第09章-远期和期货的定价

第九章

远期和期货的定价

衍生金融工具的定价〔Pricing〕指的是确定衍生证券的理论价格，它既是市场参与者进行投机、套期保值和套利的依据，也是银行对场外交易的衍生金融工具提供报价的依据。3/5/20241一、根本的假设1、没有交易费用和税收。2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。3、远期合约没有违约风险。4、允许现货卖空行为。5、当套利时机出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利时机消失，我们算出的理论价格就是在没有套利时机下的均衡价格。6、期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花本钱地取得远期和期货的多头和空头地位。第一节远期价格和期货价格的关系3/5/20242

二、远期价格和期货价格的关系根据罗斯等美国著名经济学家证明,当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。但是，当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就不相等。至于两者谁高那么取决于标的资产价格与利率的相关性。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。反之，那么远期价格就会高于期货价格。远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期价格和期货价格的差异。在现实生活中，大多数情况下，我们仍可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用F来表示。3/5/20243

第二节无收益资产远期合约的定价一、无套利定价法无套利定价法的根本思路：构建两种投资组合，让其终值相等，那么其现值一定相等；否那么就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利时机消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。3/5/20244为给无收益资产的远期定价，构建如下两种组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r〔T－t〕的现金；组合B：一单位标的资产。在组合A中，Ke-r〔T－t〕的现金以无风险利率投资，投资期为〔T－t〕。到T时刻，其金额将到达K。这是因为：Ke-r〔T－t〕er〔T－t〕=K在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。由此我们可以断定，这两种组合在t时刻的价值相等。即：f+Ke-r〔T－t〕=Sf=S－Ke-r〔T－t〕〔12.1〕〔12.1〕说明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和Ke-r〔T－t〕单位无风险负债组成。3/5/20245二、现货-远期平价定理由于远期价格〔F〕就是使合约价值〔f〕为零的交割价格〔K〕，即当f=0时，K=F。据此可以令〔12.1〕式中f=0，那么F=Ser〔T－t〕〔12.2〕这就是无收益资产的现货-远期平价定理〔Spot-ForwardParityTheorem〕，或称现货期货平价定理(Spot-FuturesParityTheorem)。式〔12.2〕说明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。3/5/20246可用反证法证明〔12.2〕不成立时的情形是不均衡的。假设F>Ser〔T－t〕，那么套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为T－t。然后用S购置一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Ser〔T－t〕，这就实现了F－Ser〔T－t〕的无风险利润。假设F<Ser〔T－t〕，那么套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F。在T时刻，套利者收到投资本息Ser〔T－t〕，并以F现金购置一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser〔T－t〕-F的利润。3/5/20247三、远期价格的期限结构远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率,为T到T*时刻的无风险远期利率。那么不同期限远期价格之间的关系：

(12.3)读者可以运用相同的方法,推导出支付现金收益资产和支付红利率资产的不同期限远期价格之间的关系。3/5/20248第三节支付现金收益资产远期合约的定价一、支付现金收益资产远期合约定价的一般方法为了给支付现金收益资产的远期定价，可构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r〔T－t〕的现金;组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日、本金为I的负债。组合A和B在T时刻的价值都等于一单位标的证券。因此，在T时刻，这两个组合的价值应相等，即：

f+Ke-r〔T－t〕=S-If=S-I-Ke-r〔T－t〕〔12.4〕

公式〔12.4〕说明，支付现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。或者说，一单位支付现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和I+Ke-r〔T－t〕单位无风险负债构成。3/5/20249我们同样可以用反证法来证明公式〔12.5〕假设F>(S-I)er〔T－t〕，那么套利者可借入现金S，买入标的资产，并卖出一份远期合约，交割价为F。这样在T时刻，他需要还本付息Ser〔T－t〕，同时他将在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出，从而在T时刻得到Ier〔T－t〕的本利收入。此外，他还可将标的资产用于交割，得到现金收入F。这样，他在T时刻可实现无风险利润F-(S-I)er〔T－t〕。假设F<(S-I)er〔T－t〕，那么套利者可以借入标的资产卖掉，得到现金收入以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为F的远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收入Ser〔T－t〕，同时付出现金F换得一单位标的证券，用于归还标的证券的原所有者，并把该标的证券在T-t期间的现金收益的终值Ier〔T－t〕同时归复原所有者。这样，该套利者在T时刻可实现无风险利润(S-T)er〔T－t〕-F。可见当公式〔12.5〕不成立时，市场就会出现套利时机，套利者的套利行为将促成公式〔12.5〕成立。3/5/202410二、中长期国债期货的定价〔一〕长期国债现货和期货的报价与现金价格的关系现金价格与报价的关系为：现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息〔12.6〕例如，假设现在是1999.11.5，2021年8月15日到期，息票利率为12%的长期国债的报价为94—28〔即94.875〕。由于美国政府债券均为半年付一次利息，从到期日可以判断，上次付息日是1999年8月15日，下一次付息日是2000年2月15日。由于1999年8月15到11月5日之间的天数为82天，1999年11月5日到2000年2月15日之间的天数为102天，因此累计利息等于：6美元×82/184=2.674美元该国债的现金价格为：94.875美元+2.674美元=97.549美元3/5/202411〔二〕交割券与标准券的转换因子芝加哥交易所规定交割的标准券为期限15年、息票率为8%的国债，其它券种均得按一定的比例折算成标准券。这个比例称为转换因子〔ConversionFactor〕。转换因子等于面值为100美元的各债券的现金流按8%的年利率〔每半年计复利一次〕贴现到交割月第一天的价值，再扣掉该债券累计利息后的余额。在计算转换因子时，债券的剩余期限只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在6个月之后，否那么就假定在3个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息，以免重复计算。算出转换因子后，我们就可算出空方交割100美元面值的债券应收到的现金：空方收到的现金=期货报价交割债券的转换因子+交割债券的累计利息〔12.7〕3/5/202412例12.5：某长期国债息票利率为14%，剩余期限还有18年4个月。标准券期货的报价为90—00，求空方用该债券交割应收到的现金。首先，我们应计算转换因子。根据有关规那么，假定该债券距到期日还有18年3个月。这样我们可以把将来息票和本金支付的所有现金流先贴现到距今3个月后的时点上，此时债券的价值为：由于转换因子等于该债券的现值减累计利息。因此我们还要把163.73美元贴现到现在的价值。由于3个月的利率等于，即1.9804%，因此该债券现在的价值为163.73/1.019804=160.55美元。由于3个月累计利息等于3.5美元，因此转换因子为：转换因子=160.55-3.5=157.05美元然后，我们可根据公式〔12.7〕算出空方交割10万美元面值该债券应收到的现金为：1000[〔90.001.5705〕+3.5]=144，845美元3/5/202413〔三〕确定交割最合算的债券交割最合算债券就是购置交割券的本钱与空方收到的现金之差最小的那个债券。交割差距=债券报价+累计利息—[〔期货报价转换因子〕+累计利息]=债券报价—〔期货报价转换因子〕〔12.8〕例12.6：假设可供空头选择用于交割的三种国债的报价和转换因子如表12.1所示〔见书〕,而期货报价为93—16,即93.50美元。请确定交割最合算的债券。

根据以上数据，我们可以求出各种国债的交割差距为：国债1：144.50-(93.501.5186)=2.5109国债2：120.00-(93.501.2614)=2.0591国债3：99.80-(93.501.0380)=2.7470由此可见，交割最合算的国债是国债2。3/5/202414〔四〕国债期货价格确实定国债期货的空方拥有交割时间选择权和交割券种选择权，如果我们假定交割最合算的国债和交割日期是的，那么可通过以下四个步骤来确定国债期货价格：1．根据交割最合算的国债的报价，运用式〔12.6〕算出该交割券的现金价格。2．运用公式〔12.5〕，根据交割券的现金价格算出交割券期货理论上的现金价格。3．运用公式〔12.6〕根据交割券期货的现金价格算出交割券期货的理论报价。4．将交割券期货的理论报价除以转换因子即为标准券期货理论报价，也是标准券期货理论的现金价格。3/5/202415例12.7：假定我们某一国债期货合约最合算的交割券是息票利率为14%，转换因子为1.3650的国债，其现货报价为118美元，该国债期货的交割日为270天后。该交割券上一次付息是在60天前，下一次付息是在122天后，再下一次付息是在305天后，市场任何期限的无风险利率均为年利率10%〔连续复利〕。请根据上述条件求出国债期货的理论价格。首先，我们可以运用公式〔12.6〕求出交割券的现金价格为：118+(60/182)×7=120.308美元其次，我们要算出期货有效期内交割券支付利息的现值。由于期货有效期内只有一次付息，是在122天〔0.3342年〕后支付7美元的利息，因此利息的现值为：7e-0.33420.1=6.770美元3/5/202416再次，由于该期货合约有效期还有270天〔即0.7397年〕我们可以运用〔12.5〕算出交割券期货理论上的现金价格为：〔120.308-6.770〕e0.73970.1=122.255美元再其次，我们要算出交割券期货的理论报价。由于交割时，交割券还有148天〔即270-122天〕的累计利息，而该次付息期总天数为183天〔即305天-122天〕运用公式〔12.6〕，我们可求出交割券期货的理论报价为：最后，我们可以求出标准券的期货报价：3/5/202417第四节支付收益率资产远期合约的定价一、支付收益率资产远期合约定价的一般方法为了给出支付收益率资产的远期定价，可构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r〔T－t〕的现金；组合B：e-q〔T－t〕单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的收益率。组合A和B在T时刻的价值都等于一单位标的证券。因此在T时刻两者的价值也应相等，即：

〔12.9〕

公式〔12.9〕说明，支付红利率资产的远期合约多头价值等于e-q(T-t)单位证券的现值与交割价现值之差。或者说，一单位支付红利率资产的远期合约多头可由e-q〔T－t〕单位标的资产和Ke-r〔T－t〕单位无风险负债构成。3/5/202418这就是支付红利率资产的现货-远期平价公式根据远期价格的定义，我们可根据公式〔12.9〕算出支付收益率资产的远期价格：〔12.10〕这就是支付红利率资产的现货-远期平价公式。公式〔12.10〕说明，支付收益率资产的远期价格等于按无风险利率与收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。3/5/202419例12.8：假设S&P500指数现在的点数为1000点，该指数所含股票的红利收益率预计为每年5%〔连续复利〕，连续复利的无风险利率为10%，3个月期S&P500指数期货的市价为1080点，求该期货的合约价值和期货的理论价格。根据公式〔12.9〕，我们可得：由于S&P500指数合约规模为指数乘以500，因此一份该合约价值为-65.75500=-32877美元。根据公式〔12.10〕，我们可求出S&P500指数期货的理论价格：3/5/202420

二、外汇远期和期货的定价外汇属于支付收益率的资产，其收益率是该外汇发行国连续复利的无风险利率，用rf表示。我们用S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格，K表示远期合约中约定的以本币表示的一单位外汇的交割价格，即S、K均为用直接标价法表示的外汇的汇率。根据公式〔12.9〕，我们可以得出外汇远期合约的价值：〔12.11〕根据〔12.10〕可得外汇远期和期货价格确实定公式：

〔12.12〕这就是著名的利率平价关系。它说明，假设外汇的利率大于本国利率，那么该外汇的远期和期货汇率应小于现货汇率；假设外汇的利率小于本国的利率，那么该外汇的远期和期货汇率应大于现货汇率。3/5/202421

三、远期利率协议的定价远期利率协议多方的现金流为：T时刻：A；T*时刻：这些现金流的现值即为远期利率协议多头的价值：

这里的远期价格就是合同利率。根据远期价格的定义，远期利率就是使远期合约价值为0的协议价格〔rK〕。因此从第5章我们知道代入公式〔12.14〕得：(12.15)3/5/202422例子例12.9：假设2年期即期年利率〔连续复利，下同〕为10.5%，3年期即期年利率为11%，本金为100万美元的2年3年远期利率协议的合同利率为11%，请问该远期利率协议的价值和理论上的合同利率等于多少?根据公式〔12.14〕和公式〔12.15〕，该合约理论上的合同利率为：根据公式〔12.13〕，该合约价值为：

3/5/202423四、远期外汇综合协议的定价远期外汇综合协议多头的现金流为：T时刻：A单位外币减AK本币T*时刻：AK*本币减A单位外币这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的价值〔f〕：

〔12.16〕3/5/202424远期汇率和远期外汇综合协议的价值由于远期汇率就是合约价值为零的协议价格〔这里为K和K*〕，因此T时刻交割的理论远期汇率〔F〕和T*时刻交割的理论远期汇率〔F*〕分别为：〔12.17〕

(12.18)其结论与公式〔12.12〕是一致的。将公式〔12.17〕和〔12.18〕代入公式〔12.16〕得：〔12.19〕3/5/202425远期差价有的远期外汇综合协议直接用远期差价规定买卖原货币时所用的汇率，我们用W*表示T时刻到T*时刻的远期差价，那么W*=F*-F。将公式〔12.17〕和〔12.18〕代入，可得：

〔12.20〕用W表示t时刻到T时刻的远期差价，可得：W=F-S〔12.21〕3/5/202426例12.10假设美国2年期即期年利率〔连续复利，下同〕为8%，3年期即期年利率为8.5%，日本2年期即期利率为6%，3年期即期利率为6.5%，日元对美元的即期汇率为0.0083美元/日元。本金1亿日元的2年3年远期外汇综合协议的2年合同远期汇率为0.0089美元/日元，3年合同远期汇率为0.0092美元/日元，请问该合约的多头价值、理论上的远期汇率和远期差价等于多少？根据公式〔12.17〕，2年期理论远期汇率〔F〕为：美元/日元根据公式〔12.18〕，3年期理论远期汇率〔F*〕为：美元/日元3/5/202427根据公式〔12.20〕，2年3年理论远期差价〔W*〕为：美元/日元根据公式〔12.21〕，2年期理论远期差价〔W〕为：根据公式〔12.19〕，该远期外汇综合协议多头价值〔f〕为：3/5/202428第五节期货价格与现货价格的关系

一、期货价格和现在的现货价格的关系期货价格和现货价格的关系可以用基差〔Basis〕来描述。所谓基差，是指现货价格与期货价格之差，即：基差=现货价格—期货价格〔12.22〕基差可能为正值也可能为负值。但在期货合约到期日，基差应为零。这种现象称为期货价格收敛于标的资产的现货价格，如图5.2所示。当标的证券没有收益，或者现金收益较小、或者收益率小于无风险利率时，期货价格应高于现货价格，如图5.2〔a〕所示；当标的证券的现金收益较大，或者收益率大于无风险利率时，期货价格应小于现货价格，如图5.2〔b〕所示。3/5/202429基差会随着期货价格和现货价格变动幅度的差距而变化。当现货价格的增长大于期货价格的增长时，基差也随之增加，称为基差增大。当期货价格的增长大于现货价格增长时，称为基差减少。期货价格收敛于标的资产现货价格是由套利行为决定的。假定交割期间期货价格高于标的资产的现货价格，套利者就可通过买入标的资产、卖出期货合约并进行交割来获利，从而促使现货价格上升，期货价格下跌。相反，假设交割期间现货价格高于期货价格，那么打算买入标的资产的人就会发现，买入期货合约等待空头交割比直接买入现货