概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计习题解答－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

第一章随机事件及其概率

1.写出下列随机试验的样本空间：

（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；

（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；

（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；

（4）测量一汽车通过给定点的速度.

解所求的样本空间如下

（1）S={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}

（2）S={(x,y)|x2+y2（3）S={3，4，5，6，7，8，9，10}

（4）S={v|v>0}

2.设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：

（1）A发生，B和C不发生；

（2）A与B都发生，而C不发生；

（3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生；

（5）A、B、C不都发生；

（6）A、B、C至少有一个发生；

（7）A、B、C不多于一个发生；

（8）A、B、C至少有两个发生.

解所求的事件表示如下

3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则

（1）事件AB表示什么？

（2）在什么条件下ABC=C成立？

?是正确的？

（3）在什么条件下关系式CB

（4）在什么条件下AB

=成立？

解所求的事件表示如下

（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员.

（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立.

?是正确的.

（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式CB

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，AB=成立.

4．设P(A)＝，P(A－B)＝，试求()PAB解由于A?B=A–AB,P(A)=所以

P(A?B)=P(A?AB)=P(A)??P(AB)=,

所以P(AB)=,故()PAB=1?=.

5.对事件A、B和C，已知P(A)=P(B)＝P(C)＝1

4

，P(AB)=P(CB)=0,P(AC)=

1

8

求A、B、C中至少有一个发生的概率.解由于,()0,?=ABCABPAB故P(ABC)=0

则P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(BC)–P(AC)+P(ABC)

6.设盒中有α只红球和b只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：

A＝{两球颜色相同}，

B＝{两球颜色不同}.

解由题意，基本事件总数为2abA+，有利于A的事件数为2

2a

bAA+，有利于B的事件数为111111

2a

bbaabAAAAAA+=,则2

2

11

2

22()()abababab

AAAA

PAPBAA+++==

7.若10件产品中有件正品，3件次品,

（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.解（1）设A={取得三件次品}则

333333101016

()()120720

或者====

CAPAPACA.（2）设B={取到三个次品},则

33327

()101000

==PA.

8.某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英

语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：

（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；（2）此人只会讲法语的概率.

解设A={此人会讲英语},B={此人会讲日语},C={此人会讲法语}根据题意,可得

(1)32923()()()100100100

=-=

-=PABCPABPABC

(2)()()()PABCPABPABC=-

9.罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：

（1）取到的都是白子的概率；（2）取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（4）取到三颗棋子颜色相同的概率.解

(1)设A={取到的都是白子}则

3831214

()0.25555

===CPAC.

(2)设B={取到两颗白子,一颗黑子}

21

84

312

()0.509==CCPBC.

(3)设C={取三颗子中至少的一颗黑子}()1()0.745=-=PCPA.(4)设D={取到三颗子颜色相同}

3384

3

12

()0.273+==CCPDC.

10.（1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？

（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？解

(1)设A={至少有一个人生日在7月1日},则(2)设所求的概率为P(B)

11.将C，C，E，E，I，N，S7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概

率p.

解由于两个C，两个E共有2222AA种排法，而基本事件总数为77A，因此有

12.从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.

解要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有?4452C中取法.设A={4只手套都不配对}，则有

13.一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i只零件是不合格的概

率为=+1

1ipi

，i=1，2，3，若以x表示零件中合格品的个数，则P(x=2)为多少？

解设Ai={第i个零件不合格}，i=1,2,3,则1()1iiPApi

==

+

所以()11iiiPApi

=-=

+由于零件制造相互独立，有：

123123()()()()PAAAPAPAPA=，123123()()()()PAAAPAPAPA=

14.假设目标出现在射程之内的概率为，这时射击命中目标的概率为，试求两次独

立射击至少有一次命中目标的概率p.

解设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，Bi={第i次击中目标},i=1,2.

则P(A)=,P(Bi|A)=另外B=B1+B2，由全概率公式另外,由于两次射击是独立的,故

P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=由加法公式

P((B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A)－P(B1B2|A)=+因此P(B)=P(A)P((B1+B2)|A)=×=

15.设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为，有1，2，3，4

件次品的概率分别为,,,，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.

解设Ai={一批产品中有i件次品}，i=0,1,2,3,4,B={任取10件检查出一件次品},

C={产品中次品不超两件},由题意

由于A

0,A

1

,A

2

,A

3

,A

4

构成了一个完备的事件组,由全概率公式

由Bayes公式

故

16.由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别

为，，，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.

解设B={三件都是好的}，A

1={损坏2%},A

2

={损坏10%},A

1

={损坏90%}，则A

1

,A

2

,

A3是两两互斥,且A

1

+A

2

+A

3

=Ω,P(A

1

)=,P(A

2

)=,P(A

2

)=.

因此有P(B|A

1

)=,P(B|A

2

)=,P(B|A

3

)=,

由全概率公式

由Bayes公式,这批货物的损坏率为2%,10%,90%的概率分别为

由于P(A

1

|B)远大于P(A

3

|B),P(A

2

|B),因此可以认为这批货物的损坏率为.

17.验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残

次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：

（1）一次通过验收的概率α；

（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β.解设Hi={箱中实际有的次品数},0,1,2=i,A={通过验收}则P(H0)=,P(H1)=,P(H2)=,那么有：(1)由全概率公式(2)由Bayes公式得

18.一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被

使用的概率为，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？

解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的,因此本题可以看作是5重伯努利试验.由题意，有p=,q=1?p=,故

(1)223

155(2)(0.1)(0.9)

0.0729

===PPC

(2)2555(3)(4)(5)

PPPP=++

第二章随机变量及其分布

1.有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X的分律.

解X的分布率如下表所示：

2.进行某种试验，设试验成功的概率为

34，失败的概率为1

4

，以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

解X的分布律为：X取偶数的概率：

3.从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数123,,xxx.求：

4.X＝max(123,,xxx)的分布律及P(X≤4)；

5.Y＝min(123,,xxx)的分布律及P(Y>3).

解基本事件总数为：3510C，

(1)X的分布律

为：P(X≤

4)=P(3)+P(4)=(2)Y的分布律

为

P(X>3)=0函数f(k)=!k

Ckλ，k＝1，2，…，λ>0

6.C应取何值，成为分布

律？

解由题意,1

()1kfx∞

==∑,即

解得：1

(1)

Ceλ=

-7.已知X

的分布律

X－1

1

2

P16

26

36

求：（1）X的分布函数；（2）12PX???

；（3）312

PX??

?

.解(1)X的分布函数为()()kk

xx

FxPXxp≤=≤=∑

0,11/6,11()1/2,121,

2

xxFxxx=?

≤(2)11(1)26PXPX?

??

(3)31()02PXP?

??

8.设某运动员投篮投中的概率为P＝，求一次投篮时投中次数X的分布函数，并作出其图形.

解X的分布函数

9.对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求：

10.（1）三次射击中恰好命中两次的概率；

11.（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？

解设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则(1)P(A)=2232233(2)(1)3(1)PCpppp-=-=-

(2)P(B)=22323333233333(2)(3)(1)(1)32PPCppCpppp--+=-+-=-

12.一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：

13.（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；

14.（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率.

解

(1)P(X=6)=

6

4

40.104!6!

keekλλ--==或者

P(X=6)=

!k

e

kλ

λ-44

6744!!

kkkkeekk∞

∞--===-∑∑=–=.(2)P(X≤10)10

44

01144110.00284

!!

kkkkeekk∞--====-=-∑∑=

15.设随机变量X服从泊松分布，且P(X＝1)＝P(X＝2)，求P(X＝4)

解由已知可得，12

,1!2!

eeλλ

λλ--=

解得λ=2，(λ=0不合题意)

42

2,(4)4!

PXe-==因此=

16.商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率.

解设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X服从参数为n=1000,p=的二项分布，即X~B(1000,,由于n比较大，p比较小，np=3,因此可以用泊松分布来近似,即X~π(3).因此

(1)P(X=2)23

30.2242!

e-==

(2)32

3(2)1(2)110.80080.1992!

kkPXPXek∞

-=(3)3

33(2)(2)0.5768!

kkPXPXek∞

-=>=>==∑

(4)3

13(1)0.9502!

kkPXek∞

-=≥==∑

17.设连续型随机变量X的分布函数为

18.

2

0,0(),011,1

xFxkxxx?

19.求：（1）系数k；（2）PF(x)=P(X≤x)=P(X

因此k=1.(2)PP{

四次独立

试验中有三次在,内}=

33

43

4

0.5(10.5)

0.25C--=.

20.设连续型随机变量X的密度函数为

求：（1）系数k；（2）12

PX???

；（3）X的分布函数.解(1)由题意，

()1fxdx+∞

-∞

=?

,因此

(2)

1/21/1/21111

arcsin1/22663

kPxxππππ--?

???

=??-?????(3)X的分布函数

21.某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z表示每天的耗电率(即用电量除以100万千瓦时)，它具有分布密度为

若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多

少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的？解如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：

P(Z>80/100)=P(Z>=1

20.8

12(1)0.0272xxdx-=?如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：

P(Z>90/100)=P(Z>=1

20.9

12(1)0.0037xxdx-=?22.某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位小时)都服从同一指数分布，分布密度为

试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率.

解设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设A={X≤200}，则

P(A)=1200

600

3

1

1600

xedxe-

-

=-?

设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为：23.设X为正态随机变量，且X～N(2，2σ)，又P(2即20.30.50.8σ??

Φ=+=???

故20222(0)10.2XPXPσ

σσσ---??????

24.设随机变量X服从正态分布N(10，4)，求a，使P(|X－10|解由于()()10|10|102

2

2aXaPXaPaXaP--??-???

所以0.952a??

Φ=???

查表可得，

2

a

=即a=

25.设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N，，规定X在范围±厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率.解由题意，设P为合格的概率，则

则不合格的概率=1?P=

26.设随机变量X服从正态分布N(60，9)，求分点x1，x2，使X分别落在(－∞，x1)、(x1，x2)、(x2，+∞)的概率之比为3:4:5.解由题，查表可得解得,x1=

查表可得

解得,x2=.

27.已知测量误差X（米）服从正态分布N,102)，必须进行多少次测量才能使

至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于？

解设一次测量的误差不超过10米的概率为p,则由题可知

设Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n,

于是P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?n≥

≤,n≥ln/ln

解得：n≥

取n=5,即，需要进行5次测量.

28.设随机变量X的分布列为

X－2023

P17173727

试求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列.

解(1)2X的分布列如下

x2的分布列

29.设X服从N(