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文档简介
随州市2023年初中毕业升学考试
数学试题
(考试时间120分钟满分120分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如雷改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试卷上无效.
3.非选择题作答:用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,答在试
卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.每小题给出的四个选项中,只有一
个是正确的)
1.实数-2023的绝对值是()
11
A.2023B.-2023C.-------D.
20232023
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案.
【详解】解:因为负数的绝对值等于它的相反数,
所以,-2023的绝对值等于2023.
故选:A.
【点睛】本题考查了绝对值的代数意义,熟练掌握知
2.如图,直线4〃乙,直线/与4、4相交,若图中NI=60。,则/2为()
A.30°B.60°C.120°D.150°
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行,同旁内角互补进行求解,即可得到答案.
【详解】解:直线4〃4,
.∙.Zl+Z2=180o,
Zl=60°,
.∙.N2=120°,
故选C.
【点睛】本题考查了平行线的性质,解题关键是掌握两直线平行,同位角相等,内错角相等,同旁内角互
补.
3.如图是一个放在水平桌面上的圆柱体,该几何体的三视图中完全相同的是()
A.主视图和俯视图B.左视图和俯视图C.主视图和左视图D.三个视图均相同
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图的定义判断即可.
【详解】该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图,均为矩形,俯视图是一个圆.
故选:C.
【点睛】本题考查三视图的知识点,主要掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的前面、左面、上面
看到的图形是解题的关键.
4.某班在开展劳动教育课程调查中发现,第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3,7,5,6,5,4
(单位:天),则这组数据的众数和中位数分别为()
A.5和5B.5和4C.5和6D.6和5
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解.
【详解】解:将数据重新排列为3,4,5,5,6,7,
所以这组数据的众数为5,中位数——=5,
2
故选:A.
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;将一组数据按照从小
到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如
果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5.甲、乙两个工程队共同修一条道路,其中甲工程队需要修9千米,乙工程队需要修12千米.已知乙工
程队每个月比甲工程队多修1千米,最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修X千米,
则可列出方程为()
91211291912_ɪ12_2_j_
∙ʌ______—_B.------------=—C.——
Xx+l2x÷lX2x+lX2Xx+l2
【答案】A
【解析】
【分析】设甲工程队每个月修X千米,则乙工程队每个月修(X+1)千米,根据“最终用的时间比甲工程队
少半个月”列出分式方程即可.
【详解】解:设甲工程队每个月修X千米,则乙工程队每个月修(x+l)千米,
依题意得2-」Z=
XX+12
故选:A.
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,关键是分析题意,找准关键语句,列出相等关系.
6.甲、乙两车沿同一路线从4城出发前往B城,在整个行程中,汽车离开A城的距离y与时刻f的对应关
系如图所示,关于下列结论:①A,B两城相距300km;②甲车的平均速度是60km∕h,乙车的平均速度
是10()km∕h;③乙车先出发,先到达B城;④甲车在9:30追上乙车.正确的有()
A.①②B.①③C.②④D.①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象逐项分析判断即可.
【详解】解:由图象知:
①A,B两城相距300km,故此项正确;
②甲车的平均速度是<%=100(km∕h),乙车的平均速度是型L=60(km∕h),故此项错误;
③乙车7:00先出发,12:00才到达2城,甲车8:()()后出发,11:00就到达B城,故此项错误;
④两车在9:30时,行驶路程一样,即甲车在9:30追上乙车,故此项正确.
综上,①④说法正确,
故选:D.
【点睛】本题考查了函数的图象,正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键.
7.如图,在YABeD中,分别以B,。为圆心,大于,如的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过
2
M,N两点作直线交Bo于点O,交AD,BC于点E,F,下列结论不思佛的是()
A.AE-CFB.DE=BFC.OE=OFD.DE-DC
【答案】D
【解析】
【分析】根据作图可知:EF垂直平分80,得到BD=JDO,于是得到点O为YABCZ)的对称中心,
BE=ED,BF=FD,根据全等三角形的性质得到NBEE=N。庄,根据平行线的性质得到
NBFE=NDEF,推出四边形5阳E是菱形,据此判断即可.
【详解】解:根据作图可知:所垂直平分3£>,
."∙BO=DO,
点。为YABCD的对称中心,
∙*∙BE=ED,BF—FD,
∙/FE=EF,
;.-BFE名-DFE(SSS),
.∙∙ZBFE=ZDFE>
;在.ABCD中,AD//BC,AD=BC
,ZBFE=ZDEF>
.∙.NDFE=NDEF,
,DE=DF,
:.BE=DE=DF=BF,故B正确;
.*.AD-DE=BC-BF,
:.AE^CF,故A正确;
,四边形BEDE是菱形,
ΛOE=OF,故C正确;
OE与。C不一定相等,故D错误,
故选:D.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质,尺规作图,菱形的判定与性质,全等三角形的判定与性质等知
识,掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键.
8.已知蓄电池的电压为定值,使用某蓄电池时,电流/(单位:A)与电阻R单位:C)是反比例函数关系,
它的图象如图所示,则当电阻为6Ω时,电流为()
A.3AB.4AC.6AD.8A
【答案】B
【解析】
k?4
【分析】设该反比函数解析式为/=—(AN0),根据当R=8时,/=3,可得该反比函数解析式为/=一,
RR
再把R=6代入,即可求出电流/.
k
【详解】解:设该反比函数解析式为/=天(AN0),
由题意可知,当R=8时,1=3,
34
解得:攵=24,
•••设该反比函数解析式为I=2J4
R
・二当R=6时,I=—=4,
6
即电流为4A,
故选:B.
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质,求出反比例函数解析式是解题关键.
9.设有边长分别为α和从。>〃)的A类和B类正方形纸片、长为。宽为人的C类矩形纸片若干张.如图所
示要拼一个边长为a+8的正方形,需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为
【答案】C
【解析】
【分析】计算出长为(3α+0),宽为(2α+20)的大长方形的面积,再分别得出A、B、C卡片的面积,即
可看出应当需要各类卡片多少张.
【详解】解:长为(3α+h),宽为(2α+2Z?)的大长方形的面积为:
2
(3α+匕)(2α+2Z?)=6Q2+2b+Sab;
需要6张A卡片,2张8卡片和8张C卡片.
故选:C.
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积,解题的关键是理解(34+0)(2α+2Λ)结果中必项的
系数即为需要C类卡片的张数.
10.如图,已知开口向下的抛物线丁=依2+法+。与》轴交于点(6,0),对称轴为直线x=2.则下列结论
正确的有()
①ahc<0;
②Q-/7+C>0:
③方程CX2+⅛x+α=0的两个根为玉=g,%2=-9;
26
④抛物线上有两点尸(Xl,χ)和。(七,必),若玉<2<々且玉+%2>4,则yl<y2-
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案.
【详解】解:由抛物线的开口可知:cι<0,由抛物线与y轴的交点可知:c>0,由抛物线的对称轴可知:
bcc.
-----=2>O,∙*∙Z?>O,
2a
:.abc<O,故①正确;
・・•抛物线y=o√+历c+c与X轴交于点(6,0),对称轴为直线χ=2,
则另一个交点(—2,0),
.∙.χ=-l时,y>0,
ʌa-b+c>0^故②正确;
・・・抛物线y=以2+公+。与K轴交于点(6,0)和(-2,0),
∙β∙ax2+Zzx+C=O的两根为6和—2,
bC
Λ6+(-2)=4=――,6×(-2)=-12=-,则8=Ta,C=一12a,
aa
如果方程c£+bx+α=0的两个根为Xl=;,%2=一W成立,
而c=-12α,.'.-W=!
c4
,方程cx2÷bx÷a=O的两个根为Xl==~~2不成立,故③不正确;
26
。两点分布在对称轴的两侧,
VXI<2<X2,ΛP.
(w—2)—(2—XJ=A2—2—2+x∣=(x∣+A?2)一4>O,
即%,到对称轴的距离小于巧到对称轴的距离,
.,.ʃɪ>Λ>故④不正确.
综上,正确的有①②,
故选:B.
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,二次函数y=o√+笈+c系数符号由抛物线开口方
向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与X轴交点的个数确定.
二、填空题(本大题共有6小题,每小题3分,共18分.只需要将结果直接填写在答题卡对
应题号处的横线上)
11.计算:(—2)2+(—2)x2=.
【答案】O
【解析】
分析】先算乘方,再计算乘法,最后算加减.
【详解】解:(―2)2+(-2)X2=4-4=0.
故答案为:0.
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算,关键是掌握运算法则.
12.如图,在匚。中,OA±BC,NAo3=60°,则/4)C的度数为.
【答案】300##30度
【解析】
【分析】根据垂径定理得到>8=*C,根据圆周角定理解答即可.
【详解】解:∙.∙O4LBC,
∙,∙舫=*c,
.∙.ZADC=-ZAOB=30°,
2
故答案为:30°.
【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理,掌握同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的
圆心角的一半是解题的关键.
13.已知一元二次方程/-3x+1=0有两个实数根XI,X2,贝1]»+》2-汨》2的值等于.
【答案】2
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得X∣+X2=3,X1X2=1,然后利用整体代入的方法计算.
【详解】解:根据根与系数的关系得:
X∣+X2=3,XLX2=1,
/.x∖+X2-XIX2=3-1=2.
故答案为:2.
【点睛】本题考查了根与系数的关系:若曾,X2是一元二次方程αχ2+⅛x+c∙=0(α≠0)的两根时,x∣+x2
bc
=XX=-.熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键.
a12a
14.如图,在RtZVLBC中,ZC=90o,AC=8,BC=6,。为AC上一点,若BO是/ABC的角平
分线,则AD=.
【答案】3
【解析】
【分析】首先证明CD=OP,BC=BP=6,设Cz)=Pz)=x,在RJAZ)P中,利用勾股定理构建方
程即可解决问题.
【详解】解:如图,过点。作AB的垂线,垂足为P,
C
DX\
APB
在RtZVlBC中,∙.∙AC=8,BC=6,
二AB=√AC2+BC2=√82+62=10>
,/BD是/ABC的角平分线,
ZCBD=ZPBD,
•;NC=ZBPD=90。,BD=BD,
.∙..3。&£80P(AAS),
:.BC=BP=6,CD=PD,
设CD=Po=%,
在RtqADP中,VPA=AB-BP=A,AD=8-x,
:.%2+42=(8-X)2,
X=3,
.".AD=3.
故答案为:3.
【点睛】本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌
握基本知识,属于中考常考题型.
15.某天老师给同学们出了一道趣味数学题:
设有编号为1-100IOO盏灯,分别对应着编号为I-IOo的IOO个开关,灯分为“亮”和“不亮”两种状
态,每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态,所有灯的初始状态为“不亮”.现有100个人,第1
个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次,第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次,第3个人
把所有编号是3的整数倍的开关按一次,……,第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次.问
最终状态为“亮”
的灯共有多少盏?
几位同学对该问题展开了讨论:
甲:应分析每个开关被按的次数找出规律:
乙:1号开关只被第1个人按了1次,2号开关被第1个人和第2个人共按了2次,3号开关被第1个人和
第3个人共按了2次,……
丙:只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态.
根据以上同学的思维过程,可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏.
【答案】10
【解析】
【分析】灯的初始状态为“不亮”,按奇数次,则状态为“亮”,按偶数次,则状态为“不亮”,确定1-
IOO中,各个数因数的个数,完全平方数的因数为奇数个,从而求解.
【详解】所有灯的初始状态为“不亮”,按奇数次,则状态为“亮”,按偶数次,则状态为“不亮”;
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数,I-IOO中,完全平方数为1,4,9,16,25,36,49,64,
81,100;有10个数,故有10盏灯被按奇数次,为“亮”的状态;
故答案为:10∙
【点睛】本题考查因数分解,完全平方数,理解因数的意义,完全平方数的概念是解题的关键.
16.如图,在矩形ABCz)中,A3=5,4)=4,M是边AB上一动点(不含端点),将ZWJM沿直线OM
对折,得到NDM.当射线CN交线段AB于点尸时.,连接。P,则4COP的面积为;DP
的最大值为.
【答案】Φ.10②.2√5
【解析】
【分析】(1)根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解;
(2)结合勾股定理分析可得,当北最大时,OP即最大,通过分析点N的运动轨迹,结合勾股定理确定
AP的最值,从而求得Z)P的最大值.
【详解】解:由题意可得ACDP的面积等于矩形ABeD的一半,
.∙.Z∖COP的面积为LABAo=LX4x5=10,
22
在Rt-APD中,PD=AD2+AP2>
当ΛP最大时,OP即最大,
由题意可得点N是在以。为圆心4为半径的圆上运动,当射线CN与圆相切时,AP最大,此时C、N、M
三点共线,如图:
AP(M
由题意可得:AD=ND,NMND=NB4。=/B=90°,
.*.ZNDC+ADCN=90o,ADCN+ZMCB=9()°,
.,.ΛNDC=AMCB
∙/AD=BC,
:.DN=BC,
:.LNDgABCM,
∙,∙CN=BM=Ncif-DN?=3,
.∙.AP=AB-BP=2,
在R/APO中,PD=y∣AD2+AP2ɪ√42+22ɪ2√5-
故答案为:1(),2√5∙
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;本题综合性强,
难度较大,熟练掌握矩形和折叠的性质,分析点的运动轨迹,证明三角形全等是解决问题的关键.
三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过
程)
42
17.先化简,再求值:--÷——,其中x=l.
x〜•^乙—4A%-—C2
2
【答案】
3
【解析】
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的,再根据分式的除法法则把除法变成乘法,算乘法,最后代
入求出答案即可.
4x-2
(Λ+2)(x-2)2
2
x+2'
22
当X=I时,原式=——=-.
1+23
【点睛】本题考查了分式的化简求值,能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键,注意运算顺
序.
18.如图,矩形ABCo的对角线AC,Bz)相交于点。,DEAC,CEBD.
(1)求证:四边形OCE。是菱形;
(2)若8C=3,OC=2,求四边形OCEr)的面积.
【答案】(1)见解析(2)3
【解析】
【分析】(1)先根据矩形的性质求得OC=QD,然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理;
(2)根据矩形的性质求得QeD的面积,然后结合菱形的性质求解.
【小问1详解】
解:VDE//AC,CE//BD,
Λ四边形OCEZ)是平行四边形,
又Y矩形ABC。中,OC=OD,
平行四边形。CEZ)是菱形;
【小问2详解】
解:矩形ABCr)的面积为BCOC=3x2=6,
13
*'•:OCD的面积为一×6=一,
42
3
.∙.菱形OCED的面积为2X—=3.
2
【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定,属于中考基础题,掌握矩形的性质和菱形的判定方法,正确
推理论证是解题关键.
19.中学生心理健康受到社会的广泛关注,某校开展心理健康教育专题讲座,就学生对心理健康知识的了
解程度,采用随机抽样调查的方式,根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.
扇形统计图条形统计图
了解了解很少解
根据图中信息回答下列问题:
(I)接受问卷调查的学生共有人,条形统计图中,”的值为,扇形统计图中“非
常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为;
(2)若该校共有学生800人,根据上述调查结果,可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的
总人数为人;
(3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健
康知识竞赛,请用列表或画树状图的方法,求恰好抽到2名女生的概率.
【答案】(1)80,16,90°
(2)40(3)恰好抽到2名女生的概率为工.
6
【解析】
【分析】(1)用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,再用总人数减去其他项的人
数,求出“了解很少”的人数;用360。乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可;
(2)用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可;
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数,找出恰好抽到2名女生的结果数,然后利用概率公式求
解.
【小问1详解】
解:接受问卷调查的学生共有4O÷5O%=8O(人),
m=80-20-40-4=16(人),
20
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为360。X—=90。;
80
故答案为:80,16,90°;
【小问2详解】
解:根据题意得:
4
800×-=40(人),
80
答:估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人;
故答案为:40;
【小问3详解】
解:由题意列树状图:
开始
男男女女
∕↑∖ʌʌʌ
男女女男女女男男女男男女
由树状图可知,所有等可能的结果有12种,恰好抽到2名女生的结果有2种,
21
,恰好抽到2名女生的概率为F:.
126
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为:概率=所
求情况数与总情况数之比.
20.某校学生开展综合实践活动,测量某建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜坡,坡长CD=Io米,
坡角α=30°,小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60。,在。处测得建筑物顶端A的仰角为
30°.(已知点A,B,C,。在同一平面内,B,C在同一水平线上)
O
O
D
(1)求点。到地面3C的距离;
(2)求该建筑物的高度AB.
【答案】(1)5米(2)15米
【解析】
【分析】(1)过点D作DE_LBC,根据坡角的概念及含30°直角三角形的性质分析求解;
(2)通过证明∕ACD=90°,然后解直角三角形分析求解.
【小问1详解】
解:过点D作OELBC,
O
O
D
由题意可得Nz)Cε=30°,
...在RjCDE中,OE=LCQ=Lχl0=5,
22
即点D到地面BC的距离为5米;
【小问2详解】
如图,
□
□
□
RCE
由题意可得NZ)CE=30°,NAcδ=60°,
.∙.∠zACZ>90o,
又,:MN〃BE,
:.ΛMDC=Za=30o,
.∙.NADC=60。
∆(~∙R.AΓL
在RtAcD中,—=tanZADC=,即一^=正,
CD10
解得AC=IOJL
在Rt..ABC中,—=SinZACfi=-,即当ɪ=1,
AC2IOG2
解得AB=I5,
答:该建筑物的高度AB为15米.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角
三角形是解答此题的关键.
21.如图,AB是Co的直径,点E,C在(。上,点C是的中点,AE垂直于过C点的直线。C,
垂足为。,AB的延长线交直线DC于点F.
D
C
Ej
(1)求证:DC是。的切线;
(2)若AE=2,sinZAFD=^,①求。的半径;②求线段DE的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)①3;②2
【解析】
【分析】(1)根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质,得到Nc4E=NAC0,推出A。〃OC,
进而得到OCLOC,再利用圆的切线的判定定理即可证明结论;
(2)①连接5E,根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定,得到巫〃Z)F,进而得到
ZAFD=ZABE,再利用锐角三角函数,求得AB=6,即可求出O的半径;
②利用锐角三角函数,分别求出M和A£>的长,即可得到线段OE的长.
【小问1详解】
证明:如图,连接OC,
点C是BE的中点,
:.CE=CB>
.∙.ZCAE=ZCAB,
OA=OC,
.-.ZCABZACO,
.∙.ZCAE=ZACO,
.∙.AD^OC,
ADLDC,
:.OCVDC,
OC是、。的半径,
.∙.oc是。。的切线;
【小问2详解】
解:①如图,连接BE,
.∙.ZΛEB=90o,
.-.BELAD,
ADlDF,
.∙.BE∕∕DF,
:.ZAFD=ZABE,
SinZAFD=-,
3
.-.SinZABE=-=-,
AB3
∙.AE=2,
/.AB=6,
∙∙∙O的半径为3;
②由(1)可知,OCVDF,
./…OC1
.∙.sin/AFD==-,
OF3
Oe=3,OF=OB+BF=3+BF,
.3_1
'3÷BF^3,
・•.BF=6,
AF=AB+BF=6+6=12f
AD上DF,
・23丝=丝1
AF123
.∙.ΛZ)=4,
AE=2-
:.DE=AD-AE-4-2-2.
【点睛】本题是圆和三角形综合题,考查了圆的切线的判定定理,圆的性质,等腰三角形的性质,锐角三角
函数等知识,熟练掌握圆的相关性质,灵活运用正弦值求边长是解题关键.
22.为了振兴乡村经济,增加村民收入,某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品,在试销售的30天
mx+n(∖≤x<20)
中,第尤天(l≤x≤30且X为整数)的售价P(元/千克)与尤的函数关系式〃八小八,,,O(且
30(20≤x≤30)
X为整数),销量q(千克)与X的函数关系式为q=x+10,已知第5天售价为50元/千克,第10天售价为
40元/千克,设第X天的销售额为W元
(1)tn=,n=;
(2)求第X天的销售额W元与X之间的函数关系式;
(3)在试销售的30天中,销售额超过IOoo元的共有多少天?
【答案】(1)一2,60
(2)l≤χ<2()时,W=-2∕+40x+600,当2()≤x<30时,W=3Ox+3OO
(3)7天
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法求待定系数;
(2)根据“销售额=售价X销售量”列出函数关系式,
(3)利用二次函数和一次函数的性质分析求解.
【小问1详解】
解:第5天售价为50元/千克,第10天售价为40元/千克,
5m+〃=50[m=-2
.-J,解得《“,
10,〃+〃=40[〃=60
故答案为:一2,60;
【小问2详解】
解:由题意当l≤x<20时,W=Pq=(-2x+60)(x+10)=-2f+4()x+600,
当20≤x<30时,W=30q=30(x+10)=30x+3(X),
【小问3详解】
解:由题意当l≤x<20时,W=-2X2+40X+6∞=-2(X-10)2+8∞,
V-2<0,
当X=Io时,W最大为800,
当20Wx≤30时,W=30x+300,
由30%+34)>1£)0时,解得X>23,,
3
又Yx为整数,且30>0,
.∙.当2()≤x≤30时,W随X的增大而增大,
第24至30天,销售额超过IoOO元,共7天.
【点睛】本题考查一次函数的应用,二次函数的应用,理解题意,分段分析函数解析式,掌握一次函数和
二次函数的性质是解题关键.
23.1643年,法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求
平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置,意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明,该
点也被称为“费马点”或“托里拆利点”,该问题也被称为“将军巡营”问题.
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”中选
择填空,②处从“两点之间线段最短"和''三角形两边之和大于第三边”中选择填空,③处填写角度数,
④处填写该三角形的某个顶点)
当一ABC的三个内角均小于120。时,
如图1,将AAPC绕,点C顺时针旋转60°得到αA'P'C,连接尸P,
由PC=PGNPCP=60°,可知△尸CP'为①三角形,故"=PC,又P'A=Rb故
PA+PB+PC=PAr+PB+PP>A,B,
由②可知,当8,P,P',A在同一条直线上时,B4+PB+PC取最小值,如图2,最小值为
A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”,且有ZAPC=NBPC=ZAPB=③:
已知当JsC有一个内角大于或等于120。时,“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若
ZBAC≥120°,则该三角形的“费马点”为④点.
(2)如图4,在OABC中,三个内角均小于120°,且AC=3,BC=4,NACB=30°,已知点尸为
_ABC的''费马点",求P4+RB+PC的值;
(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形,且已知
AC=4km,fiC=2√3km,NAC6=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,
已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为α元/km,。元∕km,0«元/km,选取合适的P的
位置,可以使总的铺设成本最低为元.(结果用含”的式子表示)
【答案】(1)①等边;②两点之间线段最短;③120。;④A.
(2)5
(3)2√13a
【解析】
【分析】(1)根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论;
(2)根据(1)的方法将aAPC绕,点C顺时针旋转60°得到,A'PzC,即可得出可知当B,P,P',A在
同一条直线上时,Q4+PB+PC取最小值,最小值为A'B,在根据NAcB=30°可证明
ZAC4,=ZA,Oy+ZBCP+NPCP=90°,由勾股定理求A1B即可,
(3)由总的铺设成本=α(PA+PB+√∑PC),通过将AAPC绕,点C顺时针旋转90°得到.A'P'C,
得到等腰直角CPP'C,得到&PC=PP,即可得出当B,P,P',A在同一条直线上时,
H4'+P8+∕7y取最小值,即PA+PB+√∑PC取最小值为A8,然后根据已知和旋转性质求出A'B即
可.
【小问1详解】
解:VPC=P'C,NPCP'=60°,
.∙.ZXPCP为等边三角形;
.∙.PP'=PC,NpPC=/PPC=60°,
又尸'A'=∕¾,故Λ4+P8+PC=PA'+P3+PP≥A5,
由两点之间线段最短可知,当B,P,P',A在同一条直线上时,Q4+P8+PC取最小值,
最小值为A3,此时的尸点为该三角形的“费马点”,
:.ZBPC+ZP,PC=180o,ZAPC+ZPPC=180°,
∙∙∙ZBPC=120。,ZΛ'PC=120°,
又•;APC=APC,
;•NAPC=NAPC=I20。,
.∙.ZAPB=360o-ZAPC-ZBPC=120°,
∙∙∙ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°;
,/NfiAC≥120°,
ΛBC>AC,BC>AB,
:.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,
三个顶点中,顶点A到另外两个顶点的距离和最小.
又;已知当一ABC有一个内角大于或等于120°时,“费马点”为该三角形的某个顶点.
.∙.该三角形的“费马点”为点A,
故答案为:①等边;②两点之间线段最短;③120。;④A.
【小问2详解】
将XMiC绕,点C顺时针旋转60°得到APC,连接PP',
由(1)可知当8,P,P',A在同一条直线上时,Q4+P8+PC取最小值,最小值为AB,
:ZACP=ZA",
.∙.ZACP+NBCP=ZA'CP+ZBCP=ZACB=30°,
又∙.∙NPay=60°
.∙.ZBCA=ZACP,+ZBCP+/PCP=90°,
由旋转性质可知:AC=A'C=3,
,AB=√BC2+A,C2=√42+32=5,
.∙.Q4+P3+PC最小值为5,
【小问3详解】
,.∙总铺设成本=PA.a+PB.a+PC.近a=a(PA+PB+√2PC)
当P4+pg+√2PC最小时,总的铺设成本最低,
将AAPC绕,点C顺时针旋转9()。得到心APC,连接尸P,A!B
由旋转性质可知:PC=PC,NPCpZ=NAC4'=90°,P'A,=PA,A'C=AC=4km,
∙∙∙PP'=√2PC,
•••PA+PB+-JlPC=P'A!+PB+PP',
当B,P,P',A在同一条直线上时,PZA'+必+小取最小值,即尸A+PB+J∑PC取最小值为
A'B,
过点A'作4H_LBC,垂足为“,
VZACB=60°,NAC4'=9()。,
.∙.ZA,CH=30°,
.∙.A4=LAC=2km,
2
∙,∙HC=√AC2-A∕72=√42-22=2√3(km),
.,.BH=BC+CH=2百+2√5=4向km),
2222
;•A'B=AH+BH=A∕(4√3)+2=2√B(km)
PA+PB+√2PC的最小值为2JBkm
总的铺设成本=PA.a+PB,a+PC.√2α=a(PA+PB+√2PC)=2√130(元)
故答案为:2屈a
【点睛】本题考查了费马点求最值问题,涉及到的知识点有旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股
定理,以及两点之间线段最短等知识点,读懂题意,利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键.
24.如图1,平面直角坐标系Xay中,抛物线>=以2+区+,过点4(-1,0),B(2,0)和C(0,2),连接
BC,点P(〃?,〃)(机>0)为抛物线上一动点,过点P作PN_Lx轴交直线BC于点交X轴于点N∙
(1)亶毯耳出抛物线和直线BC的解析式;
(2)如图2,连接OM,当.OCM为等腰三角形时,求m的值;
(3)当尸点在运动过程中,在y轴上是否存在点。,使得以O,P,。为顶点三角形与以8,C,
N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应),若存在,直毯再中点P和点。的坐标;若不存在,请
说明理由.
2
【答案】(1)抛物线:y=-x+x+2i直线3C:y=-x+2
(2)/%=1或机=应或加=
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