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文档简介
八年级上册一次函数精讲精练【知识点梳理】1、变量与常量:(1)变量和常量的定义:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量.(2)方法:①常量与变量必须存在于同一个变化过程中,判断一个量是常量还是变量,需要看两个方面:一是它是否在一个变化过程中;二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化;②常量和变量是相对于变化过程而言的.可以互相转化;③不要认为字母就是变量,例如π是常量.2、函数的有关概念:(1)函数的定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.说明:对于函数概念的理解:①有两个变量;②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;③对于自变量的每一个确定的值,函数值有且只有一个值与之对应,即单对应.(2)用来表示函数关系的等式叫做函数解析式,也称为函数关系式.注意:①函数解析式是等式.②函数解析式中,通常等式的右边的式子中的变量是自变量,等式左边的那个字母表示自变量的函数.(3)自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.①当表达式的分母不含有自变量时,自变量取全体实数.②当表达式的分母中含有自变量时,自变量取值要使分母不为零.③当函数的表达式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.④对于实际问题中的函数关系式,自变量的取值除必须使表达式有意义外,还要保证实际问题有意义.(4)函数值是指自变量在取值范围内取某个值时,函数与之对应唯一确定的值.注意:①当已知函数解析式时,求函数值就是求代数式的值;当已知函数解析式,给出函数值时,求相应的自变量的值就是解方程;②当自变量确定时,函数值是唯一确定的.但当函数值唯一确定时,对应的自变量可以是多个.(5)函数的图象定义对于一个函数,如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.注意:①函数图形上的任意点(x,y)都满足其函数的解析式;②满足解析式的任意一对x、y的值,所对应的点一定在函数图象上;③判断点P(x,y)是否在函数图象上的方法是:将点P(x,y)的x、y的值代入函数的解析式,若能满足函数的解析式,这个点就在函数的图象上;如果不满足函数的解析式,这个点就不在函数的图象上.(6)函数的三种表示方法:列表法、解析式法、图象法.其特点分别是:列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系,在实际生活中应用非常广泛;解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律,根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值,反之亦然;图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律.注意:①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质;②它们之间可以互相转化.3、一次函数与正比例函数(1)一次函数的定义:一般地,形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数,叫做一次函数.一次函数的定义可知:函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的形式.一次函数解析式的结构特征:k≠0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数.(2)正比例函数的定义:一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.注意:正比例函数的定义是从解析式的角度出发的,注意定义中对比例系数的要求:k是常数,k≠0,k是正数也可以是负数.4、一次函数的图象与性质:(1)正比例函数图象的性质正比例函数y=kx(k是常数,k≠0),我们通常称之为直线y=kx.当k>0时,直线y=kx依次经过第三、一象限,从左向右上升,y随x的增大而增大;当k<0时,直线y=kx依次经过第二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小.(2)一次函数的性质:k>0,y随x的增大而增大,函数从左到右上升;k<0,y随x的增大而减小,函数从左到右下降.由于y=kx+b与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,(0,b)在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴.(3)一次函数的图象:由于y=kx+b与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,(0,b)在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴.①k>0,b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限;②k>0,b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限;③k<0,b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限;④k<0,b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限.一次函数的应用:(1)、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符合实际.(2)、函数的多变量问题解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.(3)、概括整合(1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用.(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键.【典例剖析】【考点1】函数的概念【例1】(2020春•崇川区校级期中)在下列各图象中,y是x的函数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式1.1】((2020春•荥阳市期中)如图是1月15号至2月2号,全国(除湖北省)新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线,则下列说法错误的是()A.1月23号,新增确诊人数约为150人 B.1月25号和1月26号,新增确诊人数基本相同 C.1月30号之后,预测新增确诊人数呈下降趋势 D.自变量为时间,因变量为确诊总人数【变式1.2】(2020•雨花区校级一模)下列图象中,y不是x的函数的是()A. B. C. D.【变式1.3】(2018春•如皋市期末)下列的曲线中,表示y是x的函数的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【考点2】函数的自变量【例2】(2020春•海安市期末)函数y=12−3x中,自变量A.x<23 B.x≤−23 C.x≤【变式2.1】(2020•无锡)函数y=2+3x−1中自变量xA.x≥2 B.x≥13 C.x≤13【变式2.2】(2020秋•北碚区校级月考)函数y=5−xx−3自变量A.x≠3 B.x≤5 C.x≤5且x≠3 D.x<5且x≠3【考点3】函数的表示方法【例3】(2020春•定兴县期末)如表是变量x与y之间关系的一组数据,则y与x之间的表达式可以写成()x1234…y251017…A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=2x﹣1 D.y=x2+1【变式3.1】(2019春•沙河市期末)在某次实验中,测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表m1234v2.014.910.0317.1则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的()A.v=2m B.v=m2+1 C.v=3m﹣1 D.v=3m+1【变式3.2】(2016春•乐亭县期末)李大爷要围成一个矩形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米.要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD.设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的函数关系式是()A.y=−12x+12 B.y=﹣2x+24 C.y=2x﹣24 D.y=1【考点4】函数值【例4】(2020秋•巴南区期中)根据如图所示的计算程序,若输入x=﹣2,则输出结果y的值为()A.﹣3 B.3 C.﹣7 D.7【变式4.1】(2019•邗江区校级一模)有下列四个函数:①y=x;②y=﹣x﹣5;③y=4x;④y=x2+4x﹣1.当自变量满足﹣4≤x≤﹣1时,函数值满足﹣4≤yA.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④【变式4.2】(2019•广饶县一模)根据图所示的程序计算变量y的值,若输入自变量x的值为32A.72 B.94 C.12【考点5】一次函数的定义【例5】(2020秋•高新区校级月考)函数①y=πx;②y=2x﹣1;③y=2x,④y=x2﹣1中,y是A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式5.1】(2020秋•沙坪坝区校级月考)若函数y=﹣2x+m﹣3是y关于x的正比例函数,则m的值为()A.﹣3 B.1 C.2 D.3【变式5.2】(2020•阳谷县校级模拟)若y=(m﹣1)x2﹣|m|+3是关于x的一次函数,则m的值为()A.1 B.﹣1 C.±1 D.±2【变式5.3】.(2019秋•武进区校级月考)下列函数:(1)﹣y=x;(2)y=2x+1;(3)y=1x;(4)y=x+12−x;(5)s=12t;(6)y=30A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【考点6】一次函数的性质【例6】(2020春•洪山区月考)在平面直角坐标系中,函数y=|x﹣a|(其中a为常量),当自变量﹣3≤x≤1时,它的最小值为a+4,则满足条件的a的值为()A.−17 B.−27 C.−7【变式6.1】(2020•姜堰区二模)已知一次函数y=kx+b,当x的值每减小0.5时,y的值就增加2,则k的值是()A.﹣8 B.﹣4 C.﹣2 D.﹣1【变式6.2】(2020春•崇川区校级期末)P1(x1,y1),P2(x2,y2)是一次函数y=5x﹣3图象上的两点,则下列判断正确的是()A.y1>y2 B.y1<y2 C.当x1<x2时,y1>y2 D.当x1<x2时,y1<y2【变式6.3】(2019秋•裕安区期末)若一次函数y=(k﹣3)x﹣1的图象不经过第一象限,则()A.k<3 B.k>3 C.k>0 D.k<0【考点7】一次函数的图象【例7】(2020•南京一模)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则y=﹣2kx﹣b的图象可能是()A. B. C. D.【变式7.1】(2020秋•荥阳市期中)在同一直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与y=﹣bx+k(b≠0)的大致图象可以是()A. B. C. D.【变式7.2】(2019秋•金湖县期末)已知一次函数y=kx+b,函数值y随自变量x的增大而减小,且kb<0,则函数y=kx+b的图象大致是()A. B. C. D.【考点8】一次函数与二元一次方程【例8】(2020春•复兴区期末)已知二元一次方程组x−y=−5,x+2y=−2的解为x=−4,y=1,则在同一平面直角坐标系中,两函数y=x+5与y=−1A.(﹣4,1) B.(1,﹣4) C.(4,﹣1) D.(﹣1,4)【变式8.1】(2019秋•鼓楼区期末)如图,直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组()的解.A.x−2y=−22x−y=2 B.y=−x+1C.x−2y=−12x−y=−2 D.【变式8.2】(2019•衢州一模)已知一次函数y1=2x+m与y2=2x+n(m≠n)的图象如图所示,则关于x与y的二元一次方程组2x−y=−m2x−y=−nA.0个 B.1个 C.2个 D.无数个【变式8.3】(2018秋•达川区期末)在直角坐标系中,若一点的纵横坐标都是整数,则称该点为整点.设k为整数,当直线y=x﹣2与y=kx+k的交点为整点时,k的值可以取()A.4个 B.5个 C.6个 D.7个【考点9】一次函数与不等式【例9】(2020春•海淀区校级期末)如图,一次函数y=kx+b的图象经过点(4,﹣3),则关于x的不等式kx+b<﹣3的解集为()A.x<3 B.x>3 C.x<4 D.x>4【变式9.1】(2020•如皋市二模)如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象过点A(0,﹣1),B(1,1),则不等式kx+b>1的解集为()A.x>0 B.x<0 C.x>1 D.x<1【变式9.2】(2020•梁溪区校级二模)若函数y=kx﹣b的图象如图所示,则关于x的不等式k(x﹣1)﹣b>0的解集为.【变式9.3】(2020•南京二模)已知一次函数y1=x+2与y2=﹣x+b(b为常数),当x<1时,y1<y2.则b的取值范围是.【考点10】一次函数的应用:图象问题【例10】(2020春•海安市月考)一辆货车从A地去B地,一辆轿车从B地去A地,同时出发,匀速行驶,各自到达终点后停止,轿车的速度大于货车的速度.两辆车之间的距离为y(km)与货车行驶的时间为x(h)之间的函数关系如图所示.(1)两车行驶多长时间后相遇?(2)轿车和货车的速度分别为,;(3)谁先到达目的地,早到了多长时间?(4)求两车相距160km时货车行驶的时间.【变式10.1】(2020春•海安市月考)一辆货车从A地去B地,一辆轿车从B地去A地,同时出发,匀速行驶,各自到达终点后停止,轿车的速度大于货车的速度.两辆车之间的距离为y(km)与货车行驶的时间为x(h)之间的函数关系如图所示.(1)两车行驶多长时间后相遇?(2)轿车和货车的速度分别为100km/h,80km/h;(3)谁先到达目的地,早到了多长时间?(4)求两车相距160km时货车行驶的时间.【变式10.2】(2020•南京二模)某观光湖风景区,一观光轮与一巡逻艇同时从甲码头出发驶往乙码头,巡逻艇匀速往返于甲、乙两个码头之间,当观光轮到达乙码头时,巡逻艇也同时到达乙码头.设出发xh后,观光轮、巡逻艇离甲码头的距离分别为y1km、y2km.图中的线段OG、折线OABCDEFG分别表示y1、y2与x之间的函数关系.(1)观光轮的速度是km/h,巡逻艇的速度是km/h;(2)求整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离;(3)求整个过程中观光轮与巡逻艇相遇的最短时间间隔.【变式10.3】(2020•铜山区二模)已知A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车之间的距离y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示.(1)乙车的速度为千米/时;(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式;(3)当甲车到达距B地90千米处时,求甲、乙两车之间的路程.【考点11】一次函数的应用:销售问题【例11】(2020春•建邺区期末)某经销商经销的冰箱二月份每台的售价比一月份每台的售价少500元,已知一月份卖出20台冰箱,二月份卖出25台冰箱,二月份的销售额比一月份多1万元.(1)一、二月份冰箱每台售价各为多少元?(2)为了提高利润,该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售,已知洗衣机每台进价为4000元,冰箱每台进价为3500元,预计不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台,设冰箱为y台(y≤12),请问有几种进货方案?(3)三月份为了促销,该经销商决定在二月份售价的基础上,每售出一台冰箱再返还顾客现金a元,而洗衣机按每台4400元销售,在这种情况下,若(2)中各方案获得的利润相同,则a=100.(直接写出结果)【变式11.1】(2020•滨湖区模拟)由于新冠疫情,市场上防护口罩出现热销,某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的医用口罩20万只,且所有产品当月全部售出,原料成本、销售单价及工人生产提成如表:型号价格(元/只)种类甲乙原料成本128销售单价1812生产提成10.8(1)若该公司五月份的销售收入为300万元,求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只?(2)公司实行计件工资制,即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成,如果公司六月份投入总成本(原料总成本+生产提成总额)不超过239万元,应怎样安排甲、乙两种型号的产量,可使该月公司所获利润最大?并求出最大利润.(利润=销售收入﹣投入总成本)【变式11.2】(2020•苏州)某商店代理销售一种水果,六月份的销售利润y(元)与销售量x(kg)之间函数关系的图象如图中折线所示.请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息,解答下列问题:(1)截止到6月9日,该商店销售这种水果一共获利多少元?(2)求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式.日期销售记录6月1日库存600kg,成本价8元/kg,售价10元/kg(除了促销降价,其他时间售价保持不变).6月9日从6月1日至今,一共售出200kg.6月10、11日这两天以成本价促销,之后售价恢复到10元/kg.6月12日补充进货200kg,成本价8.5元/kg.6月30日800kg水果全部售完,一共获利1200元.【变式11.3】(2020•鼓楼区一模)某工厂生产A、B、C三种产品,这三种产品的生产数量均为x件.它们的单件成本和固定成本如表:产品单件成本(元/件)固定成本(元)A0.11100B0.8aCb(b>0)200(注:总成本=单件成本×生产数量+固定成本)(1)若产品A的总成本为yA,则yA关于x的函数表达式为.(2)当x=1000时,产品A、B的总成本相同.①求a;②当x≤2000时,产品C的总成本最低,求b的取值范围.【考点12】一次函数的综合问题【例12】(2020春•龙岗区校级期末)如图,已知点A(﹣3,2),过点A作AD⊥x轴于点D,点B是x轴正半轴上的一个动点,连接AB,以AB为斜边在AB的上方构造等腰Rt△ABC,连接DC.(1)当B的坐标为(4,0)时,点C的坐标是;(2)当点B在x轴正半轴上运动的时候,点C是否在一直线上运动,如果是,请求出点C所在直线的解析式;如果不是,请说明理由;(3)在B点的运动过程中,猜想DC与DB有怎样的数量关系,并证明你的结论.【变式12.1】(2020春•兴化市期中)如图1,矩形的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(6,8).D是AB边上一点(不与点A、B重合),将△BCD沿直线CD翻折,使点B落在点E处.(1)求直线AC所表示的函数的表达式;(2)如图2,当点E恰好落在矩形的对角线AC上时,求点D的坐标;(3)如图3,当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时,求△OEA的面积.【变式12.2】(2020春•姜堰区期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=34x+3分别交x轴,y轴于A、B两点,点A关于原点O的对称点为点D,点C(1)在图①中,画出平行四边形ABCD,并直接写出C、D两点的坐标;(2)动点P从点C出发,沿线段CB以每秒1个单位的速度向终点B运动;同时,动点Q从点A出发,沿线段AD以每秒1个单位的速度向终点D运动,设点P运动的时间为t秒.①若△POQ的面积为3,求t的值;②点O关于B点的对称点为M,点C关于x轴的对称点为N,过点P作PH⊥x轴,问MP+PH+NH是否有最小值,如果有,求出相应的点P的坐标;如果没有,请说明理由.【变式12.3】(2019秋•邗江区期末)如图所示,已知点M(1,4),N(5,2),P(0,3),Q(3,0),过P,Q两点的直线的函数表达式为y=﹣x+3,动点P从现在的位置出发,沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动,设移动时间为ts.(1)若直线PQ随点P向上平移,则:①当t=3时,求直线PQ的函数表达式.②当点M,N位于直线PQ的异侧时,确定t的取值范围.(2)当点P移动到某一位置时,△PMN的周长最小,试确定t的值.(3)若点P向上移动,点Q不动.若过点P,Q的直线经过点A(x0,y0),则x0,y0需满足什么条件?请直接写出结论.参考答案【考点1】函数的概念【例1】【分析】利用函数定义进行解答即可.【解析】第一个、第二个、第三个图象y都是x的函数,第四个不是,共3个,故选:C.【变式1.1】【分析】依据全国(除湖北省)新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线中的数据,即可得出结论.【解析】A.1月23号,新增确诊人数约为150人,故本选项正确;B.1月25号和1月26号,新增确诊人数基本相同,故本选项正确;C.1月30号之后,预测新增确诊人数呈下降趋势,故本选项正确;D.自变量为时间,因变量为新增确诊人数,故本选项错误;故选:D.【变式1.2】【分析】函数的定义:在某变化过程中,有两个变量x、y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照对应法则,y都有唯一确定的值和它对应,则x叫自变量,y是x的函数.根据定义再结合图象观察就可以得出结论.【解析】根据函数定义,如果在某变化过程中,有两个变量x、y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照对应法则,y都有唯一确定的值和它对应.而B中的y的值不具有唯一性,所以不是函数图象.故选:B.【变式1.3】【分析】根据函数的意义即可求出答案.【解析】根据函数的意义可知:对于自变量x的任何值,y都有唯一的值与之相对应,所以表示y是x的函数的是第1、2、4这3个,故选:C.【考点2】函数的自变量【例2】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0,可知:2﹣3x>0,解得x的范围.【解析】根据题意得:2﹣3x>0,解得:x<2故选:A.【变式2.1】【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列不等式求解即可.【解析】由题意得,3x﹣1≥0,解得,x≥1故选:B.【变式2.2】【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式,解不等式得到答案.【解析】由题意得,5﹣x≥0,x﹣3≠0,解得,x≤5且x≠3,故选:C.【考点3】函数的表示方法【例3】【分析】根据图表,观察发现y与x之间的表达式是二次函数关系式,根据待定系数法可求y与x之间的表达式.【解析】设y与x之间的表达式为y=ax2+bx+c,依题意有a+b+c=24a+2b+c=5解得a=1b=0故y与x之间的表达式可以写成y=x2+1.故选:D.【变式3.1】【分析】观察这几组数据,找到其中的规律,然后再答案中找出与之相近的关系式.【解析】有四组数据可找出规律,2.01﹣1=1.01,接近12;4.9﹣1=3.9,接近22;10.03﹣1=9.03,接近32;17.1﹣1=16.1,接近42;故m与v之间的关系最接近于v=m2+1.故选:B.【变式3.2】【分析】根据题意可得2y+x=24,继而可得出y与x之间的函数关系式.【解析】由题意得:2y+x=24,故可得:y=−12x+12(0<故选:A.【考点4】函数值【例4】【分析】把x=﹣2时,代入y=2x2﹣1=7,即可判断.【解析】x=﹣2时,y=2x2﹣1=7,故选:D.【变式4.1】【分析】根据一次函数的增减性,反比例函数的增减性以及二次函数的增减性分别作出判断即可得解.【解析】①y=x,x=﹣4时y取最小值﹣4,x=﹣1时,y取最大值﹣1,符合,②y=﹣x﹣5,x=﹣4时y取最大值﹣1,x=﹣1时y取最小值﹣4,符合,③y=4x,x=﹣4时y取最大值﹣1,x=﹣1时y取最小值④y=x2+4x﹣1=(x+2)2﹣5,对称轴是x=﹣2,x=﹣4时,y取最大值﹣1,x=﹣2时y取最小值﹣5,x=﹣1时y=﹣4,不是最小值,不符合.综上所述,符合条件的函数有①②③共3个.故选:B.【变式4.2】【分析】根据输入的数所处的范围,应将x=32代入y=﹣x+2,即可求得【解析】∵x=∴1<x≤2则将x=32,代入y=﹣得:y=−32+故选:C.【考点5】一次函数的定义【例5】【分析】利用一次函数定义进行解答即可.【解析】①y=πx;②y=2x﹣1是一次函数;③y=2④y=x2﹣1是二次函数,不是一次函数,因此一次函数共2个,故选:B.【变式5.1】【分析】根据正比例函数定义可得m﹣3=0,再解即可.【解析】由题意得:m﹣3=0,解得:m=3,故选:D.【变式5.2】【分析】由一次函数的定义得关于m的方程,解出方程即可.【解析】∵函数y=(m﹣1)x2﹣|m|+3是关于x的一次函数,∴2﹣|m|=1,m﹣1≠0.解得:m=﹣1.故选:B.【变式5.3】【分析】一般地,形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数,叫做一次函数.【解析】由题可得,是一次函数的有:(1)﹣y=x;(2)y=2x+1;(4)y=x+12−x;(5)s=12t;(6)y=30﹣故选:D.【考点6】一次函数的性质【例6】【分析】根据题意和一次函数的性质,利用分类讨论的方法可以求得a的值.【解析】∵函数y=|x﹣a|(其中a为常量),当自变量﹣3≤x≤1时,它的最小值为a+4,∴当a>1时,x=1取得最小值,此时a﹣1=a+4,化简得﹣1=4不成立;当﹣3≤a≤1时,x=a时取得最小值0,0=a+4,解得a=﹣4,此种情况不成立;当a<﹣3时,x=﹣3时取得最小值,此﹣3﹣a=a+4,解得a=−7故选:C.【变式6.1】【分析】根据一次函数y=kx+b,当x的值每减小0.5时,y的值就增加2,可以计算出k的值,从而可以解答本题.【解析】设x=a时,y=ak+b,则当x=a﹣0.5时,y+2=(a﹣0.5)k+b,故2=﹣0.5k,解得,k=﹣4,故选:B.【变式6.2】【分析】由k=5>0,利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大,进而可得出当x1<x2时y1<y2.【解析】∵k=5>0,∴y随x的增大而增大,∴当x1<x2时,y1<y2.故选:D.【变式6.3】【分析】根据一次函数的性质得k﹣3<0,然后解不等式即可.【解析】∵一次函数y=(k﹣3)x﹣1的图象不经过第一象限,∴k﹣3<0,解得k<3.故选:A.【考点7】一次函数的图象【例7】【分析】根据一次函数图象可以确定k、b的符号,根据k、b的符号来判定函数y=﹣2kx﹣b的图象所在的象限.【解析】∵一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限,∴k<0,b<0.∴函数y=﹣2k﹣b的图象经过第一、二、三象限.∵因为|k|<|﹣2k|,所以一次函数y=kx+b的图象比y=﹣2kx﹣b的图象的倾斜度小,综上所述,符合条件的图象是C选项.故选:C.【变式7.1】【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的图象,可以判断哪个选项中的图象符合题意,从而可以解答本题.【解析】当k>0,b>0时,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过第一、二、三象限,y=﹣bx+k(b≠0)的图象经过第一、二、四象限,故选项B、D不符合题意;当k>0,b<0时,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过第一、三、四象限,y=﹣bx+k(b≠0)的图象经过第一、二、三象限,故选项A不符合题意;当k<0,b<0时,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过第二、三、四象限,y=﹣bx+k(b≠0)的图象经过第一、三、四象限,故选项C符合题意;故选:C.【变式7.2】【分析】根据一次函数的性质得到k<0,而kb<0,则b>0,所以一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限,与y轴的交点在x轴上方.【解析】∵一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,∴k<0,∴一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限;∵kb<0,∴b>0,∴图象与y轴的交点在x轴上方,∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限.故选:A.【考点8】一次函数与二元一次方程【例8】【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可.【解析】∵二元一次方程组x−y=−5,x+2y=−2的解为x=−4,∴在同一平面直角坐标系中,两函数y=x+5与y=−12x﹣1的图象的交点坐标为(故选:A.【变式8.1】【分析】首先利用待定系数法求出l1、l2的解析式,然后可得方程组.【解析】设l1的解析式为y=kx+b,∵图象经过的点(1,0),(0,﹣2),∴b=−20=k+b解得:b=−2k=2∴l1的解析式为y=2x﹣2,可变形为2x﹣y=2,设l2的解析式为y=mx+n,∵图象经过的点(﹣2,0),(0,1),∴n=10=−2m+n解得:n=1m=∴l2的解析式为y=12可变形为x﹣2y=﹣2,∴直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组x−2y=−22x−y=2故选:A.【变式8.2】【分析】由图象可知,一次函数y1=2x+m与y2=2x+n(m≠n)是两条互相平行的直线,所以关于x与y的二元一次方程组2x−y=−m2x−y=−n【解析】∵一次函数y1=2x+m与y2=2x+n(m≠n)是两条互相平行的直线,∴关于x与y的二元一次方程组2x−y=−m2x−y=−n故选:A.【变式8.3】【分析】让这两条直线的解析式组成方程组,求得整数解即可.【解析】①当k=0时,y=kx+k=0,即为x轴,则直线y=x﹣2和x轴的交点为(2,0)满足题意,∴k=0②当k≠0时,y=x−2y=kx+k∴x﹣2=kx+k,∴(k﹣1)x=﹣(k+2),∵k,x都是整数,k≠1,k≠0,∴x=−(k+2)k−1=−∴k﹣1=±1或±3,∴k=2或k=4或k=﹣2;综上,k=0或k=2或k=4或k=﹣2.故k共有四种取值.故选:A.【考点9】一次函数与不等式【例9】【分析】由一次函数y=kx+b的图象经过(4,﹣3),以及y随x的增大而减小,可得关于x的不等式kx+b<﹣3的解集.【解析】∵一次函数y=kx+b的图象经过(4,﹣3),∴x=4时,kx+b=﹣3,又y随x的增大而减小,∴关于x的不等式kx+b<﹣3的解集是x>4.故选:D.【变式9.1】【分析】利用图象得出答案即可.【解析】如图所示:不等式kx+b>1的解集为:x>1.故选:C.【变式9.2】【分析】先把(3,0)代入y=kx﹣b得b=3k,则不等式化为k(x﹣1)﹣3k>0,然后在k<0的情况下解不等式即可.【解析】把(3,0)代入y=kx+b得3k﹣b=0,则b=3k,所以k(x﹣1)﹣b>0化为k(x﹣1)﹣3k>0,即kx﹣4k>0,因为k<0,所以x<4,故答案为:x<4.【变式9.3】【分析】先解方程组y1=x+2y2=−x+b得两函数图象的交点坐标为(b−22,【解析】解方程组y1=x+2y∴两函数图象的交点坐标为(b−22,b+2∵当x<1时,y1<y2,∴b−22∴b≥4.故答案为b≥4.【考点10】一次函数的应用:图象问题【例10】【分析】(1)根据函数图象中的数据,可以直接写出两车行驶多长时间后相遇;(2)根据函数图象中的数据,可以计算出轿车和货车的速度;(3)根据函数图象和题意,可以得到谁先到达目的地,早到了多长时间;(4)根据函数图象中的数据和(2)中的结果,可以计算出两车相距160km时货车行驶的时间.【解析】(1)由图象可得,两车行驶1小时后相遇;(2)由图象可得,轿车的速度为:180÷1.8=100(km/h),货车的速度为:180÷1﹣100=80(km/h),故答案为:100km/h,80km/h;(3)由题意可得,轿车先到达目的地,180÷80﹣1.8=2.25﹣1.8=0.45(小时),即轿车先到达目的地,早到了0.45小时;(4)设两车相距160km时货车行驶的时间为a小时,相遇前:180﹣160=(100+80)a,解得a=1相遇后,80a=160,解得a=2,由上可得,两车相距160km时货车行驶的时间是19【变式10.1】【分析】(1)根据函数图象中的数据,可以直接写出两车行驶多长时间后相遇;(2)根据函数图象中的数据,可以计算出轿车和货车的速度;(3)根据函数图象和题意,可以得到谁先到达目的地,早到了多长时间;(4)根据函数图象中的数据和(2)中的结果,可以计算出两车相距160km时货车行驶的时间.【解析】(1)由图象可得,两车行驶1小时后相遇;(2)由图象可得,轿车的速度为:180÷1.8=100(km/h),货车的速度为:180÷1﹣100=80(km/h),故答案为:100km/h,80km/h;(3)由题意可得,轿车先到达目的地,180÷80﹣1.8=2.25﹣1.8=0.45(小时),即轿车先到达目的地,早到了0.45小时;(4)设两车相距160km时货车行驶的时间为a小时,相遇前:180﹣160=(100+80)a,解得a=1相遇后,80a=160,解得a=2,由上可得,两车相距160km时货车行驶的时间是19【变式10.2】【分析】(1)根据图象可知从甲码头到乙码头的距离为32千米,观光轮行驶2小时路程为32千米,据此即可求出其速度;根据巡逻艇往返次数即可求出巡逻艇的速度;(2)根据(1)的结论列式计算即可求解;(3)由图象可知,当y1=yBC时,观光轮与巡逻艇相遇的间隔时间最短,利用待定系数法求出线段BC的解析式,再结合y1的解析式列方程解答即可.【解析】(1)观光轮的速度为:32÷2=16(km/h),巡逻艇的速度为:(32×7)÷2=112(km/h);故答案为:16;112;(2)整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离:32﹣16×32112=(3)由题意可得:16x+112x=32×2,解得x=132×2112=47,32×3112=67,即点设线段BC所表示的函数表达式为yBC=kx+b,则47k+b=06∴yBC=112x﹣64,易知y1=16x,当y1=yBC时,112x﹣64=16x,解得x=23,答:最短时间间隔为16h【变式10.3】【分析】(1)根据题意和函数图象中的数据,可以求得乙车的速度;(2)根据图象中的数据,可以计算出a、b的值和当x=a对应的y的值,然后即可求得甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式;(3)根据题意和(2)中的函数解析式,可以得到当甲车到达距B地90千米处时,甲、乙两车之间的路程.【解析】(1)由图可得,乙车的速度为:270÷2﹣60=75(千米/时),故答案为:75;(2)a=270÷75=3.6,故当a=3.6时,两车之间的距离为:60×3.6=216(千米),b=270÷60=4.5,当2<x≤3.6时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,2k+b=03.6k+b=216解得,k=135b=−270即当2<x≤3.6时,y与x之间的函数关系式为y=135x﹣270;当3.6<x≤4.5时,设y与x之间的函数关系式为y=mx+n,3.6m+n=2164.5m+n=270解得,m=60n=0即当3.6<x≤4.5时,y与x之间的函数关系式为y=60x;由上可得,甲、乙两车相遇后,y与x之间的函数关系式为y=135x−270(3)∵甲车到达距B地90千米处时,x=270−90∴将x=3代入y=135x﹣270,得y=135×3﹣270=135,即当甲车到达距B地90千米处时,甲、乙两车之间的路程是135千米.【考点11】一次函数的应用:销售问题【例11】【分析】(1)根据题意,可以列出相应的一元一次方程,从而可以求得一、二月份冰箱每台售价各为多少元;(2)根据题意,可以得到相应的不等式,从而可以得到y的取值范围,进而得到相应的进货方案;(3)根据题意和(2)中的结果,可以得到利润与y的函数关系,再根据(2)中各方案获得的利润相同,从而可以得到a的值.【解析】(1)设一月份冰箱每台售价x元,则二月份冰箱每台售价(x﹣500)元,25(x﹣500)﹣20x=10000,解得,x=4500,∴x﹣500=4000,答:一月份冰箱每台售价4500元,则二月份冰箱每台售价4000元;(2)由题意可得,3500y+4000(20﹣y)≤76000,解得,y≥8,∵y≤12且为整数,∴y=8,9,10,11,12,∴共有五种进货方案;(3)设总获利w元,w=(4000﹣3500﹣a)y+(4400﹣4000)(20﹣y)=(100﹣a)y+8000,∵(2)中各方案获得的利润相同,∴100﹣a=0,解得,a=100,故答案为:100.【变式11.1】【分析】(1)根据题意,可以列出相应的二元一次方程组,从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只;(2)根据题意,可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式,再根据公司六月份投入总成本(原料总成本+生产提成总额)不超过239万元,可以得到生产甲种产品数量的取值范围,然后根据一次函数的性质,即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量,可使该月公司所获利润最大,并求出最大利润.【解析】(1)设甲、乙两种型号的产品分别是a万只,b万只,18a+12b=300a+b=20,解得a=10答:甲、乙两种型号的产品分别是10万只、10万只;(2)设利润为w元,生产甲种产品x万只,则生产乙种产品(20﹣x)万只,w=(18﹣12﹣1)x+(12﹣8﹣0.8)×(20﹣x)=1.8x+64,∵公司六月份投入总成本(原料总成本+生产提成总额)不超过239万元,∴(12+1)x+(8+0.8)×(20﹣x)≤239,解得,x≤15,∵k=1.8,∴w随着x的增大而增大,∴当x=15时,w取得最大值,此时w=91,20﹣x=15,答:当安排生产甲种产品15万只、乙种产品5万只时,可使该月公司所获利润最大,最大利润是91万元.【变式11.2】【分析】(1)由表格信息可知,从6月1日到6月9日,成本价8元/kg,售价10元/kg,一共售出200kg,根据利润=每千克的利润×销售量列式计算即可;(2)设B点坐标为(a,400),根据题意列方程求出点B的坐标,设线段BC所在直线对应的函数表达式为y=kx+b,利用待定系数法解答即可.【解析】(1)200×(10﹣8)=400(元)答:截止到6月9日,该商店销售这种水果一共获利400元;(2)设点B坐标为(a,400),根据题意得:(10﹣8)×(600﹣a)+(10﹣8.5)×200=1200﹣400,解这个方程,得a=350,∴点B坐标为(350,400),设线段BC所在直线对应的函数表达式为y=kx+b,则:350k+b=400800k+b=1200,解得k=∴线段BC所在直线对应的函数表达式为y=16【变式11.3】【分析】(1)根据“总成本=单件成本×生产数量+固定成本”即可得出产品A的总成本为yA,则yA关于x的函数表达式;(2)①根据题意列方程解答即可;②取x=2000时,即可得出b的取值范围.【解析】(1)根据题意得:y=0.1x+1100;故答案为:y=0.1x+1100.(2)①由题意得0.8×1000+a=0.1×1000+1100,解得a=400;②当x=2000时,yC≤yA且yC≤yB,即2000b+200≤2000×0.8+400;2000b+200≤2000×0.1+1100,解得:0<b≤0.55.【考点12】一次函数的综合问题【例12】【分析】(1)证明△CMA≌△BCN(AAS),则AM=CN,MC=NB,可得点B的坐标为(2x+1,0),进而求解;(2)由(1)知,y=x+3,即可求解;(3)由(1)、(2)知,点C、D、B的坐标分别为(x,x+3)、(﹣3,0)、(2x+1,0),则CD=(x+3)2+(x+3)2=2(x+3),而BD=2x【解析】(1)设点C(x,y),点B(m,0),过点C作x轴的平行线交过点B于y轴的平行线于点N,交DA的延长线于点M,∵∠MCA+∠BCN=90°,∠BCN+∠CBN=90°,∴∠MCA=∠CBN,∵∠CMA=∠BNC=90°,AC=BC,∴△CMA≌△BCN(AAS),∴AM=CN,MC=NB,即y﹣2=m﹣x,x+3=y,即y=x+3且m=x+y﹣2=2x+1,即点B的坐标为(2x+1,0),当点B(4,0)时,即m=4,则4=2x+1,解得x=1.5,y=x+3=4.5,故答案为(1.5,4.5);(2)点C在一直线上运动,理由:由(1)知,y=x+3,即点C所在直线的解析式为y=x+3;(3)由(1)、(2)知,点C、D、B的坐标分别为(x,x+3)、(﹣3,0)、(2x+1,0),则CD=(x+3)2而BD=2x+1+3=2x+4,故2CD=2(BD即DC与DB的数量关系是:CD=22(【变式12.1】【分析】(1)利用矩形的性质,求出点A、C的坐标,再用待定系数法即可求解;(2)Rt△AED中,由勾股定理得:
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