2022-2023学年黑龙江省牡丹江市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1.设(l+2i)α+b=-2i,其中“涉为实数，则()

A.a=l,b=-∖B.a=l,⅛=l

C.a=-l,b=-lD.a=-l,b=l

【答案】D

【分析】根据复数相等可得答案.

/、fa+b=0

【详解】(l+2i)β÷⅛=-2i,.∙._,

故选：D.

2.平面向量α与b相互垂直，已知α=(6,-8),W=5,且。与向量(1,0)的夹角是钝角，则b=()

A.(—3,-4)B.(4,3)C.(-4,3)D.(-4,-3)

【答案】D

【分析】先设出向量8的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即

可.

【详解】设6=(χ,y)

a^.b,:.a-h=0,:.6x—Sy=0,①,

W=JX2+y2=§,②，

8与向量(1,0)夹角为钝角，.∙.χ<o,③,

(X=-4

由①②③解得(一.∙.⅛=(-4,-3),

Iy=-3

故选：D.

3.⅛∆ABCΦ,sinA:sinB:SinC=3:5:7,则此三角形中的最大角的大小为()

A.150oB.135oC.120oD.90°

【答案】C

【分析】由正弦定理可得出m∕τc=357,设α=3%(Q0),则b=53C=Ik,然后根据余弦定

理求出COSC即可得出答案.

【详解】由正弦定理可得，a:6:c=3:5:7,

设α=3%(%>0),则6=5k,c=1k,所以C最大.

由余弦定理可得，c。SC=T^9/+25/-49公ɪ

2×3k×5k2

因为0°<C<180°,所以C=120°.

故选：C.

4.下列不能化简为P。的是（）

A.QC-QP+CQB.AB+^PA+BQ^

C.(AB+PC)+(BA-βC)D.PA+AB-BQ

【答案】D

【分析】根据向量的加减法以及运算性质，可得答案.

【详解】对于A,QC-QP+CQ=PC+CQ=PQ,故A不符合题意；

对于B,AB+(PA+BQ)=AB+PA+BQ=PB+BQ=PQ,故B不符合题意；

对于c,(AB+PC)+(BA-QC)=AB+PC+BA+CQ=PQ,故C不符合题意;

对于D,PA+AB-BQ=PB-BQ,故D符合题意.

故选：D.

5.已知向量∣α∣=2,W=I,且,-3可=近，则向量°力的夹角是()

A5兀C兀-2兀n兀

A.—B.—C.——D.—

6633

【答案】D

【分析】由卜-3力1=7可求得a∙b,根据向量夹角公式可求得结果.

【详解】∣t7-3⅛∣=∣d∣2-6Λ∙⅛+9∣⅛∣=13-6d∙Z>=7,.∙,d∙⅛=1，

,a∙b1--π

.∙.cos<a,b>=,I=-j又<α,6>e[0,π],.∙.<α,Z>>=1.

故选：D.

直线与

6.如图所示，在三棱柱ABC-AAG中，AA，底面ABC,ABlBC,AAi=AC2,AC

侧面AAB声所成的角为30,则该三棱柱的侧面积为

【答案】A

【分析】由线面垂直的判定定理可得BCJ_面AAgB,得到直线AC与侧面AAg8所成的角为

NCAB,然后由题目条件可得AB,BC的长度，从而可得侧面积.

【详解】AA_L底面ABC,则AA1LBC,ABlBC,MAB=A,可得BC,面AAg8,所以直线

AC与侧面AAgB所成的角为NCA8=30，又

AA,=AC=2,邓=2啦，BC=及WBC贝IJ=√^,则该三棱柱的侧面积为

2√2×2+2×2=4+4√2»

故选A

【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用和线面角的求法,

7.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后,

剩下的几何体的体积是

A，-3b∙τd∙i

【答案】D

【详解】由题意几何体的体积，就是正方体的体积减去8个正三棱锥的体积,

V正方体-8V三棱锥=l-8χ1XWiXI=工.

322226

【解析】组合几何体的面积、体积问题

8.如图(1)在正方形SG∣G2G3中，EF分别是边GG?,G2G3的中点，沿SE,SP及EF把这个正方形

折成一个几何体如图(2),使GQ2G3三点重合于G,下面结论成立的是()

A.SGJ_平面EFGB.S£>_L平面EFG

C.GF_L平面SEFD.Z)G_L平面SEF

【答案】A

【分析】根据折叠前后垂直关系不变可推出A正确，B错误，再由G尸与E尸不垂直判断C,反证法

可判断D.

【详解】在折叠过程中，始终有SG∣LG∣E,SGJQF,

即SG_LGE,SGLGF,又GECGF=E,GE,GFu平面EFG,

.∙.SGJ•平面EFG,所以A正确，B错误；

GE=GF,。是EF的中点，.∙.GOLEF,故GF与E尸不垂直，故C错误；

若Z)G，平面SE万，则DGLS。，又SGL平面EFG,则SGLOG,显然矛盾，故D错误.

故选：A.

二、多选题

9.已知向量α=(∕M+l,T),⅛=(1-∕∏,2),则下列说法正确的是()

A.若“∕∕b,则机=3B.存在机eR,使得aqb

C.p⅛∣=√5D.当〃?=1时，α在b上的投影向量的坐标为(0,-1)

【答案】CD

【分析】根据平面向量共线的坐标公式即可判断A；根据平面线路垂直的坐标表示即可判断B；根

据向量的模的坐标计算即可判断C；根据投影向量的计算公式即可判断D.

【详解】对于A,若a〃b，则2(w+l)+l-加=0,解得m=-3,故A错误：

对于B,a.Lb1则4力=0，

即1-机2—2=0,方程无解，

所以不存在〃zeR,使得α2b,故B错误；

对于C,α+⅛=(2,l),所以卜+6卜4TT=石，故C正确；

对于D,当"7=1时，=(2,-1),b=(0,2),

abh-2(0,2)

则d在人上的投影向量的坐标为讨∙M=Eχky2=(°,τ),故D正确.

故选：CD.

2

10.下面是关于复数Z=IJ(i为虚数单位)的命题，其中真命题为()

-l÷ι

A.Z的实部为1B.z2=2i

C.Z的共轨复数为l+iD.Z的虚部为T

【答案】BD

【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后判断各选项.

22(-1-i),.

2

【详解】因为z=-r77=/、=-1，所以Z的实部为-1,故A是假命题；z=2i,故B

是真命题；Z的共轨复数为τ+i,故C是假命题；Z的虚部为T,故D是真命题.

故选：BD.

11.下列命题正确的是()

A.平行于同一个平面的两直线平行

B.两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等

C.一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行

D.一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行

【答案】BC

【分析】以长方体为例，举例即可判断A、C、D；根据面面平行的性质定理，可证得线线平行，进

而通过证明平行四边形，即可得出B项.

Sl

对于A项，如图1,长方体ABCD-A4G。中,

4耳〃平面ABC£),8∣C∣∕/平面ASCZ),

图2

对于B项，如图2,已知两个平面α,Q,allβ,两条直线a//〃,

且直线αa=E,aB=F,ba=G,bβ=H.

因为a〃b,所以“力可构成平面，设为7,

则由图可知，«1γ=EF,βγ=GH,

根据面面平行的性质定理可知，EFHGH.

又因为EH//FG,

所以，四边形EFG”为平行四边形，

所以EH=FG,故B项正确；

对于C项，根据面面平行的判定定理可知，C项正确；

对于D项，如图1,长方体ABeo-A4GR中，

AA〃平面ABCD,平面ABa）//平面ABIG2，

但是ABlU平面A内Gq,故D项错误.

故选：BC.

12.对于，A8C,有如下判断，其中正确的判断是（）

A.若A>B,则SinA>si∏β

B.若sin2A=sin23,则.ΛBC为等腰三角形

C.若α=10,b=9,8=60。，则符合条件的一ABC有两个

D.若siYA+sin'BAsi/C,则AABC是锐角三角形

【答案】AC

【分析】根据三角函数的单调性可判断A选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B选项，利用

正弦定理可判断C选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D选项.

【详解】对于A：由/>6,则当4e（θ,]时，SinA>sin8,当Aee,万）时，由A+3<不可知

B<π-A<^,所以sinB<sin（乃-A）=SinA,故A选项正确；

对于B：由sin2A=sin28,Ae（0,万），B∈（O,Λ-）,A+3e（0∕）得：2A=2B或2A+2B=τr,即A=B

TT

或A+B=],所以ABC为等腰三角形或直角三角形，B选项错误；

对于C：由a=10,6=9,8=60。，根据正弦定理三=工得：SinA=a*=地>立，

sinASinBh92

Tlr）,TΓTT

.∙.∖<A<手=乃一8,且Aw1,所以满足条件的三角形有两个，C选项正确；

对于D：由正弦定理可将sin2A+sh√8>sin2C转化为/+U>c2,则COSC=色亘二：>0,所以

lab

c<T^T,但无法判断A8的范围，D选项错误.

故选：AC.

三、填空题

13.如图所示，正方形O'A'8'C'的边长为2cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形

的周长是cm.

【答案】16

【分析】将直观图还原可得，原图形为平行四边形，根据斜二测画法的法则，结合勾股定理，可得

出平行四边形各边长，即可得出答案.

【详解】由己知可得，0'B'=2√2.

则将直观图还原为原图形如下图

原图形为平行四边形，其中，OA=BC=2,OB=20'B'=4√2.

所以，OC=AB=JOA2+OB?=6,

所以，QABC的周长为OA+A3+3C+CO=2+6+2+6=16.

故答案为：16.

9JT

14.若圆锥的侧面展开图的面积为3π且圆心角为芍的扇形，则此圆锥的体积为.

【答案】迈L

3

【分析】设圆锥的底面半径为r,母线长为/,由题意，结合扇形的弧长公式和面积公式可得

ɔjrIɔjr

2πr=y∙∕,且gq∕=3π,解得r,/,再利用圆锥的体积计算公式即可.

【详解】设圆锥的底面半径为广，母线长为/,

由题意知2口=曰•/,且g仔.U-解得r=l,∕=3,

••圆锥的高/z=J/?—产=19-1=2*72,

.∙.此圆锥的体积VJπr%=Lτtxl2χ2忘=冬色.

333

故答案为：也.

3

15.一艘船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，向东行驶IOkm后，船到达8处，看到灯塔"

在北偏东15。方向，这时船与灯塔的距离为km.

【答案】5√2

【分析】结合图形，利用正弦定理求解即可.

【详解】如图，根据题意可知43=10km,ZM4S=30o,ZAMB=45°,

ABBM

在,408中，由正弦定理得

SinZAMBsinZMAB

10BM

即α-J.，解得BM=5拉km.

T2

故答案为：5√2∙

16.如图，在四棱锥S-AB8中，底面A8C。为平行四边形，点E是SA上一点，当SE:3=

时，SC〃平面EBD.

【答案】1:2

【分析】连接AC交8。于0,根据线面平行的性质定理可得SC//EO,进而即得.

【详解】如图，连接AC,设4C与BO的交点为。，连接E。，

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以点。是4C的中点.

因为SC〃平面EBz),且平面平面以C=EO,又SCU平面SAC,

所以SC7/EO,

所以点E是SA的中点，即SE：S4=1：2.

故答案为：1:2.

四、解答题

17.向量04=(%,12),08=(4,5),OC=(I(),%),若A8,C三点共线，则求实数h

【答案】Z=II或4=-2

【分析】先根据向量减法的运算法则求出AB=(4-R-7),BC=(6,k-5),再利用向量共线的性质

列方程求解即可.

【详解】因为OA=(LI2),OB=(4,5),OC=(10,k),

所以45=OB-OA=(4-%,-7)

BC=OC-OB=(6,k-5)

因为A,8,C三点共线，

所以AB与BC共线，

Λ(4-k)(k-5)=-42

Z=Il或〃=一2

【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及向量共线的性质，属于中档题.向量的运算有两

种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：(1)平行四边形

法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；(2)三角形法则(两箭头间向量是差，箭头

与箭尾间向量是和)；二是坐标运算.

18.已知忖=1,W=2.

⑴若<4,6>=60。，求卜+电

⑵若α功与“垂直，求当左为何值时，(ka-b)l(a+2b)?

【答案】(1)近

(2)3

【分析】(1)根据向量模长公式即可求出结果；

(2)根据a-b与a垂直可以求出α力=1，根据(ka-b)∖a+2⅛)=0即可求出k的值.

【详解】(1)α∙⅛=∣w∣∙∣⅛∣∙cos<α,⅛>=l,

∣α+⅛∣=J(α+b)=+2∙α∙⅛+∣⅛∣=币>

所以卜+4=近；

(2)因为α-b与α垂直,

2

所以(T)∙α=0,βp∣ɑ∣-fl-⅛=O,

解得“∙6=l,

当(kα-Z>)_L(“+26)时，(Z4-6)∙(4+2b)=0,

BP⅛∣0∣2+(2⅛-l)∙6z∙ft-2∣∕7∣2=0,

解得％=3,

所以当人=3时，(ka-b)r(a+2b).

19.如图，已知在长方体ABC。-ABQQ中，DA=DC=I,AA=2,点E是AC的中点.

（1）求证：平面EBO；

（2）求三棱锥R-BDE的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）ɪ

O

【分析】（I）连接OE,利用中位线的性质得出A4〃。£,再利用线面平行的判定定理可证得结论

成立；

（2）计算出S△皿£,利用锥体的体积公式可求得结果.

【详解】（1）因为四边形48CO为矩形，且ACBD=O,则。为AC的中点，

又因为E为CR的中点，则0E//4R,

.4。（？平面后3。，OEU平面E3Z）,因此，AZv/平面E5。；

(2)因为OR_LC£>,CD=I,OR=2且E为CR的中点,

所以，SADDfi=2∙^ΔCOD1=WC£)-DD1=—,

在长方体ABCD-AIBcQl中，BC工平面CDDC,

=

因此,VoI-BDE~B-Dt∖EɜΔDDlE'BC=~.

【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：

（1）通过面面平行得到线面平行；

（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.

20.已知a,b,C为AABC的内角A,B,C所对的边，且,2=/+从-必

⑴求角C

（2）若SinB<SinC,〃=4,力为BC的中点，AD=√13,求AABC的面积

Tr

【答案】（I）C=］；

（2）6√3∙

【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解；

（2）根据余弦定理可求CZ）值，进而可求”,根据三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）由题可得。+从一C?=助,

由余弦定理得CoSC="+"-C2=

2ab2

因为OVC<兀，

π

所以C=1;

(2)在三角形A。C中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosZACD,

BP13=16÷CD2-4CD,

解得8=1或CO=3,

即α=2或α=6,

因为SinB<sinC,所以由正弦定理可得∕><c,故8<C,

Tr

因为C=§,

所以A>C>8,故α>c>b,

所以。=6,

所以SL∖mΛteH,=—2absi2nC=-×6×ɔ4×—'=673.

21.在，ASC中，⅛=2√3,再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.

(1)若α=2,求ABC的面积；

(2)求α+c的取值范围.

条件①^/JccosB=6sinC;条件②2(√-c=2⅛cosC.

【答案】⑴2百

(2)(2^,4√3]

【分析】(1)根据条件求出角B,再运用正弦定理和余弦定理求出c,用面积公式计算即可;

(2)运用正弦定理，再做恒等变换，根据三角函数的性质求解.

【详解】(1)选条件①，币CCGSB=bsinC,..GsinCcosB=SinBsinC,又SinC≠0,

.∙.tanB=y∕3f而8∈(0,π),故B=。；

选条件②，2a—c=2bcosC,.,.2a-c=2⅛cosC=2⅛×"+"———="+"———,

Iaha

^a2+c2-b2=ac,.∙.cosB=a'+c'~lr又8e(0,π),故B=f,

2ac2ac23

在..ABC中，当b=2√5,a=2,B=(时，

ʌ1

由余弦定理。2—er+c?-20ccos3得：12=4+c--4。、万,

即。2一2°-8=0,.∙.c=4(负值舍去)，

所以SMe=ɪ^ɛsinB=ɪ×2×4sinɪ=2>/3；

（2）由题设及（1）可知：B=p⅛=2√3,

故由正弦定理得:

2√3

a+c=——(sinA+sinC)=(sinA+sinC)=4(sinA+si∏C)

sinBv7.π

sin—

3

=4sin[C+y1+sinC=4JSinCH■―-cosC+sinC=4√3sin(C+

22

QB=^,.∙.C∈^0,yj,故2/<4&山长+春卜4出（当且仅当A=C=I时等号成立）,

即2石＜α+c≤4√J;

综上，.ABC的面积为2√Lα+c的取值范围是卜"4G]

22.如图所示，三棱柱ABC-A46,底面是边长为2的正三角形，侧棱AA，底面ABC,点E,尸分

别是棱CG，BA上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB