浙江省温州市普通高中高三上学期第一次适应性考试数学试题

机密★考试结束前温州市普通高中2024届高三第一次适应性考试数学试题卷2023.11本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是待合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.2.设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（）A. B. C. D.4.已知向量，，则在上的投影向量的坐标是（）A. B. C. D.5.已知离散型随机变量的分布例如下表所示.0.40.20.4则（）A. B. 6.若函数，的值域为，则的取值范国是（）A. B. C. D.7.已知为等比数列，则“”是“，是任意正整数”的（）A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件8.如图，所有棱长都为1的正三棱柱，，点是侧棱上的动点，且，为线段上的动点，直线平面，则点的轨迹为（）第8题图A.三角形（含内部） B.矩形（含内部）C.圆柱面的一部分 D.球面的一部分二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）第9题图A.图中所有小长方形的面积之和等于1 B.中位数的估计值介于100和105之间C.该班成绩众数的估计值为97.5 D.该班成绩的极差一定等于4010.已知平面平面，则下列结论一定正确的是（）A.存在直线平面，使得直线平面B.存在直线平面，使得直线平面C.存在直线平面，直线平面，使得直线直线D.存在直线平面，直线平面，使得直线直线11.若圆与直线相切，且与圆相切于点，则圆的半径为（）A.5 B.3 C. D.12.定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（）A.函数为奇函数B.不等式的解集为C.若方程有两个根，，则D.在处的切线方程为非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.已知，则______（用表示）.14.______.15.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为______.16.斜率为1的直线与双曲线：（，）交于两点，，是上的一点，满足，，的重心分别为，，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为______.四、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.第17题图（1）求证：；（2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.18.（本小题满分12分）设的三个内角，，所对的边分别为，，，且.（1）若，求的最小值；（2）求的值.19.（本题满分12分）等差数列的前项和为，，.（1）求；（2）记为数列的前项和，若，且是以2为公差的等差数列，求数列的通项公式.20.（本小题满分12分）已知（）.（1）求导函数的最值；（2）试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由.21.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点处的切线为.（1）求的方程（用，表示）；（2）若直线与轴交于点，直线与抛物线交于点，若为钝角，求的取值范围.22.（本小题满分12分）某电子器件由若干个相同的电子模块构成，每个电子模块由4个电子元件按如图所示方式联接，其中每个电子元件导通的概率均为0.9.第22题图（1）求每个电子模块导通的概率（保留两位有效数字）；（2）已知某电子器件由20个相同的电子模块构成，系统内不同电子模块彼此独立，是否导通互不影响，当且仅当电子器件中不低于50%的电子模块处于导通状态时，电子器件才能正常工作.若在该电子器件中再添加两个相同的电子模块，试判断新电子器件较原电子器件正常工作的概率是增加还是减小？请说明理由.温州市普通高中2024届高三第一次适应性考试数学试题参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BBABDDCA二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.题号9101112答案ABCBCDBDAC三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13. 14.82 15. 16.17.解：（1）∵面，∴，过点作，由为等腰梯形，，故，，即，即∴面，.解：（1）∵面，∴平面平面过点作，由为等腰梯形，，故，，即∴面，，∴.如图，建立空间直角坐标系，，，，设，则，，，，∴.（2），∵，∴.如图，建立空间直角坐标系，，，设，面法向量为，则，，得同理，设面法向量为，则，，，得，由题意，.（2），∵，∴.∵面，∴平面平面过作，则平面垂足为，过作的垂线，垂足为，连，则为所求二面角夹角的平面角.，，.18.解：（1）由余弦定理知方法1：方法2：所以，当时取等，此时为正三角形.综上，的最小值为.（2）方法1，因为.所以原式方法2：因为，原式19.（1）解一：设等差数列的公差为，则，由可得，解得，，故.解二：由得，则故，则.（2）解一：由题意知，则，移项平方得，则可得是首项为3，公差为2的等差数列，则，可得，则，故.解二：由题意可设（是常数），则，平方相减可得，则，可得，则，故.20.解：（1）∵，记∴，解得：当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值等于.方法1：由，即，即.令，∴，由解得：∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.方法2：由，即，即.令，，∴，由解得：∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.方法3：由，即，两边取对数得：，即.令，所以由，解得当时，，单调递增，当时，，单调递减所以当，即时，方程无解；当，即时，方程有1个解；当，即时，方程有2个解.21.解法1：（1）抛物线：即，所以，的斜率为，所以，：，即.解法2：（1）设切线方程为，与抛物线：联立得，，（*）因为直线与抛物线相切，故方程（*）的判别式即，解得，所以，：，即.（2）易知，.设直线：，.代入抛物线方程得，故，，因为为钝角，所以，即，即，（*）因为，不等式（*）即，解得，所以22.解：（1）该电子模块导通即电子1、4必须导通且电子2、3至少要有一个导通，所以.（2）法一：设为原电子器件中导通的子模块的个数，，则新电子器件正常工作即原电子器件中至少有11个电子模块导通；或者