2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第二章 第七讲　函数的图象 学案

第七讲函数的图象

•双基自测SHULlSHlANGJlZlCE

知识梳理

知识点函数的图象

1.利用描点法作函数图象的流程

2.平移变换

α>0∙右移。个单位

y=f(χ)*y=/(X-α)；

”<。左移Ial个单位

b>0,上移〃个单位

y=∕(χ)=/(X)+b.

/)<0,下移出I个单位

3.伸缩变换

O<ω<l,图象上所有点的纵坐标不变，

横坐标伸长为原来的

---------ω

y=NX)3>1,图象上所有点的纵坐标不变，,>=/(ωx)；

横坐标缩短为原来的—倍

ω

A>I,图象L所有点的横坐标不变，

ʌ、纵坐标伸长为原来的4倍、.ʃ..

)二"τ)O<M<1,图象上所有点的横坐标不变="x).

纵坐标缩短为原来的.1倍

4.对称变换

尸危)关边鲤称尸Ki

尸3关如称尸q

-ZV、关于原点对称_〃\

y-Kχ)--------->y--~∕(-ɪ).

5.翻折变换

M)去鬻翩隘疆据T象产皿

y=/⑴将X轴下方图象翻乐上去y=mi

归纳拓展

1.函数对称的重要结论

(1)若.A"z+x)=∕O-χ)恒成立，则y=∕(x)的图象关于直线X=m对称.

(2)设函数y=∕(x)定义在实数集上，则函数y=7(χ-附与x)(〃?〉0)的

图象关于直线x=〃z对称.

(3)若/(α+jr)=χ/?-x),对任意XGR恒成立，则y=∕ζx)的图象关于直线X=

,对称.

(4)函数y=*α+x)与函数y=/S—x)的图象关于直线X=-ɪ■对称.

(5)函数y=√(x)与y=√(2α-光)的图象关于直线x=a对称.

(6)函数y=∕(x)与y=28-∕(2α-x)的图象关于点(4,份中心对称.

2.函数图象平移变换八字方针

(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量.

⑵“上加下减”，要注意加减指的是函数值.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)

(1)函数y=∕(x+l)由y=A2x)左移1个单位得到.(×)

(2)函数y=/(l—x)的图象,可由y=/(—x)的图象向左平移1个单位得到.(X)

(3)当x∈(0,+8)时，函数y=]∕(χ)∣与y=川χ∣)的图象相同.(X)

(4)函数y=∕(x)与y=-∕U)的图象关于原点对称.(×)

(5)若函数y=Λx+2)是偶函数，则有.*x+2)=A—%-2).(义)

(6)若函数y=7(x)满足y(x+l)=∕(χ-1),则函数y=∕(x)的图象关于直线x=1

对称.(X)

题组二走进教材

2.(必修1P85练习Tl改编)函数y=k>g"X与函数V=IOglX的图象关于χ轴.

a

X

对称；函数y="，与y=(!)的图象关于y轴对称;函数y=k)g2X与函数y=2*

的图象关于y=x对称.

3.(必修1P239T2改编)为了得到函数兀T)=IOg”的图象，只需将函数g(x)=

log21的图象向上-平移3个单位.将函数於)=log2x左移2个单位得到解析式

为y=Iog2(X+2).

4.(必修lPn5Tl改编)已知图甲中的图象对应的函数y=∕(x),则图乙中的图

象对应的函数在下列给出的四式中只可能是(C)

A.γ=AW)B.y=∣*x)∣

C.γ=∕-M)D.γ=-ΛM)

［解析］由图可知当XWo时，y=J(x),故选C.

5.(必修IP159Ti改编)函数yu)的图象向右平移1个单位长度，所得到的图

象与函数的图象关于y轴对称，则於)=(D)

A.ev+1B.ev^1

C.e^x+lD.eɪɪ

［解析］依题意风外的图象可由y=e，的图象关于y轴对称后，再向左平移1

个单位长度得到∙.∙∙y=ejr关9^称y=e「向左平段H位长度y=e"∣)=e-

xτ,.√U)=erτ.

题组三走向高考

_JLTr_I

6.(2022∙全国甲卷涵数y=(3'-3r)cosX在区间［一展目的图象大致为(A)

［解析］解法一(特值法)：取尢=1,则y=(3—Wjcosl=∙∣cos1>0；取x=-1,

则ʃ=-3jcos(—1)=—∣cos1<0.结合选项知选A.

解法二：令y=J(x),则α—x)=(3^v-3v)cos(-χ)=—(3*—3^v)cosx=-fix),

所以函数y=(3^v-3r)c0sX是奇函数，排除B,D；取x=l,则y=(3—g)cos1

Q

ɪɜeos1>0,排除C.故选A.

7.(2015∙北京，7)如图，函数./U)的图象为折线Ae3,则不等式兀r)»log2(x

+1)的解集是(C)

A.{x∣-l<x≤O}B.{Λ∣-1≤X≤1}

C.{Λ∣-1<X≤1}D.{x∣-l<r≤2}

［解析］作出函数

y=log2(x+l)的图象,

如图所示：

其中函数/U)与y=log2(x+l)的图象的交点为0(1,1),结合图象可知

∕x)21og2(r+l)的解集为{月一lαWl},故选C.

•互动探究

考点函数的图象

考向1利用图象变换作图——自主练透

2・例1作出下列函数的图象：

(1)尸(或

(2)y=∣χ-2∣∙(x+l);

(3)γ=∣log2(x+l)∣;

(4)y=［x］,龙5,5),［x］表示不超过X的最大整数.

［分析］(1)先由函数的奇偶性画出y轴右侧图象，再画左侧；

(2)先对绝对值分类讨论，将原函数化成分段函数的形式，再分段作图即可；

(3)将y=k)gιr的图象向左平移1个单位fy=log2(x+l)的图象f将y=log2(x

+1)的图象位于X轴下方的部分向上翻折fy=∣l0g2(x+l)∣的图象；

(4)先化简解析式，再画出图象.

zXX

［解析］(1)先作出函数y=(j的图象，保留函数y=g)的图象中χ20的

部分，再作出函数y=(9的图象中χ>0部分关于〉轴的对称部分，即得函数y

=Hl的图象，如图实线部分.

(2)先化简，再作图.

%2—X-2,x22,

图象如图实线所示.

.—X2+X+2,XV2,

y=lx-2l∙(x+l)

(3)利用函数y=log2%的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示.

y=llog2(x+l)l

’一5,x∈[-5,—4),

—4,Λ∈[-4,—3),

—3,x∈[-3,—2),

—2,x∈[-2,—1),

—1,x∈[―1,0),

(4)根据题意，y=[x]=<

0,x∈[0,1),

1,x∈[l,2),

2,x∈[2,3),

3,Λ∈[3,4),

、4,x∈[4,5),

故函数图象如图所示∙

名帅点拨MINGSHIDIANBO

函数图象的画法

(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根

据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.

(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数

来画图象.

(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻

折、对称等变换得到，可利用图象变换作出.

易错提醒：(1)画函数的图象一定要注意定义域.(2)利用图象变换法时要注

意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与

伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

考向2识图与辨图——师生共研

角度1知式选图

例2(2020・浙江，4)函数y=xcosx+sinx在区间[―兀，兀]上的图象可能是(A)

［解析］设√(x)=XCoSX+sinx,"x)的定义域为R.因为/一元)=—xcos(一尤)+

sin(-Λ)=~/%),所以y(x)为奇函数，排除选项C,D.又T(Tr)=Ttcosπ÷sinπ=—π<0,

排除选项B,故选A.

角度2知图选式

例3(2022.全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间［—3,3］的大致

图象，则该函数是(A)

-Λ3+3xXi-X

ʌ--『+1b∙>,=√+T

2xcosX2sinx

c∙y=KΓD∙尸壬

［解析］对于选项B,当X=I时，>-=0,与图象不符，故排除B；对于选项

D,当x=3时，γ=∣sin3>0,与图象不符，故排除D；对于选项C,当x>0时,

y=V+1W―1一=cosxWl,与图象在y轴右侧取高点大于1不符，所以排除

C.故选A.

角度3知图选图

例4(2023.荆州质检)若函数y=∕(x)的曲线如图所示，则函数y=*2—x)的曲

线是(C)

[解析]解法一：先关于y轴对称，得到y=∕(一χ)的图象，再向右平移两个

单位，即可得到y=/t—(x—2)]=A2—%)的图象.所以答案为C.(注意，左右平移

是针对字母X变化，上下平移是针对整个式子变化).

解法二：由|O)=O知y=/(2—x)的图象过点(2,0),排除B、D.又人1)=/(2—

1)>0即y=/(2—x)在X=I处的函数值大于0,排除A,故选C.

名帏点拨MINGSHIDIANBO

函数图象的识辨可从以下几方面入手

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上

下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

〔变式训练1〕

(1)(角度1)(2022•江西九江模拟涵数y(x)=sinx∙lnN^FT—九),了曰一2兀，2π]

的图象可能是(A)

（2）（角度2）（2021・浙江卷）已知函数/）=f+",g（x）=SinX,则图象为如图的

函数可能是（D）

A.y=*x)+g(x)—"

B∙y=/(x)—g(X)一(

C.y=∕U)g(χ)

（3x,χ≤l,

（3）（角度3）（2022•四川宜宾二中一诊）已知函数Λx）=（log,χ^>],则函数尸

7（1—尤）的大致图象是（D）

[解析](1)因为x∈[-2兀，2兀],所以定义域关于原点对称，/(x)-ʌ-x)=Sin

x∙ln(-∖∕x2÷l—x)+sinX∙1Π(ΛJΛ2÷1÷χ)=sinX∙1Π[(ΛJX2÷1—Λ)∙(-∖∕Λ2÷1÷x)]=0,所

以yu)=八一%),所以yu)为偶函数，排除D.

解法-(特值法)：周=Sin同ʌʃe+1-W=In[d(I)+1甘＜

Inʌj.+1j—2=In1=°，排除B.同理，4Nj<0，排除C.故选A.

解法二：当元金(0,兀)时，sinx>0,Λ2÷1<(X÷1)2,所以Λ∕X2+1—九<1,所以

1Π(ΛJX2÷1—x)<0,所以“r)=SinX/n(ʌ/f+1—%)<0,排除B、C.故选A.

(2)易知函数应x)=f+(是偶函数，g(x)=sinx是奇函数，选项A,ʃ=/(%)+

g。)一"=x2+sinx为非奇非偶函数，排除A；选项B,j=∕x)-^(Λ)-∣=x2-sin

X也为非奇非偶函数，排除B；因为当x∈(0,+8)时，兀C)单调递增，且兀0>0,

当x∈(θ,舒时，g(x)单调递增，且g(x)>O,所以y=∕(x)g(x)在(0,习上单调递增，

由图象可知所求函数在(0,胃上不单调，排除C.故选D.

Y的草图，令函数於)的图象关于y

轴对称，得函数式一X)的图象，再把所得的函数式一X)的图象，向右平移1个单

位，得到函数y=∕∏-χ)的图象(图略)，故选D.

-3'^x,Xe0,

解法二：由已知函数7(x)的解析式，得y=∕∏-χ)=<1故

IOgl(I—X),x<0,

该函数过点(0,3),排除A；过点(1,1),排除B；在(一8,0)上单调递增，排除

C.选D.

考向3函数图象的应用——多维探究

角度1函数图象的对称性

例5(1)(2018.课标全国川，7)下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于

直线x=l对称的是(B)

A.y=ln(l-x)B.y=∖n(2-x)

C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

(2)已知函数12%+1)是奇函数，则函数y=A2x)的图象关于下列哪个点成中

心对称？(C)

A.(1,0)B.(-1,0)

吗0)D.(-ɪ°)

［解析］解法一:y=lnx图象上的点P（Lo）关于直线x=l的对称点是它本身,

则点P在y=lnx图象关于直线x=l对称的图象上，结合选项可知，B正确.故

选B.

解法二：设0（x,），）是所求函数图象上任一点，则其关于直线x=l的对称点

P（2~x,y）在函数y=lnX图象上.

.∙.y=ln（2-x）.故选B.

（2）*2x+1）是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而_X2x）的图象是由fi,2x

+1）的图象向右平移T个单位得到的，故关于点传，o）成中心对称.

［小题巧解］用特殊点的对称性解决函数图象的对称性问题.

角度2利用函数图象研究函数性质

例6已知函数«r）=x|x|-2x,则下列结论正确的是（C）

A.Kr）是偶函数，单调递增区间是（0,+∞）

B.凡r）是偶函数，单调递减区间是（一8,1）

C.火光）是奇函数，单调递减区间是（一1,1）

D.火X）是奇函数，单调递增区间是（一8,0）

［解析］将函数加:）=小|一2X去掉绝对值，得

x1-2x,Xe0,

fix)=｝、

%2—2Λ,X<0,

画出函数於）的图象，如图所示，观察图象可知，函数人幻的图象关于原点

对称，故函数Xx）为奇函数，且在（一Ll）上单调递减.

角度3利用函数图象研究不等式

例7设奇函数人x）在（0,+8）上为增函数，且八1）=0,则不等相户

ʌ

<0的解集为（D）

A.(-1,O)U(1,+∞)

B.(—8,-1)U(O,1)

C.(—8,-1)U(1,+∞)

D.(-1,O)U(O,1)

［解析］:一为奇函数><o*1<o台状χ)<o,由题意可知yω的大

ʌʌ

致图象如图所示，所以所求不等式的解集为(-1,0)U(0,1).

［引申］若将“奇函数yw”改为“偶函数/U)”,不等式a<o的解集

为(-8,一i)iJ((U).

名帅A披MINGSHIDIANBO

(1)利用函数的图象研究函数的性质

对于已知解析式，易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研

究：

①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；

②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；

③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.

(2)利用函数的图象研究不等式思路

当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化

为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解.

〔变式训I练2〕

(1)(角度1)已知/(x)=In(I-X),函数g(x)的图象与7U)的图象关于点(1,0)对称,

则Ig(X)的解析式为义(X)=—ln(x—1)—.

⑵(角度1)设函数y=/2的定义域为实数集R,则函数y=ΛxT)与y=∕∏

—X)的图象关于(D)

A.直线y=0对称

B.直线X=O对称

C.直线y=l对称

D.直线X=I对称

(3)(角度2)(多选题)已知函数"r)=∣lgx∣,则(BD)

A..大幻是偶函数

B./U)值域为［O,+∞)

C.火x)在(0,+8)上递增

D./U)有一个零点

(4)(角度3)函数凡r)是定义在［-4,4］上的偶函数,其在［0,4］上的图象如图所示,

那么不等式撼<0的解集为(二|二二①(1」2_.

［解析］(1)设P{x,y)为函数y=g(x)上任意一点，则点P(X,y)关于点(1,0)

的对称点Q(2—X,—y)在函数y=y(x)图象上，即一y=√(2—九)=ln(χ-1),所以y

=—ln(χ-l),所以g(x)=-ln(χ-l).

(2)解法一：设I=X—1,则y=√⑺与y=7(一。，关于t=0对称，即关于X=I

对称.故选D.

解法二:1)与y=∕U-∙χ)的图象分别由y=∕(x)与y=/(—x)的图象同时

向右平移一个单位而得，

又y=∕(χ)与>=.*一x)的图象关于y轴对称，所以y=«x—l)与y=∕U-∙χ)的

图象关于直线X=I对称.故选D.

(3)画出√(x)=∣lgx∣的函数图象如图，由图可知，/U)既不是奇函数也不是偶函

数，故A错误；,/(X)值域为［0,+∞),故B正确；在(0,1)上单调递减，在(1,

+8)上单调递增，故C错误；7U)有一个零点1,故D正确，故选BD.

(4)在(0,另上,y=cosx>0,在住4)上,y=cosx<0.由於)的图象知，在(1,7

上，坐\<0.因为./W为偶函数，y=cosX也是偶函数，所以y=强!为偶函数,

CU5ʌvθɔʌ

所以黑的解集为(一去T)小2)

•素养提升

利用教形结合思想解题

例8(例16•课标II,12)已知函数於)(x∈R)满足e-x)=2—兀¥),若函数y=

犬+］

二Γ^与y=7U)图象的交点为(无1，%)，S,”)，…，(∙‰,»”)，则g∙+v)=(B)

ʌi=1

A.O