2023年浙江省宁波市中考数学真题卷（含答案与解析）

宁波市2023年初中学业水平考试

数学试题

考生须知：

1.全卷分试题卷I、试题卷∏和答题卷。试题卷共6页，有三个大题，24个小题，满分为

150分，考试时长为120分钟.

2.请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上.

3.答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满。将试题

卷∏的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷II各题目规定

区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效。

4.不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示。

试题卷I

一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.在一2，一1，0,乃这四个数中，最小的数是（）

A.-2B.-IC.0D.π

2.下列计算正确的是（）

A.X2+%=%3B.X6÷√=χ2C.（%，=『D.χi-X4=χ,

3.据中国宁波网消息：2023年一季度宁波全市实现地区生产总值380180000000元，同比增长4.5%.数

380180000000用科学记数法表示为（）

A.0.38018×10l2B.3.8018×10"C.3.8018×10l°D.38.018x10'°

4.如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（）

A.B.

x+l>O

5.不等式组《，C的解在数轴上表示正确的是（）

X-I≤O

6.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人IO次射击成绩的平均数无（单位：环）及方差5?

（单位：环2）如下表所示:

甲乙丙T

X9899

S21.20.4180.4

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7.如图，一次函数X=KX+"（《>0）的图像与反比例函数必=石化>0）的图像相交于AB两点,

点A的横坐标为1,点B的横坐标为-2,当X<%时，X的取值范围是（）

A.XV-2或x>lB.XV-2或OVXVl

C.一2<xv0或x>lD.一2VXVO或OVXVl

8.茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业.某村有土地60公顷，计划将其

中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，己知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公

顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为X公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为

（）

x+y=60x+y=54x+ʃ=60x+y=54

y=2x-3x=2y-3x=2y-3y=2x-3

9.已知二次函数y=0χ2-（3Q+i）χ+3（αW0）,下列说法正确的是（）

A.点（1,2）在该函数的图象上

B.当α=l且一l≤x≤3时，0≤y≤8

C.该函数的图象与X轴一定有交点

3

D.当”>（）时一，该函数图象的对称轴一定在直线》=一的左侧

2

10.如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCr>E,连结AEA£>,设AAED,

ABE，ACD的面积分别为S，S，S2,若要求出S—的值，只需知道（）

ACZ）的面积C.JSC的面积D.矩形BCDE的面积

试题卷π

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.分解因式：%2-/=

3

12.要使分式——有意义，X的取值应满足.

X-I

13.一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同.从袋中任意摸出一

个球为绿球的概率为.

14.如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm,母线长为5（）cm,则烟囱帽的侧面积为

cm2∙（结果保留兀）

15.如图，在RtZxABC中，ZC=90o,E为AB边上一点,以AE为直径的半圆。与BC相切于点，

连接A。，BE=3,BD=3y∕5.P是AB边上的动点，当P为等腰三角形时，"的长为

16.如图，点A,8分别在函数y=3(4＞0)图象的两支上(A在第一象限)，连接AB交X轴于点C.点

X

b

D,E在函数〉=上(。＜0,》＜0)图象上，AEX轴，8D〃y轴，连接。2BE.若AC=28C,

X

ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,则。―8的值为,a的值为.

三、解答题(本大题有8小题，共80分)

17.计算：

(I)(l+W)0+∣-2∣-√9.

(2)(Q+3)(。—3)+cι(∖—ci).

18.在4x4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).

图I”图2

(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点等腰三角形RW,再画出该三角形向右平移2个单位后的

,P,AB'.

(2)将图2中的格点.ASC绕点C按顺时针方向旋转90°,画出经旋转后的4AB'C∙

19.如图，已知二次函数丁=/+芯+。图象经过点41,-2）和3（0,—5）.

（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.

（2）当y<-2时，请根据图象直接写出X的取值范围.

20.宁波象山作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作.某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为

了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分X

均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第；合格（60≤x<70）,一般（70≤x<80）,良好

（8O≤x<9O）,优秀（90≤xW100）,制作了如下统计图（部分信息未给出）

所抽取的学牛.知识流试成绩的垢数我方图所抽取的学生知识测试成绩的席影统计图

（分）

由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求测试成绩为一般的学生人数，并补全须数直方图.

（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.

（3）这次测试成绩中位数是什么等第？

（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有

多少人？

21.某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，

如图1所示.

Sl图2

(1)如图2,在P点观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上AB两点均在视线PC上时，测得视

线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为4，请直接用含α的代数式示/?.

(2)如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B,C分别测得气

球A的仰角∕ΛBD为37。，NACD为45°,地面上点BC,。在同一水平直线上，BC=20m,求气

球A离地面的高度AD∙（参考数据：sin37o≈0.60,cos37o≈0.80,tan37o≈0.75）

22.某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00,部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生

乘坐大巴从学校出发，沿公路(如图1)到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00,军车在离营地

60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前

行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程S(km)与所用时间r(h)的函数关系如图2所

(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间.

23.定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角

称为邻等角.

C

图2

(1)如图1,在四边形ABC。中，AD//BC,AA=^°,对角线BD平分∕4)C.求证：四边形

ABa)为邻等四边形.

(2)如图2,在6x5的方格纸中，A,B,C三点均在格点上，若四边形ABCo是邻等四边形，请画出所

有符合条件的格点D.

(3)如图3,四边形ABCf)是邻等四边形，NZMB=NABC=90°,NBCD为邻等角，连接AC,过

B作的〃AC交D4的延长线于点E.若AC=8,OE=IO,求四边形EBCO的周长.

24.如图1,锐角JLBC内接于一)。，。为BC的中点，连接AO并延长交D。于点E,连接BE,CE,

过C作AC的垂线交AE于点F,点G在A。上，连接8G,CG,若BC平分NEBG且

ZBCG=ZAFC.

图I图2

(1)求13GC的度数.

(2)①求证：AF=BC.

②若AG=O/，求tanNG3C的值，

(3)如图2,当点0恰好在BG上且。G=I时，求AC的长.

参考答案

一、选择题(每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1.在一2，一1，°，乃这四个数中，最小的数是()

A.-2B.-IC.0D.π

【答案】A

【解析】

【分析】根据负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可.

【详解】解：∙∙∙∣-2∣>H∣,

-2<—1<()<乃,

.∙.最小的数是—2；

故选A.

【点睛】本题考查比较实数的大小.熟练掌握负数小于O小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的

关键.

2.下列计算正确的是()

23632347

A.X+χ=χB.X÷X=XC.(χ3)=χ7D.X-X=X

【答案】D

【解析】

【分析】根据同底数塞的乘法、除法，嘉的乘方，合并同类项进行运算，然后判断即可.

23

【详解】解：A、χ+χ≠χ,错误，故不符合要求；

B、Λ6÷√=√≠√,错误，故不符合要求；

C、(√)4=√2≠χ7,错误，故不符合要求；

D、Y./=/,正确，故符合要求；

故选：D.

【点睛】本题考查了同底数昂的乘法、除法，基的乘方，合并同类项.解题的关键在于正确的运算.

3.据中国宁波网消息：2023年一季度宁波全市实现地区生产总值380180000000元，同比增长4.5%.数

380180000000用科学记数法表示()

A.O.38O18×1O'2B.3.8018×10"C.3.8O18×1O'0D.38.O18×1O'°

【答案】B

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为αxlθ",其中1<忖<10,〃为整数，且

〃比原来的整数位数少1,据此判断即可.

【详解】解：38()18()(XXXXX),共有12位数字，

38O18OOOOOOO=3.8O18×1O"，

故选:B.

【点睛】此题主要考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为αxlθ",其中1<忖<10,确

定。与〃的值是解题的关键.

4.如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（）

视方向

【答案】A

【解析】

【分析】根据几何体的主视图的含义可直接进行判断.

【详解】解：由题意可得：该几何体的主视图为

【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.

%+1>0

5.不等式组V,C的解在数轴上表示正确的是（）

%-l≤0

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案.

x+l>0①

【详解】解:

x-l≤0②

由①得x>—1；

由②得x≤l;

原不等式组的解集为-l<x≤l,

在数轴上表示该不等式组的解集为：1.1—

-1O1

故选：C.

【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则

“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键.

6.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数了（单位：环）及方差S?

（单位：环2）如下表所示：

甲乙丙T

X9899

S21.20.41.80.4

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】D

【解析】

【分析】根据10次射击成绩的平均数亍可知淘汰乙；再由10次射击成绩的方差$2可知L8>1.2>0.4,

也就是丁的射击成绩比较稳定，从而得到答案.

【详解】解：9>8,

由四人的10次射击成绩的平均数元可知淘汰乙；

1.8>1.2>0.4,

•••由四人的10次射击成绩的方差$2可知丁的射击成绩比较稳定；

故选：D.

【点睛】本题考查通过统计数据做决策，熟记平均数与方差的定义与作用是解决问题的关键.

7.如图，一次函数X=KX+）（4>0）的图像与反比例函数％=4（网>0）的图像相交于A3两点，

点A的横坐标为1,点B的横坐标为-2，当％<为时，X的取值范围是（）

A.x<-2或x>lB.x<-2或O<x<l

C.-2<x<0^x>lD.-2<x<0或O<x<l

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式与函数图像的关系，当χ<%时,X的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像

对应的X的取值范围，数形结合即可得到答案.

【详解】解：由图可知，一次函数X=KX+"(匕>0)的图像与反比例函数%=?化>0)的图像相交

于AB两点，点A的横坐标为1,点B的横坐标为-2，

当x<-2或O<X<1时，有反比例函数图像在一次函数图像上方,

即当X<%时，X的取值范围是x<-2或O<x<l,

故选：B.

【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键.

8.茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业.某村有土地60公顷，计划将其

中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，己知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公

顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为X公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为

()

x+y=60fx+y=54fx+y=60f%+y=54

A.<B.<C.‹D.《

y=2x-3[x=2y-3尤=2y-3[y=2Λ-3

【答案】B

【解析】

【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中1()%的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为

90%,结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可.

x+y=60(l-10%)

【详解】解：设茶园的面积为X公顷，种粮食的面积为y公顷，由题意，得：］

x=2y-3

x+y=54

即:

x=2y-3

故选B.

【点睛】本题考查根据实际问题列方程组.找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键.

9.已知二次函数y=tz?一(3a+i)χ+3(α≠0),下列说法正确的是()

A.点(1,2)在该函数的图象上

B.当α=l且一l≤x≤3时，0≤y<8

C.该函数的图象与X轴一定有交点

3

D.当α>0时，该函数图象的对称轴一定在直线X=一的左侧

2

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可.

【详解】解：∙.∙y=Λχ2-(3α+l)x+3(αHθ),

当X=I时：y=a—(3α+l)+3=2-2α,

,：a≠0,

2—2a≠21

即：点(1,2)不在该函数的图象上，故A选项错误;

当α=l时，y=x2—4%+3=(x-2)"-1>

抛物线的开口向上，对称轴为x=2,

.∙.抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，

∙.∙-l<x≤3,∣-1-2∣>∣3-2∣>∣2-2∣,

.∙.当户一1时，y有最大值(—1—2)2—1=8,

当χ=2时∙，y有最小值为-1,

Λ-1≤ʃ<8,故B选项错误;

∖∙Δ=[-(3α+l)]2-4×3<z=‰2-6α+l=(3a-l)2>0,

∙∙.该函数的图象与X轴一定有交点，故选项C正确；

当α>0时，抛物线的对称轴为：X=V—=—+,

la22a2

3

∙∙.该函数图象的对称轴一定在直线x=—的右侧，故选项D错误；

2

故选C.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质.熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键.

10.如图，以钝角三角形ABC的最长边3C为边向外作矩形BCDE,连结AE,AO,设

ABE，AcD的面积分别为S,*,S2,若要求出S-S/S2的值，只需知道()

A.ABE面积B.AACD的面积C.ABC的面积D.矩形BCDE的面积

【答案】C

【解析】

【分析】过点A作尸G〃BC,交砥的延长线于点E,QC的延长线于点G,易得：

FG=BC,AF±BE,AGLCD,利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得Sl+S2=∣S矩形/小，再根

据S=SABC+S矩形BCDE_Sl_§2=SA8C+/S矩形B8E,得到S-S∣-S2=S械；，即可得出结论.

【详解】解：过点A作RG交EB的延长线于点尸，OC的延长线于点G,

•••矩形BCDE,

.∙.BC±BE,BC±CD,BE=CD,

：.FG±BE,FGA.CD,

.∙.四边形BFGC为矩形，

.∙.FG=BC,AF±BE,AG±CD,

：,S1=^BEAF,S2=^CDAG,

.∙.S+S=∣βE(AF+AG)=∣βE∙BC=∣

12S^BCDE,

,

又S=Sabc÷S矩形ECDE_S]_S?=Sabc+-S矩形88E

9

..S—S1—S2=Sabc÷-S,短形IBCDE_5S矩形BCDE=SABC

・・・只需要知道IABC的面积即可求出S-5一邑的值；

故选C.

【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积.解题的关键是得到H+$2=gS矩形改以

试题卷π

二、填空题(每小题5分，共30分)

11.分解因式：%2-/=

【答案】(χ+y)(χ-y)

【解析】

【详解】解：Λ2-y2=(x+y)(x-γ),

故答案为：(x+y)(x-y)

3

12.要使分式一τ有意义，X的取值应满足.

【答案】x≠2

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，从而得到x-2w0,求解即可得到答案.

3

【详解】解：要使分式一^有意义，X的取值应满足x—2#0,解得x≠2,

x-2

故答案为：x≠2.

【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件：分母不为零是解决问题的关键.

13.一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同.从袋中任意摸出一

个球为绿球的概率为.

【答案】L##().25

4

【解析】

【分析】从袋子里任意摸一个球有12种等可能的结果，其中是绿球的有3种，根据简单概率公式代值求解

即可得到答案.

【详解】解：由题意可知，从袋子里任意摸一个球有12种等可能的结果，其中是绿球的有3种，

31

:.P(任意摸出一个球为绿球)

124

故答案为：一.

4

【点睛】本题考查概率问题，弄清总的结果数及符合要求的结果数，熟记简单概率公式求解是解决问题的

关键.

14.如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为3()cm,母线长为5()cm,则烟囱帽的侧面积为

【解析】

【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式S=L>代值求解即可得到答案.

2

【详解】解：•圆锥形烟囱帽的底面半径为3()cm,母线长为50cm,

2

烟囱帽的侧面积S='>=,χ2兀χ30χ50=1500兀(cm).

22

故答案为：1500π.

【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式S=熟记扇形面积公式是解决问题的关键.

2

15.如图，在Rt445C中，NC=90°,E为AB边上一点,以AE为直径的半圆。与BC相切于点

连接AO，BE=3,BD=3√5.尸是AB边上的动点，当ZxAD尸为等腰三角形时，AP的长为

【答案】2同或6

【解析】

【分析】连接。。，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出CZ）的长，勾股定理求出AC和AO的

长，分AP=Az）和AP=P。两种情况进行求解即可.

【详解】解：连接。。，

,.∙以AE为直径的半圆。与BC相切于点D,

：.OD1BC,OA=OE=OD,

：.NQD3=90°

设OA=OE=OD=r,^∖OB=OE+BE=3+r,

在RtZkODB中：OD2+BD2=OB2，即：r2+(3√5^)2=(3+r)2,

解得：r=6,

∙,.OA-OE=OD=6,

∙,.OB=9,AB=15,AE=12>

∙.∙ZC=ZODB=90°,

：.OD//AC,

.OBDB_93

"θ^~~DC~6~2,

∙.∙DB=3√5.

.∙∙CD=2√5，

.∙.BC=DB+CD=5y∣5>

；•AC^>JAB2-BC2=10>

∙∙∙AD=>∣AC2+CD2=2√30；

YAADP为等腰三角形，

当AD=AP时，AP=2√30,

当B4=PD时，

*.,OA-OD，

・•・点。与点。重合，

AP=OA=6，

不存在尸D=AD的情况；

综上：AP的长为或6.

故答案为：2回或6.

【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义.熟练掌握切线的性

质，等腰三角形的定义，确定点P的位置，是解题的关键.

16.如图，点4,B分别在函数y=@(a>0)图象的两支上(A在第一象限)，连接AB交X轴于点C.点

X

D,E在函数y=2(h<0,χ<0)图象上，AEX轴，8O〃y轴，连接力E,BE.若AC=2BC,

X

ABE的面积为9,四边形ABr陀的面积为14,则Q-/?的值为,。的值为.

【答案】①.12②.9

【解析】

【分析】如图，延长5。，AE交于点Q,30与X轴交于点K，而AEX轴，BD〃丁轴，可得NQ=90°,

（〃,一，则一],。（〃,一],利用面积可得

ABDE的面积是5,设A"2,巴,3H—∙9—],

VmVn√m）∖nJ∖amJ

[b-a)(bm—cuτ)—1θra(ɪ),(M—m)(ɑ-⅛)=18n(2),由OK〃AQ,AC=2BC,可得QK=28K,

可得〃=-2机③，再利用方程思想解题即可.

【详解】解：如图，延长30，A石交于点Q,8。与X轴交于点K，而AE丁X轴，轴，

・・・NQ=90。，

Y.AB石的面积为9,四边形ABZ)E的面积为14,

・•・ZXBO石的面积是5,

设A九幺，Bn,-

[mJ∖n

.∙.β∣tt,a-LD∖n,^∖,Ebma

mnam

CCbaL八bm口hmC八aa

∙,.BD=-------,EQ=-------Yi,AλE=in-------,BQ----------,

nnamn

如一”]=5,U〃L处丫区，〕=9,

2∖nn)∖a)2(aJ∖mn)

整理得：(b-d)(bm-an)=10na@,(〃一加)(α-8)=18n②,

∙.∙OK//AQ,AC=2BC,

.BKBCT

,'~QK~~AC~2,

：.QK=2BK,

—=2×II,贝!]〃=—2机③，

mnJ

把③代入②得：一3帆(α-Z>)=18><(-2m),

a-b=12>即b=a—12④，

把③代入①得：伍-a)("+2«)=-20。⑤，

把④代入⑤得：。=9；

故答案为：12；9

【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利

用方程思想解题是关键.

三、解答题(本大题有8小题，共80分)

17.计算：

(1)(1+W+∣-2∣-√9.

(2)(α+3)(α—3)+α(l—α).

【答案】(1)0

(2)ɑ—9

【解析】

【分析】(1)根据零指数募运算、去绝对值运算和算术平方根运算分别求解，再利用有理数加减运算求解即

可得到答案；

(2)根据平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开，合并同类项即可得到答案.

【小问1详解】

解：(1+吹)°+∣-2∣-囱

=1+2—3

=O；

【小问2详解】

解：(α+3)(α—3)+α(l—α)

=a~-9+α—cr

=a—9.

【点睛】本题考查实数混合运算及整式混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键.

18.在4x4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).

(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点等腰三角形∕¾6,再画出该三角形向右平移2个单位后的

P,AB'.

(2)将图2中的格点ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,画出经旋转后的4A8'C.

【答案】(1)画图见解析

(2)画图见解析

【解析】

【分析】(1)先画等腰三角形PA=PB，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可；

(2)确定A,B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可.

【小问1详解】

解：如图，，0钻，即为所求作的三角形；

【小问2详解】

图I

如图，aAB'C即为所求作的三角形,

【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特

点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键.

19.如图，已知二次函数y=χ2+⅛r+c图象经过点A（l,-2）和仇0,-5）.

（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.

（2）当丁〈一2时，请根据图象直接写出X的取值范围.

【答案】（I）y=f+2χ-5,顶点坐标为（-1,-6）；

（2）-3≤%≤1

【解析】

【分析】（1）把A（l,-2）和8（0,-5）代入〉=》2+法+以建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶

点式，可得顶点坐标；

（2）把y=-2代入函数解析式求解X的值，再利用函数图象可得y≤-2时X的取值范围.

【小问1详解】

解：•・•二次函数y=Y+法+c图象经过点A（l,-2）和B（0,-5）.

C=-5仿=2

<解得：\

1÷Z?+c=-2

，抛物线为y=Y+2x—5=(x+1)?—6,

.∙.顶点坐标为：(T,-6);

【小问2详解】

当y=-2时，(χ+l)2-6=-2,

(X+1)'=4

如图，当y4-2时，

.,.-3≤x≤l.

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等

式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键.

20.宁波象山作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作.某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为

了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分X

均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第；合格（60≤x<70）,一般（70≤xv80）,良好

（80≤x<90）,优秀（90≤x≤100）,制作了如下统计图（部分信息未给出）

所抽取的学生知识流试成绩的饰轨我方图所抽取的学生知识测试成绩的Iii影统H图

(1)求测试成绩为一般的学生人数，并补全须数直方图.

(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.

(3)这次测试成绩的中位数是什么等第？

(4)如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有

多少人？

【答案】(1)测试成绩为一般的学生人数为60人，图见解析

(2)126°

(3)良好(4)估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有660人

【解析】

【分析】(1)利用优秀的人数除以所占的百分比求出总数，利用总数减去其他等级的人数求出测试成绩为一

般的学生人数，进而补全直方图即可；

(2)360o×良好等级的人数所占的比例进行计算即可；

(3)利用中位数的定义进行作答即可；

(4)利用总体乘以样本中测试成绩为良好和优秀的学生所占的比例，即可得解.

【小问1详解】

解：40÷20%=200人，

，测试成绩为一般的学生人数为：200—30—70—4()=6()人；

补全直方图如图：

所抽取的学生知识测试成绩的领数内方图

70

W^

0

-5

40【小问2详解】

30

20

10

0

360o×——126°

200;

【小问3详解】

共200人，将成绩按照从小到大排序后，第100个数据和第101个数据均在80≤x<90的范围内，即中位

数落在良好等第中;

【小问4详解】

70+40.

1200×---------=66λ0（人）；

200

答：估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有660人.

【点睛】本题考查统计图，中位数，利用样本估计总体.从统计图中有效的获取信息，熟练掌握中位数的

计算方法，是解题的关键.

21.某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪,

如图1所示.

Si图2

（1）如图2,在P点观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上AB两点均在视线PC上时，测得视

线与铅垂线所夹的锐角为α,设仰角为夕，请直接用含α的代数式示夕.

（2）如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点BC分别测得气

球A的仰角-ABO为37°,NACD为45°,地面上点8,C,。在同一水平直线上，BC=20m,求气

球A离地面的高度AD∙（参考数据：sin37o≈0.60,cos37o≈0.80,tan37o≈0.75）

【答案】（1）£=90。-。

(2)AT>=60m

【解析】

【分析】(1)如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；

(2)根据题意，ADJ-BD,在Rtaacr＞中，NAS=45。，由等腰直角三角形性质得到CD=Ar＞；在

ΛΓ)AΓ)AΓ)

RtZizWD中，NAB£＞=37。，由tanNABO=tan370=—=-----------=-----------,解方程即可得到答案.

JBDCD+20AD+20

【小问1详解】

由题意知OZ)LPr>,

在RtdPOz)中，2D90?,则NP+NPOD=90°,即α+∕7=9O°,

.∙.β=9Q°-a.

【小问2详解】

解：如图所示：

在Rt4A8中，/48=45。，由等腰直角三角形性质得到CD=AO,

在RtZXABD中，ZABZ)=37。，

ADADAD

由tanNABD=tan37o

而—CO+20AD+20

AD

B∣J0.75=

AD+20

解得AD—60m,

•••气球A离地面的高度AD=60m.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高

等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键.

22.某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00,部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生

乘坐大巴从学校出发，沿公路(如图1)到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00,军车在离营地

60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前

行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程S(km)与所用时间/(h)的函数关系如图2所

(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间.

【答案】(1)s=40r+20,a=2

(2)Ih

3

【解析】

【分析】(1)设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将S=Io0,代入解析式求出。的值即可；

(2)先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段

时间即可得解.

【小问1详解】

解：设大巴离营地的路程S与所用时间1的函数表达式为S=K+8,由图象可知，直线过点

(0,20)(1,60),

必=20仿=20

,解得：〈，

k+b=60[%=40

∙*∙s=40/+20：

当S=Ioo时：IoO=40r+20,解得：t=2,

.β.a=2；

【小问2详解】

由图象可知，军车的速度为：60÷l=6()km∕h,

4

，军车到达仓库所用时间为：8O÷6O=-h,

从仓库到达基地所用时间为：(100-80)÷60=∣h,

411

.∙.部队官兵在仓库领取物资所用的时间为2--------=-h.

333

【点睛】本题考查一次函数的实际应用.从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题

的关键.

23.定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角

称为邻等角.

(1)如图1,在四边形ABCr)中，AD//BC,ZA^90o,对角线5。平分NAOC.求证：四边形

ABCO为邻等四边形.

(2)如图2,在6x5的方格纸中，A,B,C三点均在格点上，若四边形AjBC。是邻等四边形，请画出所

有符合条件的格点D.

(3)如图3,四边形ABC。是邻等四边形，NDW=NABC=90°,/BCO为邻等角，连接AC,过

B作砥〃AC交Dl的延长线于点£若AC=8,DE=10,求四边形EBCD的周长.

【答案】(1)证明见解析

(2)画图见解析(3)38-6√2

【解析】

【分析】(1)先证明NABC=I80。—NA=90°,ZADB=ZCBD,再证明CZ)=C3，即可得到结论；

(2)根据新定义即可NB=NC=90,再确定CB=CD,AD=CD的格点。即可；

(3)如图，过。作CQLAD于Q,可得四边形ABCQ是矩形，AQ=BC,A£>〃BC,证明四边形ACBE

为平行四边形，可得BE=AC=8,AE=BC,设BC—AE—x,而DE-10,AD—10—x,

OQ=x-(10—x)=2x—10,由新定义可得CD=CB=X,由勾股定理可得：X2-(2Λ-10)2=82-x2,

再解方程可得答案.

【小问1详解】

解：：A。〃BCNA=90°,

ZABC=180。—NA=90。，ZADBZCBD,

•••对角线平分/AOC,

.∙.ZADB=ZCDB,

：.NCBD=ZCDB,

CD-CB,

.∙.四边形ABCQ为邻等四边形.

【小问2详解】

解：D1,D2,A即为所求;

【小问3详解】

如图，过C作CQJ_AO于。,

∙.∙ZQAB=ZABC=90°，

四边形ABCQ矩形,

ΛAQ=BC,AB=CQ,AD//BC,

,/BE//AC,

.∙.四边形ACBE为平行四边形，

ΛBE=AC=S,AE=BC,

设3C=AE=x,而。E=IO,

∙,.AD=10—x>DQ—%—(10—x)=2x-10,

由新定义可得CD=CB=x,

由勾股定理可得：X2-(2X-10)2=82-X2,

整理得：X2-20X+82=0-

解得：XI=IO-30,Λ⅛=10+3√2>8(不符合题意舍去)，

∙,∙CB=CD=10-36,

.∙.四边形EBC。的周长为10