2023年河北省廊坊市广阳区中考数学一模试卷(含答案)

2023年河北省廊坊市广阳区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.计算：r∏6÷nι3的结果是（）

A.m18B.m9C.m3D.m2

2.如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周

长为τn,原三角形纸片的周长为m下列判断正确的是（）\

A.两点之间，线段最短，故Wl<71

B.两点确定一条直线，故m=n

C.边数越多周长就越大，故m>n

D.三角形的具体形状以及裁剪的角度都不确定，故τn,n的大小也不确定

3.在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏,

要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形

的（）

A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点

C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点

A.平均数是9.4,众数是10B.中位数是9,平均数是10

C.中位数是9.4,众数是9D.中位数是9.5,众数是9

5.从1,2,3这三个数中任取两数，分别记为6、n,那么点（m,n）在反比例函数y=g图象

上的概率为（）

6.对于①（Y+l）（x—1）=/-1,@x-2xy=x（l—2y）,从左到右的变形，表述正确的

是（）

A.都是乘法运算B.都是因式分解

C.①是乘法运算，②是因式分解D.①是因式分解，②是乘法运算

7.如图，AB//CD,∕4=30°,04平分“OE,则NDEB的度C

数为（）/

A.45。/

AEB

B.60°

C.75°

D.80°

8.目前，纳米技术广泛应用于光学、医药、信息通讯等领域,纳米丝是一个广义上的概念，

通常5微米以下的材料均可以称作纳米丝.已知1纳米是1米的十亿分之一，某种纳米丝的平均

直径为25纳米，该数据用科学记数法可以表示为（）

A.2.5X10-9米B2.5X10-8米ɛo.25X10-7米ŋ25X10-9米

9.如图，两个等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形为A8CD,求证:

四边形4BC。是菱形.

证法1：设两张等宽的纸条的宽为无，

纸条的对边平行，∙∙∙4Z√∕BC,AB//DC,

••・四边形ABCD是平行四边形.

又,:⅞ΛBCD=BC∙h=AB∙h,

∙*∙BC=AB,

・・.四边形ABCD是菱形.

证法2：•・,48=0.9Cτn,BC=0.9cm,CD=0.9cm,4。=0.9cm（直尺测量所得），

・••AB=BC=CD=AD,

四边形ABeD是菱形.

下列说法正确的是（）

B

A.证法1还需要证明三角形全等，该证明才完整

B.证法2用特殊到一般法证明了该问题

C.证法1的证明过程是严谨完整的

D.证法2只要测量够一百个四边形的边长进行验证，就能证明该问题

10.函数y=7⅛τ有意义，贝h应（）

A.有最小值B.有最大值C.可为0D.不可为-1

11.已知二次函数y=-X2+bx+3的对称轴为直线X-m,则它与直线y=Tn的交点个数为

（）

A.0B.1C.2D.0或1

12.一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此

时4B〃CD）,相关数据如图（单位：Cm）.从图2闭合状态到图3打开状态，点B,。之间的距离

减少了（）

13.如图，直线m-Lri,在某平面直角坐标系中，X轴〃τn,y轴〃n,点/的坐标为（一4,；）,

点B的坐标为（2,-4）,则坐标原点为（）

n

A.O1B.O2C.O3D.O4

14.如图，已知：直线AB和AB外一点C,用尺规作力8的垂线，使它

经过点C.步骤如下：(1)任意取一点K.(2)以点C为圆心，CK长为半径

作弧，交ZB于点。和E.(3)分别以点。和点E为圆心，以ɑ长为半径作

弧，两弧相交于点尸.(4)作直线CF,直线CF就是所求作的垂线.下列正

确的是()

A.对点K,α长无要求B.点K与点C在48同侧，a≥^DE

C.点K与点C在4B异侧，a>^DED.点K与点C在4B同侧，a<^DE

15.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无

盖纸盒.现在仓库里有Tn张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库

存的纸板用完，则m+n的值可能是()

图①图②

A.2023B,2024C.2025D,2026

16.如图，已知矩形ABCD中，点E是BC的中点，点P从点B出发，沿B→Dτ4TB以ICrn/s

的速度匀速运动到点B,到达点B后停止.图2是点P运动时，APEC的面积y(cτ∏2)随运动时间

X(S)变化的关系图象，则图2中α,b的值为()

A,α=3,b=12B.α=4,b=12C.α=3,ð=14D.a=4,b=14

二、填空题(本大题共3小题，共12.0分)

17.设X1、是方程+ZHX-2=0的两个根，且X1+Λ⅛=2X1%2，则根=.

18.如图1,冰激凌的外壳(不计厚度)可近似的看作圆锥，其母

线长为12cτn,底面圆直径长为8cm.

(1)这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是一；

(2)当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2,其母线长为9cm,则此

时冰激凌外壳的侧面积为—cmZ.(结果保留兀)

19.如图是某型号机器人示意图，。4是垂直于工作台的移动基座，4B,BC为机械臂，。4=

lm,AB=5m,BC=2m,∆ABC=143°,机械臂端点C到工作台的距离CD=6m.

(1)乙4BC的补角度数是一°；

(2)点A到直线Be的距离约是—m；

(3)。。的长约是—m.(结果精确到0.16)

(参考数据:S讥37°BO.60,CoS37°a0.80,tan370≈0.75,√~5≈2,24)

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.（本小题6.0分）

如图1,将长为2α+3,宽为2α的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如

图2）,得到大小两个正方形.

（1）用关于α的代数式表示图2中小正方形的边长.

（2）当a=3时，该小正方形的面积是多少？

21.（本小题7.0分）

如图1,某客运站内出入口设有上、下行自动扶梯和步行楼梯，嘉琪和爸爸从站内二层扶梯口

同时下行去一层出口，爸爸乘自动扶梯，嘉琪走步行楼梯.爸爸离一层出口地面的高度九（单位:

m）与下行时间x（单位：S）之间具有函数关系∕ι=-∣x+6;嘉琪离一层出口地面的高度y（单

位：Tn）与下行时间双单位：s）的函数关系如图2所示.

图1图2

(1)如图2,求y关于X的函数表达式；

(2)求爸爸乘自动扶梯到达一层出口地面时，嘉琪离一层出口地面的高度.

22.(本小题13.0分)

为了解某校400名学生对安全知识的了解情况，随机抽查了20名学生，得分(均为整数)情况如

下：A,C,B,B,C,C,C,A,B,C,C,C,D,B,C,C,C,E,C,C.其中4组：49.5〜59.5,

B组：59.5〜69.5,C组：69.5〜79.5,。组：79.5〜89.5,E组：89.5-99.5,某校被抽查的20名

学生得分情况频数表

组别ABCDE

合计

划记TTF

频数24abc20

(1)填空：a=,b=,C=,并估计这400名学生得分在C组的人数；

(2)规定成绩由高到低前10%的同学将被评为“安全达人”，某同学的得分为79分，试判断他

能否被评为“安全达人”，并说明理由；

(3)成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为学校‘'安全宣传员”，请用画

树状图或者列表的方法，求恰好选中1男1女的概率.

23.(本小题10.0分)

如果α,b都是非零整数，且α=4b,那么就称Q是“4倍数”.

(1)30到35之间的“4倍数”是,小明说：232-2/是“4倍数”，嘉淇说：122-6×

12+9也是“4倍数”，他们谁说的对？.

(2)设X是不为零的整数.

①X(X+1)是的倍数；

②任意两个连续的“4倍数”的积可表示为,它(填“是”或“不是”)32的倍

数.

(3)设三个连续偶数的中间一个数是2n(n是整数)，写出它们的平方和，并说明它们的平方和

是“4倍数”.

24.(本小题10.0分)

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的

“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲

柄连杆机构”.

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1,两个固定长度的“连杆”AP,BP

的连接点P在O。上，当点P在。。上转动时，带动点4,B分别在射线OM,ON上滑动，OML

OM当AP与O。相切时，点B恰好落在。。上，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.

（1）求证：乙PAO=2乙PB0；

（2）若G）。的半径为3,AP=4,求BP的长.

25.（本小题ILo分）

如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为9dτn,最大宽度为12dm,现计划将此余

（2）如图2,若切割成矩形HGNM,求此矩形的最大周长；

（3）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dτn的矩形，如何切割才能使

拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长.（结

果保留根号）

26.（本小题9.0分）

在正方形ABCD中，点E是对角线力C上的动点（与点4,C不重合），连接BE.

①依题意补全图1；

②小深通过观察、实验，发现线段4E,FC,E尸存在以下数量关系：

AE与FC的平方和等于EF的平方,小深把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该

猜想的几种想法:

想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90。，得到线段BM,要证4E,FC,EF的关系，只需证4E,

AM,EM的关系.

想法2：将△力BE沿BE翻折，得到ANBE,要证AE,FC,EF的关系，只需证EN,FN,EF的

关系.

请你参考上面的想法，用等式表示线段4E,FC,EF的数量关系并证明；(一种方法即可)

(2)如图2,若将直线BE绕点B顺时针旋转135。,交直线AC于点F.若正方形边长为2,AE：EC=2：

3,求AF的长.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：m6÷m3-m3.

故选：C.

直接利用同底数累的除法运算法则计算得出答案.

本题主要考查同底数幕的乘法，解答的关键是对同底数幕的乘法的法则的掌握.

2.【答案】A

【解析】解：如图：ʌv-------‰q

A.根据“两点之间，线段最短”判断EC+DODE,∖ZD

Vm=AEΛ-ED-∖-DB-∖-AB,n=AE+EC+CD+DB+AB,

m<n,

•••力选项正确，符合题意；

A两点确定一条直线不能判断出Tn是否等于n,故不符合题意；

C.边数越多不一定能判断周长越长,可能出现边数越多,周长反而小,如：2+3+4+5<6+7+8,

故不符合题意；

。.三角形的裁剪与角度无关，与边长有关，根据“两点之间，线段最短”可以判断出Tn和n的大小，

故不符合题意.

故选：A.

由图观察可知，欲判断巾与n的大小，其实就是判断四边形ABOE的周长和三角形ABC的周长，比

较发现4B边没变，AC边减少EC,BC边减少DC,根据“两点之间，线段最短”即可判断EC+DO

DE,即可求出m和n哪个大哪个小.

本题考查的是线段的性质，关键是否熟练掌握和运用两点之间，线段最短的知识点.

3.【答案】D

【解析】解：由题意可得，

3个小朋友到板凳的距离相等游戏才是公平的，

于是板凳的位置到三角形3个顶点的距离相等，

因此板凳的位置是三角形三边的垂直平分线的交点，

故选：D.

根据游戏的公平性，可得3个小朋友到板凳的距离相等，即板凳的位置到三角形3个顶点的距离相

等，于是可得到是三条边的中垂线的交点.

本题考查游戏的公平性，线段的垂直平分线的性质，掌握三角形三边垂直平分线的交点到三角形

三个顶点的距离相等的性质是解决问题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：平均数为7+8X3+9X^1°X7+11X3=9%

众数是10,

中位数为史U=9.5,

故选：A.

根据众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可.

本题主要考查了众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定

义.

5.【答案】B

【解析】解：画树状图如下,

开始

2x3=6,3x2=6,

•••共有6种等可能的结果，点O∏,τι)在反比例函数y=(的图象上的有2种情况,

•••点(m,n)在反比例函数y=5图象上的概率为I=

故选：B.

画树状图可得所有nm的积的等可能结果，由点(m,n)在反比例函数y=(图象上可得nm=6,进

而求解.

本题考查反比例函数与概率的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握画树状图求概率的

方法.

6.【答案】C

【解析】解：①(x+l)Q-I)=X2—1属于整式乘法，是利用平方差公式进行计算；

(2)x-2%y=x(l-2y)属于因式分解，是利用提公因式法进行因式分解；

故选：C.

根据整式的混合运算，结合整式乘法与因式分解定义对题中运算进行判定即可得到答案.

本题考查整式混合运算，涉及平方差公式及提公因式法因式分解，熟练掌握整式乘法及因式分解

的定义是解决问题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：∙∙∙AB〃CD,乙4=30。，

.∙.∆ADC=Z-A=30°,乙CDE=乙DEB,

04平分ZCDE,

4CDE=2∆ADC=60°,

•••乙DEB=60°.

故选:B.

由平行线的性质得NADC=N4=30。，再由角平分线得NCDE=60。，再次利用平行线的性质可得

乙DEB=4CDE=60°.

本题主要考查平行线的性质，角的平分线，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，

内错角相等.

8.【答案】B

【解析】解：25mn=25×10-9m=2.5X10-8m.

故选：B.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-%与较大数的科学记数法不

同的是其所使用的是负整数指数基，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为αxlθ-n,其中l≤∣α∣<10,n为由原数左边

起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

9.【答案】C

【解析】解：证法1证明过程是严谨完整的，证法2是用特殊值法，这方法不能用于这题证明，

故选：C.

利用矩形的性质和菱形的判定依次判断两个证明方法可求解.

本题考查了矩形的性质，菱形的判定，面积法等知识，掌握矩形的性质是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：函数y=/T有意义，

ʌ%+1>0,且X≠0,

:，X>—1,且X≠0,

故选：D.

根据分式有意义时分母不为0,零指数幕的底数不为0以及二次根式有意义的条件即可作答.

本题考查了分式有意义的条件，零指数基的底数不为0以及二次根式有意义的条件等知识，掌握相

应的考点知识是解答本题的关键.

IL【答案】C

【解析】解：•••二次函数y=-X2+bx+3的对称轴为直线X=m,

b

・•・--Z-=TYl.

b=2m.

由y=-X2÷hx+3知I：y=-x2+2mx+3.

当y=m时，m=-x2+2mx+3,BPx2—2mx—3+m=0.

此时，Δ=4m2—4(—3+τn)

=4(m—ɪ)2+11.

1ɔ

v4(m-i)2≥0,

1ɔ

.∙.4(m--)2+11>0>

.∙.Δ=4m2—4(—3+m)>O.

∙"∙m=-x2+2mx+3有两个不相等的实数根，

二二次函数y=-X2+bx+3与直线y=τn的交点个数为2个.

故选：C.

由抛物线对称轴方程得到b=2m.则y=-X2+2mx+3,然后求m=-x2+2mx+3的根的判别

式符号即可.

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，根据题意得到b与Tn的数量关系

是解题的突破口.

12.【答案】B

【解析】解：连接BD,如图所示:

∙∙∙∆AEF~^LABD,

.AEEF

ABBD

,2_2

—■=—,

5BD

・•・BD=5cm,

.∙∙点B,D之间的距离减少了5—2=3(CnI),

故选：B.

根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键.

13.【答案】A

X

【解析】解：平面直角坐标系如右图所示，

则坐标原点为。1，

故选：A.

根据点4和点B的坐标，可以作出相应的平面直角坐标系,

然后即可判断哪个选项符合题意.

本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题

意，作出相应的平面直角坐标系.

14.【答案】C

【解析】解：由作图可知，点K与点C在48异侧，α>:DE,

故选：C.

根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，判断即可.

本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

15.【答案】C

【解析】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为％个、y个，根据题意得，

(4x+3y=n

{x+2y=m,

两式相加得，τn+n=5(x+y),

•••尤、y都是正整数，

∙∙∙m+n是5的倍数，

V2023,2024、2025、2026四个数中只有2015是5的倍数，

m+n的值可能是2025.

故选：C.

设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为X个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数

列出方程组，再根据x、y的系数表示出m+n并判断τn+n为5的倍数，然后选择答案即可.

本题考查了二元一次方程组的应用，根据系数的特点，观察出所需两种纸板的张数的和正好是5的

倍数是解题的关键，也是解题的突破口.

16.【答案】A

【解析】解：结合点P的运动，根据图2可知，BD=5,ΛZ)=9-5=4,

BC=TlD=4,

•••点E是BC的中点，

∙∙.EC=2,

在矩形ABCD中，乙4=90。，

由勾股定理可知，AB=3,

ʌCD=AB=3：

.-.6=9+3=12；

当点P运动到点。时，y=g∙EC∙CD=gx2x3=3.

即a=3.

故选：A.

从图2中5,9可得出BD=5,AD=9-5=4,根据勾股定理可求出AB的长，由此可得出b的值;

根据点P在4。上运动时，面积不变，利用三角形面积公式可求出ɑ∙

本题考查的是动点函数图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，

进而求解.

17.【答案】4

【解析】解：∙.∙%1,&是方程/+加工一2=0的两个根，

:∙x1+x2=—m,x1x2=-2.

*∙'Xi+%2=2%^%2，

.∙.—m=2×(—2),

解得Tn=4.

故答案为:4.

由根与系数的关系可得Xl+X2=-m,X1X2=-2,结合X1+X2=2xι*2可得出关于根的一元一次

方程，解之即可得出结论.

本题考查了根与系数的关系：若X],&是一元二次方程。产+块+©=0(。*0)的两根时，x1+

b_c

犯=一£X1-X2-

18.【答案】扇形27τr

【解析】解：(1)这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是扇形.

故答案为：扇形；

(2)设展开后所得扇形的圆心角的度数为71。，

•冰激凌的外壳(不计厚度)可近似的看作圆锥，底面圆直径长为8cm,

二底面圆的周长=兀X8=8π(cm),

1母线长为12cm,

∙∙∙n=120,

即展开后所得扇形的圆心角的度数是120。,

丫吃掉一部分后母线长为9cτn,

此时冰激凌外壳的侧面积为:

120π×92

=27π(cm2).

360

故答案为：27π.

(1)根据图形得出答案即可；

(2)先求出侧面展开后扇形所对弧的长度，再根据弧长公式求出扇形的圆心角的度，再根据扇形面

积公式求出扇形的面积即可.

本题考查了圆锥的计算，能熟记弧长公式和扇形的面积公式是解此题的关键，已知扇形的圆心角

为n。,半径为r,那么扇形所对弧的长度=黑，扇形的面积=宴.

ɪðʊ360

19.【答案】373.04.5

【解析】解：(1)•••/-ABC=143°,

•••乙4BC的补角是：180°-143°=37°,

(2)过点4作4E1BC于点E,

在RtZMBE中，

・・・SinZTlBE=煞，

・•・AE=AB∙sin37o≈3.0(τn).

(3)连接AC,过点/作//，CO于F,

四边形AF。。是矩形，

.∙.AF=DO,DF=OA=l(m),

ʌCF=5(m)>

在RtΔABE中，

由勾股定理可知：BE=V52-32=4(01),

•••CE=CB+BE-6(m),

在RtACEA中，

由勾股定理可知：AC2=32+62=45,

在RtMCF中，

由勾股定理可知：AF2=45-25=20,

.∙.AF=2√^5≈4.5(m).

即。0≈4.5(771)

故答案为：(1)37.

(2)3.0

(3)4.5.

(1)根据补角的定义即可求出答案.

(2)过点4作4E1BC于点E,然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

(3)连接AC,过点4作AF1.CC于尸，所以四边形AFD。是矩形，然后根据勾股定理可分别求出BE、

AE.AC.AF的长度，从而可求出。D的长度.

本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，锐角三角函数的定义，本题属于中等

题型.

20.【答案】解：(1)「直角三角形较短的直角边=∣×2α=α,

较长的直角边=2α+3,

小正方形的边长=2α+3-α=α+3;

(2)小正方形的面积=(ɑ+3)2,

当α=3时，面积=(3+3)2=36.

【解析】(1)观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；

(2)根据正方形的面积=边长的平方列出代数式，把a=3代入求值即可.

本题考查了列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边求

出小正方形的边长是解题的关键.

21.【答案】解：（1）由图象可知：y是X的一次函数，

设y关于X的函数解析式是y=kχ+b,

由图象可得｛蓝A=3,

解得卜=一卷，

ʌy关于X的函数解析式为y=-ɪɪ+6；

（2）在h=—∣x+6中，令九=O得X=I5,

•••爸爸乘自动扶梯到达一层出口地面的时间是15s,

在、=一得芯+6中，令X=I5得y=|,

•••爸爸乘自动扶梯到达一层出口地面时，嘉琪离一层出口地面的高度为I米.

［解析】（1）根据函数图象中的数据可以得到y关于X的函数表达式：

（2）令h=O求出X=I.5,代入y=-■磊X+6中求出y值，即可得到结论.

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想

解答.

22.【答案】1211

【解析】解：（1）根据题目，可数出20人中得分在C、。、E组的人数分别为12,1,1,

••・a=12,b=1,C=1,

400名学生得分在C组的人数：400X奇=240（人），

答：这400名学生得分在C组的约有240人；

（2）不能，理由如下：

•••400名学生得分在。组和E组的人数为：喘+/）X400=40（A）,

二前10%得分至少在79.（5分）以上，

∙.∙79<79.5,

•••该同学不能被评为“安全达人”；

(3)画树状图如图所示:

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能的结果，其中抽取的同学中恰有1男1女的结果有8种，

••・选中1男1女的概率为|.

(1)根据题干信息，数出20人中得分在C、D、E组的人数即a、b、C的值，再根据20人中C组人数

所占比例估计总体的人数；

(2)利用“79.5〜89.5”和“89.5〜99.5”两分数段的人数占总人数的10%即可得出结论；

(3)画树状图展示所有等可能出现的结果，再找出恰好选中1男1女的结果,根据概率公式计算即可.

本题考查了调查数据收集的过程与方法，频数分布表，用样本估计总体，列表法或树状图法求概

率，熟练掌握知识点是解题的关键.

23.【答案】32小明24x(4%+4)或16x(x+1)是

【解析】解：(1)30到35之间的“4倍数”是32；

小明：23?-212=(23-21)X(23+21)=2X44=4X22,是“4倍数”，

嘉淇：122-6X12+9=(12-3)2=92=81,不是“4倍数”.

故答案为：32,小明；

(2)①∙∙∙X是不为零的整数，

•••刀和(％+1)必有1个是偶数，

x(x+1)是2的倍数；

故答案为：2；

②任意两个连续的“4倍数”的积可表示为4x(4x+4)或16x(x+l),它是32的倍数.

故答案为：4x(4x+4)或16x(x+1),是；

(3)三个连续偶数为2n-2,2n,2n+2,

(2n-2)2+(2n)2+(2n+2)2=4n2—8n+4+4n2+4n2+8n+4=12n2+8=4(3n2+2),

∙∙∙n为整数，

.∙∙4(3∏2+2)是“4倍数”.

(1)根据“4倍数”的定义即可求解；

(2)①可得X和(X+1)必有1个是偶数，依此即可求解；

②根据“4倍数”的定义即可求解；

(3)根据因式分解的进行计算，然后进行分解即可求解.

本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的应用是解答此题的关键.

24.【答案】(1)证明：如图，连接OP,

∙∙∙4P与。。相切，

.∙.OPLAP,

：.ΛAP0=90°,

•••乙PAo+∆POA=90o,OM1ON,

：.乙POQ+Z.POA=90°,

乙POQ=Z.PAO,

•••B恰好落在。。上，

•••乙PBo=2OQ=^∆PAO,

：.∆PA0=24PBO.

(2)解：连接CP,过P作PDlBC于点D,NPDo=90。,

由(1)可知：4PoQ=Z.PAO,∆APO=90°,

PDo〜卜OPA9

.PD_OD_OP

'而=而=初

-AO2=AP2OP2,。。的半径为3,AP=4,

・•・AO=5,

.PD_OD_3

：・—=—=一,

345

912

ʌPD=1，OD=^-,

1227

.∙.BD=3-OD=3+y=y,

；•Rt△PBD中,PB2=PD2+BD2,

【解析】(1)利用切线得性质，得到直角三角形锐角互余，利用圆周角与圆心角得关系即可证明:

(2)结合(1)证明△P。。〜△0P4,利用相似三角形求得关系，求出PD,OD,最后在Rt△PBD中

运用勾股定理求解即可.

本题考查了圆的性质，相似三角形、切线的性质、勾股定理，解题的关键是：掌握相关的知识点，

会添加适当的辅助线，找到角与角的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解.

25.【答案】解：(1)根据已知可得，抛物线顶点坐标为(0,9),4(—6,0),B(6,0),

设抛物线对应的函数表达式为y=αx2+9,

把B(6,0)代入，得0=36α+9,解得a=-%

1

X2+9

・•・木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为y=4-

(2)在矩形HGNM中，设M(m,-Jm2)(<<6),

4+90rn

由抛物线的对称性可知H(-m,-3m2+9),

矩形HGNM的周长为2(2m-}τn2+9)=-Xm-4产+26.

—ɪ<0>且0<m<6,

••・当租=4时，矩形HGNM的周长有最大值，最大值为26,

即矩形HGNM的最大周长为26dm.

(3)如图是画出的切割方案:

在y=-,久2+9中，令y=2,解得x=±2√~7,

.∙.PQ=4<7;

A

在'=-32+9中，令y=4，解得χ=±2C,

RS=4Λ∕^^5;

在y=-中，令y=6,解得X=±2，3,

：.TW=4√3;

在y=-3/+9中，令y=8,解得x=±2,

：.Kl=4,

拼接后的矩形的长边长为PQ+RS+TW+Kl=(4√^π7+4，万+4口+4)dm.

【解析】(1)根据已知可得抛物线顶点坐标为(0,9),4(-6,0),8(6,0),再设抛物线对应的函数表

达式为y=α∕+9,把B(6,0)代入，可求出ɑ,即可得出抛物线的函数表达式；

(2)在矩形HGNM中，设M(m,-4r∏2+9)(0<小<),由抛物线的对称性可知”(一科一。/+力,

464

所以矩形HGNM的周长为(m-4)2+26,由于<0,且0<m<6,当m=4时，矩形HGNM

的周长有最大值，最大值为26；

(3)如图是画出的切割方案，分别令y=2,y=4,y=6,y=8,即可求出PQ=4√-7>RS=4√^^5,

TW=40.再加起来即为拼接后的矩形的长边长.

本题考查了求二次函数的表达式和二次函数的图象和