2023年山东省东营市东营区七校联考中考数学模拟试卷（4月份）（附答案详解）

2023年山东省东营市东营区七校联考中考数学模拟试卷（4月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在实数：3.14159,V64.1.010010001,√^7,τr,£中，无理数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列各式计算正确的是()

A.(x+y)2=X2+y2B.(x2)3=Xs

C.X2-X3=X5D.4%2—y2=(4x+y)(4x—y)

3.把一块直尺与一块含30。的直角三角板如图放置，若Nl=34。，贝叱2的度数为（）

A.1140B.124oC.116oD.126°

4.对于实数α,b,定义运算如下：a*b=a2-ab,例如：3*2=32-3×2=3,

则方程（x+1）*3=-2的根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

5.如图，在AABC中，AB=AC,以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D,再

分别以点B,D为圆心，大于TBD长为半径画弧，两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E.若

AE=2,BE=1,则EC的长度是（）

A.2

B.3

C.√^^

D.√^^5

6.如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个

小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.则sin4B4C的值是

()

ŋV10

b∙-

r2√^5

,5

D.-Ia-2

8.如图，点4是反比例函数y=：(x>0)图象上一点，△4BC的顶点B

在X轴上，点C在y轴上，ΛBAC=90o,AB=AC,AB与y轴相交于点。，

且力D=BD,若△4BC的面积为5,MU=()

A.-2B.5C.2D.4

9.如图，△4BC中，NACB=90。，/4=30。，AB=16,点P是

斜边力B上任意一点，过点P作PQ1AB,垂足为P,交边AC(或边CB)

于点Q,设AP=x,AAPQ的面积为y,则y与X之间的函数图象大

致是()

10.在四边形SBCD中，AD∕∕BC,UBC=90o,AB=BC,E为

4B边上一点，乙BCE=15°,且AE=AD.连接DE交对角线AC于

H,连接BH.下列结论正确的是（）

QClCE;②嚣=，③CD=2DH;④寰=器

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）

11.石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据

0.00000000034用科学记数法表示为

12.已知x+y=4,X-y=6,则2M—2y?

13.若一组数据4,X,5,y,7,9的平均数为6,众数为5,则这组数据的方差为

14.如图，用一个半径为12Cnl的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150。，假

设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升的高度为cm.（结

果保留

兀）

15.若关于”的方程得+弃=3的解是正数,则小的取值范围为—

16.平放在地面上的三角形铁板HBC的一部分被沙堆掩埋，其

示意图如图所示，量得N4为60。，/8为30。，边AB的长为2m,BC

边上露出部分BD的长为0.8τn,铁板BC边被掩埋部分CC的长是

2m

τn.

17.如图，在Rt△4BC中，∆ACB=90o,AC=12,BC=5,D是以

点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD,M是BD的中点，则线段CM

长度的最小值为.

18.如图，在平面直角坐标系中，正方形4：LBlCM2与正方形是以点。为位似中心的

位似图形，且位似比为g点4,A2,4在X轴上，延长交射线OBl于点丛，以人当为边

作正方形4B3C344；延长人4。3交射线OBl于点以ΛtB4为边作正方形＞I4B4C4A5,••••按照这

样的规律继续作下去，若。&=1,则正方形402282022。2。2242023的面积为一.

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题8.0分）

⑴计算：3tαn30o-Iq-Il+（3.14-π）°-G）-2；

（2）先化简，再求值：（2α-¾÷^⅛-,其中α满足α2+2α-3=0.

20.（本小题8.0分）

为积极配合城市推行垃圾分类工作，某教育集团调查小组挂出“垃圾变宝源自分类，呵护环

境始于点滴”等宣传标语，同时在各校区（1）、（2）、（3）、（4）四个学部随机抽取部分学生进行

垃圾分类常识测试，并将各部门测试成绩优秀的人数统计后绘制成如图所示的两幅统计图（部

分数据不完整)∙

请你结合图中信息回答下列问题：

(I)扇形统计图中的τn%=%,α的度数为°；

(2)请将条形统计图补充完整；

(3)假设一学生无垃圾分类常识，参加这次分类测试：袋中有三件垃圾记为a、b、c,分别属

于“a一一可回收物、B一一其他垃圾、C一一有害垃圾”三类，该学生从袋中随机抽取一件

垃圾再随机投进三类垃圾箱中的一个，请用列表法或画树状图法求该学生投放正确的概率.

80

70

60

50

40

30

20

10

21.(本小题8.0分)

x

如图，直线%=-%÷4,y2=∣+b都与双曲线y=g交于点4(1,m),这两条直线分别与K轴

交于B,C两点.

(1)求y与X之间的函数关系式;

(2)直接写出当%>0时，不等式—％+4的解集;

(3)若点P在X轴上，连接AP把△力BC的面积分成1：3两部分,

22.(本小题8.0分)

如图，在△力BC中，点。在边AC上，BD平分NABC,经过点B、C的。。交BD于点E,连接。E交

Be于点F,OFlBC.

(1)求证：AB是。。的切线；

(2)若ZB=BC,BD=与ɪ,tanNCBO=5求。。的半径.

23.(本小题8.0分)

5月13日是母亲节，为了迎接母亲节的到来，利客来商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已

知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用

150元购进乙种玩具的件数相同.

(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次

进货的总资金不超过IoOO元，求商场共有几种进货方案？

(3)在(2)条件下，若每件甲种玩具售价30元，每件乙种玩具售价45元，请求出卖完这批玩具

获利W(元)与甲种玩具进货量m(件)之间的函数关系式，并求出最大利润为多少？

24.(本小题8.0分)

如图，抛物线丫=-：/+以+。与X轴交于做一1,0),B两点,与y轴交于点C(0,2),BP交y轴

于点D,连接BC.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点P是第三象限抛物线上一点，当ABCD的面积为12时，求P点坐标.

(3)抛物线上是否存在点Q使得4QCB=NCBO?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说

明理由.

25.(本小题8.0分)

【问题发现】

(1)如图1所示，△4BC和AADE均为正三角形，B、1。、E三点共线.猜想线段BD、CE之间的

数量关系为—；乙BEC=—°；

【类比探究】

(2)如图2所示，△4BC和AADE均为等腰直角三角形,,4ACB=∆AED=90o,AC=BC,AE=

DE,B、D、E三点共线，线段BE、4C交于点E此时,线段BD、CE之间的数量关系是什么？

请写出证明过程并求出NBEC的度数；

【拓展延伸】

⑶如图3所示,在AABC中，NB4C=90°,NB=30°,BC=8,DE为44BC的中位线，W∆ADE

绕点川顿时针方向旋转，当。E所在直线经过点B时，请直接写出CE的长.

⅛A/A

A

λ

BC

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：Vδ4=4,

无理数有「，π,共有2个，

故选:B.

根据无理数的意义判断即可.

本题考查了无理数，算术平方根，立方根，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键，注意

(MolOOlOoOl是有限小数，属于有理数.

2.【答案】C

【解析】解：4、原式=/+2Xy+y2,不符合题意；

B、原式=”，不符合题意；

C、原式=χ5,符合题意；

D、原式=(2x+y)(2x-y),不符合题意.

故选：C.

各式计算得到结果，即可作出判断.

此题考查了整式的混合运算，因式分解-运用公式法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

利用平行线的性质求出43即可解决问题.

【解答】

解：如图，

Va∕∕bf

ʌz2=z3,

•・・z3=乙1+90。,Zl=34o,

ʌz3=124o,

ʌz2=z3=124o,

故选B.

4.【答案】D

【解析】解：∙∙∙(x+l)*3=-2,

ʌ(%+I)2—3(X+1)=—2,即/-χ=0,

.∙.Δ=(-l)2-4×1×0=1>0,

••・方程(X+1)*3=-2有两个不相等的实数根.

故选：D.

根据运算“*”的定义将方程(久+1)*3=-2转化为一般式，由根的判别式4=1>0,即可得出

该方程有两个不相等的实数根.

本题考查了根的判别式，牢记“当d>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：由作法得CE1AB,则NAEC=90°,

AC=AB=BE+AE=2+1=3,

在RtΔ4CE中，CE=V32—22——√5•

故选：D.

利用基本作图得到CE1AB,再根据等腰三角形的性质得到AC=3,然后利用勾股定理计算CE的

长.

本题考查了作图一基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角;

作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).

6.【答案】A

【解析】解：延长AC至格点D,连接B。，如图，

由题意得：

AB2=32+42=25,AD2=22+42=20,BD2=l2+22=5,

.∙.AB2=AD2+BD2,

：.∆ADB=90°,

r,.z,BD√^^5

SInNBaC=—AB=~5τ~∙

故选:A.

延长AC至格点D,连接BD,利用勾股定理及其逆定理得到AABD为直角三角形，ZADB=9。。,

在RtAABO中，利用直角三角形的边角关系定理解答即可.

本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的边角关系定理，延长AC至格点。，连接BD,利用勾

股定理及其逆定理得到△4BC为直角三角形是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：设点B'的横坐标为X,

则B、C间的横坐标的长度为a—1,B'、C间的横坐标的长度为-x+1,

∙∙∙∆4BC放大到原来的2倍得到△A'B'C,

：*2(a-1)=-X+1,

解得：X=—2a+3,

故选：A.

设点B'的横坐标为》,根据数轴表示出BC、B'C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可.

本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等

于对应边的比列出方程是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：作AEly轴于E,4尸_1.乂轴于尸，贝UE〃x轴,

•••Z.EAB=Z.ABF,

"乙BAC=90°,

.∙.∆CAE+∆EAB=90°,

・•.zC½E÷z½BF=90o,

∙.∙∆ABF+Z.BAF=90o,

・∙・Z-BAF=∆CAE,

vAB=AC,∆AFB=乙AEC=90o,

∙,∙ΔABFACEζ√4√4S),

AE=AFfBF=CE,

设A(m,m)f

7

vAD=BDf4∕∕∕y轴，

.∙.Bo=FO,

B(-m,0),

・•・CE=BF=2m,

.・・AB2=AF2÷BF2=τn2+(2m)2=5m2,

•・・△4BC的面积为5,

1Ir

.∙.^AB-AC=^AB2=5,

・•・IX5m2=5,

・•・τnz=2,

,・,点4是反比例函数y=S(X>0)图象上一点，

^k=m∙m=mz=2,

故选：C.

作AE1y轴于E,AF1%轴于尸，则4E∕∕x轴，通过证得4ABF≡^ACE(AAS)9得至必E=AFfBF=

CE,设4(m,τn),

根据题意即可得到B(→n,O),利用勾股定理求得AB?=A/*+B产=5根2,由△/BC的面积为5,

即可得到k=η2=2.

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和

性质，等腰直角三角形的性质，表示出4、B的坐标是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：当点Q在4C上时，

•・•∆BAC=30o,AP—%,

・•・PQ=xtαn30o=-X9

1/InnCl√~3√-3

y=-XAP×PQ=-`X∙—X=2

当点Q在BC上时，如下图所示：

:∙BP=16—X,乙B=60°,

.∙.PQ=BP∙tan60o=√^^3(16-x).

∙∙∙S^APQ=∖AP-PQ√^(16-x)=-?/+8Cχ,

•••该函数图象前半部分是开口向上的抛物线，后半部分为开口向下的抛物线,

且当Q点与C点重合时，AP=12,

故选：D.

分点Q在4C上和BC上两种情况进行讨论即可.

本题考查动点问题的函数图象，解题关键是注意点Q在BC上这种情况.

10.【答案】C

【解析】解：∙∙∙40"BC,∆ABC=90°,

•••乙BAD=90°,

又,：AB=BC,

乙BAC=45°,

ʌ∆CAD=LBAD-∆BAC=90°-45°=45°,

・•.∆BAC=∆CAD,

・・・AH1ED,

即47LED,故①正确；

・・•△CHE为直角三角形，且NUEC=60。，

・•.EC=2EH,

•・•乙ECB=15°,

:∙EC≠4EB,

.∙.EH≠2EB∙.故②错误.

由①知，∆BAC=/.CAD,

在△?!Cn和△?!CE中，

AE=AD

乙BAC=Z-CAD，

AC=AC

.∙.∆71CD≤∆ΛCfi,(Si4S),

ʌCD—CE,

•・・Z.BCE=15°,

・•・∆BEC=90°-乙BCE=90°-15°=75°,

：,Z-CED=180°-乙BEC-Z-AED=180°-75°-45°=60°,

.•.△CDE为等边三角形，

.∙.∆DCH=30°,

；.CD=2DH,故③正确；

过H作//MIAB于M,

.∙.HM//BC,

AMHs〉ABC,

MH_AH

~BC=~ACf

•・・乙DAC=Z.ADH=45°,

∙∙DH=AHf

MHDH

BCAC

•••△BEH和^CBE有公共底BE,

.../地=丝I=生，故④正确，

SABECBCAC'口乂电皿用，

结论正确的为①③④.

故选：C.

在等腰直角中，根据等腰三角形三线合一的性质可得4H1ED,^AC1ED,判定①正确；

因为△CHE为直角三角形，且ZHEC=60。所以EC=2E，，因为ZECB=I5。，所以EC≠4EB,

所以黑片：，不成立，故②错误；根据①可判定AACOWZkACE,全等三角形对应边相等可得CD=

CE,再求出/CED=60。，得到△CCE为等边三角形，判定③正确；过H作HMd.AB于M,所以

HM//BC,所以AAMHsA4BC,利用相似三角形的性质以及底相等的三角形面积之比等于高之

比即可判定④正确.

此题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形

的判定与性质以及等腰直角三角形性质.此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用.熟记各

性质是解题的关键.

11.【答案】3.4X10-1。

【解析】解：0.00000000034=3.4XIOT°.

故答案为：3.4X1OT0.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlOF,与较大数的科学记数法不

同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为αxlθf,其中l≤∣a∣<10,n为由原数左边

起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

12.【答案】48

【解析】解：∙∙∙2∕一2y2

=2(x2—y2)

=2(x+y)(x-y),

V%+y=4,%-y=6,

••・原式=2X4×6=48.

故答案为：48.

先因式分解得出2/-2y2=2(x+y)(x-y),再把x+y=4,X-y=6代入即可得出答案.

本题考查了利用平方差公式分解因式和求代数式的值，掌握整体代入的方法是解题的关键.

13.【答案W

【解析】

【分析】

此题考查了众数、平均数和方差，一般地设n个数据，/，x2,…，Xn的平均数为L则方差S?=

222

ɪ[(x1-X)+(%2-X)+∙∙∙+(Xn-X)];解答本题的关键是掌握各个知识点的概念∙

根据众数的定义先判断出X,y中至少有一个是5,再根据平均数的计算公式求出％+y=11,然后

代入方差公式即可得出答案.

【解答】

解：•••一组数据4,X,5,y,7,9的平均数为6,众数为5,

・•・X,y中至少有一个是5,

,・,一组数据4,X,5,y,7,9的平均数为6,

•••，(4+%+5+y+7+9)=6,

ʌ%+y=11,

...X,y中一个是5,另一个是6,

这组数据的方差为上[(4-6)2+2X(5—6)2+(6-6)2+(7-6)2+(9-6)2]=1；

故答案为：I

14.【答案】IoTr

【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为12cm,圆心角为150。所对应的弧长,

Li∏15θ7rxl2γc∕、

即-兀Tn

IOU=10(C).

故答案为：107Γ.

根据弧长的计算方法计算半径为12cm,圆心角为150。的弧长即可.

本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提.

15.【答案】τn>—7且?H≠—3

【解析】解：原方程左右两边同时乘以Q-2),得：2x÷m-(x-l)=3(x-2),

解得：X=吟

原方程的解为正数且%W2,

与Z>0

*

解得：小＞一7且??1：≠一3,

故答案为：血＞一7且7?2。-3.

先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出租的取值范围.

本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键.

16.【答案】(二一0.8)

【解析】解：在直角三角形中，SinA=≡,

AD

则BC=AB-SinA=2sin60o=2x?=>∕~3m>

则CC=BC-BD=(O-0.8)(m).

故答案为：(C-0.8).

首先根据三角函数求得BC的长，然后根据CD=BC-BD即可求解.

本题主要考查了解直角三角形，正确利用三角函数解得BC的长是解题关键.

17.【答案】5

【解析】解：作AB的中点E,连接EM、CE,AD,

在直角A力BC中，AB=7AC2+BC2=、起2+52=13,(

∙∙∙E是直角△?1BC斜边4B上的中点，(Aj

ʌCE=^AB=6.5,∖∖y∖

∙∙∙M是BO的中点，E是4B的中点，M

.∙.ME=^AD=1.5,N

•••线段CM长度的最小值为6.5-1.5=5.

故答案为：5.

作AB的中点E,连接EM、CE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位

线定理求得CE和EM的长，即可求解.

本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边

上的中线等于斜边的一半解答.

18.【答案】42。21

【解析】解：•：正方形4B1C14与正方形&BzQA是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比

为发

.皿」

∙∙A2B2-2

VA1B11x⅛,A2B2ɪ

・•・A1B1/∕A2B2y

∙∙Oi418ι~AOA2^2,

.。仆=41Bl=1

,

一OA2-A2B22

vOA1=1,

・•・OA2=2,

∙*∙√41√42=1，

，正方形力/1GA2的面积=1=4°,

VOA1=A1A2—Λ1B1=1,

・∙・Z-B1OA1=45°,

***042=A2^2=2,

・•.正方形4282C24的面积=2×2=41,

VA3B31%轴，

。％3=4383=4,

・•・正方形43B3C3A1的面积=4×4=16=42,

则正方形4202282022。2022“2023的面积为42°22^^1=42021,

故答案为：42021.

根据位似图形的概念求出。&，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可.

本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，掌握位似图形的性质是解题的关键.

19.【答案】解：(1)原式=3乂十一「+1+1—9

=>Λ-3—V-3÷1+1—9

=-7；

(2)原式=(Aa+2)_12α1.此成

、la+2α+2ja-4

_2tχ2+4α-12α(Q+2)2

a+2a-4

_2Q28Q(a+2)2

-a+2a-4

_2a(a-4)(α+2)2

0+2a-4

=2矶α+2)

=2(α2+2a),

,∙'a辆足a?+2a—3=0,

∙,∙a2+2a=3.

.∙∙原式=2×3=6.

【解析】(1)分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幕及负整数指数基的计算法则

计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；

(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a?+2a的值代入进行计算即可.

本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数累及

负整数指数嘉的计算法则，熟知分式混合运算的法则是解题的关键.

20.【答案】10144

【解析】解：(1)这次测试成绩优秀的人数共有：60+30%=200(人),

.∙.m%=20÷200X100%=10%,

4a的度数为:360。X黑=144。，

故答案为：10,144°；

(2)第(2)学部的人数为：200-60-20-80=40(A),

将条形统计图补充完整如下：

80

70

60

50

40

30

20

10

(3)画树状图:

共有9种等可能的结果，该学生投放正确的结果有3种,

•••该学生投放正确的概率为全

(1)由(1)学部的优秀人数除以所占百分比求出这次测试成绩优秀的人数，即可解决问题；

(2)求出(2)学部的人数，将条形统计图补充完整即可；

(3)画树状图，共有9种等可能的结果，该学生投放正确的结果有3种，再由概率公式求解即可.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果般，再从中选出符合

事件4或B的结果数目τn,然后利用概率公式求事件4或B的概率.也考查了条形统计图解扇形统计

图.

21.【答案】解：(1)把A(l,m)代入%=—x+4,可得m=—1+4=3,

.∙.Λ(l,3),

把4(1,3)代入双曲线y=ɔ可得々=1x3=3,

∙∙∙y与X之间的函数关系式为：y=*

⑵叱Mi啜二端曾

•••直线yι=-x+4与双曲线y=：交于点4(1,3)和(3,1),

由图象可知，当*>0时，不等式-x+4>幺的解集为：l<x<3;

X

(3)y1=-X÷4,令y=0,则x=4,

•・•点8的坐标为(4,0),

3

+f

把4(i,3)代入了2=^x+b,可得34-t

.∙.b=-,

4

3,9

y,2=4x+4,

令y=0,则V=—3,即C(-3,0),

.∙.BC=7,

∙∙∙AP把△?!BC的面积分成1：3两部分,

1717

ΛCP=^-BC或BP=JBC=T

4444

7579

3

=--=--4--=-

4444

59

Pθ或fZ

(-4-∖vl4-

【解析】(1)求得A(1,3),把4(1,3)代入双曲线y=可得y与X之间的函数关系式；

(2)求得直线yι=-X+4与双曲线y=K的交点，可得当x>0时，不等式-x+4>七的解集为1<

%<3；

1717

=

(3)分两种情况进行讨论，AP把44BC的面积分成1：3两部分，则CP4-4-4-4-

即可得到OP=3-：=|,或OP=4-：=：，进而得出点P的坐标•

4444

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函

数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

22.【答案】(1)证明：连接。B,如图:

OB—0E,

∙∙∙Z.0BE=/.OEB,

BD平分乙4BC,

∙∙.Z.ABD=Z.CBD,

.∙.40BE+∆ABD=/.OEB+乙CBD,

•••Z-OBA=Z.0FB,

OF1BC,

.∙.∆0BA=乙OFB=乙EFB=90°,

.∙.OB1AB,

•••OB是半径，

AB是。。的切线；

(2)解：VAB=BC,Bn平分N48C,

ʌBD1AC,

・•・乙BDC=90o,

ʌtan乙CBD==ɔ

DUL

V乙BDC=90°,

：222

•BD÷CD=BC9

ʌBC=8,

•・・OF1BC,

.∙.BF=CF=WBC=4,

•・,乙EFB=90°,

FF1

∙*∙t∂L∏Z-CBD=-τ-r=—,

B卜2

.∙.EF=2,

令OB=OE=r,

■■OF=OE-EF=r-2,

Z.OFB=90°,

.∙.OF2+BF2=OB2,

即（r-2）2+42=r2,

；.r=5,

。。的半径为5.

【解析】（1）根据等腰三角形的性质可得ZOBE=NOEB,然后利用外角性质及切线的判定方法可

得结论；

（2）根据等腰三角形的性质可得ZBOC=90°,再根据解直角三角形及勾股定理可得BC的长，进而

得到答案.

此题考查的是外角的性质，切线的定义，等腰三角形的性质，解直角三角形和勾股定理等知识，

正确作出辅助线是解决此题的关键.

23.【答案】解：（1）设甲种玩具进价X元/件，则乙种玩具进价为（40-乃元/件，

根据题意，得型=祟，

X40-x

解得X=15,

经检验X=15是原方程的解.

则40-X=25.

答：甲、乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；

(2)设购进甲种玩具Tn件，则购进乙种玩具(48-Tn)件，

由题意’得备n+25(48-m)≤1000，

解得20≤Hi<24.

∙∙∙m是整数，

.∙.τn取20,21,22,23,

故商场共有四种进货方案：

方案一：购进甲种玩具20件，乙种玩具28件；

方案二：购进甲种玩具21件，乙种玩具27件；

方案三：购进甲种玩具22件，乙种玩具26件；

方案四：购进甲种玩具23件，乙种玩具25件；

(3)设购进甲种玩具m件，卖完这批玩具获利弘元，则购进乙种玩具(48-巾)件，

根据题意得：VlZ=(30-15)m+(45-25)(48-m)=-5m+960,

•••比例系数k=-5<0,

W随着m的增大而减小，

；.当Tn=20时,有最大利润W=-5×20+960=860元.

【解析】(1)设甲种玩具进价为X元/件，则乙种玩具进价为(40-X)元/件，根据用90元购进甲种

玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解.

(2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(48-m)件，根据甲种玩具的件数少于24件，并且商场

决定此次进货的总资金不超过IOOO元，可列出不等式组求解.

(3)先列出有关总利润和进货量的一次函数关系式，然后利用一次函数的性质结合自变量的取值范

围求最大值即可.

本题考查了一次函数的应用，列分式方程解实际问题的应用，一元一次不等式解方案设计问题的

应用，找出题中的等量关系与不等关系是解题的关键∙

24.【答案】解：(1)将4(-1,0),C(0,2)代入y=-枭2+bχ+c,

(c=2

ɪ-h+c=0"

解得M=I.

Ic=2

・•・y=-∣χ2+∣χ+2；

(2)令y=0,K∣J-∣x2+∣x+2=0,

解得X=-1或％=4,

・・・8(4,0),

.∙.OB—4»

1

λSABCD=2X4X(2+0。)=12,

.•・OD=4,

・・・0(0,-4),

设直线80的解析式为y=kx+b,

(b=-4

l4fc+b=0'

y=X—4

12I3.

{y=-^x÷-x+2

解啜：二；端口

∙∙∙P(-3,-7);

(3)如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时,

V(QCB=∆CBO,

ʌCQ//OB,

.∙.点Q和点C关于对称轴对称，

V71(-1,0),B(4,0),

••・抛物线的对称轴为亨=|,

•・•C(0,2),

，点Q的坐标为(3,2)；

如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设CQ与％轴交于点E

•••乙

QCB=∆CBOf

EC=EB,

・・・设EC=EB=χf

∙∙∙C(0,2),8(4,0),

OC—2,OE=4—X,

・・・在R£A。EC中，OC2+OF2=CF2,g∣J22+(4-x)2=x2,

・,・解得%=|,

・•・O八厂E=-39

3

・•・设直线CE的解析式为y=k1x+瓦，

3（瓦=2

将C（0,2）,吟。）代入得，B…=0,

pi=2

解得.4:

Ui=-3

4,C

・•・y=--X+2,

{y=-zχ+2

联立直线CE和抛物线得，］ɜ3

（y=~2χ2+/+2

17

解得忧＞X=­

•••点Q的坐标为《,一步.

综上所述，点Q的坐标为(3,2)或费,一步.

【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)先由△BDC的面积求出。。的长，从而确定。点坐标为(0,-4),再由待定系数法求出直线B。的

解析式，直线8。与抛物线的交点即为所求；

(3)根据题意当点Q在第一象限时，利用二次函数的对称性求解；当点Q在第四象限时，设CQ与X轴

交于点E,首先根据勾股定理求出点E的坐标，然后求出CE的解析式，最后联立直线CE和抛物线

即可求出点Q的坐标.

本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角

三角形的性质，勾股定理的应用是解题的关键.

25.【答案】BD=EC60

【解析】解：（1）∙.∙A4CB和AAOE均为等边三角形，

o

^AB=ACfAD=AEf∆BAC=∆DAE=60,∆ADE=Z.AED=60°,

∙*∙Z-BAC-Z-DAC=Z-DAE—/-DAC»

^∆BAD=∆CAEf

在ZkABD和AACE中,

AB=AC

Z-BAD=Z-CAE,

/D=AE

ABDNA√4CE(S√4S),

.∙.BD=CE,Z-BDA=Z-CEA,

∙.∙点B,D,E在同一直线上，

.∙.∆ADB=180°-60°=120°,

•••LAEC=120°,

••