复习08求通项公式归类（九大考点）

复习08求通项公式归类一、递推数列1.概念：数列的连续若干项满足的等量关系称为数列的递推关系．由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列．2.求递推数列通项公式的常用方法：构造法、累加(乘)法、归纳猜想法．二、数列递推关系的几种常见类型1.公式法：形如或或2.累加法：形如且当时.3.累乘法：形如且当时,.注意:不一定满足上述形式,所以需要检验.4.倒数法：（构造等差数列）形如整式或分式整式：两边同时除以分式：两边同时取倒数5.待定系数法①形如且方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.②形如且方法:两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求若为常数,则为等差数列,从而求得数列的通项公式.考点01观察法、周期数列【方法点拨】先写出数列的前几项，观察发现规律，找到周期【例1】若数列满足，则（

）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】对数列递推式变形为，求出前几项，找到周期性即可求解.【详解】因为，所以.因为，所以，所以是周期为2的数列，故.故选：D【例2】数列，，，，的一个通项公式是an=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据所给数列的特点，先写出数列，，，，的通项公式，再写出数列，，，，的通项公式，最后写出数列，，，，的通项公式.【详解】因为数列，，，，的通项公式为，则数列，，，，的通项公式为，而数列，，，，的每一项都是上面数列对应项的，所以数列，，，，的通项公式为.故选：C.【变式11】已知数列满足且，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.【详解】由题意数列满足，则，故由，得，由此可知数列的周期为4，故，故选：B【变式12】已知一列数如此排列：，则它的一个通项公式可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据选项逐项判断即可.【详解】对于A，，A错；对于B，，B错；对于C，，C错；，逐项验证可知D符合，所以D正确；故选：D．【变式13】在首项为1的数列中，满足，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】根据数列的递推关系可得为周期数列，且周期为3，即可利用周期求解.【详解】由可得，由于，所以，，因此为周期数列，且周期为3，故，故选：D考点02累加累乘法【方法点拨】累加法：形如且，当时.累乘法：形如且，当时,.注意:不一定满足上述形式,所以需要检验.【例3】已知数列，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是（

）A．16 B．128 C．32 D．64【答案】D【分析】先用累乘法求出，对四个选项验证得符合题意，即可求解．【详解】，当时，．故选：D．【例4】已知数列满足：，则（

）A．21 B．23 C．25 D．27【答案】A【分析】应用累加法求数列通项公式，再求出对应项.【详解】由题设，……，，，累加可得且，则，显然也满足上式，所以.故选：A【变式21】已知，则数列的通项公式是．【答案】【分析】由已知递推式可得，然后利用累乘法可求得结果.【详解】由，得，所以，所以，，，……，（），所以，所以，因为，所以，因为也满足上式，所以，故答案为：【变式22】在数列中，，且，求数列的通项公式．【答案】【分析】根据已知，利用累加法求数列的通项公式．【详解】由题设，所以且，显然满足上式，所以【变式23】（1）已知数列满足，，求的通项．（2）数列中，，（n为正整数），求．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用叠加法，结合裂项相消的知识可得通项公式；（2）利用累乘法求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以；综上：.而符合上式，故.（2）因为，，所以，综上：.考点03证明等差等比数列【方法点拨】1.若满足定值或定值，则数列为等差数列，则求出对应的首项即可求得通项公式；2.若满足定值或定值，则数列为等比数列，则求出对应的首项即可求得通项公式；【例5】已知数列，满足，，记.(1)试证明数列为等差数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见及解析(2)【分析】（1）根据题意，由递推关系式代入计算，结合等差数列的定义，即可证明；（2）由（1）可得数列的通项公式，再由代入计算，即可得到数列的通项公式．【详解】（1）证明：,又，∴数列是首项为，公差为的等差数列．（2）由（1）知，因为，所以∴数列的通项公式为.【例6】已知数列满足：，．(1)求证：为等比数列；(2)求的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意转化条件得，结合即可得证；（2）由题意可得，进而可得.【详解】（1）已知递推公式，两边同时加上3，得：，因为，所以，又，所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列.（2）由（1），则.【变式31】已知数列满足，(1)求证：数列为等差数列;(2)求数列的通项公式与最大值.【答案】(1)证明见解析(2)，最大值是【分析】（1）计算，根据等差数列的概念即得结论；（2）由（1）可得，再研究其单调性，计算可得结论．【详解】（1）因为，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）由（1）可得，即当时，由反比例函数的性质知单调递减，所以，又，，，所以数列的最大值是【变式32】非零数列满足，且．(1)设，证明：数列是等差数列；(2)设，求的前项和．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）对已知条件因式分解可得，根据等差数列定义可证；（2）利用累乘法求得，然后由裂项相消法可得.【详解】（1）由，得对于恒成立，所以，即，所以，而，故，所以数列是以1为公差，为首项的等差数列.（2）由（1）知，，即，整理得，由累乘法得，即，又，所以，则，所以.【变式33】已知正项数列的前项积为，且满足．求证：数列为等比数列．【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件，利用前项积的意义，结合等比数列的定义推理作答.【详解】依题意，当时，，又，于是，而，有，因此当时，，即，当时，由，得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列．考点04待定系数法，取倒法【方法点拨】1.形如为常数,:可用“待定系数法”将原等式变形为,由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式;2.分式为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解【例7】已知数列满足，则的通项公式（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由递推公式得为等比数列，再由等比数列的通项公式求解，【详解】由得，而，故是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.故选：D【例8】已知数列，则数列的通项公式．【答案】【分析】取倒数后得为等差数列，再由等差数列的通项公式求解．【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列，得，即，故答案为：【变式41】（多选）设数列满足，（），则（

）A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递减数列 D．的前n项和【答案】ABD【分析】对于A、B：根据题意利用构造法结合等比数列的定义运算求解；对于C：检验前两项即可判断；对于D：利用等比数列求和结合分组求和运算求解.【详解】因为，则，整理得，且，所以是以首项，公比的等比数列，故A正确；可得，解得，故B正确；因为，即，所以不是递减数列，故C错误；因为，所以的前n项和，故D正确；故选：ABD.【变式42】已知数列满足，，则满足的最小正整数．【答案】5【分析】根据题意先求得，，从而求得，再构造等比数列，从而得到数列的通项公式，进而根据的单调性即可求解．【详解】由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以，易知是递增数列，又，，所以满足的最小正整数．故答案为：5．【点睛】本题考查递推数列．【变式43】数列满足且，则数列的通项公式是．【答案】【分析】根据题意构造等比数列，进而求出通项公式即可.【详解】设，则，又因为，所以，则，所以，因为，所以，所以为常数，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.故答案为：考点05同除法【方法点拨】1.同除指数法：形如且方法:两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求2.形如整式，两边同时除以【例9】在数列中，，．求数列的通项公式.【答案】【分析】递推公式推得，判断数列为等差数列，求出公差d，再写出通项公式.【详解】因为，所以.由可得，所以.又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.【例10】已知数列满足，，则数列的通项公式为【答案】【分析】由已知可得，利用为等差数列求的通项公式.【详解】由得，故为等差数列，公差为1，首项为1，所以所以.故答案为：【变式51】已知数列的前项和为，，，则数列的通项．【答案】【分析】构造并证其为等差数列，写出通项公式，应用求数列通项公式即可.【详解】由，而，故是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，则，又且，显然也满足上式，所以.故答案为：【变式52】（多选）数列满足，若，则（

）A． B．C．的前n项和为 D．的前n项和为【答案】AC【分析】对于A、B：根据题意可得，结合等差数列的定义和通项公式运算求解；对于C、D：利用错位相减法运算求解.【详解】因为，则，可知数列是以首项，公差的等差数列，可得，所以，故A正确，B错误；设的前n项和为，则，可得，两式相减得，所以，故C正确，D错误；故选：AC.【变式53】已知数列满足，，则.【答案】【分析】根据数列递推式结合对数的运算法则化简，可得，即可求得数列的通项公式，继而求得答案.【详解】由可得：，即所以，结合可知，，则是公差为2的等差数列，，故，，故，故答案为：考点06公式法消【方法点拨】用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并.【例11】（多选）已知数列的前项和公式为，则（

）A．，，成等差数列B．，，成等差数列C．数列是递增数列D．数列是递增数列【答案】BCD【分析】根据，可求得，，的值，可判定选项A；结合函数的单调性，可判定选项D；根据时，可求得，继而可判定选项B,C.【详解】因为，所以,,,则,故，，不成等差数列，A错误；又函数的对称轴为，所以函数在上单调递增；故数列是递增数列，则D正确；又，当时，，满足上式，故，则数列是递增数列，C正确；切，故，，成等差数列，B正确，故选：BCD.【例12】（多选）已知是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（

）A． B．数列为等差数列 C． D．【答案】ACD【分析】由题意，令计算即可判断A；根据计算可得，进而得，结合等差中项的应用即可判断BC；由选项B可知数列的奇、偶数项均为等差数列，结合等差数列前n项求和公式计算即可判断D.【详解】A：当时，，又，所以，故A正确；B：当时，由，得，两式相减得，由，得，所以，所以，得，则，即，所以数列不为等差数列，故B错误；C：由选项B可知，所以，故C正确；D：由选项B可知，所以，即数列的奇数项为首项是1，公差是3的等差数列，偶数项为首项是2，公差是3的等差数列，所以所以故，故D正确.故选：ACD【变式61】已知数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题中已知条件，得出时，此两式作差整理即可得到所满足的关系，从而可求出数列的通项公式得到所求；（2）根据数列的通项可知利用错位相消法进行求和，从而可求出数列的前项和.【详解】（1）∵，当时，，∴，当时，，①，②①②得即，∵，∴，∴，∴是以首项为2，公比为2的等比数列，则，∴；（2）由上可知：，所以，，∴，∴.【变式62】已知数列的前项和为，且满足．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用与的关系式，即可得出结论；（2）错位相减法求解数列的前项和.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以，即，又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知，，所以，因为①，所以②，由①②得：，所以．【变式63】已知数列各项非零．前项和为，，且，则【答案】199【分析】由题意根据的关系先得，由此可得数列中的偶数项构成一个等差数列，由此即可得解.【详解】由题意，，两式相减得，因为，所以，所以，所以数列是以为首项，4为公差的等差数列，令，在中令，结合，得，解得，所以，所以.故答案为：199.考点07公式法消【方法点拨】设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，【例13】设数列的前项和为，，，，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件构造为常数列，求出，再利用裂项相消法求和即可.【详解】，且，，即，，故数列为常数列，且，，则，故数列的前项和.故选：D.【例14】各项非零的数列中，首项，且，求数列的通项公式.【答案】.【分析】根据题意，利用，化简得到，得到数列为等差数列，求得，进而求得数列的通项公式.【详解】因为，且，所以，整理得，所以数列是以，公差为2的等差数列，所以，所以，当时，，又因为，不适合上式，所以数列的通项公式为.【变式71】已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则.【答案】/0.9【分析】利用与的关系将已知转化为，并求出的通项公式.再利用与的关系求出，写出的通项公式，利用裂项相消求解.【详解】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，当时，,解得符合，∴，，当时，符合，∴，，所以.故答案为：【变式72】已知正项数列的前项和为，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)若数列满足，且，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据与之间的关系结合等差数列的定义分析证明；（2）由（1）可得，进而可得是常数列以及，代入利用裂项相消法求和.【详解】（1）当时，，由于，解得；当时，，整理得；所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）可知：，因为，整理得，可知数列是常数列.所以，即，可得，所以.【变式73】设是数列的前项和，，.(1)求；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入及计算即可得；（2）借助与的关系，消去计算出的通项，再由计算出即可得.【详解】（1）当时，，又，故，当时，，即，解得或，又，故；（2）对任意的，，则，当时，，即，又，即，所以，数列是等差数列，首项为，公差为，所以，，则，故当时，，也满足，故对任意的，.考点08“和”型和“积”型【方法点拨】“和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解；“积”型式子可看做前n项和，然后用即可求解；【例15】已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据数列递推式求得的表达式，即可得，结合其单调性推出恒成立，继而判断的单调性，求出其最大值，即可求得答案.【详解】由于数列满足，当时，，当时，，故，即，也适合，故，则，由于数列为单调递增数列，即，即，则恒成立，令，则，当时，，当时，，故是数列的最大值的项，故时，取得最大值，故，则的取值范围为，故选：C【例16】已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，则数列的前项和．【答案】【分析】根据，作差得到，即可求出的通项公式，再记，当时，，即可得到数列是以1为首项，为公比的等比数列，再利用等边求和公式计算可得.【详解】因为，当时，，解得，当时，，两式相减可得，即，所以，故数列是以为首项、为公比的等比数列，故．记，故当时，，即，故，因为，故，故数列是以1为首项，为公比的等比数列，故．故答案为：【变式81】（多选）已知数列满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】当时，，此时，由此即可判断B；由题意通过递推关系可得，进一步可得数列的通项公式，即可判断剩余选项.【详解】数列满足，，所以时，，此时，故B错误；，，，化为：．当时，．．，，故可知．故选：AD．【变式82】已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据求出；（2）错位相减法求和得到，结合，得到.【详解】（1）由题知，当时，，则．又．①当时，，②①②得，所以．当时，也适合．综上，数列的通项公式为．（2）因为．所以，①，②①②得，整理得，因为．所以【变式83】已知数列的前n项积，数列为等差数列，且，．(1)求与的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)，．(2).【分析】（1）由已知得，，两式相除得，由已知得，求得数列的公差为，由等差数列的通项公式可求得；（2）运用错位相减法可求得.【详解】（1）解：因为数列的前n项积，所以，所以，两式相除得，因为数列为等差数列，且，，所以，即，所以数列的公差为，所以，所以，．（2）解：由（1）得，所以，，所以，所以.考点09因式分解型【方法点拨】遇到二次，可尝试平方差公式，完全平方公式和十字相乘法【例17】设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】由利用因式分解可得，即可判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列，数列的通项公式，进而求出．【详解】等价于，而，所以，即可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即有，所以，故．故选：D．【例18】设数列的前项和为，，，且，则的最大值是．【答案】【分析】由已知等式结合因式分解可求得，求出，可得出，令，分析数列的单调性，可求得数列最大项的值，进而可求得数列最大项的值.【详解】因为，则，由，可得，所以，，即，满足，，，则，所以，数列为等差数列，故，则，令，则，当时，，即；当时，，即数列从第三项开始单调递减，故，所以，.故答案为：.【变式91】已知正项数列中，，前项和为，且__________.请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：①，②.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)条件选择见解析，(2)证明见解析【分析】（1）若选①，通过因式分解化简递推公式，得是公差为2的等差数列，结合，可求数列的通项公式；若选②，时，求出，利用公式，化简后证得数列为等差数列，公差，可求数列的通项公式；（2）利用放缩和裂项相消法求和证明不等式.【详解】（1）若选①:由，得，即，因为为正项数列，所以，是公差为2的等差数列，由，得；若选②：，当时，，两式作差得：，则，两式作差得，即，所以数列为等差数列，时，，可得，公差，则；（2）由（1）知，，又，【变式92】已知正项数列的前项和为，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可得数列是等差数列，即可求出通项公式；（2）由裂项相消法可求出.【详解】解：(1)由，又有，，两式相减得，因为，所以，又，，解得，满足，因此数列是等差数列，首项为，公差为，所以，(2)所以.【变式93】已知各项均为正数的数列，满足，．(1)求数列的通项公式；(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）利用因式分解推得，从而得到是等比数列，进而求得，由此得解；（2）构造函数，利用导数证得，令，从而推得，再利用错位相减法即可得证.【详解】（1）因为，所以，因为的各项均为正，所以，故，即，所以是以2为公比的等比数列，因为，又公比为2，所以，所以.（2），证明如下：令，则，当时，，即在上单调递减，所以，则，即，设，所以，所以，记，则，所以，即，则，所以，所以.一、单选题1．已知数列满足，，则（

）A． B．2 C．12 D．33【答案】A【分析】利用递推关系计算可得数列是周期数列，即可计算出结果.【详解】由递推公式代入计算可得；可得数列是以3为周期的周期数列，所以，故选：A.2．在数列中，，，，则（

）A． B．15 C． D．10【答案】B【分析】依题意对化简，采用累乘法得到，从而得到【详解】因为，所以，即，得.所以.因为，所以.故选：B.3．已知数列的首项为，前项和为，若，（），则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和的递推关系可得表达式，发现从第二项起，后面的数都与前面的数之比为定值，故可用分组求和、等比数列求和公式法即可得解.【详解】由（），得（），两式作差得：（），即（）.∵，（），∴，∴，∴.故选：C.4．在各项均为正数的数列中,,,为的前项和,若,则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由,化简可得,得或,因为各项均为正数,故符合题意,不符题意舍去,所以数列为首项为,公比为的等比数列,根据等比数列前项和公式即可求得答案.【详解】,得，或，又各项均为正数,故符合题意,不符题意舍去.,,所以数列为首项为,公比为的等比数列则，解得，故选:A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前项和公式,考查了计算能力,属于中档题二、多选题5．设，在数列中，，则下列说法正确的是（

）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】CD【分析】将选项中的、值代入题中式子，判断数列类型，根据数列类型求解即可．【详解】对于A：当，时，即，又，则，所以，又，则，所以，即数列的奇数项相等都等于，偶数项也相等都等于，所以，故A错误；对于B：当，时，，即．因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，故B错误；对于C：当，时，，所以，因为，所以是首项为，公比为的等比数列，则，故C正确；对于D：当，时，，则，即．因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故D正确；故选：CD6．已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．数列的前100项的和为【答案】ACD【分析】先利用与的关系求得递推公式，然后由构造法求通项，结合已知可得，然后即可判断ABC；利用裂项相消法求和可判断D.【详解】当时，有，可得；当时，，整理得，即，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，故，所以，所以．对于A选项，有，故A选项正确；对于B选项，有，故B选项错误；对于C选项，有，故C选项正确；对于D选项，，则数列的前100项的和为，故D选项正确．故选：ACD．三、填空题7．已知数列满足，，，则．【答案】128【分析】由题意，根据等比数列的定义可知数列是首项为，公比为4的等比数列，由等比数列的通项公式可得，利用累乘法求得，令，计算即可求解.【详解】由题意知，，即，又，所以数列是首项为，公比为4的等比数列，所以，当时，，所以.故答案为：1288．已知数列满足，，且数列的前项和为．若的最大值为，则实数的最大值是．【答案】【分析】将已知化简为，由前n项和与通项关系可求得，进而可得，结合等差数列前n项和取最大值时的性质即可求得结果.【详解】因为，即，当时，，两式相减得，所以，（），又满足，所以，（），令，，显然数列是等差数列，若的最大值为，则，解得，所以实数的最大值是.故答案为：.9．已知数列的前项和为，且，则．【答案】210【分析】利用的关系式可求得，利用分组求和即可求出.【详解】根据题意由可得，两式相减可得，所以可得，因此；即.故答案为：210四、解答题10．记数列的前n项和为，对任意满足：，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求的值．【答案】(1)，(2).【分析】（1）利用时，及等差数列的通项公式即可求解；（2）去绝对值后，利用等差数列的前