2023届澳门四校高三数学下学期入学联考试卷附答案解析

届澳门四校高三数学下学期入学联考试卷一．选择题（共15小题）1．若集合M＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，N＝{x|0＜x＜6}，则M∩N＝（）A．[﹣2，4] B．[﹣2，0） C．（0，4] D．（0，6） E．[4，6）2．若多项式f（x）除以x2﹣x﹣6，余式为3x﹣2，则f（3）＝（）A．﹣2 B．0 C．3 D．7 E．93．log9125×log1217×log253×log1712＝（）A．log173 B． C． D．log335 E．log17124．方程的解集为（）A．{﹣1} B．{2，﹣6} C．{﹣1，4} D．{4} E．{3}5．已知a为常数且二次方程4a2x2+2（a+3）x+9＝0只有一个实根，则a＝（）A． B．﹣1或 C． D．或 E．任意实数6．展开式中的常数项为（）A．﹣8 B．8 C．﹣160 D．160 E．17．函数f（x）＝ax2+4x+1（a∈R为常数）在区间（2，4）上递增，则a的取值范围为（）A． B． C． D． E．8．设．不等式的解为（）A． B． C． D． E．9．一直立的圆柱形水箱的内半径为3米，高为8米，目前水深5米．如果将一个半径为2米的球体放入水箱内，且球体完全浸入水中，则水位将上升（）米．A． B． C．1 D． E．10．在等差数列中，第7项是80及第16项是26，则第34项为（）A．﹣6 B．﹣82 C．﹣88 D．﹣198 E．﹣20411．已知点A（3，﹣8）和B（﹣7，4）．通过AB的中点并且垂直于3x﹣4y+14＝0的直线方程为（）A．4x+3y+14＝0 B．3x+4y+14＝0 C．3x﹣4y﹣14＝0 D．4x﹣3y+14＝0 E．4x+3y﹣14＝012．双曲线的离心率是3，则的最小值为（）A．2 B． C． D．4 E．813．设A和B是第二象限中的角，且及，则sin（A+B）＝（）A． B． C． D． E．14．如图所示为函数的图像，其中a和b为常数，则（）A．a＝﹣4及b＝4 B．a＝﹣2及b＝2 C．a＝2及b＝﹣2 D．a＝4及b＝﹣4 E．以上皆非15．点A（﹣2，3）绕原点O顺时针方向旋转90°到点B．点C与点B关于x轴对称．点C向下平移三个单位到点D，则D点坐标为（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（2，0） E．（3，﹣5）二．解答题（共5小题）1．在如图中，抛物线P：x2＝4y的焦点为F．经过焦点F斜率为的直线L1与抛物线P的交点为A和B．另外一条斜率为1的直线L2与抛物线P的交点为C和D，与y轴的交点为M．（a）求焦点F的坐标．（b）求线段AB的长度．（c）若|DM|＝3|CM|，求线段CD的长度．2．已知是等比数列{an}n≥1的前n项和，这里k∈R为常数．（a）求k及an．（b）设，求bn的前n项和Tn．（c）设，求取得最大值n的值．3．已知函数f（x）＝sin（2ωx）﹣2cos2（ωx）的最小正周期为3π．（a）求f（x）的表达式．（b）在△ABC中，若f（C）＝0，且2sin2B＝cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．4．设x，y满足．（a）画出满足以上不等式组的区域．（b）设，求z的取值范围．（c）设t＝x2+y2，求t的最小值．5．有一枚不均匀的硬币，其正面朝上的概率是．（a）连续十次投掷此硬币，求获得最多一次正面朝上的概率．（b）求在第十次投掷才取第一次获得正面朝上的概率．（c）求在第十次投掷取得第三次获得正面朝上的概率．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．若集合M＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，N＝{x|0＜x＜6}，则M∩N＝（）A．[﹣2，4] B．[﹣2，0） C．（0，4] D．（0，6） E．[4，6）【解答】解：因为M＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}＝{x|x≥4或x≤﹣2}，N＝{x|0＜x＜6}，所以M∩N＝{x|4≤x＜6}．故选：E．2．若多项式f（x）除以x2﹣x﹣6，余式为3x﹣2，则f（3）＝（）A．﹣2 B．0 C．3 D．7 E．9【解答】解：根据题意，多项式f（x）除以x2﹣x﹣6，余式为3x﹣2，则f（x）＝m（x）•（x2﹣x﹣6）+（3x﹣2），其中，多项式m（x）为商式，故f（3）＝m（3）•（9﹣3﹣6）+（9﹣2）＝m（3）•0+7＝7．故选：D．3．log9125×log1217×log253×log1712＝（）A．log173 B． C． D．log335 E．log1712【解答】解：log9125×log1217×log253×log1712＝×××＝．故选：C．4．方程的解集为（）A．{﹣1} B．{2，﹣6} C．{﹣1，4} D．{4} E．{3}【解答】解：由原方程得：，∴，∴，解得x＝﹣1或4，∴原方程的解集为{﹣1，4}．故选：C．5．已知a为常数且二次方程4a2x2+2（a+3）x+9＝0只有一个实根，则a＝（）A． B．﹣1或 C． D．或 E．任意实数【解答】解：a为常数且二次方程4a2x2+2（a+3）x+9＝0只有一个实根，则[2（a+3）]2﹣4×9×4a2＝0，即35a2﹣6a﹣9＝0，即（7a+3）（5a﹣3）＝0，解得a＝或．故选：D．6．展开式中的常数项为（）A．﹣8 B．8C．﹣160 D．160E．1【解答】解：根据二项式的展开式：＝，当r＝3时，展开式为常数项，即．故选：C．7．函数f（x）＝ax2+4x+1（a∈R为常数）在区间（2，4）上递增，则a的取值范围为（）A． B． C． D． E．【解答】解：当a＝0时，f（x）＝4x+1在（2，4）上单调递增，符合题意，当a＜0时，函数图象开口向下，对称轴x＝﹣，若函数f（x）在（2，4）上单调递增，则，解得a，故﹣，当a＞0时，开口向上，对称轴x＝﹣＜0，此时函数在（2，4）上单调递增，符合题意，综上，a的范围为a≥﹣．故选：D．8．设．不等式的解为（）A． B． C． D． E．【解答】解：因为，所以原不等式可化为log2（）+2＞0，即log2（2﹣12|x|）＞0，即2﹣12|x|＞1，所以|x|，解得．故选：A．9．一直立的圆柱形水箱的内半径为3米，高为8米，目前水深5米．如果将一个半径为2米的球体放入水箱内，且球体完全浸入水中，则水位将上升（）米．A． B． C．1 D． E．【解答】解：设水位上升h米，则，得h＝．故选：E．10．在等差数列中，第7项是80及第16项是26，则第34项为（）A．﹣6 B．﹣82 C．﹣88 D．﹣198 E．﹣204【解答】解：设该数列为{an}，其公差为d，根据题意，有，解得a1＝116，d＝﹣6，所以第34项为a34＝a1+33d＝116﹣33×6＝﹣82．故选：B．11．已知点A（3，﹣8）和B（﹣7，4）．通过AB的中点并且垂直于3x﹣4y+14＝0的直线方程为（）A．4x+3y+14＝0 B．3x+4y+14＝0 C．3x﹣4y﹣14＝0 D．4x﹣3y+14＝0 E．4x+3y﹣14＝0【解答】解：因为A（3，﹣8）和B（﹣7，4），所以AB的中点D（，），即D（﹣2，﹣2），设与垂直于3x﹣4y+14＝0的直线方程为4x+3y+a＝0，将D点的坐标代入可得：4×（﹣2）+3×（﹣2）+a＝0，解得a＝14，所以所求的直线的方程为4x+3y+14＝0．故选：A．12．双曲线的离心率是3，则的最小值为（）A．2 B． C． D．4 E．8【解答】解：依题意，，则，又a＞0，b＞0，所以＝，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为8．故选：E．13．设A和B是第二象限中的角，且及，则sin（A+B）＝（）A． B． C． D． E．【解答】解：及，A和B是第二象限中的角，则cosA＝，cosB＝，故sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝＝．故选：A．14．如图所示为函数的图像，其中a和b为常数，则（）A．a＝﹣4及b＝4 B．a＝﹣2及b＝2 C．a＝2及b＝﹣2 D．a＝4及b＝﹣4 E．以上皆非【解答】解：由图知，当x＝时，y＝4，所以asin（﹣）+b＝4，即﹣a+b＝4，又函数y的最小值为0，所以a+b＝0，解得a＝﹣2，b＝2．故选：B．15．点A（﹣2，3）绕原点O顺时针方向旋转90°到点B．点C与点B关于x轴对称．点C向下平移三个单位到点D，则D点坐标为（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（2，0） E．（3，﹣5）【解答】解：点A（﹣2，3）绕原点O顺时针方向旋转90°到点B（3，2），因为点C与点B关于x轴对称，则点C（3，﹣2），再向下平移三个单位到点D，则D点坐标为（3，﹣5）．故选：E．二．解答题（共5小题）1．在如图中，抛物线P：x2＝4y的焦点为F．经过焦点F斜率为的直线L1与抛物线P的交点为A和B．另外一条斜率为1的直线L2与抛物线P的交点为C和D，与y轴的交点为M．（a）求焦点F的坐标．（b）求线段AB的长度．（c）若|DM|＝3|CM|，求线段CD的长度．【解答】解：（a）由抛物线的方程可得：焦点F的坐标（0，1）；（b）由题意可知直线L1的方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：x2﹣3x﹣4＝0，显然Δ＞0，x1+x2＝3，y1+y2＝（x1+x2）+2＝；所以|AB|＝y1+y2+p＝+2＝；（c）设直线L2的方程：y＝x+t，设C和D的横坐标分别为x3和x4，联立，整理可得：x2﹣4x﹣4t＝0，Δ＝16+16t＞0，即t＜﹣1，x3+x4＝4，①又因为|DM|＝3|CM|，所以x4＝﹣3x3，②①②可得x3＝﹣2和x4＝6，因此|CD|＝|x4﹣x3|＝8．2．已知是等比数列{an}n≥1的前n项和，这里k∈R为常数．（a）求k及an．（b）设，求bn的前n项和Tn．（c）设，求取得最大值n的值．【解答】解：（a）由题意得到a1＝9﹣2k，a2＝S2﹣S1＝27﹣9＝18，及a3＝S3﹣S2＝54，因为{an}是等比数列，于是，即为54（9﹣2k）＝182，解得k＝，则首项a1＝6，公比q＝3．因此an＝2×3n；（b）因为，所以Tn＝+n+log23•，即为；（c）因为，所以，当n＝2时，函数f（n）取得最大值，且为．3．已知函数f（x）＝sin（2ωx）﹣2cos2（ωx）的最小正周期为3π．（a）求f（x）的表达式．（b）在△ABC中，若f（C）＝0，且2sin2B＝cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．【解答】解：（a）由二倍角公式可得f（x）＝sin2ωx﹣2cos2ωx＝sin2ωx﹣cos2ωx﹣1＝2sin（2ωx﹣）﹣1；因为函数的最小正周期T＝＝3π，所以ω＝，所以f（x）＝2sin（x﹣）﹣1；（b）由，可得．因为C∈（0，π），所以，所以，可得及．又因为，所以2sin2B＝sinA+sinA，即sin2B＝sinA，可得1﹣sin2A＝sinA，即sin2A+sinA﹣1＝0，sinA＞0，因此．4．设x，y满足．（a）画出满足以上不等式组的区域．（b）设，求z的取值范围．（c）设t＝x2+y2，求t的最小值．【解答】解：（a）x，y满足的可行域如图：（b）的几何意义是P（x，y）和原点的直线的斜率．求解3条直线的交点可得A（2，），B（5，）和C（5，﹣1）．那么P在给定区域内变动时，z的最小值可以在的C取得，最大值可在点A处取得，因此﹣≤z≤．z∈[﹣，]．（c）t＝x2+y2的几何意义是点P（x，y）和原点距离的平方．转化为原点到3x+2y﹣13＝0的距离的平方，即（）2＝13，t的最小值为1