基本不等式常见题型训练

PAGEPAGE5必修5基本不等式基本题型训练一、选择题1.[2013·常州质检]已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x<0)，则f(x)有()A.最大值为0 B.最小值为0C.最大值为－4 D.最小值为－4答案：C解析：∵x<0，∴－x>0，∴x＋eq\f(1,x)－2＝－(－x＋eq\f(1,－x))－2≤－2eq\r(－x·\f(1,－x))－2＝－4，当且仅当－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1时，等号成立．2.[2013·长沙质检]若0<x<1，则当f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)答案：D解析：∵0<x<1，∴f(x)＝x(4－3x)＝eq\f(1,3)·3x(4－3x)≤eq\f(1,3)×(eq\f(3x＋4－3x,2))2＝eq\f(4,3)，当且仅当3x＝4－3x，即x＝eq\f(2,3)时，取得“＝”，故选D.3.函数y＝eq\f(x2＋2x＋2,x＋1)(x>－1)的图象最低点的坐标为()A.(1,2) B.(1，－2)C.(1,1) D.(0,2)答案：D解析：y＝eq\f(x＋12＋1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)≥2，当x＋1＝eq\f(1,x＋1)，即x＝0时，y最小值为2，故选D项．4.已知m＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，n＝(eq\f(1,2))x2－2(x<0)，则m，n之间的大小关系是()A.m>n B.m<nC.m＝n D.m≤n答案：A解析：∵a>2，x<0，∴m＝(a－2)＋eq\f(1,a－2)＋2≥2eq\r(a－2·\f(1,a－2))＋2＝4，n＝22－x2<22＝4，∴m>n，故选A.5.[2013·商丘模拟]若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为()A.12 B.2eq\r(3)C.3eq\r(2) D.6答案：D解析：依题意得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2,9x＋3y＝32x＋3y≥2eq\r(32x×3y)＝2eq\r(32x＋y)＝2eq\r(32)＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，因此9x＋3y的最小值是6，选D.6.已知a，b为正实数且ab＝1，若不等式(x＋y)(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是()A.[4，＋∞) B.(－∞，1]C.(－∞，4] D.(－∞，4)答案：D解析：因为(x＋y)(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2≥2eq\r(ab)＋2＝4，当且仅当a＝b，eq\f(ay,x)＝eq\f(bx,y)时等号成立，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可，正确选项为D.二、填空题7.[2013·金版原创]规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝eq\f(k⊗x,\r(x))的最小值为________．答案：13解析：1⊗k＝eq\r(k)＋1＋k＝3，即k＋eq\r(k)－2＝0，∴eq\r(k)＝1或eq\r(k)＝－2(舍)，∴k＝