2022-2023学年河南省商丘市高一下学期阶段性测试（四）数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省商丘市高一下学期阶段性测试（四）数学试题

一、单选题

1.复数Z=T^在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】求出z=2-2i得答案.

44（l-i）.、

【详解】因为Z=币=（II）（/"2-21,所以其在复平面内对应的点（2,-2）在第四象限.

故选：D

2.已知〃?，〃是不重合的直线，α,α是不重合的平面，则下列结论中正确的是（）

A.若加〃α且〃//ɑ,则，B.若且"uα,则加〃〃

C.若“〃α且〃?〃£,则ɑ〃夕D.若〃△。且机，尸，则々〃夕

【答案】D

【分析】对于A：直接判断出机与“可能平行、相交，也可能异面，即可判断；对于B：直接判断

出〃?与〃可能平行，也可能异面；对于C：直接判断出α与可能相交，也可能平行；对于D：利

用线面垂直的判定定理直接判断.

【详解】对于A：若加//ɑ且〃//ɑ,则“与〃可能平行、相交，也可能异面，故A错误；

对于B：若加〃α且"uα,则机与“可能平行，也可能异面，故B错误；

对于C：若〃?//0且〃?///，则α与夕可能相交，也可能平行，故C错误；

对于D：因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确.

故选：D.

3.若一个圆锥的母线长为2,且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（）

3CnCjrC2

A.■—B.-C.—D.一

π32π

【答案】C

【分析】根据题意，分别表示出其侧面积与其轴截面面积，列出方程，即可得到结果.

【详解】设圆锥的底面半径为r,高为〃，

由圆锥的母线长为2,可知圆锥的侧面积为πr∙2=2πr,

又圆锥的轴截面面积为1∙2r∙∕7=r∕?,

2

TT

所以2πz=4∕*Λ,解得h=],

所以该圆锥的高为曰.

故选：C

4.在AABC中，角A,B,C的对边分别为mb,以且.。?=噤，则AABC是()

A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.A=30。的三角形

【答案】A

【分析】根据题意，先由降幕公式化简，然后由余弦定理可得/+〃=。2,即可得到结果.

【详解】因为siι√4=F,所以IuSA=所以COSA=2,

222

再由余弦定理可知从=J所以^+¢2-4=2^,^a+b=c,

2bcc

所以AABC是直角三角形.

【答案】C

【分析】建立合适的坐标系，根据平面向量的坐标表示计算即可.

【详解】如图建立平面直角坐标系，则α=(l,-l),b=(4,2),

所以%-2α=(4,2)-2x(l,-l)=(2,4).

所以ɑ∙伍-2α)=lx2-lx4=-2.

故选：C

6.欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，常用的欧拉公式有屋=CoSe+isin∕若复数Z满足

(e'jt-i)∙z=l,贝IJIZl=()

A.立B.1C.也D.√2

22

【答案】A

【分析】由欧拉公式计算出*=-1,然后用复数的运算法则计算即可.

【详解】在/=CoSe+isin8中，令θ=Tt,得e∣π=-l,所以eur-i=-l-i,

所以z=∑⅛=(τ［言+i)=τ⅛,所以IZI=Fm=哼•

故选：A.

7.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=BC=3,则三棱锥P—ABC的外接球的

表面积是()

25

A.9πB.16πC.4πD.—π

4

【答案】B

【分析】根据正三棱锥的特征确定外接球球心位置及球半径，再计算求球表面积即可.

【详解】由己知可得P-ABC是正三棱锥，设PH是正三棱锥P-ABC的高，易知外接球球心。在

PHl.,且，为底面正.ABC的中心.

如图，设外接球的半径为上由题可知C"=√L则PH=JPC2一CH?=3•由OC2=+CH?得

R2=(3-R)-+(G),解得R=2,所以外接球的表面积为S=4兀x2?=16兀.

故选：B

8.在矩形ABCZ)中，AB=3,BC=4,若R4_L平面ABCz),且2=1,则点A到平面PBO的距离

为()

【答案】D

【分析】根据题意分析可得5。工平面B4E,利用等体积法求点到面的距离.

【详解】过点A作AELBD于E,连接PE

因为尸A_L平面ABC。，BDu平面ABC£>,所以R4_L8D,

又因为PAAE=A,所以应)工平面以£

且PEU平面B4E,可得BDLPE,

由AE-30=AB∙A。可得AE=?=£,而PE=PA2+AE2=y,

113

可得SNim=^BD∙PE=万，

设点A到平面PBD的距离为h,

AX

由bABD=匕TM)可得;x[x3x4xl=;XS.A，解得人=H.

故选：D.

二、多选题

9.已知M为AABC的重心，。为边Be的中点，则()

A.MB+MC=2MDB.MA+MB+MC=Q

C.BM=^BA+^BDD.AB+AC=2^MB+MC^

【答案】ABC

【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.

【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得MB+MC=2MZ),故A正确;

由题意得M为线段AO的靠近力点的三等分点，所以M4=-2MZ),

又MB+MC=2Λ∕O,所以MA+M8+MC=0,故B正确；

ɔɔ1ɔ

BM=BA+^AD=BA+-^BD-BA)=-BA+-BD,故C正确；

AB+AC=2AD^MB+MC=2MD,又AO=3Mf>,所以A8+AC=3(MB+MC),故D错误.

C

10.已知复数Z∣=l+2i,Z2=3-4/,则()

A.IZj=IM

B.复数Z,的虚部为2

C.复数Z,与Zl在复平面内所对应的点位于同一象限

D.复数&在复平面内对应的点在函数y=2x-2的图像上

【答案】BC

【分析】直接求出模，即可判断A；直接求出zκ,即可判断B；利用复数的几何意义判断C；把复

数4对应的点代入y=2x-2直接判断.

【详解】由题可知㈤=坏<闫=5,故A错误；

Z1Z2=(l+2i)(3-4i)=3-4i+6i+8=ll+2i,故复数的虚部为2,故B正确；

复数ZK在复平面内所对应的点为(11,2),位于第一象限，Zl在复平面内所对应的点(1,2)也位于第

一象限，故C正确；

复数Z2在复平面内对应的点为(3,T),因为当x=3时，y=2χ3-2=4,所以复数z2在复平面内对

应的点不在函数y=2x-2的图像上，故D错误.

故选：BC

11.已知在AABC中，角A,B,C的对边分别为α,b,c,则下列结论中正确的是()

A.若SinA>sinB,贝IJCOSAVCOSB

B.若a48C是锐角三角形，则不等式SinA<cos8恒成立

C.若"cosB=Z?COSA,则2∖A8C必是等边三角形

D.若A=OI=be,则ZiABC是等边三角形

【答案】AD

【分析】利用正弦定理，余弦定理解三角形逐项判断即可.

【详解】由SinA>sin5,利用正弦定理可得α>b,IOcBVAVπ,

而y=cos%在(0,兀)上单调递减，.∙.COSAVCOs5,故A正确；

在锐角AABC中，A,β∈fθ,^tA+B>-,.∖->A>--B>0,

I2J222

.∙.SinA>sin[I-Bj=CosB,因此不等式sinA>cos8恒成立，故B错误；

由acosB=⅛cosA,利用正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA,

Λsin(A-B)=0,VA,B∈(θ,π),ΛA-B=O,

即A=8,.∙∙ZV1BC是等腰三角形，不一定是等边三角形.故C错误；

2

由于A=1,a=bc,由余弦定理可得/=匕。=廿+。2一从.,

,，JT

可得(〃—¢)-=0,解得％=c,.∙.A=C=B=;,故D正确.

故选：AD.

12.如图，四棱锥P-A6CO的底面为正方形，PD_L底面ABCz),∕>D=AD=I,点E是棱PB的中

点，过A,D,E三点的平面α与平面PBC的交线为/,贝IJ()

A.直线/与平面布。有一个交点

B.PCLDE

C.直线必与/所成角的余弦值为正

2

3

D.平面α截四棱锥P-AfiCD所得的上下两个几何体的体积之比为B

【答案】BD

【分析】根据所给图像，作PC中点F,连接EF,则瓦'为交线/,然后根据线面平行的基本定理可

判断A；结和线面垂直的判定及性质可判断B；结合异面直线所成角的定义可判断C；结和棱锥的

体积公式可判断D.

【详解】如图，取棱PC的中点凡连接E凡DF,

因为E是棱PB的中点，则A。〃灯，即A,D,E,尸四点共面，则/为直线E凡

又A。U平面∕¾O,EFςt平面∕¾O,所以EfV/平面B4Q,即〃/平面∕¾Q,故A错误;

由PZ)J_底面A8CD,45U平面ABC。，所以Pz)JLA£>,

由PD=Ar>,可得aPDC为等腰直角三角形，

而斜边PC的中点为凡所以尸CJ_OE,

再由底面ABC。是正方形，易得AQ_La),

又PDCCD=D,且尸£>,CZ)U平面Pf>C,所以45J"平面PDC,

又PCU平面尸DC,所以4)_LPC,

又ADCDF=D,且A。,。FU平面Ar>FE,所以PCJ_平面ADFE,

又DEU平面AoFE,所以PCLDE,故B正确；

由A。〃£/，则直线抬与/所成的角，即必与AO所成的角，

由尸£>_LAD,W∣JcosZPAD=-=—,

AP2

即雨与AD所成的角的余弦值为玄，故C错误；

2

VPTBC力SABCO=；XlXl=；，VP-AEFD=^PF,SAEFDzr^x^x^+1]x"^^x"^^=1,

所以VABCDFE=vP-ABCD~^P-AEFD=^Σɪ⅛7,

joZ4

1

8-3

所以上隹也二-=

55-

VABCDFE

一

24

故选：BD.

P

三、填空题

13∙已知a是实数，客是纯虚数，则a=--------------------

【答案】a=l.

【详解】试题分析：根据题意得到先将表达式上下同乘以分母的共枕复数，再根据纯虚数的定义得

到实部为0,虚部不为0,列出表达式解出即可.

详解:

ci—i(tz-z)(l—a—1—(4+l)i

根据题意得到—=。.<=----⅛—-,因为是纯虚数故得到a-1=O,故a=L检验此时复

l+ιT(l-z)(l+z)2

数的虚部不为0,符合题意.

故答案为a=l.

点睛：这个题目考查了复数的混合运算，纯虚数的概念，注意在计算时认真仔细即可.复数的除法运

算先要分子乘以分母的共挽复数,再将实部和虚部分开.

14.已知向量α=(l,f),⅛=(-l,2r),teR,且与6垂直，则4与6的夹角的余弦值为.

【答案】立

3

【分析】根据题意，由向量的坐标运算可得r=2,再由向量夹角的坐标公式即可得到结果.

【详解】设4与b的夹角为6,由已知得3α-6=(4,r),∙.134-A"=0,"一2=0,

nci∙b-1+2厂

叩∙H∙H√iw√(-.)2÷(2r)2ɜ-

故答案为：B

3

15.在古代数学中，把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了方亭的体积公

式V=；(a2+"+〃W，"为方亭的下底面边长，为上底面边长，〃为高.某地计划在一片平原地带

挖一条笔直的沟渠，渠的横截面为等腰梯形，上底为10米，下底为6米，深2米，长为837.5米，并

把挖出的土堆成一个方亭，设计方亭的下底面边长为70米，高为6米，则其侧面与下底面所成的二

面角的正切值为.

【答案】^/0.24

【分析】计算出挖出的土的体积，利用台体体积公式求出6的值，然后作出图形，找出其侧面与下

底面所成的二面角的平面角，即可计算出侧面与下底面所成的二面角的正切值.

【详解】由题意知挖出的土的体积V=837.5x∕x(10+6)x2=13400,

贝IJ由;X(702+70%+∕)X6=13400,整理得从+70b-1800=0,

解得人=20或匕=—90(舍去).

在正四棱台A8CD-A8CQ中，AB=1Q,Aβi=20,

设点Bl在底面ABCD内的射影为点E,点G在底面ABCD内的射影为点N,

设直线EN分别交48、C£＞于点F、M,连接与/、JM,

因为耳平面ABC。，GN_L平面A8CO,所以，BxEHCxN,

又因为平面ABcO〃平面ABClR,所以，BE=CN,

故四边形BGNE为矩形，所以，FMHBG,

因为AB上BC,BiCl//BC,贝IJRW〃8C,所以，ABlFM,

因为用EJ.平面ABC。，ABU平面A8C。，则AB_1修£,

因为BWBiE=E,FM、BIEU平面用ClM/，所以，A5√,平面AGM尸，

因为耳尸U平面与GM尸，所以，B1FLAB,

所以，侧面AAB乃与底面ABS所成二面角的平面角为NBEE,

易知四边形A4£B、CCQQ是全等的等腰梯形，且8B∣=CC∣,NABBl=NDCQ,

所以，BIF=BBISinNABBl=CC1sinZDCC1=C1M,

因为Rl〃/BC,BFVCM且FBLBC,则四边形BCw为矩形，故BW=BC,则尸G,

故四边形4GMF为等腰梯形,

因为8∣F=C∣M,B1E=C1N,ZBlEF=ZCtNM=90,故48∣E尸丝Z∖C∣MW,

所以，EF=MN,

PM-EN70-20

又因为EW=BC=20,FM=BC=70,故EP，\二气^^,

在RtBIEF中,tanNB∣FE=妲=9.

'EF25

故答案为：—.

/7

16.已知"WC的内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,cosB÷-⅛sinZACB-π=0,设。

c3

为AB边的中点，若BC=2且由BC=283,则CQ=.

【答案】√7

【分析】利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出/AC3,再由余弦定理求

JT

出即可得到B=],最后由勾股定理计算可得.

【详解】因为CeoS3+^^〃sin/ACB-α=0,

3

/7

由正弦定理可得SinNACBCoSB+也SinBSinNAC8-sinA=0.

3

又在一ABC中，sinA=sin(B+ZACB),

/.sinZACBCOSB+乎SinBSinNACB=Sin(B+ZACB)

=sinβcosZACB+cosBsinZACB，

∙*∙^^SinBsinZACB=sinBCOSZACB.

3

VsinB>O,ΛɪsinZACB=cosZACB,

3

.∙.tanZACB=√3,*.'ZACB∈(θ,π),.*.ZACB=W.

由点。为A3的中点，√3BC=2BD,得由BC=AB,又BC=2,

∙*∙AB=c=2^j3.

在JlBC中，由余弦定理可得8：；NAeB一+_一0.)J，解得6=4或匕=—2(舍去).

2×2×b2

••2、»2.A兀

.a~+c-=b-9..B=-.

在RjBCz)中，,；BC=2,BD=由,BD2+BC2=CD2,ΛCD=-Jj.

故答案为：√7

四、解答题

2

17.已知复数z=α-i(a>0),且复数z+±为实数.

z

⑴求复数Z；

(2)若复数(,"-z)2在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.

【答案】(I)Z=IT

⑵(1,2)

【分析】(1)根据复数的乘法和除法以及实数、虚数的概念即可求解；(2)根据复数的乘方计算和

实数、虚数的概念以及复数在复平面内对应的点与象限的关系即可求解即可求解.

【详解】(1)因为z=α-i(α>0),

所以z+42

Z

2

=a-∖+-----

a-i

2(α+i)

=a-ι+----------

(a+ι)(α-ι)

2

由于复数z+-为实数，

Z

2

所以T-I=O,

a~÷71

又因为α>0,所以α=l,

因此z=1—i.

(2)由题意(根一Zp

=(∕π-1+i)^

=(/??—1)^-l+2(m-l)i

=(W-2∏7^÷2(777—l)i.

由于复数(%-Z)?在复平面内对应的点在第二象限,

nr-2m<O,

所以

2(772-l)>O,

解得l<∕n<2,

因此实数机的取值范围是(1,2).

18.已知。，b，C是同一平面内的三个向量，其中α=(l,-2).

(1)若卜|=2石，旦CHa,求。的坐标;

(2)若忖=24，且α-2b与2q+人垂直，求”与6的夹角夕

【答案】(1注=(2,=1)或。=(-2,4)

(2)π

【分析】(1)根据|小|。|有C〃。的关系得到从而得到C的坐标；

(2)由与2α+b垂直得a∙b,根据向量夹角公式求解.

【详解】(1)由α=(l,—2),得同=32+(_2)2=节,

又Id=2石，所以同=2同

因为Clla,所以c∙=±2a,

所以E∙=(2,-4)或c=(-2,4)

(2)因为〃-2b与2。+/?垂直，所以("町侬+〃)=。,

B[J2∣Λ∣2-3Λ∙6-2∣⅛∣2=0,

将同=石，卜卜2近代入，得“∙b=T0,

所以⅛r

又。∈[0,π],得6=π,即α与6的夹角为九

19.已知一A3C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,“sin8+6cosA=c.

⑴求B；

(2)设a=J^c,b=2,求-ABC的面积.

【答案】(1)B=?

6

⑵6

【分析】(1)根据题意，由正弦定理边角互化化简，再由三角恒等变换即可得到tanB=立，即可

3

得到结果；

(2)根据题意，由余弦定理可得c,再结合三角形的面积公式即可得到结果.

【详解】(1)由正弦定理.得GsinAsinB+sinBcosA=sinC,

因为SinC=Sin[兀一(A+3)]=sin(A+3)=sinAcos3+cosAsin3,

所以∙V3sinAsinB=sinAcosB，

因为SinAW0,所以J5sin3=cosB，

显然cosbwO,则tan3=走，

又O<B<π,所以B=?.

（2）由余弦定理可得/=/+/—2αccos8,

因为Q=JJC，b=2,

^∣⅛4=C2+3C2-2√3C2×^,

即/=4,解得c=2或c=-2（舍去），

所以α=2-73,

所以-ABC的面积S=LaCSin8='x2j^x2x'=JJ.

^222

20.如图，在直三棱柱A8C-ABe中，AC=6,BC=8,AB=]O,AAl=5,点。为棱AB的中点,

点E为棱Aq上一点.

⑴证明:ACIB1C;

(2)求三棱锥3-EC。的体积;

(3)求直线AG与平面BBCC所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)20

n.5√6I

61

【分析】(1)先证明出AC_L平面BCGg,利用线面垂直的性质即可证明ACLgC;

(2)利用等体积法即可求解；

(3)先判断出/AC,为直线AG与平面BACC所成的角，在朋VACG中利用余弦的定义直接求解.

【详解】(1)；三棱柱ABC-ABlG是直三棱柱，.∙.平面BCGBJ平面ABC.

；AC=6,BC=S,AB=W,：.AB-=AC2+BC2,：.AClBC.

；平面8CC£平面43C=8C,ACU平面ABCACJ"平面BCc4.

又4Cu平面8CC∣用，ʌAClB1C.

(2)∙.∙三棱柱A8C-A4G是直三棱柱,

.∙.点E到平面ABC的距离即AA的长,为5.

•。是48的中点，.∙.SABco=Jxgx6χ8=12,

VB-ECD=^E-BCD=~×12×5=20.

(3)(3)由(1)知AC_L平面88CC,

・•・NAGC为直线AG与平面Z^GC所成的角.

在RfVACC［中，AC=6,CC1=A41=5,

2

∙*∙AC=AC+c,c2=>∕6T,∙β∙COSΛACC

1J1=CCT=

v

AC1√6161

即直线AG与平面BBCC所成角的余弦值为迥.

61

21.如图，正方形ABCO与平面30EF交于30,。£上平面A3CQ,"7/平面4BCO,且

所FF3AR

DE=EF=——AB.

2

E

(2)求证：/)尸工平面4EC.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意，由条件可证四边形BoE尸为平行四边形，则0E//3F,再由线面平行的判

定定理即可证明；

(2)根据题意，先由线面垂直的判定定理可证ACL平面3Z)EF,从而可得ACLDF,即可得到证

如图，设AC与3。交于点。，则。为正方形ABCD的中心，连接0E,不妨令AB=母.

则OE=ER=I.

；四边形ABCD为正方形，.♦.=√∑AB=2=280.

：EF〃平面ABCZ),且平面ABCOc平面Bf)E尸=BE>,EFU面BDEF,

：.EFHBD,

：.EFHOB,EF=OB,即四边形BoE尸为平行四边形，

.,.OE∕∕BF.

又OEU平面AEC,8/二平面AEC,

.,.BFimAEC.

(2)连接OE

VEFHDO,且EF=DO,DE=EF四边形ODE尸为菱形.

：QEJ,平面ABCD,

.∙.四边形ODEF为正方形，；.DFlOE.

又四边形ABe力为正方形，

/.BDlAC.

,.∙DE±平面ABCD,ACU平面ABCD,

：.DElAC.

而BDC