2022-2023学年湖北省黄冈市高二下学期4月联考数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省黄冈市高二下学期4月联考数学试题

一、单选题

1.已知直线4：(加-2)x-3y-1=。与直线/2：mx+(m+2)y+l=。相互平行，则实数6的值是()

A.-4B.1C.-1D.6

【答案】A

【分析】根据直线平行则它们的法向量也互相平行可解，需要验算.

【详解】∕1：(m-2)x-3y-1=O,.∙.n1=(m-2,-3),

I2:λ∕ιx+(m÷2)y÷l=O,/.n2=(m,∕π÷2),

nJln2,:.(m-2)(∕n÷2)=-3m,

解之：机=-4』经检验〃z=-4

故选：A.

2.已知函数y=4'(x)的图象如图所示(其中/(X)是函数/O)的导函数)，则下面四个图象中，

y=∕(χ)的图象大致是()

y↑

y↑y

ʌV√Q∖2bT尹V

4IA

C.ZPJ一D._-∕∖/

/O1X/DlL

【答案】C

【分析】先利用函数y=Mr'(X)的图象求得函数/(χ)的单调区间,进而得到正确选项.

【详解】由题给函数y=0∙'(χ)的图象，可得

当χ<-ι时，χf'ω<o,则r*)>o,则/(χ)单调递增;

当一l<x<O时，√(x)>0,则J"(x)<O,则/(χ)单调递减；

当O<xvl时,xf'(x)<0,则:(x)<0,则。工)单调递减;

当x>l时，√(x)>0,则/'(x)>0,则f(χ)单调递增；

则/(χ)单调递增区间为(F,T),(l,+∞);单调递减区间为(-1,1)

故仅选项C符合要求.

故选：C

3.正项数列｛qJ的前〃项和为S,,,且S5=10,Sio=50,若直线L3x+4y+4τ+4M-3=0("∈N)与

圆C:(x-l)2+y2=WU(“,>0)相切，则Su=()

A.90B.70C.120D.100

【答案】C

【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，由直线与圆相切可得2αz,=α,τ+αjl+∣,即可判断数列也｝为

等差数列，根据等差数列的前〃项和性质即可求得几的值.

【详解】圆C的圆心为(1,0),半径r=∣q,,由直线/：3彳+4丫+,%+4用-3=0(〃€武)与圆相切得：

回、，，八、K"⅜∙,4,gg∙⅛∙B+O+%τ+α,H∣-3∣____22Crl

圆心(1,0)到直线/的距离d=j--------Λ'~[=r=-a„,整理得—%=。”,即

√32+42555

2¾=⅛-∣+¾÷∣>

所以｛%｝为等差数列.

在等差数列｛%｝中，Ss，S10-S5,九-5K)成等差数列，

所以2(S∣O-S5)=S5+S∣5-SUI,贝Ij2x(50-10)=10+S--50,BRS15=120.

故选：C.

4.已知函数/。)=太3一]/-〃比不，则函数/(幻在(0,÷∞)上单调递增的一个充分不必要条件是()

4422

A.a<——B.a?—C.a<-D.a≤-

9933

【答案】A

【分析】根据题设条件转化为(。)No在(。，+8)上恒成立，即α≤3d-3f在(。,+8)上恒成立，令

g(x)=3d-3χ2,χ>0,利用导数求得g(x)单调性和最小值，结合题意，即可求解.

3

【详解】由函数f(x)=χ3-Jχ2-α[nχ,可得函数/(x)的定义域为(0,+∞),

且尸(X)=3χ2一3χ,,

X

因为函数f(X)在(0,+8)上单调递增，即/'(X)≥0在(0,+8)上恒成立，

即3/-3X-4≥0在(0,+∞)上恒成立，即ɑ≤3√-3X2在(0,+∞)上恒成立，

X

令g(x)=3χ3-3χ2,χ>o,可得/(χ)=9χ2-6x=3x(3x-2),

ɔ

当x∈(0,.时，g'(χ)<O,g(χ)单调递减；

当X€(§,+8)时，g,(x)>O,g(x)单调递增，

所以g(x)mm=g(l)=-1,所以〃？

结合选项，可得时函数/(X)在(0,+8)上单调递增的一个充分不必要条件.

故选：A.

5.新高考数学中的不定项选择题有4个不同选项，其错误选项可能有。个、1个或2个，这种题型

很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握原理、内化方法、举

一反三”的教考衔接要求.若某道数学不定项选择题存在错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要

求的4个不同选项的排列方式共有()

A.24种B.36种C.48种D.60种

【答案】B

【分析】当错误选项恰有1个时，直接全排列即可；当错误选项恰有2个时，利用插空法求解.最后

将两种情况相加即可.

【详解】当错误选项恰有1个时，4个选项进行排列有A：=24种；

当错误选项恰有2个时，先排2个正确选项，再将2个错误选项插入到3个空位中，有A；A；=12种.

故共有24+12=36种.

故选：B.

22

6.如图，在平面直角坐标系XOy中，已知椭圆C∣：∙+∖=ι(4>4>o)与双曲线c?：

a∖4

22

）有相同的焦点

±%=13>0,b2>0F1,G的渐近线分别交G于A，C和8,。四点，若多

边形A8ECE>G为正六边形，则Cl与G的离心率之和为()

【答案】C

【分析】结合正六边形的几何性质以及离心率即可求出结果.

【详解】因为多边形耳为正六边形，设正六边形的边长为机，

所以tanN806=石=g,=2,

F∖F,2mrzlr-

・•・%二4J二"=---h=｛3-T,.∖ec+ea=^÷1,

'AFl+AF2"7+√3"?JQ

故选：C.

7,设等比数列｛4,,｝中，/，/使函数/(x)=V+3%x2+/x+d在X=T时取得极值0,则为的值是

()

A.±√3SE±3√2B.√J或3石C.±3√2D.3√2

【答案】D

【分析】由极值点和极值可构造方程组求得生，%,代回验证可知,为=：满足题意；结合等比数列性

质可求得结果.

2

【详解】由题意知：f'(x)^x+6aix+a7,

八)在1处取得极值…M))UM步°，

%=2

解得:或

当%=1,%=3时，∕,(X)=3√+6X+3=3(X+1)2≥0,

∖/(x)在R上单调递增，不合题意；

,2

当为=2,a7=9时，∕(x)=3X+12X÷9=3(X÷1)(X÷3),

・，.当x∈(-00,-3)∣(-1,+∞)时，∕<x)>0；当x∈(-3,-l)时，r(x)<O;

∖/(X)在(f,—3),(T,+∞)上单调递增，在(—3,7)上单调递减，

.X=T是〃％)的极小值点,满足题意；

,

..aj=a3a1=18,又〃5与生，%同号，二%=3&-

故选：D.

8.若存在/4-1,2],使不等式不+卜2-1)1政玄+62%-2成立，则。的取值范围是()

e2

A.B.⅛)

2e

【答案】D

22

【分析】x0+(e-l)l∏fl>∙^-+e∖-2«(e-l)ln^≥^-2,令看=人构造函数

/(0=(e2-∣)∣nr-2∕+2,从而问题转化为存在小ɪɪ,使得/C)≥0成立.

求导判断单调性求得当l≤t≤e?时，∕ω≥0,进而得到=Ve?且=≥1,即可求解.

e^e

22

[详解]⅞+(e~—1)InQ≥—ξ-+ex0—2O(e—1)Ina-(e—-l)x0≥2

<=>(e2-l)l∏67-(e2-ɪ)ɪne⅞≥--2<^>ie2-∖]∖n-≥--2

令三=/,βp(e2-l)ln∕-2r+2≥0,

因为∙⅞e∣-l,2],所以/£fr,

_e_e_

令∕Q)=(∕-Dlnf-2f+2.

则原问题等价于存在fe[0,∙⅛],使得∕C)≥0成立.

_e~e

e2-ɪ(e~—1)—2/

/⑺=JL-2=ʌ——>一

tt

令/'Q)<0,即(e2-l)-2f<0,解得

9[

令/")>0,即(e?-l)-2f>0,解得O<f<告1,

(2-l^lCe2-I、

所以/⑺在0e,--上单调递增，在%一,+8上单调递减.

又因为/⑴=OJ©)=(，-I)Ine2—2e2+2=2e2—2—2e2+2=0

-e2—12

而τ71<-------<e，

2

・・・当l≤∕≤e?时，∕ω>0.

若存在fe使得/⑴20成立.

ee

只需彳≤e?且=≥1,解得α4e4且。≥1,

eee

所以,4α≤e4.

e

故。的取值范围为I',1.

e

故选：D

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数

之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

二、多选题

9.下列四个关系式中，一定成立的是()

l

A.A^l=A-ɪB.A：=〃A口C.3C；-2C；=I48D.C；+C；+C：++C：°=328

【答案】BC

【分析】根据排列数的计算可判断A,B,根据组合数的计算以及性质可求解C,D.

.(n-l)!.(n-1)!ι

【详解】^'：=T一々,故A错误，n^：：=nj_4=∙r%t=A;,故B对，

(zɪ-/n)!(n-my.[n-m)∖Γ

3C^-2C;=3χ^^-2χ型=168-20=148,故C对，

3×2×12x1

由M+c>τ=c2可得:c：+c；+c：++c：o=-i+c；+C+c：++eʒɑɪeʌ-1=329,故D错误

故选：BC

10.下列命题埼用的是()

A.若方程/+：/+〃ɑ-2»+3=0表示圆，则机的取值范围是(7》,-&)(√2,-κo)

B.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和X轴都相切，则该圆的标准方程是

(x-l)2+(y-l)2=l

C.已知点P(x,y)在圆C"2+V-6x-6y+14=0,予的最大值为1

22

D.己知圆Clιx+∕-2x-6y-l=0;filC2ιx+∕-10Λ-12γ+45=0,圆G和圆G的公共弦长为

2√7

【答案】ABC

【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件可构造不等式求得A错误；设圆心C(f,l)(f>0),利

用直线与圆相切可构造方程求得圆心坐标，由此可得B错误；将:可看作点P(χ,y)与坐标原点连线

的斜率，根据切线方程的求法可求得上的最大值，知C错误；两圆作差可得公共弦所在直线方程，

X

由圆的一般方程确定圆心和半径，由垂径定理得公共弦长，知D正确.

【详解】对于A,若该方程表示圆，则裙+4T2>0,解得：m<-2√Σ或〃?>2应，

即m的取值范围为(7,—2√Σ)u(2√Σ,+∞),A错误；

对于B,圆C的半径为1且与X轴相切，；.设圆心C(f,l)(f>0),

圆心C到直线4x-3y=0的距离4=与回=1,解得：r=2或f=-g(舍)，

.∙.圆心C(2,l),半径为1,•••圆C的标准方程为(x-2『+(y-l)2=l,B错误；

对于C,"可看作点P(χ,y)与坐标原点连线的斜率，

由圆的方程可知：圆心C(3,3),半径r=gj36+36-56=2,

当过原点的直线与圆U∕+y2-6χ-6y+14=0相切时，可设其方程为：y=kx,

••・圆心C到直线y=H的距离d=gU=2,解得：卜=9主2

病+15

工的最大值为9+2«，C错误；

X5

+6

对于D,⅛K<-^-ιζ-'=θ°得∙∙4X+3―3=。，

[x2+y2-IOx-12y+45=0

即两圆公共弦所在直线方程为：4x+3y-23=0；

由圆Cl方程知：圆心CI(1,3),半径r=；j4+36+4=VTT,

•••圆心Cl到直线4x+3y—23=0的距离d=林+丁.=2,

两圆的公共弦长为2折二7^=2√7,D正确.

故选：ABC.

II.已知正方体ABC。-AAGA的棱长为2,M为。。的中点，N为正方形ABCO所在平面内一动

点，则下列命题正确的有（）

D）_______________C1

"

:'

Q、

,•,、

丫

/∖7一

、N

A.若MN=2,则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为兀

B.若MN与平面ABC。所成的角为方，则N的轨迹为圆

C.若N到直线8B∣与直线OC的距离相等，则N的轨迹为抛物线

D.若AN与48所成的角为g,则N的轨迹为双曲线

【答案】BCD

【分析】设MN中点为从DM中点为。，连接P。，计算出PQ可知P的轨迹为圆可判断A；根据

已知算出。M可判断B；根据抛物线定义可判断C；以D4、DC、。口所在直线分别为X轴、y轴、

Z轴，利用向量的夹角公式计算可判断D.

【详解】对于A,设MN中点为H,OM中点为Q,连接HQ,则"Q//ZW,且HQ=g0N,

如图，若MN=2,则所以OV2=MM-£>”=4-1=3,ON=JL则HQ=乎，所以点H的轨迹

是以。为圆心，半径为且的圆，面积S="?=当，故A错误；

24

Z

OTC1

则“v-兀-3，所以N的轨迹是以。为圆心，半径

tan—

3

为立■的圆，故B正确;

3

对于C,点N到直线B片的距离为8N,所以点N到定点B和直线Z)C的距离相等，且B点不在直线

OC上，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确;

对于D,如图，以D4、OC、OR所在直线分别为X轴、y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，设N(X,y,0),

O1(0,0.2),A(2,0,0),8(2,2,0),

D、N∙AB的|

所以AN=(X,y,-2),AB=(0,2,0),cos60

DMAB-√√+y2+4×2^2

化简得3y2-∕=4,B[JT-T所以N的轨迹为双曲线，故D正确;

故选：BCD.

V*

12∙对于函数小)=贰，下列说法正确的是()

A./(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增

当VΛ时，

B.0<%2<1x∣∙Inx2>x2∙InX1

C.若函数y=f(W)-上有两个零点，则&<0

2

D.设g(x)=x+α,若对VxeR,上2∈(l,+∞),使得g(xJ=y(Λ2)成立，则α2e

【答案】BD

【分析】利用函数的定义域判断A选项的正确性；利用/(x)的单调性来判断B选项的正确性；结

合y=∕(W)的图象来判断C选项的正确性；通过求/(X)和g(x)在给定区间上的取值范围来判断D

选项的正确性.

【详解】对于A选项，f(X)=丘的定义域为(0,l)∣(1,—),所以A选项错误.

对于B选项，f(M=(InjV广当OVXVl时，/(x)<0,f(x)递减.

由于0<x1vz<ι,所以,

Inx1Inx2

由于In玉VOJn9<O,(lnx1)∙(lnx2)>O,

所以由1⅛>舟两边乘以得Inx2>X2Inx,,所以B选项正确•

对于C选项，令y=f(∣H)-k=0J(IH)=&,

由于"")=荔尸'所以在区间(°」)，(Le)J(X)<°J(x)递减；

在区间(e,E)J(X)>Oj(X)递增.

当O<x<l时，/(χ)=-^-<0;当x>l时，/(χ)=-^->0;f(e)=e.

InxInx

函数y="∣χ∣)是定义域为(—,-1)5-1，。)5。，1)51，”)的偶函数.

由此画出y=f(W)的图象如下图所示，

由图可知，直线y=e与y=∕(∣x∣)的图象有两个交点，即当jt=e时，

函数y=f(∣χ∣)j有两个零点，所以C选项错误.

对于D选项，由上述分析可知，x2∈(l,+χ>),则g(x2)e[e,+∞),

XIeR,g(xj",要使'对％eR,⅛e(1,+∞),使得g(%)=f伍)成立”，

则需"Ne,所以D选项正确.

故选：BD

【点睛】利用导数研究函数的单调性，首先要求函数的定义域，单调性必须在定义域这个大前提下

进行求解.求解恒成立、存在性问题，可转化为求最值或取值范围来进行求解.

三、填空题

13.在平行六面体ABCO-ABCA中，E,F分别是棱GR,Bq的中点，记AB=°,AD=b,AAt=c,

则EF等于(用a，b.C表示).

【分析】连接C/,利用空间向量的线性运算求解.

【详角箪】连接G尸，Ef=ECl+ClP=^AB+ClBt+BtF=^a-b-^c,

故答案为：—<2—⅛——C

22

22

14.已知双曲线1=10>0)的右焦点F?与抛物线f=2px(p>0)的焦点F相同，且过点

∕,(√6.1),则点Q(1,-2√Σ)到抛物线的焦点厂的距离I=.

【答案】3

【分析】先求出双曲线的方程和右焦点坐标，再求出抛物线的焦点坐标和准线方程，即得解.

22

【详解】因为双曲线,-£=1e>0）过点（而,1）,

所以1一A=L所以"'I,得b=∣.

又因为/=3,所以〃=班.所以双曲线的半焦距C=百斤=2.

所以双曲线的右焦点心为（2,0）,

所以抛物线的焦点尸为（2,0）,准线方程为X=-2.

所以点。（1,-20）到抛物线的焦点F的距离IQq="27）2+/I=3.

故答案为：3

15.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体

积为36兀的球面上，若圆柱的高为2,则圆锥的侧面积为.

【答案】4娓Tt

【分析】根据题意画出该几何体的轴截面，如图，设。是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线,

求出球的半径，从而可求出。瓦QC,进而可求得圆锥的侧面积.

【详解】其中，。是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，

4

由题意可知铲K=36兀，解得R=3,

由于圆柱的高为2,OD=∖,DE=3-1=2,OC=JF二7=2点，

母线EC=J2-8=26,

圆锥的侧面积为S=πDCEC=2√2×2√3π=4√6π.

故答案为：4›∕δπ

16.已知函数/(x)的定义域。为(-8,0)U(O,内)，/(x)在(y,0)上单调递减，且对任意的

xl,x2^D,都有/(痞)=/(石)+/伍)-1,若对任意的XG(I,+∞),不等式/(㈤-F(InX)⑴-1

恒成立，则实数。的取值范围是.

【答案】a>-^a<--

ele

【分析】利用特殊值法求/(1)=1,/(-1)=1,利用奇偶函数概念研究/(X)的奇偶性，再利用单调

性化简不等式，参变分离、构造新函数法，再利用导数的性质进行求解即可.

【详解】令王=々=1，W∕(l)=∕(l)+∕(1)-1,得/(1)=1,

令*=*2=-i,得"l)=2∕(τ)-l,则/(T)=I,

令XI=X(Xe。)，X2=-1,有"-x)=∕(x)+∕(-I)-1,得〃-X)=/⑴，

又函数/(x)的定义域。为(-8,0)U(0,茁)关于原点对称，所以/(x)是偶函数，

因为/(x)在(-。,0)上单调递减，所以f(x)在(0,+8)上单调递增.

不等式〃")一/(InX)1可化为/(G)>∕(lnx),

则有/(阿)>川InX

因为函数"χ)在(0,+8)上单调递增，所以网>MM，

又x>l,所以IHX>lnx,即时>邛，

设MX)=((X>i),则|。|>〃(X)g,

因为“(x)=L詈，故当Xe(I,e)时，A,(x)>O,MX)单调递增，

当x∈(e,+α?)时,Λ,(x)<O,MX)单调递减，

所以〃(x)≤∕z(e)=1,所以时>1,所以a>g或α<-'.

故答案为：a〉,或“<-L

ee

【点睛】关键点点睛：先判断出函数的奇偶性，进而判断函数的单调性，通过构造新函数利用导数

的性质进行求解是解题的关键.

四、解答题

17.某兴趣小组有9名学生，若从这9名学生中选取3人，且选取的3人中恰好有一名女学生的概

率哈

(1)该小组中男生、女生各有多少人？

(2)9名学生站成一排，要求男学生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？(要求用数字作答)

【答案】(D男生4人，女生5人

(2)432(X)

【分析】(1)设该小组中男生有X人，则女生有(9-x)人，然后根据题目提供的概率列方程求解；

(2)第一步:将4名男生平均分成2组；第二步:5名女生站好队，然后将2组男生在相邻女生间及

女生队列的两端共6个位置中任取2个位置排列；第三步:2组男生中每组男生排列，最后利用分步

乘法计数原理可得答案.

数原理可得答案

【详解】(1)设该小组中男生有X人，则女生有(9-x)人，

从这9名学生中选取3人，且选取的3人中恰好有一名女学生的概率是三，

14

.cy=5

"C；一14'

解得x=4,

即男生有4人，女生有5人.

(2)第一步：将4名男生分成2组，每组2人，共有*=3种；

第二步：5名女生站好队，然后将2组男生在相邻女生间及女生队列的两端共6个位置中任取2个

位置排列，共有A；A：=36()()种，

第三步：2组男生中每组男生排序，共有(AJ=4,

故一共有3x3600x4=43200种方法.

18.设曲线〃X)=X"〃eN")在点(1,1)处的切线/与X轴的交点的横坐标为斗,令q=Ig⅞.

⑴若数列｛%｝的前〃项和为S“，求为;

b

(2)若切线/与)，轴的交点的纵坐标为力,bn=-yn,cn=bn-2∙∙,求数列｛%｝的前"项和7”.

【答案］⑴—2

⑵？；,=(〃—1)x2"“+2

【分析】(1)根据导数的几何意义，求出y=∕(χ)在(1,1)处切线的切线方程，即可得

¾=lg∕7-lg(n+l),然后利用裂项相消求和法即可求解;

(2)由题意，可得c,,=d∙2%="∙2∙,利用错位相减法即可求解.

【详解】(1)解：∙∙∙∕(χ)=Xn(X)=("+i)χ",

.∙.y=∕(χ)在(1,1)处切线斜率∕=∕'(1)="+1,切线方程为y—1=(〃+I)(X-1),

Mγι

令…，得XLEP则/=怆%=|gQ=|g〃_lg(〃+l),

ΛS99=οl+α2++agg=lgl-lg2+lg2-lg3++lg99-lgl00=Igl-IglOO=-2；

(2)解：令X=0,得％

h

cn=bn-2"=n-2",

2

ΛTn=↑×2+2×2++zι∙2"Φ

L,n+l

2TII=1×2++(n-l)∙2'+∕z∙2(2)

①一■②得=2+22++2"-n×2"+t=2(；_：)_〃x2"S=-2+2"+'-n×2π+'>

Λ^=(∕ι-l)×2,,+l+2.

19.如图，线段AA是圆柱。6∖的母线，ABC是圆柱下底面：。的内接正三角形，M=AB=3.

(1)劣弧BC上是否存在点D，使得。Q〃平面AA8?若存在，求出劣弧8。的长度；若不存在，请

说明理由.

(2)求平面CBa和平面BAA夹角的余弦值.

【答案】(1)存在，劣弧Bz)的长度为叵

6

⑵噜

【分析】(1)利用面面平行得到线面平行即可求得点。位置，再根据.∙ΛβC是，:，。的内接正三角形

及A8=3,即可求得/BOD以及。的半径，从而可得劣弧BD的长度；

(2)分别求得平面C80∣和平面BAA的法向量，即可求得二面角的余弦值.

【详解】(1)如图过点。作AB的平行线0。交劣弧BC于点。，连接。。，

因为。«〃AA，AAU平面AAB,Oaa平面AAB,则。01〃平面44田

同理可证。。〃平面AAB,OOi∖OD=O,且OaU平面OOQ,OZ)U平面OOQ

所以平面AAB〃平面Oq»,又因为QQU平面OoQ,所以OQ〃平面Λi48

故存在点。满足题意.

因为AfiC为底面。的内接正三角形，

所以NbAC=X,即N48O=NBoO=&，

36

又因为AB=3,

3_Γ

所以。的半径为；二一'，

Zsm——

3

π

所以劣弧84的长度为五χ2%χ石=叵.

2π6

(2)如图取BC的中点为〃，连接M4,以Affi为X轴，M4为V轴，过"作。«平行线为Z轴，建

立空间直角坐标系，又因为AA=AB=3,设AB中点为N.

故M(0,0,0),呜,O,OJ,A0,孚O,cf-∣,O,θLO0,专,0

f/TA

易知平面AAB的法向量°、=了3生,。

设平面CBa的法向量为“=(χ,y,z),

又因为Ma=0,与3,MB=(1,0,0

n∙MO∖=0-y+3z=0

故，即V2令y=2百得〃=(0,2石,-1)

n∙MB=0

-X=O

2

易知平面CBOt和平面BAAf夹角为锐角,

3

n∙ON2回

所以平面CBOl和平面84A夹角的余弦值为

20.已知椭圆E*+1=l(α＞方＞0)过点A∣q

⑴若椭圆E的离心率ee(θ,;,求6的取值范围;

(2)已知椭圆E的离心率e=且，仞,N为椭圆E上不同两点，若经过M,N两点的直线与圆『+v

2

相切，求线段MN的最大值.

【答案】(1)*,咚

_22√

(2)2

代入椭圆方程，可得从=!-片，由e∈(θ,J,可求人的取值范围;

【分析】(1)把点A1,

4I2_

(2)由离心率和(1)中结论，求得椭圆方程，分类讨论直线MN的位置，联立方程组，利用弦长

公式结合不等式的性质求MN的最大值.

13hl3,2R匚N»ɔb~3cι~-C372

【详解】⑴F1，在椭圆/=1,有今+—=人，所以Zr=—÷-=——z—+—=一一e-

4/4/44

1”7)37

χvo<^≤-,所以∕=∙7-∕e,"∙'O<b<a,二be.

242,4

(2)由(1)可知Z√=2∙-/,又e=B,b>O,

42

所以h=l,α=2,椭圆E：《+y2=i.

4

因为直线MN与Y+;/=1相切，故AMN≠0.

若直线MN的斜率不存在，不妨设直线MN为：x=l,代入椭圆方程可得此时线段IMN∖=6

若直线MN的斜率存在，可设直线MN的方程为：y=kx+m(k≠O).

由直线MN与χ2+y2=l相切，故才庶=1,可得：加2=1+比

y=kx-∖-tn,

2

2后「I8km4m-4

联立x2得(1+4公卜2+84"+4，〃2一4=0,所以公+々=一寸片"汇市

线段

2

8km42-44√l+⅛2

IMNl=JI+F.I-4ffly∣4k2m2—(1+4⅛2^W2-1)=

1+4Fl+4k2~1+4A:2

4"Ji+/)./

又因为∕√=ι+%2,所以IMNI==2.

1+4炉V(l+4λ2)21+4/

当且仅当次2=42+1,故当公=g时，IMNl的最大值为2.

综上所述：当Z=±亚时，线段MN的最大值2.

2

21.已知各项都是正数的数列｛q｝,前〃项和S,,满足υ=2S,,-qGeN)

(1)求数列也｝的通项公式.

⑵记£,是数列］JI的前〃项和，Q11是数列一匚的前〃项和.当〃≥2时，试比较《与Qn的大小.

ISJI%-1J

【答案】(1)"”=〃

⑵勺＜2,

【分析】(I)根据S“与对的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；

(2)根据裂项相消法，结合等比数列前”项和、二项式定理进行求解即可.

2

【详解】(1)当〃=1时，6Z1=2S1-al=al,所以〃∣=1或q=。(舍去)，

当n≥2时，有］

两式相减得%-T=2all-an+a,—=。“+a„_t,

整理得(4+¾-,)(¾-0n-ι)=¾+%,

因为｛%｝的各项都是正数，所以α.-q,τ=ι,

所以｛%｝是首项为1,公差为1的等差数列，

所以%=1+1∙("-1)=”;

(2)由(1)得S,,=&辿，则==