2022-2023学年黑龙江省大庆市高二下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省大庆市高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1.设集合A={x∣log2∙r<2},B=∣x∣x2<9∣,则AB=()

A.(0,3)B,(-3,3)C.(0,4)D.(—3,4)

【答案】A

【分析】解出集合A、Ii,利用交集的定义可求得集合AC8.

【详解】因为A={x∣log2X<2}={Hθ<x<4},B=HX2<9}={χ卜3<x<3},

因此，A3=(0,3).

故选：A.

2.命题“VreR,V+x-1>0”的否定是()

A.3x∈R,√+χ-l<0B.3x∈R,χ2+χ-∖≤0

C.∀x∈R,x2+x-l≤0D.3x∈R,χ2+χ-l≥0

【答案】B

【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.

2,,

【详解】命题“VreR,f+χτ>o”为全称量词命题，该命题的否定为"》∈R,χ+χ-l≤0∙

故选：B.

3.甲、乙、丙3人站到共有5级的台阶上(每级台阶足够长，可站多人)，同一级台阶上的人不区分

站的位置，则不同的站法种数是()

A.35B.105C.125D.4854

【答案】C

【分析】分析可知甲、乙、丙3人每人都有5种选法，结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】由题意可知，甲、乙、丙3人每人都有5种选法，

由分步乘法计数原理可知，不同的站法种数是5?=125种.

故选：C.

4.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的件数，则P(X<2)=()

7C8-14c15

A.—B.—C.—D.—

15151516

【答案】C

【分析】根据超几何分布的定义计算即可.

【详解】由题意知X的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布，所以

P(X=①唔=卷P(X=I)=警卡所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=I)=(+(=£.

故选：C项.

5.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.己知某科技公司2018

年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码X的关系可以用模型y=qe"*（其中e

为自然对数的底数）拟合，设Z=Iny,得到数据统计表如下：

年份2018年2019年2020年2021年2022年

年份代码工12345

云计算市场规模y/千万元7.4112036.655

Z=Iny22.43.03.64.0

由上表可得经验回归方程z=S52x+0,则2025年该科技公司云计算市场规模V的估计值为（）

585661265

A.e0B.e∙C.eD.e

【答案】B

【分析】求出I、W的值，代入回归方程求出“的值，可得出Z关于X的回归方程，然后在回归方程

中令x=8可得出Z的值，即可求得〉的值，即可得解.

1+2+3+4+5-2+24+3+3.6+4_

【详解】由题意可得X==3,z=------------------------=3,

55

X=3

将C代入回归方程Z=O.52x+α可得α=3-3x().52=1.44,

z=3

所以，Z关于X的回归方程为Z=O.52x+1.44,

当x=8时，z=0.52×8+1.44=5.6=lny,此时，y=e".

故选：B.

6.某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A,8,C,。四所农村小学支教，用实际

行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，

T，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（）

A.72B.78C.126D.240

【答案】B

【分析】分组讨论结合组合排列关系计算即可.

【详解】要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组,

则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有：

C：A；A；=36种情况，

②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有：

C；A；A；=36种情况，

③丁，戊两人选择同一所学校有：A；=6种情况,

所以满足题意的情况为：36+36+6=78,

故选：B.

7.三国时期数学家赵家为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”,

它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色可供选择，相

邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种颜色的概率是

【答案】C

【分析】先求出所有的涂色方案种数，然后求出只用到四种颜色的涂色种数，利用古典概型的概率

公式可求得所求事件的概率.

【详解】先考虑所有的涂色方案种数：区域⑤有5种涂色方法，区域①有4种涂色方法，区域②有3

种涂色方法.

若区域③和区域①同色，则区域④有3种涂色方法；

若区域③和区域①异色，则区域③有2种涂色方法，区域④有2种涂色方法.

综上所述，所有的涂色方法种数为5x4x3x(lx3+2x2)=420种.

接下来考虑只用到四种颜色的涂色方案种数：先从5种颜色选择4种颜色，共C；种,

区域⑤有4种涂色方法，则区域①③同色或区域②④同色，

若区域①③同色，则区域②④异色；若区域②④同色，则区域①③异色.

此时，不同的涂色方案种数为c*4xC；xC；XA；=240种.

2404

因此，该方案恰好只用到四种颜色的概率是P=商

故选：C.

8.甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局(必须分出胜负),

且每一局甲赢的概率都是P,随机变量X表示最终的比赛局数，若0<p<g,则()

5911on

A.E(X)=5B,f(X)>yC.D(X)>-D.D(X)<-

【答案】D

【分析】结合二项分布可计算随机变量X的分布列，再利用公式可求E(X)、O(X),最后利用二

次函数的性质可求其范围.

【详解】随机变量X可能的取值为2,3.

p(χ=2)=Cl,p2+C；(l-/?)2=2p2-2p+l.

P(X=3)=G/?(I-P)P+C；Ml-P)(I-p)=2p-2",

故X的分布列为：

X23

P2p2-2p+i2p-2p2

故E(X)=2x(2p2_2p+l)+3x(2p-2p2)=_2p2+2p+2=-2(p-；)+∣

1222252221

因为0<”",故2<E(X)营，而三<|看<£,故A、B错误.

[fUD(X)=4x(2/72-2/?+l)+9x(2p-2p2)-(-2p2+2/?+2)\

令f=2p-2p2=-21p—+ɪ>因为0<p<g<g,

⅛0<f<-,止匕时O(X)=4χ(l-f)+%-(r+2)2=-f2+fe]θ,券],

9\oi√

O(X)<；必成立，故C错误，D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布

列时可借助常见的分布列(如二项分布等)来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高次函

数的值域问题转化为二次函数的值域问题∙

二、多选题

9.下列结论正确的是()

A.若。则储>〃B.⅛ac2<bc2,则a<8

C.若a>b,od,则α+c>b+dD.若a>b,c>d,贝!]αc>bd

【答案】BC

【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.

【详解】A.取特殊值，a=-∖,b=-2,显然不满足结论；

B.由加2<加2可知C2>0,由不等式性质可得4<〃，结论正确；

C.由同向不等式的性质知，a>b,c>d可推出α+c>b+4,结论正确；

D.取4=3,b=0,c=-1,"=一2,满足条件，显然“c>仇/不成立，结论错误.

故选：BC.

10.随机变量X服从两点分布，若P(X=Q)=%则下列结论正确的有()

3

B.D(X)=-

A.P(X=I)=W,)16

C.E(2X+1)=~D.D(2X+1)=-

【答案】ABD

【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出.

1a

【详解】因为随机变量X服从两点分布，P(X=O)=;,所以P(X=1)=；,

331335

故E(X)===因i⅛,f(2X+l)=2E(X)+l=2×-+l=∣,

33

D(2X+l)=4D(X)=4×-=j,所以正确的是ABD.

故选：ABD.

11.廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品.设廉江地区某种植园成熟的红橙单果

质量用(单位：g)服从正态分布N(165,/)，且P(M<162)=0.15,P(165<M<167)=0.3.下列

说法正确的是()

A.若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g的概率为0.7

B.若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g〜168g的概率为0.05

C.若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数的数学期望为480

D.若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g〜168g的个数的方差为136.5

【答案】BCD

【分析】A.由M~N(165,σ2)求解判断；B.由P(165<M<168)=P(162<M<165)=0∙5-0.15=0.35

求解判断；C.由质量大于163g的个数X~8(600,0.8)求解判断；D.由质量在163g〜168g的个数

丫~8(600,0∙65)求解判断.

【详解】解：因为M~N(165,/),所以P(M<167)=0.5+0.3=0.8,所以A错误.

因为P(165<M<168)=P(162<M<165)=0.5-0.15=0.35,所以

P(167<M<168)≈0.35-0.3=0.05,所以B正确.

P(M>163)=P(M<167)=0.8,若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个

数X~8(600,0.8).所以E(X)=600x0.8=480,所以C正确.

因为尸(65<M<167)=0.3,所以尸(163vM<165)=0.3,又因为尸(M<162)=0.15,所以

P(162<M<163)=∕3(Λ∕<165)-P(163<M<165)-P(M<162)=0.5-0.3-0.15=0.05,则

P(167<M<168)=0.05,

所以

P(163<M<168)=P(163<Λ∕<165)+P(165<Λ∕<167)+P(167<Λ∕<I68)=0.3+0.3+0.05=0.65

=0.65,

若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g〜168g的个数y~B(6(X),().65),所以

r>(r)=6(X)×0.65X(1-0.65)=136.5,所以D正确.

故选：BCD

12.一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和4个蓝球，每次从中不放回地取出一球，则下

列说法正确的是()

3

A.取出1个球，取到红球的概率为'

B.取出2个球，在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为T

C.取出2个球，第二次取到红球的概率为g

9

D.取出3个球，取到红球个数的均值为1

【答案】ABD

【分析】根据古典概型概率公式可求得A正确；根据条件概率公式可求得B正确；将第二次取到红

球分为两种情况，将概率加和可求得C错误；记取到的红球数为X,计算可得X每个取值对应的概

率，根据均值求法可求得D正确.

【详解】对于A,取出1个球，取到红球的概率P=,A正确;

对于B,记笫一次取到蓝球为事件A,第二次取到红球为事件8,

2

则P(AB)=舞VP(A)g∙∙∙P(B∣A)=瞽ɪ=’；，B正确;

7

321

对于C,若第一次取到红球，第二次也取到红球，则概率为士X：=一;

767

432

若第一次取到蓝球，第二次取到红球，则概率为二X二==；

767

123

・•・第二次取到红球的概率P=]+?=',C错误；

对于D,记取到的红球数为X,则X所有可能的取值为OJ2,3,

∙∙.p(x=0),χ3-,P(X=I)="143143310818

'776521035'7765765765210-35

3243424272123216

P(X=2)=-X-X—+—X-X-÷-×-×P(X=3)=—X—X—=

765765765210-3576521035

二•取到红球个数的均值为Ox—4+lx1，8+2x1—2+3x—1=4上5=93，D正确.

35353535357

故选：ABD.

三、填空题

13.空间中有7个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作个平面.

(用数字作答)

【答案】35

【分析】利用组合计数原理可得结果.

【详解】空间中有7个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，能作的平面的个数为

C=35个.

故答案为：35.

14.(2x-3(l-x)'”展开式中的常数项为.

X

【答案】10

【分析】根据给定条件，确定展开式常数项的构成形式，再借助二项式定理求解作答.

【详解】(2x-3(l-X)K)展开式中的常数项是(I-X尸展开式的含X的项与-L相乘的积，

XX

r

(Ir尸展开式的通项公式加=，)(-》=(-l)C[0√,r∈N,r≤10,

当〃=1时，T1=Cjo(-x)=-lOx,

所以(2x-1)(l-x)'°展开式中的常数项为-IOX∙(-3=10.

XX

故答案为：10

15.有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产2000件、3000

件、5000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%,现从这批产品中任取一件，则

取到次品的概率为.

【答案】0.052

【分析】记事件A、4、A分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件8为“所抽的产

品为次品”，利用全概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件4、&、&分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件8为“所抽的产

品为次品”，

则P(A)=O.2,尸(4)=0.3,P(A)=O.5,P(B∣4)=0.06,P(B∣A2)=P(B∣AJ)=O.O5,

3

由全概率公式可得P(B)=ZP(AJP(BIAJ=O.2x0.06+0.3x0.05+0.5x0.05=0.052.

⅛=I

故答案为：0.052.

16.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角

形数阵(如图所示)，在“杨辉三角''中，第20行所有数字的平方和等于.(用一个组合数

作答)

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

【答案】CM

【分析】把(1+X)40写成(l+χ)2°∙(χ+l)2°,再利用二项式定理求出Y。项的系数作答.

【详解】依题意,在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于(CO)2+(C；o)2+(C)++(C为2,

可视为(l+χ产按X升基展开与(χ+l严按X降幕展开的两个多项式乘积展开式的含x”项的系数,

20202j

βp(1+%)∙(x+1)=(Cθ0+c^ox+C^0x++C^χ2θ)Co∕+C>9+Go/++C20)展开式含炉。项

的系数，

而(1+Λ)20∙(X+1)20=(1+X)4°,(1+%)40展开式中含一项的系数为CM,

所以(CO)<(c，++(C窃=4嗡+c©++caJ=Cr

故答案为:c∞.

四、解答题

17.2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行,

也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，某中学高二年级共

300人，其中男生150名，女生150名，学校团委对是否喜欢观看该世界杯进行了问卷调查，男生

喜欢观看的人数为90,女生喜欢观看的人数为60.

(1)根据题意补全2x2列联表:

喜欢观看不喜欢观看合计

男生150

女生150

合计300

⑵依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关?

参考临界值表：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2n∖ad-⅛c)^

”(α+⅛)(c+rf)(α+c)(⅛+d)'

【答案】⑴2x2列联表见解析；

(2)能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关.

【分析】(I)根据题设数据确定男女生喜欢、不喜欢观看球赛的人数，即可完成列联表;

(2)应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想即可得结论.

【详解】(1)依题设，喜欢观看的男生有90人，不喜欢观看的男生有150-90=60人;

喜欢观看的女生有60人，不喜欢观看的女生有150-60=90人,

列联表如下图示:

喜欢观看不喜欢观看合计

男生9060150

女生6090150

合计150150300

⑵…黑:然漂黑33

所以依据小概率值α=Q(X)I的独立性检验，能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关.

18.已知函数/(x)=InV-αr,αe(θ,l).

⑴若时，求/(X)的单调区间；

⑵求/(x)在口，2］上的最小值.

【答案】(1)递增区间为(。，2),递减区间为(2,+∞):

(2)答案见解析.

【分析】(1)把“=；代入，利用导数求出/(x)的单调区间作答.

(2)利用导数分段讨论函数f(x)在。,2］上的单调性，再求出最小值作答.

【详解】(1)当时，/(x)=hrv-gX的定义域为(0,+8),求导得/(X)=T-；，

当0<x<2时，∕,(x)>O,当χ>2时，∕V)<0,即函数/U)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调

递减，

所以函数/(X)的递增区间为(0.2),递减区间为(2,+∞).

(2)O<α<l,函数/(x)=lnx-αr,求导得八X)=,一。，由XeU,2］,得工

XX2

当O<a≤g时，f'(x)≥O,当x=2,α=g时取等号，因此函数/(χ)在［1,2］上单调递增，

/(x)∏⅛=∙ΛD=-α,

当,<α<l时，由/'(x)>0,得14x<',由/'(x)<O,得J<x≤2,

2aa

于是函数/(X)在U」)上单调递增，在(±2]上单调递减，/(1)=-oj(2)=ln2-24,

aa

由/⑴―/(2)=α-ln2=0,得α=ln2,当;<"ln2时，/U)min=/(D=-«,

当α=ln2时，-1)=/(2)=-In2,当ln2<α<l时，/Wmin=/(2)=In2-2«,

所以当0<a≤ln2时，函数的最小值为一。，当ln2<α<l时，函数/⑴的最小值为ln2-功.

19.已知公差不为零的等差数列｛q｝满足%是4，%的等比中项，出+&=".

⑴求数列｛q｝的通项公式；

(2)从下面两个条件选择一个作为已知条件，求数列｛，｝的前”项和S”.

①H=""";

②"=-鼠+ι)∙

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】⑴%=n;

(2)答案见解析

【分析】(1)先利用题给条件求得等差数列｛4｝的首项与公差，进而求得数列｛%｝的通项公式；

(2)选①利用错位相减法即可求得数列｛〃,｝的前〃项和S,,；选②利用裂项相消法即可求得数歹M2｝

的前”项和S“

【详解】(1)等差数列｛4｝满足/是如4的等比中项，

2

：.a^=ata4,即(ɑ∣+c∕)=αl(«,+34).

由％+4=11，可得(4+4d)+(a∣+5d)=ll.

(q+d)2=α∣(q+3d)]

由∣(q+4d)+(q+5d)=ll,可得竹一,

d≠0I

,

..an=4+(〃-l)d=〃.

(2)若选①:bn=n∙T,则S,,=lx2'+2x22+∙+n-2".

2S,,=l×22+2×23++n-2,,t'

.∙.5,,=n∙2"+l-2-(22+23++2”)

=n-2"+'-)=n-2,,+l+2(l-2")=(π-l)2"+l+2；

若选②："(2"j"l)∙

1H--------------------=I-I-------------------

(2∕ι-l)(2π+l)2(2〃-12n+l

20.“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行

业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电

桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得之G-可(y-y)=30.

A充电桩投资金额力万元3467910

所伏利润W百万元1.5234.567

(1)已知可用一元线性回归模型拟合y与X的关系，求其经验回归方程；

⑵若规定所获利润y与投资金额X的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额记2分，所

获利润y与投资金额X的比值低于;且大于则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利

润y与投资金额X的比值不超过g，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投

资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.

__

∑(χ,一£)(%-区)∑χ∕-"Xy

附：方=J-----------=弓---------.a=y-bx.

Σ(Λ--J)2Σ^V,2-∞2

/=I/=I

【答案】⑴3=0∙8X-1∙2;

⑵分布列见解析，|.

【分析】(1)利用给定的数表求出工亍，再利用最小二乘法公式求解作答.

(2)求出X的可能值，及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

-3+4+6+7+9+101.5+2÷3+4.5+6÷7，

【详解】(1)由数表知,X=-------------------------=6.5,y=-----------------------------=4

66

y(X.-X)2=(3-6.5)2+(4-6.5)2+(6-6.5)2+(7-6.5)2÷(9-6.5)2+(10-6.5)2=37.5,

/=I

^(x,.-x)(χ-y)

因此5=----------------息3⅛=γ-⅛x=4-0.8×6.5=-1.2,

之日-元)2

/=1

所以所求经验回归方程为9=0∙8x7∙2.

1523114.5627

(2)由数表知，y=^=∣=∣—<——<——<一

279310

因此“优秀投资额”有2个，“良好投资额，有1个，“不合格投资额”有3个,

X的可能值为0,123,4,

21

P(X=O)=MC=3二」1,P(X=I)=C工×129/(X6冷曝I

或155

C1×1OC2

∕>(X=3)=^-=-,P(X=4)=⅛=1

C15G15

所以X的分布列为:

X01234

ɪɪ221

P

555百15

数学期望E(X)=0x-1+lx1-+22x*+3χ2-+4x1-=j5

55515153

21.设“x)=or+lnx+1.

⑴当α=l时，求函数/(x)在x=l处的切线方程；

⑵若对任意的x>0,/(x)≤Λe2'恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(l)>=2x

(2)(-∞,2]

【分析】(1)当α=l时，求出/(1)、/⑴的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；

(2)分离参数得到ɑ≤*-则土ɪ,构造函数〃z(x)=e2'-也土Lx>O),求导确定函数的最小值即

XX

可得到。的取值范围∙

【详解】(I)解：当。=1时，/(x)=x+∣nx+l,则/'(χ)=l+g,所以，/(l)=r(l)=2,

所以，当α=l时，求函数f(x)在x=l处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.

(2)解：因为/(x)=Or+lnx+1,所以对任意的x>0,/(同工房、恒成立，

等价于a<e2v-也F在(o,+8)上恒成立.

ʌ/X)χlιur+l/,,/∖2x2e2x+Inx

令tn[x}=e^------—(x>0nλ),则mlm'(χ)=-------ɔ-----.

XX

再令"(X)=2x2e2x+Inx,则"(x)=4(f+xje2A÷^>O,

所以MX)=2X⅛2A+Inx在(0,+向上单调递增.

因为〃(；)=《-2ln2<0,n(l)>O,所以〃(x)=ZxVrinr有唯一零点工,

且;CXOcL

所以当O<x<x°时,m,(x)<0,当x>%时,m(x)>0.

所以函数，MX)在(0,不)上单调递减，在(飞,”)上单调递增.

2j

因为+InA0=O,即e?"=一磐，即2⅞e--ɪInɪ,

因为则1<,<4,

4⅞

令MX)=XInX,其中χ>l,则∕ι'(x)=lnx+l>O,

所以，函数〃(x)在(l,+∞)上为增函数，

由=Lln-!-可得e2%lne%=-!-ln-!-,即〃(合'。)=〃]'],

⅞⅞⅞⅞`，IX(J

因为e2%>l,ɪ>l,所以，e2A«=—,可得2x°=In'=Tn/,

xo⅞⅞

2x1IU+12A+1

所以"Mx)≥w(⅞)=e°_H=±_-»=2,则°≤2.

⅞⅞⅞

所以“的取值范围为(—,2].

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对，"(x)=e2，-冲l(x>0)求导后，把导数构造成新的函数

再次求导，借助隐零点求出机(X)=e2*-gil(x>0)的最小值，进而借助恒成立的内容进行解答.

22.某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由殊-IHeN，)个相同的元件组成，

每个元件正常工作的概率均为p(θ<p<l),各元件之间相互独立.当控制系统有不少于上个元件正常

工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为“(例如：P2表示控制系统

由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率).

(1)若P=：,当％=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求P?;

(2)已知设备升级前，单位时间的产量为。件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状

态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为J,每

件高端产品的利润是2元•记设备升级后单位时间内的利润为y(单位：元).

(i)请用0.表示E(Y)；

(ii)设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统

中元件的个数来提高利润.

【答案】⑴