2023-2024届高考数学23 彩票问题（解析版）

专题23彩票问题

例L某种彩票的投注号码由7位数字组成，每位数字均为0~9这10个数码中的任意1个.由摇号得出1

个7位数（首位可为0）为中奖号，若某张彩票的7位数与中奖号相同即得一等奖，若有6位相连数字与

中奖号的相应数位上的数字相同即得二等奖，若有5位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得

三等奖，各奖不可兼得.某人买了1张彩票且假设这期彩票中奖号码为1234567.

（1）求其获得二等奖的概率；

（2）求其获得三等奖及以上奖的概率.

【解析】解：（1）某种彩票的投注号码由7位数字组成，每位数字均为0~9这10个数码中的任意1个.

由摇号得出1个7位数（首位可为0）为中奖号，基本事件总数〃=107,

有6位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得二等奖，

・•・二等奖包含的基本事件个数m=9+9=18,

・••其获得二等奖的概率Pl=常=工条.…（6分）

（2）其获得三等奖及以上奖包含获得一等奖、获得二等奖、获得三等奖3种情况，

•••其获得.二等奖及以上奖的概率/1+归：261…（16分）

2IO725×104

例2.某彩票的号码形如“4生的汹”（其中a,，。，L2,3,4,5,6,7,8,9},ι=l,2,3,4,5）.现

从0~9这十个数字中每次取出一个数字，放回后再取下一个数字，取5次，依次按序排成一行成为一等

奖号码.若彩票上的号码与一等奖号码恰有4个连续的数字相同（包括数字顺序相同）则为二等奖号码，

恰有3个连续的数字相同（包括数字顺序相同）则为三等奖号码，其它为不中奖号码.

（1）求某人买一张彩票中一等奖的概率；

（2）若一等奖奖金1000元，二等奖奖金500元，三等奖奖金100元，求某人买一张彩票获得奖金数X（元

）的概率分布及其数学期望；

（3）某人买了3张彩票，恰有1张获奖的概率是恰有2张获奖的概率的多少倍？

【解析】解：（1）某人买一张彩票中一等奖的概率为尸=_：

（2）某人买一张彩票中二奖的概率为P=W=E,

IO5IO5

某人买一张彩票中三奖的概率为P=史也艺W"W=名.

IO5IO5

某人买一张彩票得奖金数X（元）的概率分布为:

X10005001000

P1182612493

存存2500

.∣v∖Innnɪ<ɪɛIn2612493361

贝mIJEEV(X)=IOOOx--÷5n0n0×--+1n00×--÷0×------=-------.

IO5IO5IO525∞10∞

280

（3）购买彩票获奖的概率为P=

Ior

某人买了3张彩票，恰有1张获奖的概率是耳=CP（I-P）2,

恰有2张获奖的概率是P2=C；尸（I-P）,

此时C=IZf=翌.

P1P1

例3.某市发行一种电脑彩票，从1到35这35个数中任选7个不同的数作为一注，开奖号码为从35个数

中抽出7个不同的数，若购买的一注号码与这7个数字完全相同，即中一等奖；若购买的一注号码中有且

仅有6个数与这7个数中的6个数字相同，即中二等奖；若购买的一注号码中有且仅有5个数与这7个数

中的5个数字相同，即中三等奖.

（1）随机购买一注彩票中一等奖的概率是多少？随机购买一注彩票能中奖的概率是多少？（结果可以用含

组合数的分数表示）

（2）从问题（1）得到启发，试判断组合数C%CM'与Cr的大小关系，并从组合的意义角度加以解释.

【解析】（1）购买一注彩票中一等奖的概率―-—

46724520

购买•注彩票能中奖的概率B=i+cq+c；%乎：

-Cl6724520

（2）C"",,C：

即从〃个不同元素中取出加不同元素的组合数不小于将〃个元素分成Z和〃-左两部分，然后从左个元素中取

/.从〃-Z个中取利-/个的方法数.

例4.某福彩中心准备发行一种面值为2元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：

①该福利彩票中奖概率为0.2；

②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，10元和100元三种；

③顾客购买一张彩票，获得10元奖金的概率为0.08,获得100元奖金的概率为p.

（1）若某顾客每天都买一张该类型的福利彩票，求其在第3天才中奖的概率；

（2）福彩中心为了能够筹得资金资助福利事业持续发展，应如何设定P的取值.

【解析】（I）设A,:第，天中奖，A：第3天才中奖,

则P(A)=P(AA2A3)=P(Ai)P(A2)P(A3)=0.8X0.8X0.2=0.128

所以，该顾客第3天才中奖的概率为0.128…(4分)

(2)设卖出-张彩票可能获得的资金为g,

则J可以取2,-3,-8.-98,...(6分)

Pe=2)=0.8,

PC=-3)=0.2—0.08-P=O.12—P,

Pe=-8)=008,

P(⅞=-98)=p,

ξ的分布列为：

ξ2-3-8-98

P0.80.12-p0.08P

...（10分）

所以，E⅞=2×0.8+（-3）×（0.12-∕7）+（-8）×0.08+（-98）×p=0.6-95p

令EJ>O,得p</-

-475

所以当p<2时，福彩中心可以获取资金资助福利事业持续发展.…（12分）

475

例5.福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福

利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖率为50%:②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元

和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为0,获得50元奖金的概率为2%.

（1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票，求该顾客中奖的概率；

（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为X元，求X的概率分布（用〃表示）；

（3）为了能够筹得资金资助福利事业，求〃的取值范围.

【解析】解：（1）设至少一张中奖为事件A,

则顾客中奖的概率尸（）A）=l-05°=幽.

1024

（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为X元，

则X可以取5,0,-45.-145,

X的分布列为：

X50-45-145

P0.50.5—0.02—P0.02P

(3)由(2)X的期望为E(X)=5x0.5+0x(0∙5-0.02-P)+(Y5)xO.O2+(-145)xp=L6-145∕7,

.∙.福彩中心能够筹得资金E(X)=I.6-145p>0,即O<P<言，

所以当0<p<2时，福彩中心可以获取资金资助福利事'忆

725

例6.某种福利彩票每期的开奖方式是，从1,2,20的基本号码中由电脑随机选出4个不同的幸运号

码(不计顺序)，凡购买彩票者，可自由选择1个，2个，3个或4个不同的基本号码组合成一注彩票，若

彩票上所选的基本号码都为幸运号码就中奖.根据所选基本号码(幸运号码)的个数，中奖等级分为

基本号码数1234

(幸运号码数)

中奖等级四等奖三等奖二等奖一等奖

(1)求购买一注彩票获得三等奖或者四等奖的概率；

(2)设随机变量X表示一注彩票的获奖等级，X取值0,1,2,3,4(0表示未获奖)，求随机变量X的分

布列.

【解析】(本小题满分12分)

解：(1)设事件A表示获得三等奖或四等奖，

贝IJP(A)=⅛+-⅝=--

G(IC95

(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

卷4

P(X=4)=*康

131113

P(X=O)=I-----------------------=

595285484517

.∙.随机变量X的分布列为:

X01234

P13ɪ311

175952854845

例7.一种填数字彩票2元一张，购买者在卡上依次填上0~9中的两个数字(允许重复).中奖规则如下：

如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；

如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元；

其他情况均无奖金.

(I)小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率；

(∏)设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件A,“购买一张这种彩票中二等奖”为事件8,请指出事件

AU8的含义，并求事件4、B发生的概率；

(In)设购买一张这种彩票的收益为随机变量J,求J的数学期望.

【解析】解：(1)由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，

小明中一等奖的概率是一个古典概型,

试验发生的所有事件由分步计数原理知共有K)XIO种结果，

满足条件的事件是1个，

小明(小辉)中一等奖的概率为P=OOl

由相互独立事件同时发生的概率公式得到

.∙.小明，小辉都中一等奖的概率为/?=0.0Ix0.01=0.0001

(H)事件A、B的含义是“买这种彩票中奖”，或“买这种彩票中一等奖或中二等奖”

显然，事件A与事件8互斥，

IIOI

所以，P(A[B)=P(A)+P(B)=-Lχ-L+二x—=0」

v7IOIO1010

故购买一张这种彩票能中奖的概率为0.1.

(Ill)对应不中奖、中二等奖、中一等奖，J的分布列如下:

-208

P0.90.090.01

E⅞=-2×0.9+8×0.01=-1.72

购买一张这种彩票的期望收益为损失1.72元.

例8.福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福

利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖率为50%;②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元

和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p,获得50元奖金的概率为2%.

(1)假设某顾客一次性花15元购买三张彩票，求其至少有两张彩票中奖的概率；

(2)为了能够筹得资金资助福利事业，求P的取值范围.

【解析】解：(1)设至少有两张彩票中奖事件A,则P(A)=C；(0.5)3+《(OS)，=g,

(2)设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为4,则？可以取5,0,-45,-145.

故J的分布列为

450-45-145

P50%50%-2%-/?2%P

所以J的期望为心=5x50%+0x(50%-2%-p)+(T5)x2%+(-145)xp=2.5-90%-145p

Q

所以当L6-145∕>0时;即尸<

725

所以当0<P<Y-时，福彩中心可以获取资金资助福利事业.

725

例9.某人酷爱买彩票，一次他购买了IOoo注的彩票，共有50注中奖，于是他回到家对彩票的号码进行了

分析，分析后又去买了1500注的彩票，有75注中奖.请分析他对号码的研究是否对中奖产生了大的影

响.

【解析】解：根据题意可知购买1000注的彩票，中奖50注，未中奖的有950注：购买1500注彩票，中奖

75注，未中奖的有1425注.

列出对应的2x2列联表如下：

中奖注数未中奖注数总计

未分析509501000

分析后7514251500

总计12523752500

假设对彩票号码的研究与中奖无关.

由表中数据，得胪的观测值为252:鼠妥明。∙

因为0<2∙706，所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关∙

例10.某种彩票是由7位数字组成，每位数字均为0~9这10个数码中的任一个.由摇号得出一个7位数

（首位可为0）为中奖号，如果某张彩票的7位数与中奖号码相同即得一等奖；若有6位相连数字与中奖

号的相应数位上的数字相同即得二等奖；若有5位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得三等

奖；各奖不可兼得.某人一次买了10张不同号码的彩票.

（1）求其获得一等奖的概率；

（2）求其获得三等奖及以上奖的概率.

【解析】解：（1）7个数字的所有排列共计IO7种，买一注彩票获得一等奖的选法仅有一种,

1

故他买一注彩票获得一等奖的概率为

10L1

再根据此人一次买了10张不同号码的彩票,故他买一注彩票获得一等奖的概率为

ιo7-io"

（2）他中二等奖的概率为W=Tr,他中三等奖的概率为3x（9x9）=等

IO7IO7IO7IO7

故他获得三等奖及以上一奖的概率为1+18：243=等

IO7IO7

例IL售价为2元的某种彩票的中奖概率如下：

中奖金额/元0248

中奖概率0.70.20.080.02

（1）某人花6元买三张该种彩票，恰好获利2元的概率为多少？

（H）某人花4元买两张该种彩票，记获利为X元，求X的分布列与数学期望.

【解析】解：（I）记“某人花6元买三张该种彩票，恰好获利2元”为事件A,可知事件A有三种情况:

第一种中奖金额为0，0,8；第二种中奖金额为2,2,4；第三种中奖金额位0,4,4,则

P(A)=C,×0.02X(0.7)2+c；χ0,08χ(0.2)2+C^×0.7×(0.08)2=0.05244；

(II)某人花4元买两张该种彩票，记获利为X元，取值分别为T,-2,0,2,4,6,8,12,则

P(X=-4)=C；.0.72=0.49,P(X=-2)=C；X0.7X0.2=0.28,

P(X=O)=c；X0.2?+C；X0.7X0.08=0.152,P(X=2)=C；χ0.2X0.08=0,032,

P(X=4)=C；X0.082+C；X0.7X0.02=0.0344,P(X=6)=C；x0.2X0.02=0.008,

P(