新教材人教A版高中数学必修第二册复数的四则运算 同步讲义

17、复数的四则运算

【考点分析】

考点一：复数的加、减运算

①复数的加法与减法运算法则

若设z∣=α+4,Z2=c+由是任意两个复数，

则z}+z2-(α+c)+(b+d)i,zi-z2-[a-c)+[b-d∖

②复数加法的运算律

1.交换律：zl+z2-z2+zl;

2.结合律：(z∣+z2)+z3=z1+(z2+z3).

考点二：复数的乘、除运算

①复数代数形式的乘法法则

设Z]=4+λ>i,Z2—c+di(a,b,c,J∈R),则z∣∙Z2=m+6i)(c+4i)=(ac-∕κ∕)+(44+&c)i.

②共轨复数的概念

已知z=α+万，则Z的共辄复数为z=“一4

③复数代数形式的除法法则

设Z]=4+bi,z2=c+J∕(a,b,c,d∈R),贝∣J

z1_a+bi_(a+bi∖c-di)_ac+bd+(be-ad)i

22

z2c+di(c+dι^c-dι)c+d

【题型目录】

题型一：复数的加、减运算

题型二：复数的乘、除运算

题型三：虚数单位的事的周期性

题型四：共规复数的应用

题型五：解复数方程

【典型例题】

题型一：复数的加、减运算

【例1】已知i为虚数单位，计算下列各式.

(l)(l+2i)+(7-lli)-(5+6i);

(2)5i-[(6+8i)-(-l+3i)]i

(4)(a+bi)—(2a—3bi)—3i(a,b∈R).

75

【答案】(l)3T5i;(2)-7；(3)--—i；(4)-α+(4b-3)i.

【分析】根据复数的运算法则运算即得.

(1)

(l÷2i)+(7-11i)-(5÷6i)=(l+7-5)+(2-ll-6)i=3-15i；

5i-[(6+8i)-(-1+3i)]=5i-(7+5i)=-7；

(3)

75.

--------i

612

(4)

(α+bi)-(2a-3bi)-3i=(α-2a)+[b—(―3⅛)—3]i=—a+(4⅛-3)i.

ι4

【例2】在复平面内，复数z∣=g,z2=^i-2,z=z,+z2,则复数Z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据复数加法计算出实部和虚部，根据复数平面判断即可.

【详解】因为z=z∕+z2=∕+gi-2=-2+i,所以实部小于0,虚部大于0,故复数Z对应

的点位于第二象限

【例3］当l<m<2时，复数(3+i)+〃z(2-i)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的儿何意义，即可求解.

【详解】由题意得(3+i)+w(2T)=3+2%+(l-m)i,

.l<m<2,

.'.3+2m>0,i-m<0,

.∙.复数(3+i)+%(2-i)在复平面内对应的点(3+2〃%I-Tn)位于第四象限.

【例4】(l+i)+(-2÷2i)=()

A.-l+3iB.1+iC.-l+iD.-l-i

【答案】A

【分析】利用复数的加法运算直接计算作答.

【详解】(l+i)+(-2+2i)=-l+3i.

【题型专练】

1.复数Z满足Z+(1—2i)=3-4i,则复数Z的虚部为()

A.—6iB.―6C.—2iD.—2

【答案】D

【分析】由复数的加减运算化简复数，即可得出答案.

【详解】z=(3-4i)-(l-2i)=2-2i,故虚部为-2.

2.(2-i)-(l+2i)等于()

A.3+iB.4+3iC.4iD.l-3i

【答案】D

【分析】直接由复数的减法运算求解即可.

［详解】(2_i)_(l+2i)=2_i_l_2i=l_3i.

3.已知i是虚数单位，则(l+2i)+(l-i)=()

A.2+3iB.2+iC.3iD.-i

【答案】B

【分析】根据复数的加减运算，直接求得答案.

【详解】由题意得，(l+2i)+(l-i)=(l+D+(2-l)i=2+i,

4.在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别是

l+2i,-2+i,-l-2i,则第四个复数是

【答案】2-i##-i+2

【分析】设第四个复数对应的点为Q(α,6).利用与复数对应的向量相等即可求得答案.

【详解】设正方形ABe。的三点对应的复数分别为04=l+2i,08=-2+i,OC=-I-2i

设OD=(4,。)

AB=OB-OA=-3-i,BC=OC-OB=H,

l×(-3)+(-l)×(-3)=0..AB.LBC

由题意得，AB=DC即—3T=OC-O£)=-1-2i-(α+0i)

.∙∙OD=(2,-1),即第四个复数是2—i.

题型二：复数的乘、除运算

【例1】已知复数z=(2+3i)(4i-7),其中i为虚数单位，则Z的虚部为()

A.-26B.26C.-13D.13

【答案】C

【分析】将复数Z化简，即可得到结果.

【详解】因为z=(2+3i)(4i-7)=-26T3i,

则复数的虚部为-13.

【例2】若4为实数,且2i4=3+i厕α=()

1+1

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】D

【解析】

由题意可得2+tri=(l+i)(3+i)=2+4i=α=4

【例3】已知复数Z满足(z-l)i=l+i,则Z=()

A.—2-iB.-2+iC.2-zD.2+i

【答案】C

【解析】

/八..l+2z(l+2z)(-z)C.

Λ(z-l)z=l1+z,.∙.z=——=ʌ------=

i—i

【例4】设复数z∣,N?在复平面内的对应点关于虚轴对称，z∣=2+i,则ZR?=()

A.-5B.5C.-4+iD.-4-i

【答案】A

【解析】

由题意，得Z2=-2+i,则Z]Z2=(2+i)(-2+i)=-5

【例5】已知复数Z=2+」，则复数Z的虚部为()

2-1

A.—B.—iC.-D.—i

5555

【答案】C

【分析】先由复数的运算求出z,再求出虚部即可.

C12÷iC2+i121.1

【详解】z=2H------=2+--------------=2H--------1—i故虑部为―

k计胛/2-i(2+i)(2-i)555,IW显都力5.

【例6】若复数Z=空在复平面内对应的点在第二象限内，则实数。的值可以是（）

I-Z

A.1B.OC.-1D.-2

【答案】B

α+i(a+z)(l+z)_a-\a+∖.

【解析】VZ=-

(I—)。+。=〒+-2'

又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内,

!∙<o

2

，得-1VaV1.

—>0

2

，实数。的值可以是0.

【例7】复数Z=i2^+国必，则Z共朝复数5的虚部为()

3+4i

4.44.4

A.—/B.—C.-1D.一

5555

【答案】D

【分析】利用复数乘方、模、除法运算求得z,进而求得)，从而求得)的虚部.

【详解】2022=505x4+2,∣3+4i∣=√32+42=5,i2022=i2=-l,

55(3-4i)3-4i

3+4i^(3+4i)(3-4i)-5,

34i

.2022,∣+∣15(3-4i)3-4i24.,24.甘也领出4

z=iH------=-1H--------=-1H------=------i,z=---1—i>JvMi".∣∣∣J7J-.

3+4i25555555

【题型专练】

1.已知复数z(l-j)=i,则下面关于复数Z的命题正确的是()

A.z=­I—iB.复数Z对应的点在第一象限

22

ClZl=ID.复数Z的虚部与实部互为相反数

【答案】D

-/i(l+i)z+z211.

【解析】解：由Z（I—i）=i,得Z=---=-----------=-----=----1—Z,

1-z(l-∕)(l+z)222

I=也，实部为-L虚部为!，

所以复数Z对应的点在第二象限，忖=

2222

2.已知复数Z满足（l+i）z=/（i为虚数单位），则复数z—2在复平面内对应的点所在的

象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由（l+i）z=Lf,

42枝(j)—

得Z=

l1-z∣∙(1+0(ι÷00-0

则Z_2=(忘_2)-√∑i,

，复数z-2在复平面内对应的点为（J5-2,—J5）,

•••复数Z—2在复平面内对应的点所在的象限为第三象限.

3.若（2-加）（3-2。（根€/?）是纯虚数,则在复平面内复数Z==^所对应的点位于（）

1+Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

6-2m=0

(解析】(2-"叫(3-2z)=(6-2w)-(3m+4)，•为纯虚数解得m=3,

3m+4≠0

.ς^3-2Z(3-2Q(1-Z∙)1-5Z=15

1+z(l+z)(l-z)222'

因此，复数Z在复平面内对应的点在第四象限.

4.已知αeR.,i为虚数单位，若"为实数，则”的值为.

2+i

【答案】-2

Λ.,,,∙a~i(<a-z)(2-z)(217-1)-(Λ+2)Z2α-lα+2.4,寸将

【r解析t.】1----=------------=----------------=--------------z内头数,

2+z(2+z)(2-z)555

则"+2=0,tz=-2.

5

5.i是虚数单位，则工的值为.

【答案】√B

【解析】0="0=∣2τ∣=ɑ∙

∣ι+∕∣I(i+∕)(i-o11

6.设一一=3+i,贝”Zl=()

1—1

35

A.1B.-C.2D.—

22

【答案】D

3

【分析】计算z=2-；i,再计算模长得到答案.

5

【详解】得=3+i，则I=。+/T)T=宁=2_|：故IZI=I

2

7.已知复数Z满足生-i=(l-i)z,则Z在复平面内对应的点位于()

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】利用复数运算求得z,进而求得Z对应点所在象限.

【详解】因为备T=(lT)z,所以zT(l+i)=(I)(I+i)z,

即z-i+l=2z,所以z=l-i,

故2在复平面内对应的点为(1,-1),位于第四象限.

题型三：虚数单位的箱的周期性

【例1】化简：Z=[2019+(含)202。=.

【解析】解「■√2i=岛√2i(Fl-i)⅛√∕2(i+i)'

.∙.Z=产。19+(窘)2。20=24x504+3+

1+i)]2020

=f3+i10l0=-i+户252+2=

【例2】复数的虚部为()

A.-1B.1C.—iD.i

【答案】A

[・Z1.、2023

【分析】首先根据题意得到言=i,从而得到言=-i.即可得到答案.

【详解】因为罟=高犒2i

=—=1

2

即虚部为-1.

【题型专练】

Z1.∖2022Zx2023

1.已知Z=言+；,则在复平面内，复数5所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z,进而可得三，再利用复数的几何意义即得.

2202323

【详解】因为z=(罟厂+(：1=i≡+(-i)=i-i=-i+i,

Λz=-l-i,

所以复数彳对应的点(T,-l)在第三象限.

(∖-iA2020

2.设i是虚数单位，贝“{/J=()

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】C

I-Z(Iy__2i

【解析】由于

I+7-(l+z)(l-z)^2

∕.∖2020

所以W1=(-z)202°=H4x505=I.

题型四：共输复数的应用

【例D已知复数Z满足(l+Y)z=3-i,2是Z的共舸复数，则下列说法中不正确的是()

A.Z的实部与虚部之积为2B.Z的共轨复数为2-i

C.Z在复平面内对应的点在第三象限D.Iz-ZiJ=JB

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算化简得z=2+i,进而根据复数的实部和虚部可判断A,根据共

舸复数的定义可判断B,根据复数对应的点可判断C,根据复数模长的计算可判断D.

Z八3-i3-i(3-i)(l+i)

【详解】由(l+i)z=3-i⅜z=-=-.(ξ.^2+i,

\71+11-1(l7-ι)(l+ι)

对于A,复数Z的虚部为1,实部为2,故A正确，

对于B,z的共趣复数为2T,B正确,

对于C,z在复平面内对应的点为(2,1),故点在第一象限，C错误，

对于D,z-2z=2+i-2(2-i)=-2+3i,.∙Jz-2z∣=∣-2+3i∣=√i3,D正确，

【例2】若z∣=l+i,z2=z,(2+i),z是Zl的共软复数，则㈤=()

A.√2B.2C.√WD.10

【答案】C

【分析】根据共辄复数的概念写出弓,然后，求出Z，进而求出z2的模长上|.

22

【详解】z2=z1(2+i)=(l-i)(2+i)=3-i,所以，∣Z2∣=√3+(-1)=√10

Z~z

【例3］若z=2+i,则二---=()

ZZ

8.24.

C.D.—+—I

555

【答案】A

【解析】z=2+i,z=2-i'

zz2+i2—i(2+zɔ—(2—i)8.

∑-7-2≡7-2+7^匚?~51

【题型专练】

1.已知复数Z=L+3i,则彳+2=()

22Z2

D.l-√3i

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算法则以及共规复数的定义即可求解.

【详解】由Z=L3i得彳」_3i,Z2=R+W]=-→^i,

222222I22

Li=ιg

z2I622

——十^―1

22

所以2+3=-后，

Z

复数」~

2.在复平面内,的共钝复数对应的点位于

I-Z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

1l+z11.11

【解析】-==不+5]的共轨复数为不一彳，

(l-∕)(l+z)

对应点为g,-g）,在第四象限.

【例5】（2020•江西省南昌十中高三其他（文））复数Z的共枕复数5满足（2+iR=∣3+4z],

则Z=（）

A.2+iB.2-iC.l+2iD.I-万

【答案】A

【解析】由（2+a∣3+4ig得2=2=濡苞=2-，，

Λz=2+1.

3.设有下面四个命题

p1:若复数Z满足'∈R,则Z∈R;p,:若复数Z满足z2eR,则Z∈R;

Z

“3：若复数C2满足Z]Z2eR,则Zi=Z2;“4：若复数z∈R,则5∈R.

其中的真命题为

A.p∣,P3B.pl,p4.C.p2,piD.p2,PA

【答案】B

【解析】令z=α+例（α力eR）,则由L=-I-=半"∈火得。=0,所以zeR，故Pl

v,Za+bia2+b2

正确；

当z=i时，因为Z?=i2=—1∈R,而z=i∕R知，故P2不正确；

当Z[=Z2=i时，满足Z]∙Z2=-l∈R,但ZlWZ2，故〃3不正确；

对于P4,因为实数的共飘复数是它本身，也属于实数，故P4正确.

.∙2∙3.2023

4.已知复数z="「+'*…*「一，三是Z的共枕复数，则1的虚部为（）

1-i

A.-ɪB.-ɪiC.ɪD.ɪi

【答案】C

【分析】根据复数乘方的运算得周期，即可化简复数z,在按照复数的除法运算化成•股形

式，即可求共扼复数』，于是可得）的虚部.

【详解】解：在复数中：F=i,F=Tf=Trt=I1=i=F,故周期为4,则T+i2+i3+i4=o

且2023=4x505+3

Pj3...i2023

i++++i+i?+i3-1_(l+i)_-1-i

所以Z=----------1

1-i1-i-T≡I-(l-i)(l+i)^222

≡z=-→∣i,所以）的虚部为）∙

题型五：解复数方程

【例1】已知l+i（i为虚数单位）是关于X的方程f+px+4=0的一个根,若P,qwR,则P+4=

()

A.0B.-2C.2D.-4

【答案】A

【分析】将1+i代入方程/+px+q=0,整理后根据复数相等可解.

【详解】由题知，（l+i）2+p（l+i）+q=0,整理得p+q+（2+p）i=0

所以。+q=0,

【例2】已知复数Z是关于X的方程Y+χ+]=o的根，则IZI=()

A.IB.√2C.√3D.2

【答案】A

【分析】利用复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式得到f+χ+i=0的根，从而得到

z,再由复数Z的模的定义即可求解.

【详解】复数Z是关于X的方程*+χ+ι=o的根，

又A=F-4=-3<O,该方程的根为X=-1±止Q3)i,

2×12~2

即z=---+ɔ^i或z=一•-—,

2222

【例3】“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创造的，当时的观念认为这是不

存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像

炉+1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念后，代数方程的求解

问题才得以解决.设，是方程Y+χ+i=0的根，则()

A.t't=∖B.t+^t=∖C.T是该方程的根D.*是该方程的根

【答案】AD

【分析】求出方程Y+x+i=。的两根，利用根与系数的关系可判断AB选项；利用代入法可

判断C选项：计算得出产="可判断D选项.

【详解】解方程d+χ+i=0,即(x+与=一/±四,解得回，

I2；4∣v2J22

所以，f与i为方程d+χ+l=O的两根.

对于AB选项，由韦达定理可得fi=l,f+i=-l,A对B错；

对于C选项，因为(Ty-f+1=/-f+l=/+f+l-2f=-2rxO,

故T不是方程Y+χ+ι=o的根，C错；

对于D选项,若[=」+&则*=JL-3i-3=」一且i=7,

2242422

Λ

m∣∣215/3.31J3.

则广=—+—1——=一一+——1=

2242422

所以，产是该方程的根，D对.

【例4】关于X的实系数一元二次方程/+〃次+〃=。.

(1)若方程有一个根是2-3i,求，的值；

⑵当〃=3时，方程的两个虚根心三满足∣X∣-Λ2∣=2√Σ,求机的值.

【答案】⑴9

⑵±2

【分析】(1)将2-3i代入方程，根据实部、虚部为O求得机，〃的值；

(2)用求根公式直接求出两个虚根小三，代入∣%-Λ2∣=2√Σ求机的值.

【详解】(1)因为2-3i为方程/+如+ZT=O的一根，

所以(2—3i1+m(2—3i)+〃=0,UP(n+2∕7∕-5)-(12÷3∕π)i=O,

所以九十2加-5=0且12+3〃尸=0,故机=-4,〃=13,

所以〃2+〃=9

(2)方程“2+∕nv+3=0有两个虚根，则A=A√-12<O,故-2√J<m<2√J,

因为我+〃.+3=0的两个虚根为-m±'12-∕i.

2

所以归-Wl=卜12-〃『=2√Σ,故以2-病=24，

所以〃?=±2满足条件.

综上：∕n=±2

【例5】复数8+6i的平方根是.

【答案】+(3+i)

【分析】令z=x+加X,y€R且z2=8+6i,应用复数的乘方运算及复数相等列方程组求参数,

即可得到平方根.

【详解】令z=χ+yU,y∈R且z2=8+6i,

,,[X2—y2=8fx=-3∖x=^i

二χ2-y-+2盯i=8+6i,即仁'，解得<{1或1,

[2xy=6Iy=-IIy=I

.∙.复数8+6i的平方根是±(3+i).

【题型专练】

1.已知α,6eR,若关于X的方程/一双+8=0的一个根为3-i,i为虚数单位，则。匕=

【答案】60

【分析】根据一元二次方程的虚数根为共匏复数，再结合韦达定理可求得。力,即可得解.

【详解】解：因为关于X的方程f-6+。=。的一个根为3—i,

则另一个根为3+i,

所以3-i+3+i=",(3-i)(3+i)=b,

所以a=6力=10,

所以而=60.

2.已知i-l是关于X的实系数方程/+〃.+2=0的一个根，那么该方程在复数集C内的另一

个根是.

【答案】-l-i

【分析】根据方程根的定义，将i-l代入原方程，解得m的值，再利用配方法解方程，可得

答案.

【详解】已知i—1是关于X的实系数方程f+皿+2=0的一个根，则(I)?+制I)+2=O,

BPi2—2i+l+mi-∕n+2=0,则2—〃?+(加—2)i=0,可得∕n=2,

可得方程：X2+2X+2=0,由配方法可得："+I)?=-1,解得：x=-l±i,

3.己知方程χ2-2x+,"=0(,"eR)有两个虚根苦,三，若Xl-Xr,=3i(i为虚数单位)，则加的

值是.

13

【答案】—##3.25

4

【分析】由实系数方程有虚根的性质求出和/，再由根系关系XZ=加即可求相值.

[x.+X.=2

【详解】由题意’■丁且4,三互为共挽复数，

[xl-x2=3ι

若芭=〃+历，则