2023年甘肃省武威市凉州区中考数学三模试卷

2023年甘肃省武威市凉州区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图所示的几何体的俯视图是（）

A.B.C.口D.II

2.现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2014年的“双11”网上促销活动中天

猫和淘宝的支付交易额突破57000000OOO元，将数字57000000OoO用科学记数法表示为

()

A.5.7XIO9B.5.7XIO10C.0.57XIO11D.57XIO9

3.用配方法解方程/-2乂=2时，配方后正确的是（）

A.(x÷I)2=3B.(x+I)2=6C.(%—I)2=3D.(%-I)2=6

4.不等式3%-2>4的解集是（）

A.X>—2B.X<—2C.%>2D.%<2

5.下列算式中，结果是正数的是.（）

A.-[-(-3)]B.-∣-(-3)∣3C.一(-3)2D.-32X(—2)3

6.当三角形的面积一定时，三角形的底和底边上的高成关系.（）

A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数

7.在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的

加入，实际每天植树比原计划多30%,结果提前2天完成任务，设原计划每天植树X万棵，由

题意得到的方程是（）

5050R5050

T-(l+30%)xβ∙T-30%X

C.上一2=笆—≡θ——型=2

30%xX(l+30%)xX

8.如图，将平行四边形4BC。沿对角线4C折叠，使点B落在点B'

处，若Nl=N2=36o,NB为（）

A.36°

B.144°

C.108°

D.126°

9.体育课上测量立定跳远，其中一组六个人的成绩（单位：米）分别是：1.0,1.3,2.2,2.0,

1.8,1.6,则这组数据的中位数和极差分别是（）

A.2.1,0.6B,1.6,1.2C,1.8,1.2D.1.7,1.2

10.二次函数y=ax2+bx+c（α≠0）的部分图象如图所示，对称轴

为直线X=ɪ,且经过点（2,0）.下列说法：①αbc<0；②一2b+c=0；

③4α+26+c<0;④若（一；加，（|女）是抛物线上的两点，则丫1<

y2；⑤[b+c>m（αm+b）+c（其中m*正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这

棵树的高度为米.

12.因式分解：a3-4a=

13.在函数y=Iɪɪ中，自变量X的取值范围是

14.若关于X的一元二次方程/—3x+a=0的一个根是-1,贝Ua的值为

15.O。的半径为IOCnI,弦tAB∕∕CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB与CD的距离为

16.如图，传送带的一个转动轮的半径为IOCτn,转动轮转n。，传送

带上的物品4被传送6τrcπι,则n=

17.在AABC中，已知44BC=90°,NBAC=30°,BC=1.

如图所示，将公力BC绕点4按逆时针方向旋转90。后得到△

BC

4B'C',则图中阴影部分的面积为

18.一组按规律排列的式子：；，-ɪ,3-系第n个式子是(用含ɑ,兀的

式子表示，n为正整数).

三、计算题(本大题共2小题，共12.0分)

19.解方程：3x(x—2)=%—2.

20.先化简，再求值：(2,4++其中％=—'.

vX2-4x+27X-22

四、解答题(本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

21.(本小题8.0分)

计算：√^12+(2014-2015)°+G)T-6tαn30o.

22.(本小题8.0分)

2023年春节期间，淄前江红》在各大影院上映后，小明去影院观看这部电影，该影院有人B

两个入口和C、0、E三个出口，若从每个入口进影院的可能性相同，从每个出口出影院的可

能性也相同.

(I)观众不从E出口出影院的概率是一：

(2)用列表或画树状图的方法求小明恰好经过通道4与通道D的概率.

23.(本小题8.0分)

中华文化源远流长，文学方面，他游记沙、烂国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我

国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”.某中学为了解学生对四大古典名著

的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据

调查结果绘制成尚不完整的统计图(如图).请根据以上信息，解答下列问题.

人数

(1)本次调查所得数据的众数是，中位数是；

(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为度；

(3)请将条形统计图补充完整；

(4)若该校共有1560名学生，请估计该校四大名著一部没有读过的学生有多少人?

24.(本小题8.0分)

在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量.如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物

顶端B的仰角为60。，沿山坡向上走2(hn到达。处，测得建筑物顶端B的仰角为30。.已知山坡坡

度i=3：4,即tan。4请你帮助该小组计算建筑物的高度血

(结果精确到0.1τn,参考数据：O≈1.732)

25.(本小题8.0分)

如图，一次函数y=+b与反比例函数y=-Qx<0),y=g(x>0)图象分别交于

½(-2,m),B(4,n),与y轴交于点C,连接04OB.

(1)求反比例函数y=WQ>0)和一次函数y=-∣x+b的表达式;

(2)求A40B的面积.

26.(本小题8.0分)

如图，在RtAABC中，∆ACB=90°,以斜边AB上的中线C。为直径作。0,与BC交于点M,

与AB的另一个交点为E,过M作MN_LAB,垂足为N.

(1)求证：MN是。。的切线；

(2)若。。的直径为5,SinB=求ED的长.

C

27.(本小题8.0分)

如图，抛物线y=αχ2+bx+4(α二0)与X轴交于点4(一1,0)和点B(4,0),与y轴交于点C,顶

点为0,连接4C,BC,BC与抛物线的对称轴I交于点E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB,PC,若SAPBC=。S-BL求点P的坐标.

28.(本小题8.0分)

(1)如图1,在正方形ABCo中，E是上一点，点F是40延长线上一点，且DF=BE,求证:

CE=CF.

(2)如图2,在正方形力BC。中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果NGCE=45。，请你利用(1)

的结论证明：GE=BE+GD.

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题:

如图3,在四边形ABCO中，ADUBC(BC>AD),∆B=90o,AB=BC=2AD,E是4B上一

点,且NDCE=45°,求SinzDEC的值.

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：从上面可看到是三个左右相邻的长方形.

故选:B.

找到从上面看所得到的图形即可.

本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

2.【答案】B

【解析】解：将57000000000用科学记数法表示为:5.7XlO10.

故选：B.

科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中l≤∣α∣<10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成ɑ时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n

是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为αX10”的形式，其中l≤∣α∣<10,n

为整数，表示时关键要正确确定ɑ的值以及n的值.

3.【答案】C

【解析】解：X2-2x=2,

X2—2x+1=2+1,即(X-I)2—3.

故选：C.

方程左右两边都加上1,左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果.

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关

键.

4.【答案】C

【解析1解：3x-2>4,

移项得：3x>4+2,

合并同类项得：3x>6,

系数化为1得：x>2.

故选：C.

按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即

可得出答案.

本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项;

④合并同类项；⑤化系数为1是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了绝对值、相反数、有理数的乘法与乘方运算.在一个数的前面加上负号就是这个数的相

反数.

根据相反数的定义，有理数的运算，可得答案.

【解答】

解：A-I-(—3)]=—[+3]=—3,故A错误：

B.-∣-(-3)∣3=-27,故B错误；

C.-(-3)2=-9,故C错误；

D.-32×(-2)3=-9×(-8)=72,故D正确；

故选D

6.【答案】B

【解析】解；三角形的底X高=三角形面积X2(定值)，

即三角形的底和高成反比例.

故选：B.

由于三角形面积=TX底X高，所以面积一定时，底X高=定值，即底和高成反比例.

此题主要考查反比例函数的基本定义，难易程度适中.重点是反比例函数解析式的一般式y=

^(⅛≠0)∙

7.【答案】A

【解析】解：由题意可得,

—50—----50----=，C，

X(l+30%)x

故选：A.

根据原计划的天数-实际的天数=提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决.

本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的

分式方程.

8.【答案】D

【解析】解：根据翻折可知：4B'AC=4BAC,

••・四边形力BCC是平行四边形，

.∙.DC//AB,

∙∙∙Z.BAC=Z.DCA,

.∙.∆BAC=∆DCA=∆B'AC,

,：Zl=∆B'AC+∆DCA,

.∙.Zl=2∆BAC=36°,

乙BAC=18°,

4B=180o-LBAC-42=180°-18°-36°=126°,

故选：D.

根据翻折可得ZB'AC=∆BAC,根据平行四边形可得DC〃4B,所以NBAC=ΛDCA,从而可得Nl=

2/.BAC,进而求解.

本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质.

9.【答案】D

【解析】解:排序后为：1.0、1,3、1.6、1.8、2.0、2.2

・••中位数为1.7

由题意可知，极差为2.2-1.0=1.2米.

故选D.

根据极差的定义即可求得.

极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.注意：

①极差的单位与原数据单位一致.

②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准

确.

10.【答案】B

【解析】解：•••抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，

.∙.ɑ<0,c>0,

•••对称轴直线％=即

2a2b=-α,

b>0,

:∙abc<0,

故①正确；

•・,二次函数y=ax2+hx+c(a≠0)的图象过点(2,0),

・•・0=4α÷26+c,

故③不正确；

又可知b=-a,

.∙.0=—4b+2b+c,即一2b+C=0,

故②正确；

•••抛物线开口向下，对称轴是直线X=；，且；一(一；)=1，I—=2,

∙∙∙7ι>及，

故选④不正确；

・・・抛物线开口向下，对称轴是直线X=*

・・・当X=T时，抛物线y取得最大值Kna%=0)2Q+gb+c="b+c,

2

当X=Tn时，ym=am+bm+c=m(am+b)+c,且m≠ɪ.

∙'∙),max>y∙m,

故⑤正确，

综上，结论①②⑤正确，

故选:B.

抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为X=右推导出α<0,b>0、00以及。与6之间

的关系：b=-a；根据二次函数图像经过点(2,0),可得出O=4α+26+c,结合b=-α,可知一2b+

c=0;再由二次函数的对称性，当QVo时，距离对称轴越远%所对应的y越小；由抛物线开口向

下，对称轴是％=3,可知当X=凯寸，y有最大值.据此对各个结论分别判断即可.

本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各

系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系.

11.【答案】9.6

【解析】解：设树高为X米，

..人的身高_树的高度

■人的影长一树的影长'

1.6__%

ʌ砺=宙

・•・X=4.8×2=9.6.

答：这棵树的高度为9.6米.

在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者

构成的两个直角三角形相似.

本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边

成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

12.【答案】α(α+2)(α-2)

【解析】

【分析】

此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键.

首先提取公因式ɑ,进而利用平方差公式分解因式得出即可.

【解答】

解：0r3-4α=α(α2-4)=a(a+2)(a—2).

故答案为：a(a+2)(a-2).

13.【答案】x>1

【解析】解：由题意可知：

解得：X>1

故答案为：χ>1

根据函数关系即可求出X的取值范围.

本题考查自变量的取值范围，解题的关键是熟练运用分式的有意义条件以及分式有意义条件，本

题属于基础题型.

14.【答案】一4

【解析】解：把％=—1代入方程/-3x+α=0,得l+3+α=0,

解得α=-4,

即ɑ的值为—4.

把把X=-1代入原方程得1+3+α=0,然后解一次方程即可.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

15.【答案】14Crn或2cm

【解析】解：/守\

(I)如图①；RtE中，OA=10cm,AE=6cm；(''、；尸)('[40j

根据勾股定理，得OE=8cm；∖JAf>~~

同理可得：OF=6cm；①②

故EF=OE-OF=2cm；

(2)如图②；同(1)可得：OE=8sn,OF=6cm；

故EF-OE+OF-14cm；

所以4B与CD的距离是14CnI或2cm.

根据垂径定理及勾股定理，可求出弦48、CO的弦心距；由于两弦的位置不确定，因此需要分类

讨论.

此题主要考查的是垂径定理以及勾股定理的应用，需注意弦48、CD的位置关系有两种，需分类

讨论，不要漏解.

16.【答案】108

【解析】解：•••物品A被传送的距离等于转动了n。的弧长,

解得：n=108,

故答案为：108.

物品4被传送的距离等于转动了心的弧长，代入弧长公式即可求出Ti的值.

本题考查了弧长的计算，理解传送距离和弧长之间的关系是解决问题的关键.

17.【答案】巴?

【解析】解：∙∙∙N4BC=90。，NBAC=30。，BC=1,

・•・AB=>Γ3BC=√-3,AC=2BC2,

90∙7T∙22

・•・图中阴影部分面积=S扇形ACe，一S扇形皿，fABC

360

故答案为：上尹；

解直角三角形得到AB=√^3BC=y∕-3,AC=2BC=2,然后根据扇形的面积公式即可得到结论.

本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决

问题的关键.

18.【答案】(-l)n+1∙⅛i

kjan

2

【解析】解：...2=(-1)2.",

ɑv7CZ1

5,n32?+1

-^=(-i)3∙-'

⅛=(-l)4.f+i,

'Q∙S

第Tl个式子为：（T）n+1∙安.

、'an

故答案是：（-1）"1∙邙.

vydn

观察分母的变化为ɑ的1次累、2次累、3次累...n次塞；分子的变化为：2、5、10、17...n2+l;

分式符号的变化为：+、一、+、-∙∙∙（-l）n+1.

本题考查了列代数式，规律型：数字的变化类以及分式的定义，要求学生首先分析题意，找到规

律，并进行推导得出答案.

19.【答案】解：3x(x-2)=x-2,

移项得:3x(X-2)-(x-2)=O

整理得：(X-2)(3x-1)=0

X—2=0或3x-1=0

解得：Xl=2或小=ɪ

【解析】移项后提取公因式X-2,利用因式分解法求得一元二次方程的解即可.

本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，防止两边同除

以x-2,这样会漏根.

X—2_1

.【答案】解:原式=湍金

20X-I-x+2,

当X=-I时，原式=2.

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分

得到最简结果，把X的值代入计算即可求出值.

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

21.【答案】解：√^I2+(2014-2015)°+φ-1-6tan30o

=2√3+l+4-6×^

=2<3+l+4-2θ

=5.

【解析】首先计算零指数塞、负整数指数累、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后

从左向右依次计算，求出算式的值即可.

此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，

要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同

级运算要按照从左到右的顺序进行.

22.【答案】:

【解析】解：(1)观众不从E出口出影院，即从C或D出口出影院,

••・观众不从E出口出影院的概率是|.

故答案为：|.

(2)画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中小明恰好经过通道4与通道。的结果有1种，

••・小明恰好经过通道4与通道。的概率为之

(1)观众不从E出口出影院，即从C或。出口出影院，根据概率公式计算即可.

(2)画树状图得出所有等可能的结果数和小明恰好经过通道4与通道。的结果数，再利用概率公式

可得出答案.

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

23.【答案】1254

【解析】解：(1)本次调查的人数：8+20%=40(人)，

读1部的人数：40-2-10-8-6=14(人)，

・•・本次调查所得数据的众数是1,

中位数：(2+2)+2=2,

故答案为：1,2；

(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360。X4=54。，

故答案为：54：

(3)由(1)知，读1部的人数:40-2-10-8-6=14(A),

补全条形统计图如图所示：

ɔ

(4)1560X京=78(人)，

答：估计该校四大名著一部没有读过的学生约有78人.

(1)根据读3部的人数和所占百分比，可以求出本次调查的人数，再算出读1部的人数，然后即可得

到众数和中位数；

(2)用360。乘以读4部所占的百分比即可得到答案；

(3)根据(1)中读1部的人数，可以将条形统计图补充完整；

(4)用全校人数乘以一部没有读过的百分比即可求得答案.

本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数和众数，用样本的百分比估计总体，圆心角度数等，

明确题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键.

24.【答案】解：过点。作DEI4C,垂足为E,过点。作DFlAB,垂足为F,

则。E=AF,DF=AE,

在中，

RtAOECtanθ=EC=ɔ4

设CE=3尤米,贝IJCE=设米,

•••DE2+CE2=DC2,

.∙.(3x)2+(4x)2=400,

•••X=4或X=-4(舍去)，

.∙.DE=AF=12米，CE=16米,

设BF=y米，

：.AB=BF+AF=(12+y)米，

在RtADBF中，NBDF=30。，

'DF=正方=者=Cy(米)，

3

・•・AE—DF=∙∖Λ^5y米，

ʌAC=AE-CE=(√3y-16)米，

在Rt△4BC中，∆ACB=60°,

ʌtan60o=罢=

AC√3y-16

解得：y=6÷8√-3»

经检验：y=6+8/耳是原方程的根，

.∙.AB=BF+AF=18+8C≈≈31.9(米)，

••・建筑物的高度AB约为31.9米.

【解析】过点。作DElAC,垂足为E,过点D作CFlAB,垂足为F,则DE=4F,DF=AE,在

RtΔDEC中，根据已知可设DE=3万米，贝IJCE=4x米，然后利用勾股定理进行计算可求出DE,CE

的长，再设BF=y米，从而可得AB=(12+y)米，最后在RtADBF中，利用锐角三角函数的定

义求出CF的长，从而求出4?的长，再在RtAABC中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，

进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键.

25.【答案】解：⑴♦.•点4(-2,m)在y=?的图象上，

∙∙∙m=ʒ—L-=5>

ΛΛ(-2,5),

•・•点4(-2,5)在y=+b上，

ʌ5=—ɪ×(-2)+b,

ʌð=4,

・•・一次函数的表达式为y=-∣x÷4,

,・,点8(4,几)在丁=-∣x+4的图象上，

1C

.∙.n=--×4y1=2,

・・・8(4,2),

•・・点B在y=5的图象上，

・•・k=4X2=8,

；・反比例函数的表达式为y=θ(x>O);

(2)；直线y=-ʌɪ+4与y轴交于C点，

.∙.当X=。时，y=4,即。C=4,

^ΔAOB—^ΔAOC+SABOC=5OC,(同I+|41)=万X4X(2+4)=12.

••.△AOB的面积为12.

【解析】(1)先求出点4坐标，再求出一次函数解析式，再求出B点坐标，最后求出反比例函数解

析式；

(2)由一次函数解析式求出C点坐标，再把三角形ZOB的面积转化为三角形AoC和三角形BoC面积

之和，由面积公式求解即可.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方

程思想，综合性较强.

26.【答案】(1)证明：连接OM,如图1,

.∙.Z-OCM=∆OMC,

在RtAABC中，CD是斜边ZB上的中线,

.∙.CD=^AB=BD,

:∙∆DCB=∆DBC,

ʌZ-OMC=∆DBCf

・•・OMUBD,

vMN1BD,

・•・OM1MN,

•・•OM是OO的半径，

.∙.MN是。。的切线；

(2)解：连接。M,CE,

•••CD是。。的直径，

4CED=90o,ZDMC=90°,

即。MJ.BC,CEIAB,

由(1)知：BD=CD=5,

M为BC的中点，

VSi・nBO=3

4

・•・CosBn=ʒ,

在Rt△BMD中，BM=BD∙CosB=4,

ʌBC=2BM=8,

在RtACEB中，BE=Be∙CosB=芋

327

；.ED=BE-BD=菅-5=高

【解析】(1)连接OM,求出。M〃BD,求出。MJ.MN,根据切线的判定推出即可；

(2)连接DM和CE,求出。MlBC,CE1BA,解直角三角形求出BC和BE,再求出答案即可.

本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综

合运用知识点进行推理是解此题的关键.

27.【答案】解:(I)•・•抛物线y=ax2+hx+4(α≠0)过点4(一LO)和点8(4,0),

.(Q-Jb+4=0

'tl6α+4b+4=0'

解得仁二，

.,・抛物线的解析式为y=-X2+3%+4；

(2)如图1,过点P作PGLx轴，交工轴于点G,交BC于点F,

当X—0时，y=4,

二C(0,4),

设直线BC的解析式为y=kx+s,

将C(0,4),8(4,0)代入得:

CΓΛ=o-解得，C：；1-

•・•直线BC的解析式为y=-X+4,

设P(t,-t2+3t+4),则F(t,τ+4),

ʌPF=-t2+43

11

•••ShABC=EB•。。=>(4+1)X4=10,

3

∙,∙S>PBC—gSfBC=6,

・•・s∆PBC=；PF.=6,