2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（附答案详解）

2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级(下)期中数学试卷

(五四学制)

1.下列运算结果正确的是()

A.C=±3B.J(—5)2=-5C.(-√^2)2=2D.‹6÷√^2=3

2.“9的算术平方根是3”用式子表示为()

A.+√9=+3B.>J9=+3C.V9=3D.+V9=3

3.要使德有意义，则实数X的取值范围是()

A.%≤1B.X≤1且X≠0C.X<1且久≠0D.X<1

4.若关于X的一元二次方程依2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数Z的取值范围

是()

A.fc>-1B.k>一1且/C≠0C.⅛<-1D,fc<-1或/C=0

5.若db,C满足则关于X的方程收+以+©=0("0)的解是()

A.1,0B,-1,0C.1,-1D.无实数根

6.关于X的方程/+bx+c=0的两个实数根分别为-2和3,则分解因式/+bx+c等于

()

A.(x+2)(x-3)B.(x-2)(X+3)C.(x-2)(X-3)D.(x+2)(X+3)

7.若XI+X2=3,xf+%2=5,则以X1，乂2为根的一元二次方程是()

A.X2—3x+2=0B.X2+Sx-2=0C.x2+3x+2=0D.%2—3x—2=0

8.估计(3∕2-C∑)x，豆的值应在()

A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间

9.如图，在边长为4的菱形ABC。中，E为A。边的中点，连接CE交对角线BO于点凡若

乙DEF=乙DFE,则这个菱形的面积为()

A.16B.6ΛΛ7C.12CD.30

10.如图，正方形ABCD的对角线相交于点。，点。又是正方形

力】当前。的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.给出如下四个结

论：①NOEF=45。；②正方形为B1G。绕点。旋转时，四边形OEBF

C

Bl

G

的面积随EF的长度变化而变化；③ABEF周长的最小值为(1+4)04；@AE2+CF2=

2。”.其中正确的结论有()

A.①③B.②③C.®®D.③④

11.咨口的倒数是.

12.如图，将一个矩形纸片4BC。沿着直线EF折叠，使得点C

与点月重合,直线后尸分别交8。4。于点£尸,若8七=3,4/:'=5,

则线段EF的长为.

13.已知α,/?是方程式-3x-4=O的两个实数根，则α?+囚？一3α的值为.

14.如图，平面直角坐标系中有两条直线分别为4：y=

+4,l2：y=^x-若L上一点尸到匕的距离为1，则P

点的坐标为.

15.两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCf>,如图所示.若Na=30。，则对角线8。上

的动点P到4,B,C三点距离之和的最小值是.

16.(1)计算：(2√^3+√^6)(2√^3-√-6)-(√rl-I)2;

(2)对于一元二次方程α/+bx+c=0(α,b,c是常数，ɑ≠0),当/-4αc≥0时，请用配方

法推导出该方程的求根公式.

17.解方程：

(I)(X-3)2-4=0;

(2)(x+2)2-2(x+2)=3.

18.观察下列各式：①Jl+i=2JR，②J2+；=3门③J3+1=4。，…

(1)请观察规律，并写出第④个等式：;

(2)请用含n(n≥1)的式子写出你猜想的规律：；

(3)请证明(2)中的结论.

19.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为己知”是数学学习中解决问题的基本思维方

式,例如:解方程X-C=0,就可以利用该思维方式,设，*=y，将原方程转化为:y2-y=

0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y,再求X,这种方法又叫“换元法”.小明用这种

思维方式和换元法解决下面的问题，求出了方程2C-3=0的解，请你仿照他的方法求出

下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中.

方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解

c=∣,

令，^=t>33

2C-3=0t=t=2>0

则2t-3=02所以X=*

X-2√-x+1=0

X+2+√%+2

=0

20.已知关于X的一元二次方程》2-2X—3/=0.

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根分别为α,β,且α+2S=5,求，”的值.

21.已知：如图，在四边形ABCr)中，∆BCD=∆BAD=90o,E,F分别是对角线8。，AC

的中点.

(1)请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；

(2)若乙4DC=45。，请判断E尸与AC的数量关系，并说明理由.

C

22.如图，请在边长为1的方格纸中利用格点作图(不必说明作图步骤，标出你所连接的格

点即可)：

(1)如图1,画一个平行四边形EFGH,使得点A,B,C,。分别在平行四边形EFGH的四条

边上，旦S&EFGH=2S四边形ABCD，并直接写出你画的平行四边形EFG”的面积；

(2)如图2,画一个矩形MNPQ,使得点、A,β,c,。分别在矩形MNPQ的四条边上,且S矩形MNPQ=

2S四边形ABCD，并直接写出矩形MNPQ的边长；

(3)如图3,延长D4至点K,请在AK上找一点T使得SAC”=S四切囹BCD∙

-

-

O

图1图2图3

23.已知，矩形A8C。，点E在AB上，点G在AO上，点尸在射线BC上，点”在CQ上.

(1)如图1,当矩形ABCD为正方形时，且。EIGF,求证：BF=AE+AG；

(2)在(1)的条件下，将GF沿A。向右平移至点G与点D重合，如图2,连接ER取E尸的中

点P,连接PC,试判断BE与PC的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,点尸在BC上,连接EH,E”交FG于0,NGOH=45°,若AB=2,BC=4,FG=仁，

求线段EH的长.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A、原式=3,.•・不符合题意；

B、原式=5,二不符合题意；

C、原式=2,二符合题意；

。、原式=√^^^,不符合题意；

故选：C.

根据二次根式的性质及二次根式的除法法则计算.

本题主要考查了二次根式的乘法、二次根式的性质与化简，掌握二次根式的乘法运算法则，二次

根式的基本性质，双重的非负性是解题关键.

2.【答案】C

【解析】解：9的算术平方根是3用式子表示为C=3.

故选：C.

根据算术平方根的概念写出式子即可.

本题考查的是算术平方根的概念，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数X的平方等于4,

即∕=α,那么这个正数X叫做”的算术平方根，即40=%.

3.【答案】D

【解析】解：要使合有意义，

则I-X>O,

解得：X<1.

故选：D.

直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案.

此题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是

解题关键.

4.【答案】B

【解析】解:根据题意得k≠O且Zl=(-2)2_4k∙(-l)>0,

解得k>一1且卜≠0.

故选B.

本题考查了根的判别式：一元二次方程αM+bx+c=0(α≠0)的根与Zl=b2-4ac有如下关系：

当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方

程无实数根.利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠O且ZI=(-2)2-4k-(-1)>0,

然后求出两个不等式的公共部分即可.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.分别把X=1或X=-1代入方程可得到α+b+c=0和α-b+c=0,则根据一元二次方程的

解的定义可判断方程的根.

【解答】

解：当％=1时，α+b+c=0,

当X=-I时，a—b+c=O,

所以关于X的方程ax?+∕7χ+c=0(a≠0)的解为1或一1.

故选：C.

6.【答案】A

【解析】解：••・关于X的方程/+b%+c=O的两个实数根分别为一2和3,

二方程产+bx+c=。为：(X+2)(x—3)=0>

ʌ%2+hx+c=(x+2)(X—3).

故选：A.

由关于尤的方程/+bx+c=0的两个实数根分别为一2和3,可得方程/+bχ+c=0为：(χ+

2)(x-3)=0,继而求得答案.

此题考查了一元二次方程根的性质.此题难度不大，注意根据题意可得方程/+汝+c=0为：

(x+2)(X-3)=0是解此题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：Tɪi+%2=5,

x2

∙'∙(ɪl+2)-2x1%2=5,

而Xi+X2=3,

••9—2%I%2=5,

=2,

，以%1，Λ⅛为根的一元二次方程为/-3%+2=0.

故选：A.

利用完全平方公式计算出％1%2=2,然后根据根与系数的关系写出以％1，型为根的一元二次方程.

本题考查了根与系数的关系：若打，工2是一元二次方程Q/+故+C=OQW0)的两根时，X1÷

b_c

%2=_£，X1X2=^∙

8.【答案】B

【解析】解：原式=3√^xC-QlXq

=3ΛΛ6-ΛΛ^6

=3y[~6-6

3V^^6=354,

V49<54<64,

••・7<'54<8,

ʌ1<3λ∕­6—6<2.

故选：B.

根据乘法的分配律以及二次根式的运算，进行计算后，再进行估算即可.

本题考查二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，掌握二次根式的混合运算的方法是正确解

答的关键.

9.r答案】B

【解析】解：连接AC交8。于。，如图，

BC

•・・四边形A8CQ为菱形，

：,ADl]BC,CB=CD=AD=4,AC1BD,BO=ODfOC=AO1

•・•£为AD边的中点，

：,DE=2,

•：Z-DEF=∆DFEf

.・.DP=DE=2,

•・•DEllBC,

・•・乙DEF=∆BCF,

VZ.DFE=Z.BFC9

：・Z-BCF=∆BFC,

ʌBF=BC=4,

・•.BD=B尸+DF=4+2=6,

.∙.OB=OD=3,

在Rt△8。C中，OC-V42-32=∖Γ~7，

・•・AC=20C=2√^7,

菱形ABCD的面积=^AC-BD=^×2<7×6=6√7.

故选：B.

连接AC交8。于。,如图,根据菱形的性质得到2Z√∕BC,CB=CD=AD=4,AC1BD,BO=OD,

OC=4。，再利用NE)EF=4。FE得至IJOF=OE=2,证明NBCF=Z得至IJBF=8C=4,则

BD=6,所以。B=。。=3,接着利用勾股定理计算出0C,从而得到力C=2√7,然后根据菱

形的面积公式计算它的面积.

本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对

角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积=Tab(a、匕是两条对角线的长度).

10.【答案】A

【解析】解：①「四边形ABCD是正方形，

ʌOB=0C,/.0BE=/.OCF=45°,/.BOC=90°,

乙BOF+∆C0F=90°,

•••4EoF=90°,

•••乙BOF+乙COE=90°,

・•・乙

BoE=Z.COF9

在ABOE和ACO尸中，

ZBoE=∆C0F

OB=OC,

"BE=∆0CF

ʌʌBoEgAC0FQ4S4),

ʌOE=OF,BE=CF,

.∙.Z.OEF=45o,EF=CoE;故①正确；

②由①得ABOEgZiCOF

∙,∙S四边形QEBF=SABOF+SABoE=SbBoF+SAeoF=SbBOC=^^S正方形ABCD,

故②错误；

③由①可知BE+BF=BF+CF=BC=Λ∏X)A,EF=√^^20E,

ΔBEF周长=BE+BF+EF=yΓ∑0A+√^20fi,,

∙∙∙CM为定值，则OE最小时△BEF周长的周长最小，

：.当OE1AB时OE最小，△BE/周长的周长最小，

此时。E=?。4

・•.△BEF周长的周长最小值=「。4+/IOE=COAx?。4=(i+C)04

故③正确，

④∙.∙在ABEF中，EF2=BE2+BF2,

：.EF2=AE2+CF2,

又∙.∙2OB2=AB2=(AE+CF)2.

ʌAE2+CF2≠20B2,故④错误.

故选：A.

①由四边形ABCO和AlBIGO是正方形可知，易证得ABOEgACOF(ASA),则可得RtAOEF为等

腰直角三角形；

②由(I)易证得S皿胞EBF=SABoC=2S正方形ABCD，则可得出结论；

③BE+BF=BF+CF=BC=COA,而EF的最小值为=。4,故可得结论③正确；

④由AE=BF和EF2=BE?+BF2,即可得结论.

此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股

定理.注意掌握转化思想的应用是解此题的关键.

11.【答案】话匚

【解析】解：中的倒数是7⅛=Q<需F=钟=中

故答案为：告L.

根据倒数的定义和分母有理化即可求解.

本题考查了实数的性质，关键是熟练掌握倒数的定义.

12.(答案］2>Γ^5

【解析】解：如图，连接AE,EF交AC于点0,

•••将一个矩形纸片ABCQ沿着直线EF折叠，使得点C与点A重合,

.∙.AE=CE,E尸垂直平分AC,

：.∆CAE=∆ACE,OA=OC,∆AOE=∆AOF=90°,

•••四边形ABCC为矩形，

.∙.4B=90°,AD//BC,

：・Z-FAO=∆ACE,

ʌZ.FAO=∆CAE,^∆FAO=∆EAOt

在△AOE和△4。F中，

∆EA0-Z-FAO

OA=OA,

.∆A0E=∆A0F

・•・△40EgAAOF(ASZ),

ΛAE=AF=5,OE=OFf

：,CE=AE=5,

ʌBC=BE÷CE=3+5=8,

在Rt∆ABE中,AB=√AE2-BE2=√52-32=4.

在RtΔABC中，AC=√AB2+BC2=√42+82=4√^5,

.∙.OA=^AC=2√-5,

在RtΔA。E中，OE=√AE2-OA2=J52-(2√^5)2=√~5>

ʌOE=OF=√^5.

.∙.EF=OE+0F=2√-5.

故答案为：2Λ∕^石.

连接AE,EF交Ae于点O,根据折叠可知AE=CE,EF垂直平分AC,由等边对等角得NCAE=∆ACE,

由4。//BC可得ZF4。=Z.ACE,进而得至IJZFAO=∆CAE,以此可通过ASA证明△A0E^∆AOF,

得到CE=AE=AF=5,OE=0F,再根据勾股定理分别求出AB=4.AC=4门，贝()04=2√^5,

再利用勾股定理求出OE即可求解.

本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的

性质和三角形全等的判定方法时解题关键

13.【答案】0

【解析】

【分析】

本题考查了根与系数的关系：若“1，%2是一元二次方程ɑ/+bx+C=0(αH0)的两根时，X1+

x=--,XiX=三利用a是方程/一3x-4=O的实数根得到a?一3a=4,再根据根与系数的关

2Za2a

系得到a0=-4,然后利用整体代入的方法计算即可.

【解答】

解：•・•。是方程/一3%-4=0的实数根，

.∙.a2-3a-4=0,

即a2-3a=4,

・・・aβ=-4,

・・・原式=4-4

=O.

故答案为O.

14.【答案】(2,V)或(4W)

(y——5X+4

3

【解析】解：设直线k交y轴于点A,直线。交y轴于点交于点C∙解方程组11

[y=3x~1

得｛；£，故C(3,O)∙

对于直线匕，当X=O时，y=4,故4(0,4)；

对于直线G，当X=O时，y=-l,故B(0,-l).

∙.∙AB=4+1=5,AC=√OA2-+OC2=√42+32=5)

∙∙∙Δ4BC是等腰三角形，且BC=√OB2+OC2=√I2+32=√^0.

-SΔABC=^AB∙OC=1AC-BNf

・•・BN=OC=3.

过B作BN1AC于N,

∙∙∙P到直线k的距离小于BN,

••・在点2与C之间取一点P,作PMIylC于M,贝U有PM〃BN.

...也=竺=L得PC=S

设PQP,%>),则有yp=3P-1和(3-知)2+煽=PC2,解得P(2,-｝或P(4,g).

•・•点P在点B与C之间，

∙∙∙yp<o,故P点坐标应为(2,-

在直线。上，于BC延长线上取一点P',过P'作P'M'垂直于直线k于M',使得P'M'=1.

在△PMC和△PM，C中，∆PMC=∆PM'C=90o,4PCM=4PC"'(对顶角)，PM=P'M',

^4PM'C(Λ4S),

.∙.P'C=PC.

设P'O√,yp'),则有城=-1和(Λ√-3)2+yp，2=p(2,解得P0,或P(W).

•••点P'在BC延长线上，

yp'>0,故P'点坐标应为(4,；).

故答案为：(2,一手或(4$).

这样的P点一定有两个，分别位于两直线交点的两侧.先利用几何关系求出两直线交点左边的P

点，再利用儿何关系求出两直线交点右边的尸点即可.

本题主要考查了在坐标系中两直线相交问题，综合性很强，计算量非常大.

15.【答案】6√-2cm

【解析】解：易得四边形ABeo是平行四边形，

如图,作OE1BC于E,把44BP绕点B逆时针旋转60。得到△A'BP',

∙.∙∆a=30o,DE=3cm,

•••CD=2DE=6cm,

两条纸条宽都是2>cm,同理：BC=AD=6cm,

由旋转的性质，A'B=AB=CD=6m,BP'=BP,A'P'=AP,∆P'BP=60o,∆A'BA=60°,

.•.△P'BP是等边三角形，

.∙.BP=PP',

.∙.PA+PB+PC=A'P'+PP'+PC,

根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC=AC时最短,连接4C,与BD的交点即为P点,

即点P到A,B,C三点距离之和的最小值是&C.

•••/.ABC=乙DCE=4α=30°,∆A'BA=60",

.∙.∆A'BC=90°,

.∙.A'C=√A'B2+BC2=√62+62=6√^(cm),

因此点尸到A,B,C三点距离之和的最小值是6∕Icm,

故答案为6√~∑cm.

作DEIBC于E,利用含30。角的直角三角形求得CD=6cm,同理：BC=AD=6cm,把AABP绕

点B逆时针旋转60。得到△A'BP',由旋转的性质,4'B=AB=6cm,BP'=BP,A'P'=AP,乙P'BP=

60°,A1BA=60°,所以aP'BP是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC=

4C时最短，连接4C,利用勾股定理求出AC的长度，即求得点P到A,B,C三点距离之和的最

小值.

本题主要考查了最短路径问题，旋转知识、含30。角的直角三角形、等边三角形的判定和性质，勾

股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键.

16.【答案］解：(1)(2√^+√^6)(2√~3-ʃð)-(y∏,-I)2

=12-6-(2-2/^+1)

=12-6-2+2vr^2-l

=3+2-∕-2;

(2)α∕+bx+c=0(α,b,c是常数，α≠0),

两边同除以。得：χ2+^χ£=0,

a+a

移项得：X2+-X=—ɪ,

aa

配方得：*2+3+(Q=∙+分，

即Y"中,

Vb2—4ac>0,

••・将上述方程直接开平方得：r,A=+五三，

20——2a

2

则_-b±y∣b-4ac

x-'

【解析】(1)利用平方差公式及完全平方公式进行计算即可；

(2)利用配方法解一元二次方程即可.

本题主要考查二次根式的运算及配方法解一元二次方程，二次根式的运算法则及配方法是重要知

识点，必须熟练掌握.

17.【答案】解：(l)∙.∙(x-3)2—4=0,

.∙.(x-3)2=4,

则％—3=2或%—3=—2,

解得Xi=5,X2=1;

(2)∙.∙(x+2)2-2(%+2)=3,

.∙.(x+2)2-2(x+2)-3=O,

则(X+2-3)(x+2-1)=0,即(X-l)(x+1)=0,

X-1=O或X+1=0>

解得Xl=1，×2=-1∙

【解析】(1)先移项，再利用直接开平方法求解即可；

(2)先移项，再将X+2看做整体，利用十字相乘法将左边因式分解，进一步求解即可.

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解

法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解.

18.【答案】解：⑴①I1+∣=2ʃɪ.

则第④个等式为:

故答案为:

⑵①

②

3+三

n2+2n+1

—J-n+2-

一+1)2

^Jn+2

=(n+i)jm

【解析】

【分析】

(1)认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；

(2)根据规律写出含〃的式子即可；

(3)结合二次根式的性质进行化简验证即可.

本题考查了二次根式的性质与化筒，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律

并根据规律进行求解即可.

19.【答案】解：X—2y∕~x+1=0,

设y=V-x,

原方程转化为y2-2y+l=0,

解得％=丫2=1，

当y=l时，√~x=1,解得x=l,

检验：当％=1时，X—2√~^x÷1=0,则久=1为原方程的解，

所以原方程的解为X=L

%+2+√%+2=0，

设y=JV+2,

原方程转化为/+y=0,

解得%=0，%=

当y=0时，√%4-2=0,解得％=—2,

当y=-1时，√%+2=-1,方程无解，

检验：当％=-2时，x+2+∕m=0,则％=-2为原方程的解，

所以原方程的解为X=-2.

-

【解析】对于方程％-2√x+1=0,设y=√^X,原方程转化为必一2y+1=0,解得y】=y2=

再解方程C=I得x=l,然后进行检验得到原方程的解；对于方程X+2+E^=0,设y=

√X+2,

则原方程转化为y2+y=o,解一元二次方程得到%=0,、2=-1，再分别解方程√TTΣ=0和

√m=-1,然后进行检验得到原方程的解.

本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要

注意根据方程的结构特征选择解题方法.解无理方程，往往会产生增根，应注意验根.

20.【答案】(1)证明：α=1,h=—2,c=—3m2,

：・Δ=(-2)2-4×1∙(-3m2)

=4+12m2>0,

・••方程总有两个不相等的实数根；

(2)解:由题意得：

(a+β=2

[a+2β=5,

解得：J

Vaβ=—3m2,

•*∙—3∕∏2=-3,

：•m=+1,

・•.6的值为±1∙

【解析】(1)利用根的判别式，进行计算即可解答；

(2)利用根与系数的关系和己知可得求出a，6的值，再根据a0=-3τn2,进行计算

即可解答.

本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的

关键.

21.【答案】解：(I)EFlZlC,

理由：连接AE,EC,

∙.∙NBCD=90。，点E是Bo的中点,

.∙.CE=TB0,

∙.∙NBAD=90。，点E是BQ的中点,

1

・•.AE=^BD,

∙∙∙AE-CE，

•・•点尸是AC的中点，

ʌEF1AC↑

1

(2)EF=jΛC,

理由：∙.∙NBCO=90。，点E是B。的中点，

.∙.CE=DE=∖BD,

：.∆ECD=Z.CDE,

・・・484。=90°,点E是3。的中点，

1

・•・AE=DE=^BD,

：.∆EAD=Z-ADE,

•・•Z-ADC=45°,

・•・Z-AEC=Z-AEB+Z.BEC

=∆EAD+Z-ADE+Z-ECD+乙EDC

=2∆ADE+2乙CDE

=2(∆ADE+乙CDE)

=2∆ADC

=90°,

•••点F是AC的中点，

.∙.EF=^AC.

【解析】(1)连接AE,EC,根据直角三角形斜边上的中线性质可得CE=TBD,AE=∖BD,从而

可得AE=CE,然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；

(2)根据直角三角形斜边上的中线性质可得CE=DE,AE=DE,从而可得4ECD=乙CDE,乙EAD=

∆ADE,然后利用三角形的外角性质可得乙4EC=2NADC=90°,从而利用直角三角形斜边上的中

线性质可得EF=TaC,即可解答.

本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键.

22.【答案】解：(1)如图1中，平行四边形及GH即为所求；

(2)如图2中，矩形MNPQ即为所求；

(3)如图3中，点T即为所求.

【解析】(1)连接AC,分别过点8,D,作B∕√∕4C,DW//AC,可得平行四边形EFG”；

(2)连接80,作MN"BD,且四边形MB。N是矩形，过点C作C〃/BC,延长MB交CJ于点。,

延长ND交直线CJ于点P,四边形MNP。即为所求；

(3)连接AC,过Z)B作BT//AC,交。K于点T,点T即为所求.

本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等

知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

23.【答案】(1)证明：过点G作GMJ.BC于如图1所示:

则NGMB=乙GMF=90°,

•••四边形ABCD是正方形，

.∙.AD=AB,∆A=∆B=90o,AD//BF,

：.∆DGF=∆MFG,∆A=∆GMF,四边形ABMG是矩形，

-.AG=BM,MG=AB=AD,

•：DE1GF,

.∙.∆ADE+乙DGF=∆ADE+ΛAED=90°,

：*Z.AED=Z.DGF,

Z-AED=/.MFG,

又乙4=LGMF,AD=MG,

；.△ZME丝AGMF(AAS),

.∙.AE=MF,

：.BF=MF+BM=AE+AG；

(2)解：BE与PC的数量关系为：BE=y∏PC,理由如下：

过点E作EQ〃PC,交BC于点Q,如图2所示：

•••P是EP的中点，

.∙.PC⅛ΔEQF的中位线，

.∙.EQ=2PC,QC=CF,

∙.∙∆ADC=/.EDF=90°,

:,Z.ADE=∆CDF,

又・・•∆A=Z-DCF=90o,AD=CD,

.∙.Δi4DF^ΔCDF(ASA),

∙∙∙AE=CF=QC,

vAB=BC,

'AB-AE=BC-QC,

即BE=BQ9

•・・乙B=90°,

EBQ是等腰直角三角形,

EQ=y∕-2BE>

.∙.2PC=yJ~l.BE，

.∙.BE=√^7PC;

(3)解:过点B作BM〃GF交AD于M,作B