”

的周长；

【解决问题】

(5)如图③，锐角三角形木板ABC的边AB=I4a〃，AC=∖5cm,BC=↑3cm,求出该木板

的''矩形框"周长的最小值.

图①图②图③

【分析】(1)利用同底等高的面积关系求解即可；

(2)根据钝角三角形垂线的特点进行判断即可；

(3)作A点关于Z)E的对称点凡连接BF,则AABC周长2AC+8F,求出8F+AC即可求

解；

(4)以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长即可；

(5)以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长，取最小值即可.

【解答】解：(1)：SAABC=£X48XAE,S矩形A8DE=ABXAE,

∙*∙SAABC="^~S矩形48OE，

2

故答案为：ɪ:

2

(2)由定义可知，钝角三角形以钝角所对的边为矩形一边，能够构造出一个“矩形框”，

故答案为：1；

(3)如图①，作A点关于OE的对称点片连接8凡

CF=AC,

J.AC+BC^BF,

：./XABC周长^AB+AC+BC^AC+BF,

∖*AB=6cmfAE=2ctn,

在RtZ∖A8∕∙、中，βF=2√13.

∕∖ABC周长的最小值(6+2)cm,

故答案为：(6+205)；

(4)如图②-1,以AB边为矩形一边时，作“矩形框”A8DE,

VZC=90°,AC^4cm,BC=3cτπ,

•∙√48=5cm,

∙.∙S∆ΛBC=工×3×4=—×5×AE,

22

19

,-.AE=-,

5

如图②-2,以BC边为矩形一边时，作“矩形框"8CAR

二矩形BCAF的周长=2X(3+4)=14(c∙m);

同理，以AB为矩形一边时，“矩形框”的周长为14c〃?；

综上所述：ZXABC的“矩形框”的周长为工全Cm或14c∙m;

5

(5)如图③-1,以AB为一边作“矩形框”ABDE,过点C作CGLAB交于G,

.,.CG1=AC2-AG2=BC2-BG2,AG+BG=AB,

又∙.∙48=14c”?,4C=15CTO,BC=13CW,

，AG=z9an,BG=5cm,

∙*∙CG=126777,

“矩形框”ABDE的周长=2X(14+12)=52cm;

如图③-2,以8C为一边作“矩形框”BCNM,过点A作LeB交于从

,/SAABC=-×CG×AB=-×↑2×↑4=-×AH×BC,

222

13

...“矩形框”BCMW的周长=2X(13+侬■)=旦2的；

1313

如图③-3,以AC为矩形一边，作“矩形框”ACTS,过点B作BK,AC交于点K,

,.∙SAABC=-×CG×AB=-×↑2×14=工×BK×AC,

222

5

，“矩形框"ACTS的周长=2X（15+^9）—262〉加；

55

..672々0—262

♦------ɔZJ•■,

135

.∙.该木板的“矩形框”周长的最小值为旦2。〃.

c

一.解答题（共20题）

1.（2022∙罗湖区模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角

为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.

根据以上定义，解决下列问题:

⑴如图1,正方形ABCD中E是Co上的点，将48CE绕B点旋转，使BC与BA重合，

此时点E的对应点F在D4的延长线上，则四边形BEDF是（填“是”或“不是”）

“直等补”四边形；

⑵如图2,已知四边形ABCZ）是''直等补"四边形，AB=BC=IO,CZ）=2,AD>AB,

过点B作BElADTE.

①过C作CF,B尸于点F,试证明：BE=DE,并求BE的长；

②若M是AD边上的动点，求aBCM周长的最小值.

图I图2备用图

【分析】（1）由旋转的性质可得/ABF=NCBE,BF=BE,根据正方形的性质得/ABC=

NO=90°,可得出NEBF=/0=90°,即可得出答案；

（2）①首先证明四边形Cf）EF是矩形，贝∣JOE=CF,EF=CD=2,再证AABE丝ABCF,

根据全等三角形的判定和性质可得BE=C凡AE=BF,等量代换即可得BE=OE;由AE

=BF,EF=C0=2可得AE=BE-2,设8E=x,根据勾股定理求出X的值即可；

②延长Co到点G,使OG=C。，连接BG交AO于点M',过点G作GHLBC,交BC

的延长线于点”，证明aABEsaCGH,根据相似三角形的性质求出C4、“G的值，在

RIABHG中,根据勾股定理求出8G,即可求解.

【解答】解：（1）；将48CE绕8点旋转，8C与BA重合，点E的对应点尸在/）4的延长

图1

ΛZABF=ZCBE,BF=BE,

•••四边形ABC。是正方形，

ΛZABC=ZD=90o,

ΛZABE+ZCBE=90o,

.∙.NABE+NAB77=9O°,即N"/=NO=90°,

ΛZEBF+ZD=180°,

•：NEBF=90°,BF=BE,

・・・四边形BE。尸是“直等补”四边形.

故答案为：是；

(2)①证明：Y四边形ABC。是“直等补”四边形，AB=BC=W9CE>=2,AD>ABf

：.ZABC=90o,NABC+NO=180°,

ΛZD=90o,

9

JBELADfCF±BEf

:・∕DEF=90°,ZCFE=90o,

・・・四边形COEb是矩形，

：.DE=CFfEF=CD=2,

∙.∙NABE+NA=90°,NABE+NC8E=90°,

・♦・ZA=ZCBFf

VZAEB=ZBFC=90o,AB=BC,

：.ΛABE^ABCF(AAS)9

：.BE=CFfAE=BFf

*：DE=CF,

：.BE=DE；

・・・四边形COEb是矩形，

：.EF=CD=I,

•：AABEQ4BCF,

：.AE=BFf

J.AE=BE-2,

设BE=K,则4E=x-2,

在RtZ∖A8E中，/+(X-2)2=1()2,

解得：x=8或X=-6(舍去)，

・・・8七的长是8；

②β.∙ABCM周长=BC+BM+CM,

：.当BM+CM的值最小时，ABCM的周长最小，

如图，延长Co到点G,使。G=C。，连接BG交AO于点M',过点G作G//L3C,

交BC的延长线于点”，

A

E

BCH

VZADC=90Q,

...点C与点G关于AD对称，

ΛBM+CM=BM+MG^BG,即BM+CM*Λ∕'+M'C,

，当点M与重合时，BM1+M'C的值最小，即ABCM的周长最小,

在Rt∆ABE中，AE={AB2-BE2~√102~82~6,

Y四边形ABC。是“直等补”四边形，

ΛZA+ZFCD=180°,

"：ZBCD+ZGCH=ISOo,

.∙.NA=NGCH,

；NAEB=NH=90°,

4ABESACGH,

.BEAEAB105pπ88-25

GHCHCG42GHCH2

ΛGH=-H1C//=—,

55

：.BH=BC+CH=10-J^-=—,

55

βc-√BH2-KJH2(ɪ)2+(ɪ)2=2TI-

...△BCM周长的最小值为2√ZI+10.

2.(2022•越秀区校级模拟)有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯

形.

(1)己知四边形ABCC是倍角梯形，AD//BC,ZA=IOOo,请直接写出所有满足条件的

ND的度数；

(2)如图1,在四边形A8C。中，NBA。+/8=180°,BC=AD+CD.求证：四边形A8CZ)

是倍角梯形；

(3)如图2,在(2)的条件下，连结AC,当AB=AC=A0=2时，求JSC的长.

【分析】(1)由题意得出NO=2∕8或∕B=2N。或NA=2NC,根据梯形的性质可得出

答案；

⑵过点/)作/)E〃48,交BCT点、E,证明四边形ABED为平行四边形，得出AD=BE,

NB=NDEC=NADE,证出∕AZ)C=2N3,则可得出结论；

(3)过点E作AE〃。C交BC于点E,由等腰二角形的性质求出∕B=NAC8=36°,证明

ΔABE^∆CBA,由相似三角形的性质得出金殳型，设AE=BE=CO=X,得出方程2?

BCAB

=X(X+2),求出X=F-I,则可得出答案.

【解答】解：(1)∙.∙AC"BC,

ΛZΛ+ZB=180o,

VZA=IOOo,

ΛZB=80°,

∙.∙四边形ABCD是倍角梯形，

NO=2/8或N8=2∕D或NA=2NC,

若NO=2/8,则NO=I60°；

若NB=2ND,则/0=40°,

若∕A=2∕C,则∕C=50°,

ΛZD=130°,

故所有满足条件的/。的度数为160°或40°或130°；

(2)证明：过点。作OE〃A8,交8C于点E,

.,.AD//BC,

'：DE//AB,

：.四边形ABED为平行四边形，

：.AD=BE,/B=NDEC=/ADE,

•：BC=BE+CE,

/.BC=AD+CEf

又∙.∙BC=AD+CD,

：.CE=CD,BC>AD,

：・ZCDE=ZDEC9

：.ZADC=ZADE+ZCDE=2ZB,

・・・四边形ABCQ是倍角梯形；

(3)过点E作AE//DC交BC于点E,

工/B=NACB,

'.'AD=AC9

：・ZACD=ZDt

9JAD//BC,

：.ZACB=ADAC,

设NB=α,则NQ=2α,

VZDΛC+ZD+ZΛCD=180°,

Λα+2α+2α=180°,

Λa=36o,

ΛZB=ZACB=360,

：.ZBAC=ZAEB=108°,

VZfi=ZB,

Λ∆ABE^ΔCBA,

・ABBE

•∙n一,

BCAB

设AE=BE=CD=X,

贝IJ8C=2+x,

Λ22=X(X+2),

.∙.χ=√5-1(负值舍去)，

ΛCZ)=√5-1.

ΛBC=ΛD+CD=2+√5-1=√5+1.

3.(2022∙嘉祥县一模)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹

边称为邻余线.

(1)如图1,在AABC中，AB=AC,4。是aABC的角平分线，E,F分别是8。，AD±

的点.求证：四边形A8EF是邻余四边形.

(2)如图2,在⑴的条件下，取EF中点M,连接。M并延长交AB于点°,延长EF交AC

于点M若N为AC的中点，DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.

【分析】⑴由等腰三角形的三线合一定理先证AOL8C,再证∕ZMB+∕OBA=90°,由

邻余四边形定义即可判定；

(2)由等腰三角形的三线合一定理先证8/)=CD,推出CE=58E,再证明4DBQs∕∖ECM

推出&殳=毁=2,即可求出NC,AC,AB的长度.

NCCE5

【解答】(1)证明：∙∙∙A8=AC,AO是AABC的角平分线，

：.ADLBC,

：.ZADB=90o,

：.ZDAB+ZDBA=90°,

,NFBA与NEBA互余,

・♦・四边形ABE尸是邻余四边形；

(2)解：∙.∙AB=AC,AD是△4?C的角平分线,

：・BD=CD,

VDE=2BE,

：・BD=CD=3BE,

：・CE=CD+DE=5BE,

NE=90°,点M是石户的中点，

：•DM=ME,

：.NMDE=NMED,

uJAB=AC,

,/B="

：./\DBQsAECN,

.QB=BD=3

,NCCE^5

.∙Q8=3,

'.NC=5,

:AN=CN,

∖AC=2CN=∖0,

'.AB=AC=IO.

4.(2021•任城区校级三模)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做'’等邻角四边形”

(1)概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：矩形或正方形；

(2)问题探究；

如图1,在等邻角四边形ABCQ中，ZDAB=ZABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边

上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BO的数量关系，并说明理由；

(3)应用拓展：

如图2,在RtBC与RtΔ14BO中，NC=/0=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△

ABo绕着点A顺时针旋转角α(0°VNaVNBAC)得到RtAAB'£>'(如图3),当凸四边

形40'BC为等邻角四边形时，求出它的面积.

【分析】(1)矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；

(2)结论：AC=BD,证明AOPB(SAS);

(3)分两种情况考虑：I、当∕AO'B=ND'8C时，延长AO',CB交于点E,如图1,

由S四边彩AcBD=SAACE-SABED,求出四边形ACB。'面积;

0

11、当/。'BC=ZACB=W时，过点。'作£>'ELAC于点E,如图2,由SIMja)KACBD

=SΛAED+sECBD.求出四边形AC80'面积即可.

【解答】解：(1)矩形或正方形是一个等邻角四边形.

故答案为：矩形，正方形：

(2)结论：AC=BD,

理由：连接P力，PC,如图1所示:

∙.∙PE是A。的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，

.'.PA=PD,PC=PB,

：.ZPAD=ZPDA,NPBC=ZPCB,

：.NDPB=2NPAD,NAPC=2NPBC,即N∕¾O=NP8C,

，ZAPC=ZDPB,

：.AAPgADPB(SAS),

：,AC=BD-,

(3)分两种情况考虑：

⑺当NA。'B=ZD'8C时，延长A。'，CB交于点E,

如图3⑺所示，

.∖ZED'B=ZEBD',

；.EB=ED',

设EB=ED'=x,

由勾股定理得：42+(3+X)2=(4+X)2,

解得：x=4.5,

过点。'作O'FLCE于F,

：.D'F//AC,

：./\ED'FSXEIC

zyZ

.DFEDBIIDF_4.5

ACAE`44+4.5

解得：D1F=-,

17

ʌSAACE=-AC×EC=—×4X(3+4.5)=15；SMED∙=工义BEXD'F=-×X4.5×-^-

222217

=81

17

81_174

!⅛JSKiHK.ACBD=SAACE-SABED'=15-^17~YΓ

(汾当N。’8C=NACB=90°时，，过点£>'作O'E_L4C于点E,

如图3(,7)所示,

.∙.四边形ECBD'是矩形，

：.ED'=BC=3,

在RtZ∖AEO'中，根据勾股定理得：AEr小呼=H

∙∙∙S∆4ED=工XAEXEO'=A×√7X3="——~~■—，SECBD=CEXCB=(4-√7)X3

222

=12-3√7.

贝I]SITO形ACBo=S∆AEO+sS.æECBD=3卢+12^3√7=12-'R.

22

5.(2022春•曾都区期末)定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做”等角线四边形

(1)在己经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四

边形”的是②④(填序号):

(2)如图1,在正方形ABCD中，点E,尸分别在边BC,CO上，且EC=。凡连接E尸，

AF,求证：四边形ABE尸是等角线四边形；

(3)如图2,已知在AABC中，/ABC=90°,AB=4,BC=3,0为线段AB的垂直平分

线上一点，若以点A,B,C,O为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形

【分析】(1)由矩形和正方形的性质可宜接求解；

(2)由“S4S”可证AA8E<ZS,BCF,可得AE=B凡可得结论;

(3)分两种情况讨论，由勾股定理求出。E的长，即可求解.

【解答】(1)解：：矩形、正方形的对角线相等，

，矩形和正方形是“等角线四边形”，

故答案为②④；

(2)证明：连接AE,BF,

：四边形ABeO是正方形,

：.AB=BC=CD,NABC=/BCO=90°,

*：EC=DF,

.".BE=CF,

∕∖ABE^LBCF(SAS),

：.AE=BF,

：.四边形ABEF是等角线四边形;

(3)当点。在AB的上方时，如图,

「OE是A8的中垂线，

：.AE=BE=2,

VZΛBC=90o,48=4,BC=3,

・'.AC=5,

・・•四边形ABCD为等角线四边形，

.∖AC=zBD=5,

DE=√ββ2-βE2=√25-4=V21，

∙'∙S四边彩AβCD~S^ABD^^SI^BCD~~XA8XDE+—XBCXBE-2√21+3；

22

当点。在AB的下方时，如图，过点。作。FLBC,交CB的延长线于凡

•••四边形ACBD为等角线四边形,

.∙.8A=CZ)=4,

"：DEYAB,NABF=90°,DFVCF,

.∙.四边形OEBF是矩形，

：.BE=DF=2,DE=BF,

ɛ/7-√CD2-DF2=416-4=2Vs,

ΛβF=2√3-3,

,S四边%AD8C=SΔA8C+SAA8Z)=^-X4><(2Λ/^-3)+-∣∙×4×3=4Λ∕3,

综上所述：这个等角线四边形的面积为4√5或2&I+3.

6.(2022春•南海区期末)定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做

等腰梯形.

【性质初探】如图1,已知，^ABCD,/8=80°,点E是边AO上一点，连结CE,四

边形ABCE恰为等腰梯形.求NBCE的度数；

【性质再探】如图2,已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF,BF

=CE,连结BE、CF.求证：BE=CF;

【拓展应用】如图3,回ABCD的对角线AC、8。交于点O,AB=2,NABC=45°,过

点。作AC的垂线交8C的延长线于点G,连结。G.若∕CZ)G=90°,求BC的长.

【分析】【性质初探】过点A作AGlBC交于G,过点E作EHLBC交于H,证明Rt∆

ABG^RtΛECG(HL),即可求解；

【性质再探】证明aBFC丝Z∖CEB(SAS),即可求解;

【拓展应用】连接AC,过G点作GMLAD交延长线于点M,分别证明aACG是等腰三

角形，4CDG是等腰直角三角形，ADGM是等腰直角三角形，从而可求AG=2√2,

GM=DMy]21在RtZ∖AGM中，用勾股定理求出Ao的长即为所求BC的长.

【解答】【性质初探】解：过点4作AG_L8C交于G,过点E作E"_LJBC交于“，

•：团ABCD,

：,AE〃BC,

：.AG=EH,

・.・四边形ABCE恰为等腰梯形，

YAB=EC,

：.Rt∆ABG^Rt∆ECG(WL),

；・NB=NECH,

-：ZB=SOo,

：.ZBCE=SOo；

【性质再探】证明：Y四边形ABCO是矩形，

:・AE〃BC,

・・・四边形BCE尸是等腰梯形，

LBF=CE,

山(1)可知，NFBC=NECB,

MBFgACEB(SAS),

：・BE=CF；

【拓展应用】解：连接AC,过G点作GMLAo交延长线于点M,

:四边形ABCD是平行四边形，

・♦.。是AC的中点，

VGOLAC,

：.AC=CGf

∖aAB∕∕CD,NABC=45°,

Z.ZDCG=45o,

ΛZCDG=90o,

ΛCD=DG,

：.BA=DG=2,

VZCDG=90o,

ΛCG=2√2,

ΛΛG=2√2,

∙'N4OC=NOCG=45°,

，NCQM=135°,

ΛZGDΛ∕=450,

：.GM=DM=®，

在RtZ∖AGM中，(2&)2=(ΛD+√2)2+(√2)2,

ΛAD=Λ∕6-V2，

ΛBC=√6-√2.

7.(2022春•长汀县期末)在平面直角坐标系中，如果点p(α,份满足α+l>6且。+1>“，则

称点P为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这

个图形为“自大忘形”.

(1)判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；pι(l,0),p2(√5,√E),

-

P3(^1>Vδ)•

(2)如果点N(2X+3,2)不是“自大点”，求出X的取值范围.

(3)如图，正方形ABC。的初始位置是4(0，6),8(0,4),C(2,4),DQ,6),现在正方

形开始以每秒1个单位长的速度向下0,轴负方向)平移，设运动时间为/秒(f>0),当正方

形成为“自大忘形”时，求f的取值范围.

H

6」

--------------------------------A

0X

【分析】(1)利用“自大点”的定义解答即可；

(2)利用“自大点”的定义列出不等式组解答即可；

(3)用f表示出平移后的正方形的四个顶点的坐标，利用(2)中的方法求得平移后的正方形

的三个顶点不是“自大点”时的r的范围即可得出结论.

【解答】解：(1)尸2；理由：

；点P(a,6)满足a+∖>bS,b+∖>a,则称点P为“自大点”，

：.a,6满足-l<6-αVl,

VP1(1,O),O-I=-I,

.∙.Pι(l,0)不是“自大点”；

v

P2(√2,√3)--1<V3-V2<1>

Λ

P2(√2,√ξ)是“自大点”；

Vp3(-1,-√5)--√5-(-l)=l-√5,

P3(T,)不是"自大点”，

综上，三个点中点尸2是“自大点”；

(2)如果点N(2X+3,2)是“自大点”,

f2x+3+l>2

：.<、,

I2+l>2x+3

解得：-l<x<0,

，当XW-I或时，点N(IX+3,2)不是“自大点”，

.∙∙x的取值范围是XW-1或xNO；

(3)；正方形ABCD的初始位置是A(0,6),8(0,4),C(2,4),D(2,6),

，平移之后的坐标分别为(0,6-/),B(0,4-/),C(2,4-t),。(2,67),

当A点平移后的点是“自大点时”，-1<6-∕<1,

解得：5<t<l,

故4点平移后的点不是“自大点时”，0VfW5或r27,

同理，当8点和。点平移后的点不是“自大点时"，0<fW3或

同理，当C点平移后的点不是“自大点时”，OVfWl或/23,

.∙.当平移后的正方形边界及其内部的所有点都不是“自大点”时，O<fWl或者f27或f

=3或5.

.∙.当正方形成为“自大忘形”时，f的取值范围为：O<W1或者注7或者/=3或5.

8.(2022春•江北区期末)定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四

边形叫做原四边形的“中点四边形如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这

个原四边形叫做“中方四边形

概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是D.

A,平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

性质探究：如图1,四边形A8CO是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCz)

的两条结论：

①AC=BQ；

②4C_LB£>.

问题解决：如图2,以锐角的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形ABQE

和正方形ACFG,连结8E,EG,GC.求证：四边形BCGE是“中方四边形”；

拓展应用：如图3,己知四边形48CD是“中方四边形”，M,N分别是AB,C。的中点，

(D试探索AC与MN的数量关系，并说明理由.

⑵若AC=2,求AB+CD的最小值.

图I图2图3

【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案；

性质探究：由四边形ABC。是“中方四边形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H会

别是AB、BC、CD、AQ的中点，利川三角形中位线定理即可得出答案；

问题解决：如图2,取四边形BCGE各边中点分别为尸、Q、R、L并顺次连接成四边形

MNRL,连接CE交A8于P,连接8G交CE于K,利用三角形中位线定理可证得四边形

MNRL是平行四边形，再证得aEAC丝Z∑84G(SAS),推出固MNRL是菱形，再由/LWN

=90°,可得菱形MNRL是正方形,即可证得结论；

拓展应用：(1)如图3,分别作A。、BC的中点E、F并顺次连接EMNF、FM、ME,可

得四边形ENFM是正方形,再根据等腰直角三角形性质即可证得结论；

(2)如图4,分别作40、8C的中点E、尸并顺次连接EN、NF、FM.ME,连接8。交AC

于O,连接。M、0N,当点。在KV上(即M、0、N共线)时，OM+0N最小，最小值为

MN的长，再结合(1)的结论即可求得答案∙

【解答】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四

边形”，理由如下：

因为正方形的对角线相等且互相垂直，

故选：。：

性质探究：®AC=BD,②ACj

理由如下：如图1,

Y四边形ABCO是“中方四边形”，

二EFG”是正方形且E、F、G、”分别是AB、BC、CD、AD的中点，

：.NFEH=90°，EF=EH,EH//BD,EH=-BD,EF//AC,EF=-AC,

22

：.ACLBD,AC^BD,

故答案为：ACLBD,AC=BD-,

问题解决：如图2,取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形

MNRL,连接CE交A8于P,连接BG交CE于K,

：四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L,

：.MN、NR、RL、LW分别是48CG∖ΔCEG>ABGE、Z∖CE8的中位线，

：.MN//BG,MN=-BG,RL//BG,RL=-BG,RN//CE,RN=-CE,ML//CE,ML

222

=-CE,

2

：.MN〃RL,MN=RL,RN//ML//CE,RN=ML,

：.四边形MNRL是平行四边形，

Y四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，

：.AE=AB,AG=AC,ZEAB=ZGAC=90o,

又：ZBAC=ZBAC,

：.ZEAB+ZBAC^ZGAC+ZBAC,

即NEAC=NBAG,

在AEAC和48AG中，

,AE=AB

<ZEAC=ZBAG)

AC=AG

Λ∆EΛC^∆BΛG(SΛS),

.,.CE=BG,ZAEC=ZABG,

又∙.∙RL=LBG,RN=-CE,

22

LRL=RN,

：,⑦MNRL是菱形，

VZEAB=90o,

ΛZAEP+ZAPE=90o.

又∙/ZAEC=NABG,NAPE=NBPK,

：.ZABG+ZBPZC=90°,

：,/BKP=骄,

又•：MN〃BG,ML//CEf

：.ZLMN=90Q,

・・・菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；

拓展应用：(1)MN=返4C,理由如下：

2

如图3,分别作A。、8C的中点E、尸并顺次连接£W、NF、FM、ME,

•；四边形ABCo是“中方四边形”，M,N分别是AB,CQ的中点，

/.四边形ENFM是正方形，

.∖FM=FN,NMFN=90°,

MN=JFM2+FN2=V2FM2=近FM,

'：M,尸分别是AB,BC的中点，

：.FM=-AC,

2

JMN=√=2AC;

2

(2)如图4,分别作A。、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME,

连接8。交AC于0，连接OM、ON,

当点。在MN上(即M、0、N共线)时，OM+0N最小，最小值为MN的长,

.∙.2(0M+ON)破小=2MM

由性质探究②知：ACYBD,

又YM,N分别是A8,CC的中点，

：.AB=2OM,CD=ION,

.∙.2(OM+CW)=A8+CQ,

.∖(AB+C。加小=2Λ∕N,

由拓展应用(1)知：MN=与AC；

又∙.NC=2,

：.MN=也,

/.(ΛB+CD)⅛∕∣×=2y[2,.

G

9.（2022春•铜山区期末）新定义；若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边

形.

（1）下列四边形为对直四边形的是②④（写出所有正确的序号）；

①平行四边形；②矩形；③菱形，④正方形.

（2）如图，在对直四边形ABeO中，已知NABC=90°,。为AC的中点.

①求证：8。的垂直平分线经过点O；

②若48=6,BC=8,请在备用图中补全四边形ABC。，使四边形ABCC的面积取得最大

值，并求此时8。的长度.

（备用图）

【分析】（1）由对直四边形的定义可求解；

（2）①由直角三角形的性质可得BO=。。，可得结论；

②由“4S4”可证/ZsOCB,可得DE=DB,AE=BC=S,由等腰直角三角形的性

质可求解.

【解答】（1）∙.∙矩形和正方形的四个角都是直角,

...矩形和正方形是对直四边形，

故答案为：②④；

ΛZABC=ZADC=90c3,

∙.∙。为AC的中点.

：.BO=DO.

•♦.8Q的垂直平分线经过点O；

②四边形ABCD的面积=S“8C+5ΔACD,S^ΛBC是定值,

∙∙∙SΔΛCD有最大值时，四边形ABCD的面积有最大值,

TAC是定长，

；・当OCAC时，SΔACD有最大值.

如图，过点。作。ELBD交JBA的延长线于点E

∖'AO=OC=OD,ODA-AC,

：.AD=CD1

VDE±BD,

ΛZfDB=ZΛDC=90o，

,NEDA=NBDC,

VZABC=ZADC=9Qo,

ΛZDAB+ZDCB=180°,

∙.∙∕OAB+∕D4E=180°,

，ZDCB=ZDAE,

.∖ΛDAE^∕∖DCB(ASA),

.∖DE=Dβ,AE=BC=S,

.∙.AOEB是等腰直角三角形，BE=14,

ΛDB=7√2∙

10.(2022春•盐田区校级期末)给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四

边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”.

(1)如图1,格点四边形ABCO是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；

(2)如图2,在aABC中，AB=AC,AQ是aABC的角平分线，E,F分别是BD,AD±

的点.求证：四边形ABEF是''邻余四边形”；

(3)如图3,四边形48C。是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E,尸分别是A8,8的

中点，连接E兄AD=4,BC=6.求E尸的长.

【分析】(1)根据邻余四边形的定义得出答案即可；

(2)根据邻余四边形的定义证明结论即可；

(3)连接并延长到G,使EG=DE,连接8G,CG,先得出Eo丝ZXBEG,再利用勾

股定理得出GC的长，最后利用三角形中位线定理得出结果.

【解答】⑴解：

ΛZA+ZB=90o,

二它的“邻余线”是AB;

(2)证明：AB=AC,是AABC的角平分线,

：.ADLBC,

：.ZADB=90o，

.,.ZDAB+ZDBA=90°,

.∙.NΛ4B与/E8A互余，

，四边形ABE尸是邻余四边形；

(3)解：如图，连接。E并延长到G,使