截长补短构造全等

全等三角形常见辅助线作法板块一、截长补短中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．，理由是：在上截取，连结，利用证得≌，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，利用证得≌，∴，∴．如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?猜想.过点作交于点，，∴又∵，∴，而，∴，∴．如图2-9所示．正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．分析证明一条线段等于两条线段和的根本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和()，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段()上截取与线段中的某一段(如)相等的线段，再证明截剩的局部与线段中的另一段()相等．我们用(1)法来证明．证延长到，使，那么由正方形性质知下面我们利用全等三角形来证明．为此，连接交边于．由于对顶角，所以，从而，于是，所以，是的平分线过引于．因为是∠EAF的平分线，所以GB=GH，从而Rt△GBF≌Rt△GHE(HL)，所以∠F=∠HEG，那么AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，即AE=BC+CE．说明我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE的平分线AG交边BC于G，再作GH⊥AE于H，通过证明△ABG≌△AHG知AB=AH=BC．下面设法证明HE=CE即可，请同学们自证．(“希望杯”竞赛试题)如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=，AD=，CB=，∠AMD=75°，∠BMC=45°，那么AB的长为()A.B.C.D.过点D作BC的垂线，垂足为E.∵∠AMD=75°，∠BMC=45°∴∠DMC=60°∵DM=CM∴CD=DM∵AD⊥AB，DE⊥BC，CB⊥AB，∠AMD=75°∴∠ADM=∠EDC∴△ADM≌△CDE∴AD=DE故ABED为正方形，AB=AD=，选D.：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF∴△ABM≌△ADF∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM∵AB∥CD∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM∴∠AMB=∠EAM∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点．求证：平分．因为、是等边三角形，所以，，，那么，所以，那么有，，．在上截取，连结，容易证得，．进而由．得；由可得，即平分．如下图，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．如下图，延长到使.在与中，因为，，，所以，故.因为，，所以.又因为，所以.在与中，，，，所以，那么，所以的周长为.如下图，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．如下图，过作交于，使得；过作交于，使得.因为，为等腰三角形，所以，又因为为正三角形，所以.注意到，，，所以，可知.同理，，.那么有，，，.又因为，，那么.而，，故，因此，那么，，进而可知的周长为.另解：如下图，在上取一点，使得.在和中，，，，因此，从而.在和中，，，，.因此，从而，进而可知的周长为．五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE延长DE至F，使得EF=BC，连接AC.∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°∴∠ABC=∠AEF∵AB=AE，BC=EF∴△ABC≌△AEF∴EF=BC，AC=AF∵BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE.板块二、全等与角度如图，在中，，是的平分线，且，求的度数.如下图，延长至使，连接、.由知，而，那么为等边三角形.注意到，，，故.从而有，，故.所以，.【另解】在上取点，使得，那么由题意可知.在和中，，，，那么，从而，进而有，，.注意到，那么：，故.在等腰中，，顶角，在边上取点，使，求.以为边向外作正，连接.在和中，，，，那么.由此可得，所以是等腰三角形.由于，那么，从而，，那么.【另解1】以为边在外作等边三角形，连接.在和中，，，，因此，从而，.在和中，，，，故，从而，，故，因此.【另解2】如下图，以为边向内部作等边，连接、.在和中，，，，故，而，进而有.那么，故.【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.如下图，在中，，，又在上，在上，且满足，，求.过作的平行线交于，连接交于.连接，易知、均为正三角形.因为，，，所以，，，那么，，故.从而.进而有，.【另解】如下图，在上取点，使得，由、可知.而，故，.在中，，，故，从而，进而可得.而，所以为等边三角形.在中，，，故，从而.我们已经得到，故是的外心，从而.在四边形中，，，，，求的度数.如下图，延长至，使，由可得：，，故.又因为，，故，因此，，.又因为，故，.而，所以为等边三角形.于是，故，那么，从而，所以.如下图，在四边形中，，，，，求的度数.仔细观察，发现角的度数都是的倍数，这使我们想到构造角，从而利用正三角形.在四边形外取一点，使且，连接、.在和中，，，，故.从而.在中，，，故，，从而.而，故是正三角形，，.在中，，故.在和中，，，，故，从而，那么.(河南省数学竞赛试题)在正内取一点，使，在外取一点，使，且，求.如下图，连接.因为，，，那么，故.而，，，因此，故.(北京市数学竞赛试题)如下图，在中，，为内一点，使得，，求的度数.在中，由可得，.如下图，作于点，延长交于点，连接，那么有，，，所以.又因为，所以.而，因此，故.由于，那么，故.【稳固】如下图，在中，，，为三角形内一点，且，，求的度数.如下图，延长交于，那么，.在上截取，连接，那么为等边三角形.在上截取，连接、、，由边角边公理知.在中，因，，那么，易得.由角边角公理知，于是.注意到，故.又由边角边公理知，从而.在中，因，，那么，从而，故.【习题1】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC．(旋转、等腰三角形、等边三角形、线段证明)延长NC至E，使得CE=MB∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠DBC=∠DCB=30°∵△ABC是等边三角形．∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=∠DCN=∠DCE=90°在Rt△DBM和Rt△DCE中，BD=DC，MB=CE，∴Rt△DMB≌Rt△DCE.∴DE=DM，∠1