2021-2022学年湖南省衡阳市祁东县高二（下）期末数学试卷

2021-2022学年湖南省衡阳市祁东县高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合4=｛1,2,3）,则集合B=｛∣χ-洲尤4,y∈A｝中元素的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

2.（5分）已知复数Z满足（z+z）i=2+i,则Z的虚部为（）

A.-iB.-3ZC.-1D.-3

抛物线及的焦点到其准线的距离为（）

3.（5分）y=*/

11

A.-B.-C.2D.4

84

设函数八%）=,则下列函数中为偶函数的是（

4.（5分）%2_£+3)

A./(x+l)B./(x)+1C./(χ-1)D./(x)-1

5.（5分）已知等差数列｛的｝的前n项和为Sn,53=12,Q4+Q5+Q6=39,则=(

A.19B.22C.25D.27

6.（5分）已知α,β是两个不重合的平面,a∩β=w,∕⊂a,则"是''a,β”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（5分）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为X,转盘乙得到的数为y,

构成数对（x,y）,则所有数对（x,y）中满足x+y=4的概率为（）

1

甲乙

1214

A.-B.-二・一D.一

9939

8.（5分）己知函数/（%）=y∕3sin2ωx+2cos2ωyC-I(ω>0),若/(%)在(O,π)上有2

个极大值，则3的取值范围是（）

A∙。，ɪ）B.当电⅛]d∙M|]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得O分.

（多选）9.（5分）已知α>b,c>0,则下列结论不一定正确的是（）

A.α2c>⅛2cB.a3>b3C.ca>chD.∣^∣>∣∣∣

（多选）10.（5分）已知函数y=∕（x）,xE[a,句的导函数y=/（X）的图象如图所示，则

B./（x）有4个极值点

C.f（X）在（X3,X4）上单调递减

D.f（X3）<f（X4）

（多选）11.（5分）已知向量；,b,"满足向∣=3,IbI=1,∣α-h∣=√7,∣c∣=2∣c-α∣.设

m=tb（r∈R）,则（）

A.R-A的最小值为√ΣB.扁一1的最小值为28一2

C.而一Kl的最大值为2√5+2D.R-A无最大值

—ʌ/——2x♦XV0.

^若关于X的不等式/（x）>αr

{xlnx,x>0,

-e（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则”的取值可能为（）

1

A.-IB.0C.-D.2

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.（5分）已知某圆锥的底面周长为4π,侧面积为2而兀，则该圆锥的体积

为

14.（5分）若cos2α=2s讥©+α）,则sin2α的值为.

15.（5分）铁路作为交通运输的重要组成部分，是国民经济的大动脉，在我国经济发展中

发挥着重要的作用，近年来，国家持续加大对铁路行业尤其是高速铁路的投资力度，铁

路行业得到了快速发展.用1,2,3,4,5分别表示2017年至2021年，得到动车组数

量y与相应年份编号X之间的统计数据如表.

年份编号X12345

数量y（千组）2.42.72.93.33.7

由表格可知，y与X之间存在线性相关关系，回归方程为y=0.32x+α,则估计2023年

动车组的数量为千组.

16.（5分）如图，双曲线C；捻一，=l（α>0,b>0）的左、右焦点分别为Q,尸2,点A,

B,M在双曲线C上，且四边形AgFl尸2为等腰梯形，⅛2=2AB,F^M=^MB,则双

曲线C的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1

17.（10分）已知aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且SmA=^sinB+SinCcosB.

（1）求G

,_5√3

（2）若c=V∑LZ∖A8C的面积为---，求AABC的周长.

4

18.（12分）为加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提

高身体健康水平，某学校改进课程教学，增加学生体育锻炼时间.市体质监测中心抽取

了该校高三A班和高三B班各10名学生进行体质测试，得到如下数据：

高三A班10名学生体质测试成绩（单位：分）

55586567767980828593

高三8班10名学生体质测试成绩（单位：分）

56575972788385879192

其中体质测试成绩在60分以下为不合格，88分以上为优秀.

(1)求A班Io名学生体质测试成绩的平均分，估计B班学生体质测试成绩的优秀率；

(2)市体质监测中心准备从这20名学生中随机选出体质测试成绩不合格的3名学生进

行补考测试，记这3人中来自B班的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.

19.(12分)已知等比数列｛0,｝的前〃项和为S”52=36,及是4m与18的等差中项.

(1)求｛“"｝的通项公式；

(2)设“=岩工求数列｛加｝的前〃项和.

an

20.(12分)如图，在四棱锥PTBC。中，底面ABCQ为菱形，E,F分别为B4,8C的中

点.

(1)证明：EF〃平面PCD

(2)若平面ABCO,ZADC=120°,且Po=2AD=4,求直线4尸与平面OEF所

成角的正弦值.

21.(12分)已知A,B分别是椭圆E：=+J=l(α>F)的左、右顶点，P是直线X=

-1上的一动点(尸的纵坐标不为零且P不在椭圆E上)，直线AP与椭圆E的另一交点

为M,直线BP与椭圆E的另一交点为M直线MN与X轴的交点为Q,且AAMB面积

的最大值为3遍.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线PQ的斜率为总,直线BP的斜率为&2,证明T1为定值.

&

22.(12分)已知函数F(X)=ex-ax.

(1)若f的最小值为0,求α的值;

11

(2)证明：当α>e时，/(x)有两个不同的零点幻，X2,且一+—>2.

XiX2

2021-2022学年湖南省衡阳市祁东县高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合A={l,2,3）,则集合8={∣X-MΛWA,）WA）中元素的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：当X,y取相同数时，∣χ-y∣=0;

当X,），取不同数时，∣x-y∣的取值可能为1或2,

故B中共有3个元素.

故选：B.

2.（5分）已知复数Z满足（z+i）i=2+i,则Z的虚部为（）

A.-zB.-3iC.-1D.-3

【解答】解：由（z+i）i=2+i,得Z=隼T=先尹-i-31,

.∙.z的虚部为-3.

故选：D.

3.（5分）抛物线E：y=寺炉的焦点到其准线的距离为（）

11

A.-B.-C.2D.4

84

【解答】解：抛物线E：y=∣x2,即∕=4y,则2p=4,所以"=2,

所以抛物线的焦点到其准线的距离为p=2.

故选：C.

4.（5分）设函数/（X）=d_£+3,则下列函数中为偶函数的是（）

A.f（x+l）B.f（x）+1C./（X-I）D.f（x）-1

【解答】解：根据题意，f（x）=2LQ=—一，

x（X—1）+2

由此分析选项：

对于A,/（x+1）=ɪ,是偶函数，符合题意；

对于8,f（x）+l=-4一+1，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；

（x-l）z+2

对于C,/（X-I）=一4一，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；

（%-2）z+2

对于。，/（x）-1=一4——1,既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；

（Al）Z+2

故选：A,

5.（5分）已知等差数列｛。〃｝的前〃项和为S〃，53=12,04+05+46=39,则。8=（）

A.19B.22C.25D.27

【解答】解：设等差数列｛©｝的公差为d,首项为G,

•：S3=12,。4+。5+。6=39,

.Cia1+3d=12.rα1=1

,,e

∙(3α1+12d=39'Id=3

∙*∙48=m+7d=22.

故选：B.

6.（5分）己知α,B是两个不重合的平面，α∩β=m,∕uα,则“LLm”是“aJ_p”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：α,β是两个不重合的平面，a∏β=Mz,∕⊂a,ILm,则a不一定垂直于0,

故不是“a，p”的充分条件；

a,B是两个不重合的平面，a∩β=∕w,IUa,a±β,则/不一定垂直于沉，故机”

不是"a,β”的必要条件；

所以，故ulLm"是"aJ_Ir的既不充分也不必要条件.

故选：D.

7.（5分）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为X,转盘乙得到的数为y,

构成数对（x,y）,则所有数对（x,y）中满足x+y=4的概率为（）

【解答】解：数对（X,）'）所有的可能的结果有:

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9

个，

其中满足x+y=4的数对有：(1,3),(2,2),(3,1),共3个，

.∙.所有数对(x,y)中满足x+y=4的概率为P=5=g∙

故选：C.

8.(5分)已知函数/(%)=√^sin2Mr+2COS2MT-1(ω>0),若/(x)在(O,π)上有2

个极大值，则3的取值范围是()

A.*ɪ)B,[ɪ,|)C-m⅛D.电|]

【解答】解：由题意可得/(x)=√3si∏2ωx+cos2ωx=2sin(2ωx+5)，

TrTCTC

因为OVXVπ,所以一<2ωx+—<2ωτr+—,

666

因为/(%)在(O,π)上有2个极大值，

5τrπ9π

所以—<2ωτr+-≤—,

262

13

所以二<ω≤—,

66

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得O分.

(多选)9.(5分)已知q>6,c>0,则下列结论不一定正确的是()

A.a2c>⅛2cB.α3>⅛3C.cα>cz,D.∣^∣>∣^∣

【解答】解：取〃=-1,b=-2,c=l,

则∣Ξ∣<∣∣∣,.∙,λ,。选项错误.

•.♦函数y=/是R上的增函数，.∙.∕>∕Λ.∙.B选项正确.

若OVC<1,则ca<cz∖C选项错误.

故选：ACD.

(多选)10.(5分)已知函数y=f(x),x∈[α,句的导函数y=/(x)的图象如图所示，则

()

A.f（x）在（X2,O）上单调递增

B./（x）有4个极值点

C.f（X）在（%3,X4）上单调递减

D.f（Λ3）</（X4）

【解答】解：由图可知，导函数在（X2,0）上大于0,可得/（X）在（X2,0）上单调递

增，故A正确；

导函数有4个零点，但当X=X4时，原函数无极值，.∙.∕（x）有3个极值点，故8错误：

当Λ∈（X3,X4）时，/（X）<0,可得/（X）在（X3,X4）上单调递减，故C正确，D

错误.

故选：AC.

（多选）11.（5分）已知向量工b,Z满足面=3,或=1,∖a-b∖=√7,∣c∣=2∖c-a∖.设

Tn=Ib(r∈R),则()

A.而一A的最小值为企B.R-A的最小值为2√I-2

C.疏一A的最大值为2√5+2D.R-％无最大值

【解答】解：因为日-1∣=√7,所以滔一22）+/=7.又面=3,∖b∖=∖,所以9-

6cos<a,b>+1=7,解得COSvα,b>=^,所以Vα,b>=j.

建立如图所示的直角坐标系xOy：

TTTT[、叵→T

设Q=OA=（3,O）,b=OB=（ɪ，ɪ）,C=OC=（%,y）.

因为向=2而一&,所以（χ-4）2+y2=4,即圆心为E（4,0）,半径为2的圆.

设蔡=O%=tO⅛,则点M在直线OB上运动，则同一A=I或一品I=Ic⅛.

令点E到直线08的距离为d.

→→Jl

则IeMI而"=d-r=∣0E∣sin^-2=2√3-2无最大值.

故选：BD.

—ʌ/—Y2—7YV<∩

一若关于X的不等式/（X）>以

{xlnxfx>0,

-e（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则。的取值可能为（）

1

A.-1B.0C.-D.2

2

【解答】解：∙∙∙∕G）>αχ-e在R上恒成立，

・・・等价于/（x）的图象恒在直线y=0r-e的上方，

Iffl出/。）={v的图象，如图，

{xlnx,x>0

又直线y=tzχ-e恒过点（0,-e）,

①当直线与y=九mr,x>0相切时，设切点P（刈，xolnxo）,

求导得y=∕wΛ+l,可得k=l+∕”xo,

由1+Inx="°'T°+e,解得XO=e,

0⅞

则切线的斜率为2.

②当直线与y=-√-(x÷I)2÷1相切时，

直线y=0χ-e与半圆(x÷l)2+y2=↑(y≤0)相切，如图,

∣-α-β∣l-e2

∣^h!—2--T=ɪ,解得Q=—nð-，

√α2+l2β

故。的取值范围是d萨，2).

故选：ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

4TT

13.(5分)已知某圆锥的底面周长为4n,侧面积为2遍兀，则该圆锥的体积为

3

【解答】解：设圆锥的底面半径为r,母线为/,

叫比墨储解需乐

则该圆锥的高4=√Z2-r2=1,

故该圆锥的体积为去∙22∙1=舞.

4TT

故答案为：—.

3

14.(5分)若CoS2α=2si∏C+a),则sin2α的值为-1

【解答】解：Vcos2a=2sin(∙^+α),cos2α-sin2α=√2(sinα+cosα),

Λcosa-sina=鱼或COSa+sina=0,

当cosa-Sina=企时,1-2sinacosa=2,B∣Jsin2a=-1,

当CoS(X+sina=O,即tana=-1时，a=Λπ-与(Λ∈Z),2a=2⅛π-ɪ,Λsin2a=-1,

答案为：-L

15.(5分)铁路作为交通运输的重要组成部分，是国民经济的大动脉，在我国经济发展中

发挥着重要的作用，近年来，国家持续加大对铁路行业尤其是高速铁路的投资力度，铁

路行业得到了快速发展.用1,2,3,4,5分别表示2017年至2021年，得到动车组数

量y与相应年份编号X之间的统计数据如表.

年份编号X12345

数量），（千组）2.42.72.93.33.7

由表格可知，y与X之间存在线性相关关系，回归方程为y=0.32x+α,则估计2023年

动车组的数量为4.28千组.

Γ≡⅛S1ft8.出口⅛ιHT俎.V1+2+3+4+5ɔF=2.4+2.7+2.9+33+3.7=

k/UT口J∕tfr∙lɪlI_i八H—J1寸ʌ—=5—ɔ*J—

∙5

则样本中心点为(3,3),代入线性回归方程，可得3=0.32×3+α,解得a=2.04,

线性回归方程为y=0.32%+2.04,

取x=7,可得y=0.32X7+2.04=4.28.

故答案为：4.28.

16.(5分)如图，双曲线C；b>0)的左、右焦点分别为Fi,F'2,点A,

B,M在双曲线C上，且四边形A5Fι∕⅛为等腰梯形，F⅛=2AB,f∖M=∣Λ⅛,则双

曲线C的离心率为

FiΓo∩rʌ

【解答】解：∙.∙ah=2λ⅛,F1(_C,0),F2(C,0),可设B&,TTl),则4(—7H),

.∙.f⅛=∣Λ⅛,ΛF⅛=∣⅛,

__2c

设贝

M(X,y),II(X+c,y)=I(ɪ,zn),.,.∙∙∙M(一可，—),

U甘

将8,M坐标代入双曲线方程得:

rc2m2_

,商一7,

4-2_4Z∏2_

<25α225b2一

3C221

整理可得：=.∙.e2=7,双曲线的离心率e=√7.

25a225

故答案为：√7.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1

17.(10分)已知448C的内角A,B,C的对边分别为α",c,Jlsin/1=^sinB+SinCcosB.

(1)求C；

(2)若C=VΣT,Z∖ABC的面积为---，求AABC的周长.

4

1

【解答】解：(1)由SirL4=)S讥8+s讥CCOS8.

得2sinA=2sin(β+C)=Sin8+2SineCOS8,

2sinβcosC+2cosθsinC=sin^+2sinCcosB,

Λ2sinBcosC=sinB,VsinB≠0,

ΛcosC=ʌ,V0<C<180o,ΛC=60o,

5√31K售

(2)YZVlBC的面积为---，∙∖-abinC=-7—>

424

♦・CIb—5,

由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC,

.∖2∖=a2+h2-ah=(〃+/?)2-3ab,：.(〃+b)2=36,

∙*∙α+A=6,

ΔABC的周长为6+√21.

18.(12分)为加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提

高身体健康水平，某学校改进课程教学，增加学生体育锻炼时间.市体质监测中心抽取

了该校高三A班和高三B班各10名学生进行体质测试，得到如下数据：

高三A班10名学生体质测试成绩(单位：分)

55586567767980828593

高三B班10名学生体质测试成绩(单位：分)

56575972788385879192

其中体质测试成绩在60分以下为不合格，88分以上为优秀.

(1)求4班10名学生体质测试成绩的平均分，估计B班学生体质测试成绩的优秀率;

(2)市体质监测中心准备从这20名学生中随机选出体质测试成绩不合格的3名学生进

行补考测试，记这3人中来自B班的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.

【解答】解：(1)由表中数据可得，A班10名学生体质测试成绩的平均分为：

1

—×(55+58+65+67+76+79+80+82+85+93)=74,

B班10名同学有2名同学体质测试成绩优秀，

则估计B班学生体质测试成绩的优秀率为义=ɪ

105

(2)A班体质测试成绩不合格有2人，B班体质测试成绩不合格有3人，

X所有可能取值为1,2,3,

P(X=I)=粤/

IU

L5

P(X=2)=券=4

C6ɔ

L5

P(X=3)=4=⅛

cl10

故X的分布列为：

X123

P331

10510

3319

£(X)=1×10+2×5+3×10=5∙

19.(12分)已知等比数列｛a”｝的前“项和为a,S2=36,。2是4m与18的等差中项.

(1)求｛加｝的通项公式；

(2)设%=串，求数列｛为｝的前"项和.

+@2=36,fɑi=9,

解得《

2a2=4a1+18,(α2=27,

所以｛〃”｝的公比q=孕=3,

Ql

rIn+1

故On=QlqT=3.

(2)由(1)可知，bn=黠,设数列｛为｝的前〃项和为7¾,

Ll23∏+1T23n+1

贝切=—O+-ɔ+∙∙∙÷.>—n=~÷-T÷∙∙∙+∙-TT,

n32333nn+11333343n+2

11

2T2111n+12n+15

所以n

33233343n+13n+2321-13n+218

3

271+5故7=—___2叶。

nn+1

2x3+2'啾。124×3-

20.（12分）如图，在四棱锥尸T2C。中，底面A8C。为菱形，E,F分别为B4,BC的中

点.

(1)证明：EF〃平面PCD

(2)若PO_L平面A8CQ,ZADC=120°,且PO=2AO=4,求直线A尸与平面。EF所

成角的正弦值.

【解答】(1)证明：取尸O的中点G,连接CG,EG,

因为E,尸分别为附，BC的中点，

所以EGHAD,EG=^AD,

又底面ABC。为菱形，所以CFlI4D,CF=^AD,

所以JEG〃CF,EG=CF,

所以四边形EGCF为平行四边形，

所以EF//CG,

又CGU平面PCD,EPC平面PCD,

所以EF〃平面PCD.

(2)解：连接B

因为PO_L平面ABC。，DF,D4u平面A8Cf),

所以PD_L£>F,PDA,DA,

因为四边形ABC。为菱形，NAQC=I20°,

所以ABCD为等边三角形，

因为尸为BC的中点,

所以DFlBC,

因为8C〃D4,

所以DF±DA,

所以。F,DA,OP两两垂直,

所以以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

因为AO=PO=2,所以D(0,0,0),F(√3,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),

则而=(0,1,2),DF=(√3,0,0),AF=(√3,-2,0),

设平面DEF的法向量m=（x,y,z）,

则用=y+2z=0,令Z=],得益=（0,_2,1）,

（Tn∙DF=V3x=0

设直线A尸与平面DEF所成的角为仇

I扇.族I=|4|=4回

则SiTle=∖cos{m,AF)∖=

∖m∖∖AF∖若x"35

所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为」

35

21.（12分）已知A,8分别是椭圆E：j+J=l（α>√M）的左、右顶点，P是直线X=

αz5

-1上的一动点（尸的纵坐标不为零且「不在椭圆E上），直线AP与椭圆E的另一交点

为M,直线8尸与椭圆E的另一交点为N,直线MN与X轴的交点为°,且AAMB面积

的最大值为3遍.

（1）求椭圆E的方程;

(2)设直线PQ的斜率为内，直线BP的斜率为Q,证明答为定值.

化2

【解答】(1)解：当点M为椭圆E的上或下顶点时，的面积取得最大值,

此时有SAAMB=∣∣Aβ∣∙∣>w∣=∣∙2^∙√5=3√5,解得a=3,

l2√10

设点P(-1,r),其中r≠0且∕≠±―-—,M(xι,y↑)9N(X2,”),

所以直线”的方程为产!(x+3),直线BP的方程为)，=一］(χ-3),

7私"3),得/P)/+2+学-

联立45=0,

.9^+T=1

所以xι∙(-3)=*⅛,化简得XI=空驾，

5+别220+9r

tt60-27t^60t

所以yι=5(Xl+3)=ɔ(---------τ^+3)=--------o)

'2220+9"20+9t2

60-27t260t

所以点M(20+9t2'20+9t2)，

27t2-24012Ot

同理可得，点N(-------7