新教材数学人教A版作业2-1第1课时不等关系与比较大小

第二章2.1第1课时A组·素养自测一、选择题1．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，A．v≤120km/h或d≥10m B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v≤120km/h，,d≥C．v≤120km/h D．d≥10m[解析]考虑实际意义，知v≤120km/h，且d≥2．已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是(D)A．a－b≤0 B．a＋b＜0C．|a|＞|b| D．a＞b[解析]a＞0，b＜0，∴a＞b．3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(A)A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．与x有关[解析]M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)＞0，故M＞N．4．已知三个不等式：①ab＞0，②eq\f(c,a)＞eq\f(d,b)，③bc＞ad．则下列结论错误的是(D)A．①③⇒② B．①②⇒③C．②③⇒① D．B选项错误5．若x∈R，y∈R，则(A)A．x2＋y2＞2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y2＜2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1[解析]x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1＞0，∴x2＋y2＞2xy－1，故选A．6．完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20000元．设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(A)A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y＜200C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y＜200[解析]由题意，可得400x＋500y≤20000，化简得4x＋5y≤200，故选A．二、填空题7．已知两实数a＝－2x2＋2x－10，b＝－x2＋3x－9，a，b分别对应数轴上两点A，B，则点A在点B的__左边__(填“左边”或“右边”)．[解析]∵a－b＝－2x2＋2x－10－(－x2＋3x－9)＝－2x2＋2x－10＋x2－3x＋9＝－x2－x－1＝－(x＋eq\f(1,2))2－eq\f(3,4)＜0，∴a＜b，∴点A在点B的左边．8．一辆汽车原来每天行驶xkm，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写成不等式为__8(x＋19)＞2_200__；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__9＜eq\f(8x,x－12)＜9．打算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，若购买桌子和椅子的数目分别为x，y，用不等式组表示上述不等关系为__eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x＋20y≤2000，,x≤y，,y≤1．5x，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N))__．三、解答题10．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的eq\f(1,3)，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来．[解析]据题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)≤z≤\f(x,3)，,y＋z≥55))(x，y，z∈N)．11．(1)已知a＞b＞c＞0，试比较eq\f(a－c,b)与eq\f(b－c,a)的大小；(2)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．[解析](1)eq\f(a－c,b)－eq\f(b－c,a)＝eq\f(aa－c－bb－c,ab)＝eq\f(a2－ac－b2＋bc,ab)＝eq\f(a2－b2－a－bc,ab)＝eq\f(a－ba＋b－c,ab)．因为a＞b＞c＞0，所以a－b＞0，ab＞0，a＋b－c＞0．所以eq\f(a－ba＋b－c,ab)＞0，即eq\f(a－c,b)＞eq\f(b－c,a)．(2)(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)．因为(x＋eq\f(1,2))2≥0，所以(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞0，所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，所以2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2．B组·素养提升一、选择题1．已知三角形的任意两边之和大于第三边，设△ABC的三边长为a，b，c，将上述文字语言用不等式(组)可表示为(D)A．a＋b＞c B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＞c,a＋c＞b))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c≥b,b＋c≥a)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＞c,a＋c＞b,b＋c＞a))[解析]由三角形三边关系及题意易知选D．2．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(A)A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1[解析]观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4．故选A．3．(多选题)若x＜a＜0，则下列不等式不一定成立的是(ACD)A．x2＜ax＜a2 B．x2＞ax＞a2C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞ax[解析]∵x2－ax＝x(x－a)＞0，∴x2＞ax．又ax－a2＝a(x－a)＞0，∴ax＞a2，∴x2＞ax＞a2，故选项B一定成立，故选ACD．4．(多选题)下列不等式恒成立的是(AC)A．a2＋2＞2a B．a2＋1＞C．a2＋b2≥2(a－b－1) D．a2＋b2＞ab[解析]对于A，a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞对于B，因a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，故B不成立；对于C，a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故C成立；对于D，a2＋b2－ab＝(a－eq\f(b,2))2＋eq\f(3,4)b2≥0，故D不成立，故选AC．二、填空题5．已知b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式，当b＞a＞0且m＞0时，__eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)__．[解析]变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了，所以当b＞a＞0且m＞0时，eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)．6．已知|a|＜1，则eq\f(1,1＋a)与1－a的大小关系为__eq\f(1,1＋a)≥1－a__．[解析]由|a|＜1，得－1＜a＜1．∴1＋a＞0,1－a＞0．∴eq\f(\f(1,1＋a),1－a)＝eq\f(1,1－a2)．∵0＜1－a2≤1，∴eq\f(1,1－a2)≥1，∴eq\f(1,1＋a)≥1－a．7．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是__d＞b＞a＞c__．[解析]∵a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，∴a＋d＋(a＋b)＞b＋c＋(c＋d)，即a＞c．∴b＜d．又a＋c＜b，∴a＜b．综上可得，d＞b＞a＞c．三、解答题8．已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[解析]x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))．∵x＜1，∴x－1＜0．又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，∴(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))＜0，∴x3－1＜2x2－2x．9．两个人两次到商店买糖果，两次糖果的价格不一样，甲是每次买相同钱数的糖果，乙是每次买相同数量的糖果，问哪个的平均价格低？[解析]设两次价格为a，b(a＞0，b＞0，a≠b)，设甲每次买m钱数，则平均价格为eq\f(m