2023年新高二暑假讲义12讲第2讲 空间向量基本定理含解析

2023年新高二暑假讲义第2讲空间向量基本定理

新课标要求

了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解。

知识梳理

定理：如果三个向量α,h,C不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组（x,丹z},

使得P=M+j≠+zc,其中{α,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,C都叫做基向量.

名师导学

知识点1基底与基向量

【例1-1】有以下命题：『如果向量了与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么u∙.E的关系是

不共线；204氏C为空间四点，且向量•不构成空间的一个基底，则点。一l.B.r一定共面;

3已知向量，；；•一是空间的一个基底，则向量了41,7Γ-b,J也是空间的一个基底，其中正确的

命题是：I

A.X②B.ɪɑc.2③D.①②③

【变式训练1-1】已知向量{“一1，」是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是I

A.<7+7.7+7.27-2T}B.{丁，丁+T+

,,

C.{∙ξ+6*+7.2β+T.7}D.{fl∙,T,27i*+2^6}

知识点2空间向量基本定理及其应用

【例27】（龙华区校级期中）如图，在平行六面体A88-44CA中，M,N分别在面对角线AC,AC

上且CM=2M4,AN=2ND.记向量AB=",AO=6,AAl=c,用α,6,c表z∏MN.

【例2-2】如图所示，在平行六面体,1”「0-,1'。'07/中，AB^l>Λl)-3«.4Λ,≡5∙NBAO-90

BIC.DΛΛ'(i∣).

Ih求"的长；

,求.1「与：位的夹角的余弦值•

【变式训练2-1】如图，四棱锥尸一CUBC的底面为一矩形，PO，平面O/8C,设晶=4,OC=

b,OP=c,E,尸分别为PC和PB的中点，试用”,b,C表示彷，BE,AE,EF.

【变式训练2-2】如图所示，已知空间四边形4BCD的每条边和对角线长都等于1,点、E,F,G分别是A8,

AD,CO的中点.

求卜1八

'J求EG的长.

A组-［应知应会］

1.若向量方，石，L是空间的一个基底,向量3_J.，；，n∙_,；，；，那么可以与市,，，构成空

间的另一个基底的向量是：I

A.TfB.TC.7fD.2fl,

2.（东城区期末）在四面体A38中，点F在AD上，且A尸=2田，E为BC中点，则EF等于（）

112112

A.EF=-AC+-AB一一ADB.EF=——AC——AB+-AD

223223

112112

C.EF=-AC一一AB+-ADD.EF=——AC+-AB——AD

223223

3.（荷泽期末）如图，已知正方体ABCZ）-A用GR中，点石为上底面AG的中心，若AE=A41+Λ∙AB+yA3

则X+y=（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

4.（济宁期末）如图所示，在平行六面体45CO-AgGR中，M为4G与BQ的交点，若

AB=a,AD=b9AAl=cf则CM=（）

C.--a+-b+cD.--a--b+c

2222

5.（阳泉期末）如图，在四面体Q4BC中,。是BC的中点，G是4）的中点，则OG等于（）

A.-OA+-OB+-OCB.-OA+-OB+-OC

333234

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

244446

6.（烟台期末）三棱柱1/「中，底面边长和侧棱长都相等，CIl-/"I-m,则异面

直线/",与.1从所成角的余弦值为：I

A.B.迪C.*2D.

一，

7.（多选）（南通期末）设”,b,C是空间一个基底（）

A.若bYc,则a_L匕

B.则〃，b,C两两共面，但〃，b,C不可能共面

C.对空间任一向量〃，总存在有序实数组（x,y,z）,使p=m+切+zc

D.则α+b,b+c"e+d一定能构成空间的一个基底

8.（邯郸期末）如图，在四棱柱A3CO-44G〃中，底面ABC。是平行四边形，点£为3。的中点，若

ΛlE=xAAl+yAB+zAD,则x+y+z=.

9.已知四棱柱八-的底面488是矩形,底面边长和侧棱长均为2,

∖A∩I.I。W,则对角线〃小的长为.

10.已知｛k,<I｝为空间的一个基底，且i-,・2有・A,€)6-,

(K',…:，：，能否以｛0"网”；)作为空间的一个基底填"能"或"不能".

11.(兴庆区校级期中)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别

是AB，AD'8的中点，设

AB=a,AC=b,AD=c,α,6,c为空间向量的一组基底，

计算：

(1)EF.BA；

(2)∣EG∣.

o

12.(三门县校级期中)如图，在平行六面体43CO-A与GA中，AB=5,AD=3,AAi=4,ZDAB=90,

ABAAx=ZDAA,=60°,设AB=a,AD=b,AA=c.

(1)用4,b,c表示AC；

(2)求AC的长.

13.如图，在空间四边形04BC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且AG：2CE.

(1)试用向量0A，OB)碇表示向量反j；

(2)若OA=2，OB=3>OC=4,ΛΛOB=90c»ZAOC=ZBOC=βOβ.求异面直线。G与AB

所成角的余弦值.

B组-［素养提升］

L已知平行六面体L〃的底面ABCD是菱形,且(∖(/<((1)〃，如图所示,

则当的值为多少时，平面S”/厂并给予证明.

CC1

第2讲空间向量基本定理

新课标要求

了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解。

知识梳理

定理：如果三个向量α,4C•不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,乃z},

使得p=xn+功+zc,其中{α,b,c}叫做空间的一个基底，*b,C都叫做基向量.

名师导学

知识点1基底与基向量

【例1-1】有以下命题：1「如果向量“，了与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是

不共线；2O.∖.RC为空间四点，且向量。i.C力不构成空间的一个基底，则点，.18.（'一定共面；

3已知向量力.•是空间的一个基底，则向量丁一；,1∙；「一也是空间的一个基底•其中正确的

命题是；I

A∙①②B.①③C.，②③D.①②③

【分析】

本题考查空间向量的基本定理，以及共线向量与共面向量，考查分析问题解决问题的能力，是基础题.

根据空间向量的基本定理即可判断23的正误，找出反例判断：命题错误，即可得到正确选项.

【解答】

解：1如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么，；，；的关系是不共线，不正确.

反例：如果”.了中有一个向量为零向量，1.不共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确.

2。，A,B,C为空间四点，且向量瓦I而,OT不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；

这是正确的.

3已知向量不；J是空间的一个基底，则向量T+√.7Γ-b.,也是空间的一个基底；因为三个向

量非零不共线，正确.

故选C.

【变式训练1-1］已知向量{“二r.7”是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是I

A.17Γ*7,.~b+^c.2^a-2~b\B.{K,下+7+1+7}

C.{7Γ+T+∙F,27F+T.71D.{7Γ,T,27Γ+2T）

【分析】本题考查空间向量的基本定理，属于基础题型，能构成空间的另一个基底的条件是不共面，由此

逐项判断即可;

【解答】解：因为2万21>=2∣77.~c)-2{l>i7'∣,

所以∙J,1+N，21.2寸共面.又因为6+^Γ+T=丁+（1T，

所以“.・/；.“，"，/,'f”共面.

不存在Λ，"，使得I+T+VA∣27T+7^∣+ΛL∙,

所以u'.1.］，2<ι,'b>「不共面，

故｛丁-√--,'.∙2<>■√/|可作为空间的一个基底.故选C.

知识点2空间向量基本定理及其应用

【例2-1】（龙华区校级期中）如图，在平行六面体ABCo-ABc〃中，M,N分别在面对角线AC,A1C

上且CM=2M4,∖N=2ND.记向量AB=",AO=Z>,AA=C，用α,6,c表示MN.

【分析】利用空间向量基本定理，即可得出结论.

【解答】解：MN≈MA+AAi+AtN

=-∣ΛC+A4l+∣Λ1D

=-∣(ΛB+AD)+AΛl+∣(AlA+AD)

=--AB--AD+-AA.+-AD

33313

11,I

=——a+-b+-c

333

MN=--a+-b+-c.

333

【例2-2】如图所示，在平行六面体ABC0-4'BlC”/中，ABLAD3-AA'><Z.BAD-90β-

:ɪl>ΛfGO.

Ih求书"的长;

口求：1(：与.l<'的夹角的余弦值.

【解析】解［l)∙.∙k=加+而+五？，

Λ∣ΛC5∣,=(AS+Aβ+7Λ,∖i=+I河?+∖AΛ,∖1+2(AH同+R∑7+#^AA,)

42+3--iɪn75)=H5..∙.∣Λ^∣=√S-

(2)设记与配的夹角为〃，设,fδ=R,Jβ=T>Zi

依题意得彳1•而=(N+%+7)[”=1)=∙34+2m∙了+7'+丁.下+了,下

.1585

16+I)+9+4*5XCUH60'+3x5XCTJeiG(『=16+9+10+=

τ2rτ2r

.∙.COh伊=

【变式训练2-1】如图，四棱锥尸一。IBC的底面为一矩形，PO，平面ONBC,设为=α,OC=

h,OP=c,E,尸分别为PC和PB的中点，试用”,h,C表示砺，BE,AE,EF.

【解】

BE=BC+CE=~OA+^CP=—β÷^((9P-(TC)=—fl+^—∣.

AE=AO+OE=—α÷^(OP+OC)=—α+^c÷^⅛.

又W,F分别为PB,PC的中点，.∖EF=^CB=^OA=^a.

【变式训练2-2】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,

AD,CO的中点.

⑴求EF∙BX；

，.,求EG的长.

【答案】解：设立U-AC'δ>AD<，

则“一。

c1,-u，/>«_∙bfc>=<c,d6∏,

扉—IBD-./.'；/，5X=一。，

⑴段∙BX≡(3-σ)=--»»-→--;

⑵EC=铝+玄+Q=!lδ÷(AΓ-X3)+ɪ(ʌn-X?)

\11,\('∖I,L∙U♦、，

222222

/.∣β(!∣2=/-a+6+C尸=ja?+÷‰•6—2<ι∙c÷26•<*)=-,

、,，即的长为、二

1(；JEG

',22

A组-［应知应会］

1.若向量T，石，J是空间的一个基底，向量川_”1.，；，n'_Ib,那么可以与不，，，,构成空

间的另一个基底的向量是：I

A.TfB.TC.7fD.2fl,

【分析】

本题考查空间向量的共面定理的应用问题，属于基础题.

根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论.

【解答】

解：由题意和空间向量的共面定理，

结合+”“+，，J+I力-1>；20，

得"与〃是共面向量，

同理T■与、“是共面向量，

「与，；不能与"，、，，构成空间的一个基底,

又7•与Tr和h不共面,

J可与“构成空间的一个基底.

故选C.

2.（东城区期末）在四面体ABC。中，点尸在AD上，旦A尸=2H>,E为BC中点、,则M等于（）

112

A.EF=-AC+-AB--ADB.EF=——AC——AB+-AD

223223

-1.12.

C.EF=-AC一一AB+-ADD.EF=--AC+-AB--AD

223223

【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果.

【解答】解：在四面体ABCD中，点尸在4)上，且ΛF=2fD,E为BC中点,

?11117

所以EF=A尸一AE=—AD—(—AB+—AC)=一—AC一一AB+-AD.

322223

故选：B.

3.（蒲泽期末）如图，已知正方体A3C3—A4G〃中，点E为上底面AG的中心，若AE=AA+xAB+y4D

则X+y=()

13

A.-B.IC.-D.2

22

【分析】推导出4E=AA+4E=J(Ag+AR)=gA8+gAO,由此能求出x+y的值.

【解答】解：正方体ABCD-人8CQ中，点石为上底面AG的中心，

ΛE=Λ4,+Λ1E=∣(Λ1β1÷Λ1Dl)=∣AB+∣ΛD,

AE=AA1÷XAB+yAD,.∙.x+y=g+；=l.

故选：B.

4.（济宁期末）如图所示，在平行六面体A8CL>-A耳CQ中，M为AG与BQ的交点，若

AB=α,AD=b,AA=C,则CM=()

U4+c

C.--a+-b+cD.

2222

【分析】利用向量加法的三角形法则以及平行六面体的性质即可求解.

【解答】解：在平行六面体ABCO-A与0。中，M为AG与4。的交点;

.∙.CM=CB+BM

=CB+；(BA+BCJ

=-AO+^BAi+；BG

=-AZ>+∣(BA+A4l)+∣(BC+CCl)

=-AD--AB+-AA+-AD+-AA

22’22'

11,

=——a——b+c；

22

故选：D.

5.（阳泉期末）如图，在四面体Q4BC中,。是5C的中点，G是AD的中点，则OG等于（）

B.-OA+-OB+-OC

234

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

244446

。是BC的中点，G是A。的中点，可得OG=g(OA+O力)，

【分析】在四面体OABC中，

OD=+OC).即可得出.

【解答】解：在四面体Q4BC中，。是BC的中点，G是4）的中点,

则OG='(OA+OD),OD=-(OB+OC).

22

OG=-OA+-OB+-OC.

244

故选：C.

6.（烟台期末）三棱柱.1〃「一（’中，底面边长和侧棱长都相等，CII,/L11：-仙，则异面

直线与.1从所成角的余弦值为：

A.ɪB.D.

【分析】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积

公式及应用，考查学生的计算能力，属于较难题.

先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底

表示，然后利用夹角公式求异面直线1〃与〃一所成角的余弦值即可.

【解答】

设;HI=<'，η=Μ，而=了，棱长均为L

则7i*∙l∙=!,b-P=1,K∙T*=

222

.丽=/+/，拓=%-K+N，

.∙.福•西=(丁+∙F)∙(T-TT+7)

1.111

=2^,+2+2^2+1=1,

∣∕∣β∣!=UB+3产

=√fl,2+2α*∙7+72

=√1+1+1=√*3'

2

∣∏G∣=v∕(Γ-<r+r)

=√l+l+l-l+l-l=√2^

,.S.ι∕>.//(,`”，

异面直线.I从与/“∙∣所成角的余弦值为`八，

6

故选A.

7.（多选）（南通期末）设”,b,C,是空间一个基底（）

A.若“_1_人，hLc,则a_Lc

B.则α,b,C两两共面，但b,C不可能共面

C.对空间任一向量0,总存在有序实数组（x,y,z）,使P=X4+）归+zc

D.则a+6,b+c,c+α一定能构成空间的一个基底

【分析】利用α,b,e是空间一个基底的性质直接求解.

【解答】解：由α,b,C是空间一个基底，知：

在4中，若α,b,blc,则。与C相交或平行，故A错误；

在3中，a,b,C两两共面，但α,b,C不可能共面，故B正确；

在C中，对空间任一向量p,总存在有序实数组（x,y,z）,使P=W+效+ze,故C正确；

在£＞中，a+b,b+c,c+α一定能构成空间的一个基底，故。正确.

故选：BCD.

8.（邯郸期末）如图，在四棱柱A8CO-4BClA中，底面43CO是平行四边形，点E为W）的中点，若

AtE=XAAx+yAB+zAD,贝IJX+y+z=.

【分析】根据向量的三角形法则结合已知条件即可求解;

【解答】解：连接他（图略），

由题意可得AE=JAB+」A。，

22

则AE=AE-A41=^AB+^AD-AA,.

因为AE=XM+yAB+zAD,

所以％=T,y=z=-,

了2

所以x+y+z=O.

故答案为：0

9.已知四棱柱八打「0-的底面ABC。是矩形，底面边长和侧棱长均为2,

14/JVIDW,则对角线〃/)的长为.

【分析】

本题考查空间向量的运算及模的求法，属于中档题.

【解答】

解：设.1"√.∖f)hA.∖∖

则V~S、ɪ>=90".<~a."?>=<7."?>=00>>∣7∣Hlbl=|7|=2>

IΠ)∖UΛ÷.W-DDi万.6+7,

∣BD∣,=β*,+T2+72-27r∙6,-21f∙'F+2Γ7=4+l+4-2x2×2×^÷

2»2>2■ɪ-12，

2

则对角线”〃：的长为八：”

故答案为八：i.

,

10.已知｛E■.二.仃｝为空间的一个基底，且H=「；+2河-r；，θβ=-3<l÷<2>2-；-

<>("，；•，；］，；，能否以｛。D上行Z作为空间的一个基底填"能"或"不能".

【解析】解：∙｛γ^∙匚•/)为空间的一个基底,

,

且列=<；+2。；-「；，θS=-3<∣+<ɔ+2rj,÷⅛71,

设向量CLi,()1),共面，则存在实数〃?，”，使沅Lm砒+n3T,

-3"J⅛n=1

rπ÷N≡≡2

6

2m--n=-J

117

=-π=—

解得I,I；

因此｛O∖,()∣iθ('■：不能作为空间的一个基底.

故答案为：不能.

11.(兴庆区校级期中)如图所示，已知空间四边形ABCz)的每条边和对角线都等于1,点E,F,G分别

是43,AD,Co的中点，设

AB=G,AC=b,AD=c,α,Rc为空间向量的一组基底,

计算：

(1)EF-BA；

【分析】(I)利用数量积公式先求c∙α的值，再根据EF.8A=(gc-gα)∙(-α)求得结果；

(2)由EG=EB+BC+CG=」a+,〃+'c,先平方，再开平方.

222

【解答】解：(1)由题意，AB=a,AC=b,AD=c,

则IaHbl=ICl==1'<cι,b>=<b,c>=<3,a>=60°,

/.EF∙BA=(―c--6r)∙(-6f)ɪɪ；

(2)EG=EB+BC+CG=--a+-b+-c,

222

2111ʌ1111

.∙.EG=-a"9÷-⅛72*4+-C2——a∙b——α∙c+-b∙c=一,

4442222

・∙.IEG当，

ap∣EG∣=-.

12.(三门县校级期中)如图，在平行六面体A88-ABC。中，AB=5,AE)=3,A4,=4,NDA8=90。,

ZBAA1=ZDAA1=60°,设AB=α,AD=b,AA1=c.

(1)用〃，b,c表示AC；

(2)求AC的长.

DI

G

DL…/____LJCl

【分析】(1)由空间向量加法法则得AG=AB+8C+CC∣=AB+AO+A41,由此能求出结果.

，2ʌ

(2)AC1=(α+b+C)2,由此能求出AG的长.

【解答】解：(1)在平行六面体ABCn-A中，AB=a,AD=h,AA1=C,

.*.ACl=AB+BC+CCl=AB+AD+AA1=α+b+c.

(2)AB=5,Ae)=3,Λ41=4,ZZMB=90。，ZBAA.=ZDAA,=60°,

AG=AB+BC+CCI=AB+AD+AA1=α+Z?+C.

,ACj=(d+b+c)2

=Cr+b~+c"+2。"+2a∙c+QJ7∙c

=25+9+16+0+2×5×4×∞s600+2×3×4×cos600

=82.

.∙.AC1的长I4Gl=版.

13.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且AG=2GE∙

(ι)试用向量OA,oɪi,C表示向量；

(2)若OA=2，OB=3，OC=4,NAoB-