2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第三章 第二讲　第二课时　导数与函数的极值、最值 学案

第二课时导数与函数的极值、最值

•双基自测

知识梳理

知识点一函数的极值

1.函数的极值

(1)设函数在点XO附近有定义，如果对XO附近的所有的点，都有依)<

兀¥0),那么y(xo)是函数的一个极大值，记作«<)极大值=ZUo);如果对XO附近的

所有的点，都有/U)>的),那么兀m)是函数./U)的一个极小值，记作./U)极小值

=AΛO).极大值与极小值统称为极值.

(2)当函数/U)在XO处连续时，判别««))是极大(小)值的方法：

如果x<xo有f'(X)>0,x>xo有f'(X)<0,那么兀期)是极大值.

如果x<xo有/'(X)<0,x>xo有/ω>0,那么KW)是极小值.

2.求可导函数式幻极值的步骤

⑴求导数尸⑶；

(2)求方程f'(x)=0的根；

(3)检验∕'(X)在方程∕'(X)=O的根左右的值一的符号,如果在根的左侧附

近为正，右侧附近为负，那么函数y=∕U)在这个根处取得极大值一；如果在根

的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y=∕(x)在这个根处取得_<生院.

知识点二函数的最值

1.函数的最值的概念

设函数v=∕U)在［α,bl上连续,在(a,b)内可导,函数«r)在［α,句上

一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y=Ax)的最大(最小)值.

2.连续函数在闭区间［α,句上一定有最大值和最小值.

3.求函数最值的步骤

设函数y=«x)在［α,切上连续，在(α,")内可导，求凡r)在［α,例上的最值，

可分两步进行：

(1)求)x)在(α,切内的极值：

⑵将/U)的各极值与任α),"力比较，其中最大的一个是最大值，最小的一

个是最小值.

归纳拓展

1.∕'(∙W)=O与XO是兀V)极值点的关系

函数;U)可导，则/'(χo)=o是刈为yu)的极值点的必要不充分条件.例如，

.*X)=Λ3,f(0)=0,但X=O不是极值点.

2.极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值.

3.极值与最值的关系

极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值

的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函

数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取.

4.定义在开区间(α,A)内的函数不一定存在最大(小)值.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(×)

(2)函数的极小值不一定比极大值小.(√)

(3)导数等于0的点不一定是函数的极值点.(J)

(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值∙(√)

［解析］(1)函数的极值是局部概念，极值点是与该点附近的点的函数值比较

得到的，而不是在某区间或定义域上比较.

(2)如图，在Xl处的极大值比在X2处的极小值小.

(3)如y=x3在X=O处，导数为0,但不是极值点.

(4)如图知正确.

/LJ--J

rJ____i

题组二走进教材

2.(选修2P92T1改编)如图是«r)的导函数∕'(x)的图象，则凡r)的极小值点

的个数为(A)

A.1B.2

C.3D.4

［解析］由题意知只有在》=一1处/'(-1)=0,且其两侧导数符号为左负

右正.

3Y

3.(选修2P98T5改编)侈选题)(2023•青岛月考)已知外)=6，则於)(BC)

A.在(-8,+8)上单调递减

B.在(一8,I)上单调递增

3

C.有极大值旨，无极小值

D.有极小值|,无极大值

3(1—X)

［解析］由题意知∕'(X)=J,当x<l时，/'(x)>0,/(X)递增，x>l时,

3

f,W<0,八χ)递减，./U)是函数的极大值，也是最大值/U)=展，函数无极小值.

4.(选修2P98T6改编)函数4X)=InX—X在区间(O,e］上的最大值为(B)

A.1-eB.-1

C.-eD.O

1ɪ—ɪ

［解析］因为/(X)=;—1=丁，当x∈(O,l)时，/(x)>0;当x∈(l,e］时，

f'(x)<0,所以当X=I时，«r)取得最大值In1—1=—1.故选B.

题组三走向高考

5.(2017.课标Il,11)若x=-2是函数AX)=(/+ox—l>e*r的极值点,则

1x)的极小值为(A)

A.-1B.-2e^3

C.5e'D.1

[解析]由题意可得∕'(x)=e'i[x2+(a+2)x+α-∙1].∙.∙χ=-2是函数«x)

=(Λ2÷OX-l)e'1的极值点，'.f'(—2)=0,'.a=~∖,-∙f(x)=(xi~x~1)e'-1,

2

f'(X)=eE(x+χ-2)=e「i(x—l)(x+2),.∙.χ∈(-8,—2),(1,+8)时,/(Λ)>Q,

.*X)单调递增；x∈(-2,l)时,f'(x)<0,/x)单调递减..∖Λx)极小值=*1)=-1.故选

A.

6.(2022•全国甲卷)当x=l时，函数|尤)=HnX+二取得最大值一2,则/'(2)

ʌ

=(B)

A.-1B.-3

D.1

［解析］由题意知，#1)=HnI+/?=/?=-2.求导得F(X)=因为

ʌʌ

人处的定义域为(0,+∞),所以易得/(1)=。-6=0,所以a=—2,所以/(2)

=>"■故选B∙

•互动探究

考点一用导数求解函数极值问题——多维探究

角度1根据函数图象判断极值

例1(1)(多选题)设函数7U)在R上可导，其导函数为/(X),且函数g(x)=

A/(X)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(BC)

A.y(x)有两个极值点

B.犬0)为函数的极大值

C.兀r)有两个极小值

D.1)为於)的极小值

(2)函数/(x)=x3+bΛ2+cx+d的大致图象如图所示，则4+京=华_

［解析］(1)由题图知,当x∈(-8,一2)时,g(χ)>O,：.f(x)<O,

当x∈(-2,0)时，g(x)<O,：.f'(x)>0,

当x∈(0,1)时，g(x)<O,：.f'(x)<0,

当x∈(l,+8)时,g(χ)>O,：.f(χ)>0.

.∙√(x)在(-8,—2),(0,1)上单调递减，

在(一2,0),(1,+8)上单调递增.

故AD错误，BC正确.

(2)由图知fix')=X(Λ+1)(X-2)

2

∙∙f'(X)=3Λ2-2χ-2,因此,尤1、X2为3x2-2χ-2=0的两根xι+x2=Q,x∖xι

2

3,

.∙.%T+Λ⅛=(X∣+X2)2—2x1X2=华•

名帅A拨MINGSHIDIANBO

据图象求极值的解题策略

(1)已知导函数图象判断函数极值的情况.先找导数为O的点，再判断导数

为O的点的左、右两侧的导数符号.

(2)已知函数求极值.求/(x)f求方程∕'(x)=0的根一列表检验∕'(X)在

/(X)=O的根的两侧的符号一得出结论.

角度2求函数的极值

例2(2023∙安徽省部分重点学校联考)求下列函数的极值.

(1UX)=Z(X-5)2÷61nx;

(2次X)=ev(x—1)—^eαx2,a<0.

［分析J求导，研究函数的单调性从而确定极值.

［解析］(1)函数7U)的定义域为(O,+∞),

/、ς∣6(L2)(L3)

(X)=X-5+-=--—

令∕'(x)=0,解得Xl=2,X2=3,可得

X(0,2)2(2,3)3(3,+∞)

f'(X)+0——0+

於)极大值极小值

9

由上表可知当x=2时，极大值.*2)=]+61n2,当x=3时，极小值/(3)=2

+61n3.

(2)f'(x)=xex~xd,=x(ex-ea),令f(X)=0,得X=O或X=α(α<0).

与(X)在R上的变化情况如表：

X(-∞,Ga(α,0)0(0,+∞)

-^7r7χ)-+0—0+

网

由表可知，当x=a时，有极大值，f(a)=ea(a-1-当X=O时，/U)

有极小值，ΛO)=-1.

名帅A披MINGSHIDIANBO

可导函数求极值的步骤

(1)确定函数的定义域.

(2)求方程∕'(x)=0的根.

(3)用方程/(x)=0的根和不可导点的X的值顺次将函数的定义域分成若干

个小开区间，并形成表格.

(4)由f'(X)=O的根左右的符号以及/'(X)在不可导点左右的符号来判断

/(X)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少./(尤)=0是函数

有极值的必要条件.

角度3根据极值求参数的取值范围

例3(2022•全国乙卷)已知X=Xl和X=X2分别是函数/(x)=20v—e%2(α>0且α≠1)

的极小值点和极大值点.若xι<x2,则α的取值范围是(LL)

[分析J根据/U)有极小值点和极大值点，可得/'(X)=O有两个不同的根，

将∕'(x)=0有两个根转化为两个函数的图象有两个交点，数形结合可得结果.

[解析]利用导数解决函数的极值问题(理性思维、数学探索)解法一：由yu)

=2〃一ex2,得/(%)=2ain。-2er.令/'(九)=0,得优InQ=er,因为〃>0且。W1,

〜,L二、〜,avlna人avlna…，QX(Ina>工一。Aina

所以显然x≠0,所以6=1—.令g(x)=1-,贝1g'(X)='_⅛---------=

ʌʌʌ

allna[(∖nd)χ-∖}1,,1人皿、必

---------p--------1.令λg(χ)=o,付X=而7故当χ>MG时，g(χ)>o,g(χ)单倜递

增；当和B时，g'("Og(x)单调递减•所以g(x)极小值=g⅛iR=ɪ"”"，

也是最小值，因为y(x)有极小值点X=XI和极大值点X=X2,故f'(X)=O有两个

不同的根X=Xl,X=X2,故g(x)的图象与直线y=e有两个交点，所以g(j∕^∕<e,

即αc^(ln4)2<e,又"""=α""=α噬=∕e,所以(Ina)2<1,又xι<X2,所以易知当X

∈(-∞,x∣),(X2,+∞)⅛,f'(x)<0;当x∈(xι,⑼时，∕'(x)X).若α>l,则当

Xf+8时,/(χ)f+8,不符合题意，所以o<α<],则一ι<inα<O,所以α∈g,1).

解法二：由题意，/(九)=2α*lnα-2ex,根据/(x)有极小值点X=Xl和极大值

点X=X2可知，X=Xl,X=X2为/'(X)=O的两个不同的根，又无1<Λ2,所以易知当

χ∈(-8,ɪi),(X2,+8)时，f(Λ)<0;当x∈(x∣,X2)时，∕'(x)>0.由∕'(X)=O

可得优∙ln4=ex.①若α>l,则当x—十8时，/(X)f+8,不符合题意，舍去.②

若0<α<l,令g(x)=α'lnα,h(x)=ex,在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)和

/?(x)的图象，如图所示，因为/'(x)=0有两个不同的根，所以g(x)与∕z(x)的图象

需要有两个交点，则过原点且与g(x)的图象相切的直线I的斜率ke.不妨设直线

/与g(x)的图象的切点坐标为(X(),Gffllna),因为g'(x)=α"(In4,所以Z=OXo(In

a)=""：：",可得Xo=从而％=α∙(lnα)2<e,e∙(lna)2<e,贝l](lnα)2<l,

又O<α<l,所以一l<lnQ<O,所以ɑwg,1).

［解题关键］①0±=a‰e=e;②过坐标原点且与曲线相切的切线斜率的求

法.

名帅龙披MINGSHIDIANBO

已知函数极值点或极值求参数的2个要领

I.列式：根据极值点处导数为O和极值这两个条件列方程组，利用待定系

数法求解.

2.验证：因为某点处的导数值等于O不是此点为极值点的充要条件，所以

利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.

〔变式训练1〕

（1）（角度1）已知定义在R上的函数兀T）,其导函数（X）的大致图象如图所示,

则下列叙述正确的是（C）

ALa）次C）

B.函数.*x）在X=C处取得极小值，在x=e处取得极大值

C.函数_Ax）在X=C处取得极大值，在x=e处取得极小值

D.函数TU）的最小值为几/）

（2）（角度2）（2023•河南中原名校质量检查）已知函数/U）=V⑴InX-x,则“x）

的极大值为（B）

B.21n2-2

D.2—e

⑶(角度3)(2022.全国甲卷)设函数/)=sin(s+野在区间(O,π)恰有三个极

值点、两个零点，则①的取值范围是(C)

AR”512

3,6,

(11ɛ(1119

(6'3.(6'6.

［解析］⑴由图可知x∈［α,c］时f'(%)≥0,/U)单调递增，又a<b<c,：.

f(a)<f(b)<fic),A错；x<c时，f'(x)>0,.*x)递增；c<x<e时，f(x)<0,於)递减,

x>e时,/(九)>0,√(x)递增∙.∖Xx)在尤=C处取得极大值，在x=e处取得极小值，

B错，C对；寅办不是极值，又不是定义域端点的函数值，.∖Λ①不是最小值，D

错，故选C.

(2)因为TU)=今(1)In无一X,所以∕'(x)=4'(1)；—1,令x=l得/'(1)=

2

2f'(1)-1,所以/(1)=1,则/(》)=彳-1,所以函数/U)在(0,2)上单调递增，

在(2,+8)上单调递减，则式X)的极大值为y(2)=21n2—2.故选B.

(3)三角函数的图象与性质(理性思维、数学探索)由Λ∈(0,π),得ωx+∣∈

住，兀①+"根据函数於)在区间(0,兀)恰有三个极值点，知微%①+9季得那

<①W号.根据函数段)在区间(0,兀)恰有两个零点，知2π<πω÷^≤3π,得£«这，

1QQ

综上，0的取值范围为普<“W∙

OJ

考点二用导数求函数的最值——师生共研

3—2x

例4(2021•北京高考)已知函数段)=Hp7

(1)若。=0,求y=∕(x)在(1,犬1))处的切线方程；

(2)若函数/U)在％=—1处取得极值，求y(x)的单调区间，以及最大值和最小

值.

3~2x—2∙x2-(3-2x)∙2x2x—6

［解析］（）当时，（）

1α=0yx=，则∕'(X)=X4

当X=I时，Λl)=l,f'(l)=-4,故尸危）在（1,y∏））处的切线方程为厂

1=-4(X—1),整理得y=—4x+5.

3—2x

(2)已知函数«r)=K,

-2(f+α)—(3-2x)∙2X

则/Q)=

(x2÷a)2

2(x1-3χ-a)

=(Λ2+Ω)2'

若函数7U）在x=—1处取得极值，令/（—i）=o,

则（:+］）!=Q解得"=4.

经检验，当α=4时，X=-I为函数犬X）的极大值点，符合题意.

此时.*X）=/M，函数定乂域为R，f（X）=俨；4）2，令/（X）=O,

解得XI=-1,X2=4.

兀。，（X）随X的变化趋势如下表:

X(—8,—1)-1(-1,4)4(4,+∞)

f'(X)+O—O+

於）极大值极小值

故函数/U）的单调递增区间为（一8,-1）,（4,+∞）,单调递减区间为（一

1,4）,极大值为为-1）=1,极小值为.*4）=一；.

33

又因为x＜5时，∕Λ）＞0,x〉s时，∕x）＜0,所以函数/U）的最大值为1）=1,

最小值为44）=一：.

名帏点披MINGSHIDIANBO

1.求函数/U）在［α,切上的最大值和最小值的步骤

（1）求函数在（α,加内的极值.

（2）求函数在区间端点的函数值式4）,fib）.

(3)将函数y(x)的极值与人α),式/?)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一

个为最小值.

2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，一般要根据其极值及单调性画

出函数的大致图象，借图求解.

注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论.

〔变式训I练2〕

已知函数4X)=evcosx~x.

(1)求曲线y=∕U)在点(0,负0))处的切线方程；

(2)求函数«x)在区间［θ,引TT上的最大值和最小值.

［解析］⑴因为兀r)=excosχ-X,所以/'(X)=e*(coSX-SinX)—1,f'(0)=

0.

又因为犬0)=1,所以曲线y=Ax)在点(0,.穴0))处的切线方程为y=L

(2)设∕ι(x)=e∙v(cos%—sinx)-1,贝IJh'(X)=e，(CoSχ-sinχ-sin%—cosx)=—

2evsinx.

当X∈(θ,舒时，h'(x)<0,

7Γ

所以力(X)在区间［o,引上单调递减.

所以对任意XW(0,彳有力(x)<%(0)=0,即/'(x)<0.

所以函数人X)在区间［o,1Tr上单调递减.

因此段)在区间［θ,同上的最大值为的)=1,最小值为周=苫.

利用导教研究生活中的优化问题

例5(2020.江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图

如图所示，谷底。在水平线MN上，桥AB与MN平行，00'为铅垂线(O'在

AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离团(米)与D到00'的

距离α(米)之间满足关系式加=粉;右侧曲线Bo上任一点尸到MN的距离历(米)

与尸到00'的距离/米）之间满足关系式/22=一得力3+6"已知点B到00'的

OUU

距离为40米.

（1）求桥ÆB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于。。的桥墩。。和EF,且CE为80米，其

中C,E在AB上（不包括端点）.桥墩EF每米造价-万元），桥墩8每米造馆

-万元）（Z>0）,问0'E为多少米时，桥墩C。与EF的总造价最低？

［解析］（1）作AAi,BBι,CD↑,EFI都与MN垂直，4,Bi,Di,FI是相应

垂足.

由条件知，当。'8=40时，

BB=一去X4（）3+6X40=160,则Λ4I=160∙

oUU

由历。'A2=160,得O'A=80.

所以AB=O'A+O'8=80+40=120（米）.

（2）以。为原点，00'为y轴建立平面直角坐标系XOy（如图所示）.

设E(%,”)，%∈(0,40),

则P=-ξ^,v3+6x,

EF=160—^2=160+^QX3-6X.

因为CE=80,所以O'C=80-χ.

设力(X—80,y∖),则yι=点(80-x)2,

所以CD=160—y∣=160—^j(80-χ)2=—^pc2+4Λ.

记桥墩Co和Eb的总造价为Tu),

则段)=小60+卷T3-6x)+1(一奈2+4x]

=^gQQχ3-