平面向量知识点和例题及平面向量知识点归纳

第二章平面向量1.向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。有向线段三要素：起点、方向、长度。3.向量的长度（模）：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作。4.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是任意的。单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量、是两个平行向量，那么通常记作∥。平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量，都有∥。6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量、是两个相等向量，那么通常记作=。7.如图，已知非零向量、，在平面内任取一点A，作=，=，则向量叫做与的和，记作，即。向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。8.对于零向量与任一向量，我们规定：+=+=9.公式及运算定律：①②≤③④10.相反向量：①我们规定，与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作-。和-互为相反向量。②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。③任一向量与其相反向量的和是零向量，即。④如果、是互为相反的向量，那么=-，=-，。⑤我们定义，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。11.向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作，它的长度与方向规定如下：①②当λ＞0时，的方向与的方向相同；当λ＜0时，的方向与的方向相反；λ=0时，=12.运算定律：①②③④⑤13.定理：对于向量（≠）、，如果有一个实数λ，使=，那么与共线。相反，已知向量与共线，≠，且向量的长度是向量的长度的μ倍，即||=μ||，那么当与同方向时，有=；当与反方向时，有=。则得如下定理：向量向量（≠）与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=。14.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。15.向量与的夹角：已知两个非零向量和。作，，则（0°≤θ≤180°）叫做向量与的夹角。当θ=0°时，与同向；当θ=180°时，与反向。如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作。16.补充结论：已知向量、是两个不共线的两个向量，且m、n∈R，若，则m=n=0。17.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。18.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。即若，，则，19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若，则_x_y_L_P2_P_P120.当且仅当x1y2-x_x_y_L_P2_P_P121.定比分点坐标公式：当时，P点坐标为①当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，λ＞0②当点P在线段P1P2的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，λ＜-1；当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，-1＜λ＜0.22.从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，则，其中λ+μ=123.数量积（内积）：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作·即·=。其中θ是与的夹角，（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影。我们规定，零向量与任一向量的数量积为0。24.·的几何意义：数量积·等于的长度与在的方向上的投影的乘积。25.数量积的运算定律：①·=·②（λ）·=λ（·）=·（λ）③（+）·=·+·④⑤⑥26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即。则：①若，则，或。如果表示向量的有向线段的起点和中点的坐标分别为、，那么，②设，，则27.设、都是非零向量，，，θ是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：2013-2014学年度XX学校XX月考卷试卷副标题1、在平面直角坐标系中，角与角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边关于轴对称，已知，则（）A.B.C.D.2、下列命题正确的是（）A.单位向量都相等B.若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C.，则D.若与是单位向量，则3、设是的相反向量,则下列说法一定错误的是()A.与的长度相等B.//C.与一定不相等D.是的相反向量4、设都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是（）A.B.C.且D.且方向相同5、下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是（）A.①②③B.①②C.②③D.②④6、下列命题正确的是（）A.单位向量都相等B.模为0的向量与任意向量共线C.平行向量不一定是共线向量D.任一向量与它的相反向量不相等7、下列说法不正确的是（）A.，为不共线向量，若，则B.若，为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都可以表示为C.若，，则与不一定共线D.8、在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，点F满足,则A.B.C.D.9、如图，在中，，若，则的值为（）A.B.C.D.10、如图，已知，，，，则（）A.B.C.D.11、点为的重心（三边中线的交点）．设，则等于（）A.B.C.D.12、在中，若，则（）A.B.C.D.13、如图，在中，为线段的中点，依次为线段从上至下的3个四等分点，若，则（）A.点与图中的点重合B.点与图中的点重合C.点与图中的点重合D.点与图中的点重合14、在三棱柱中，若，则等于()A.B.C.D.15、如图，正六边形中，（）A.B.C.D.16、已知，且，则等于（）A.B.C.D.17、在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同两点，若，，为正数，则的最小值为A.2B.C.D.18、设两个非零向量与不共线，如果和共线那么的值是（）A.1B.-1C.3D.19、点在直线上运动，，，则的最小值是（）A.B.C.3D.420、已知向量，，则向量与的夹角为()A.135°B.60°C.45°D.30°21、如图，在半径为的圆中，已知弦的长为，则（）A.B.C.D.22、若四边形ABCD是正方形，E是DC边的中点，且，则等于()A.b＋aB.b－aC.a＋bD.a－b23、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B． C．D．24、已知O，N，P在所在平面内，且，，则点O，N，P依次是的（）A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心25、已知平面向量在同一平面内且两两不共线，关于非零向量a的分解有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数，使；③给定单位向量和正数，总存在单位向量C和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使.则所有正确的命题序号是________.26、已知，，则与方向相同的单位向量．27、已知向量，且，则__________．28、如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的取值范围是29、设，，，且，则在上的投影的取值范围是.30、把边长为1的正方形如图放置，、别在轴、轴的非负半轴上滑动．则的最大值是．31、如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，，则________．32、在边长为1的正三角形中，设，，点满足.（1）试用表示；（2）若（，且），求的最大值.33、在边长为1的正三角形中，设，，点满足．（1）试用，表示；（2）若（，，且），求的最大值．34、已知：、、同一平面内的三个向量，其中（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角．PAGEPAGE11参考答案【答案】D2、【答案】C3、【答案】C4、【答案】D5、【答案】A6、【答案】B7、【答案】B8、【答案】B9、【答案】D10、【答案】D11、【答案】B12、【答案】A13、【答案】C14、【答案】D15、【答案】B16、【答案】C17、【答案】A18、【答案】D19、【答案】C20、【答案】C21、【答案】B22、【答案】B23、【答案】D24、【答案】C25、【答案】①②26、【答案】27、【答案】28、【答案】29、【答案】30、【答案】231、【答案】32、【答案】(1);(2).试题分析：(1)由向量加法的运算法则可得即可得结果；（2），换元后，利用基本不等式即可得结果.试题解析：（1）.（2）.33、【答案】（1）；（2）试题分析：（1）借助图形，结合向量的线性运算将分解即可；（2）先求，将化为二次函数的形式，通过求二次函数的最值可得结果。试题解析：（1）如图，结合图形可得。（2）∵，∴，∴，∴，又，∴当时，取得最大值，且最大值为。34、【答案】（1）或；（2）．试题分析：（1）求的坐标，若设出，则需建立关于的两个方程，而条件和恰好提供了建立方程的两个初始条件，只需将它们转化到用表示即可，（2）根据，还需求出的值，由条件与垂直，易得的值，从而得出夹角，从规范严谨的角度来讲，在此之前，一定要交待．试题解析：（1）设由∴或∴或（2），即（※），代入（※）中，，，，考点：平面向量的计算及向量数量积的应用．平面向量一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。如（1）若，则______（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.B.C.D.（答：B）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（答：）；（4）已知中，点在边上，且，，则的值是___（答：0）四．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。五．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）已知，与的夹角为，则等于____（答：1）；（2）已知，则等于____（答：）；（3）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（答：）3．在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：）4．的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：①；②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；③非零向量，夹角的计算公式：；④。如（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）；六．向量的运算：1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；（2）若正方形的边长为1，，则＝_____（答：）；2．坐标运算：设，则：①向量的加减法运算：，。如（1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；（2）已知作用在点的三个力，则