5.3.5随机事件的独立性（原卷版）

5.3.5随机事件的独立性TOC\o"13"\h\z\u题型1相互独立事件的判断 2题型2相互独立事件的概率 4题型3相互独立事件的综合应用 5知识点一相互独立的含义1.定义：一般地，当P（AB）=P（A）P（B）时，就称事件A与B相互独立（简称独立）.事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.注意：因为“A与B相互独立”是“P（AB）=P（A）P（B）”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.知识点二相互独立事件性质及计算公式当事件A，B相互独立时，A与B，A与B，A与B也相互独立.若事件A，B相互独立，则P（AB）=P（A）×P（B）；若事件A1，A2，…，An相互独立，则P（A1A2…An）=P（A1）×P（A2）×…×P（An）.相互独立事件与互斥事件的区别:①相互独立事件指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，互斥事件是指不可能同时发生的两个事件。②若两个事件相互独立，则一定不能互斥；反之，若两个事件互斥，则一定不能相互独立。③两个事件相互独立等价于P（AB）=P（A）P（B），而当两个事件互斥时，有P（A+B）=P（A）+P（B），但由P(A+B）=P（A）+P（B）却不能得到两事件A与B互斥。题型1相互独立事件的判断【方法总结】两个事件是否相互独立的判断（1）直接法∶由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.（2）定义法∶如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.注意：互斥事件与相互独立事件的区别"互斥事件"和"相互独立事件"是两个不同的概念，前者表示不可能同时发生的两个事件，后者是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.相互独立的事件可以同时发生，且同时发生的概率P（AB）=P（A）P（B），而互斥的两个事件A，B满足P（A+B）=P（A）+P（B）.两事件A，B相互独立是指事件A发生的概率与事件B是否发生没有关系，并不是说A，B间没有关系．相反，若A，B独立，则常有AB≠∅，即A与B不互斥；A，B互斥是指A的出现必导致B的不出现，并没有说A出现的概率与B是否出现有关系．事实上，当P（A）>0，P（B）>0时，若A，B互斥，则AB≠∅，从而P（AB）=0，但P（A）P（B）>0，因而等式P（AB）=P（A）P（B）不成立，即互斥未必独立.若A，B独立，则P（AB）=P（A）P（B）>0，从而A，B不互斥（否则，P（AB）=0，导致矛盾）.【例题1】（2023上·辽宁锦州·高一统考期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列对事件A,B的表述正确的是（

）A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥C．A与B相互独立 D．P【变式11】1．（2022下·广东梅州·高一统考期末）同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A=“x+y=7”，事件B=“xy为奇数”，事件C=“x>3”，则下列结论正确的是（

）A．A与B对立 B．PC．A与C相互独立 D．B与C相互独立【变式11】2．（多选）（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）有5个标记数字1，2，3，4，5的小球，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则（

）A．甲与乙互斥 B．丙与丁互斥C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立【变式11】3．（多选）（2024上·辽宁抚顺·高一校联考期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，定义事件：A=“x+y=7”，B=“xy为奇数”，C=“x>3”，则下列结论正确的是（

）A．事件A与B互斥B．事件A与B是对立事件C．事件B与C相互独立D．事件A与C相互独立【变式11】4．（2023下·福建·高一福建师大附中校考期末）同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.①A与C互斥

②B与D对立

③A与D相互独立

④B与C相互独立则上述说法中正确的为.题型2相互独立事件的概率【方法总结】求相互独立事件同时发生的概率的步骤①首先确定各事件是相互独立的；②先求每个事件发生的概率，再求其积.注意：公式P（AB）=P（A）P（B）可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2…An）=P（A1）×P（A2）×…×P（An）.【例题2】（2023下·全国·高一随堂练习）某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立.已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行.若每个元件能正常工作的概率均为45A．124125 B．48125 C．16【变式21】1．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知A、B两人同时射击目标C（A、B是否射中之间相互独立），已知A射中C的概率为0.9，B射中C的概率为0.8，则至少有一人击中目标C的概率是______．【变式21】2．（2023上·辽宁锦州·高一统考期末）已知甲､乙､丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲､乙､丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至少有一人命中的概率为.【变式21】3．（2023上·江西宜春·高一江西省宜春中学校考期末）甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为45，乙的命中率为2【变式21】4.（2023上·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭时训练，甲、乙两队队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢两个球者获胜．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为1题型3相互独立事件的综合应用【方法总结】概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．【例题3】（2024上·辽宁沈阳·高一统考期末）已知甲箱中有4个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母A、B和小写英文字母a、b；乙箱中有m个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，…，m(1)现从甲箱中任意抽取2个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率；(2)现从乙箱中任意抽取1个小球，设n=“所抽小球上面标注的数字”，记事件D=“n-2≤1”，事件E=“n-4n-2≤0”，若事件D与事件E(3)在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取3次，每次取1个小球，求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率．【变式31】1．（2024上·江西上饶·高一校考阶段练习）某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是23，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是115.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.【变式31】2．（2023·全国·高一随堂练习）在某项1500m体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是25和3(1)两人都通过体能测试的概率；(2)恰有一人通过体能测试的概率；(3)至少有一人通过体能测试的概率．【变式31】3．（2023·全国·高一随堂练习）甲、乙两人各进行一次射击，如果两人命中目标的概率都是0.6，计算：(1)两人都命中