（江苏专用）高考数学 滚动检测3 文-人教版高三数学试题

一、填空题1．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的________条件．2．(2015·云南昆明、玉溪统考)下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是________．①f(x)＝x2；②f(x)＝2|x|；③f(x)＝log2eq\f(1,|x|)；④f(x)＝sinx.3．已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f(－eq\f(1,2))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．4．已知函数f(x)＝eq\f(1,lnx＋1－x)，则y＝f(x)的图象大致为________．5．(2015·内江期末)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2ax＋3a，x<1，,lnx，x≥1))的值域为R，那么a的取值范围是________．6．函数f(x)＝ax＋1－2a的区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．7．函数f(x)＝log2(2x)的最小值为________．8．已知α是第四象限角，sin(eq\f(5π,2)＋α)＝eq\f(1,5)，那么tanα＝________.9．已知函数f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为eq\f(π,3)，则f(x)的最小正周期为________．10.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝cos2x的图象，则只要将f(x)的图象向________平移________个单位长度．11．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝eq\f(1,2)x垂直的切线，则实数m的取值范围是________．12．已知角α终边上的一点P(－4,3)，则eq\f(cos\f(π,2)＋αsin－π－α,cos\f(11π,2)－αsin\f(9π,2)＋α)＝________.13．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若eq\o(AE,\s\up6(→))eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，则λ的值为________．14．若△ABC的内角满足sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．二、解答题15．已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6(a∈R)．(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数g(a)＝2－a|a＋3|的值域．16．已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．17．(2015·菏泽期中)已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10.8－\f(1,30)x20<x≤10，,\f(108,x)－\f(1000,3x2)x>10.))(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)18．设函数f(x)＝eq\f(\r(2),2)cos(2x＋eq\f(π,4))＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋eq\f(π,2))＝g(x)，且当x∈[0，eq\f(π,2)]时，g(x)＝eq\f(1,2)－f(x)，求g(x)在区间(－π，0]上的解析式．19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面积．20．(2015·高密检测)已知函数f(x)＝lnx＋ax＋eq\f(a＋1,x)－1.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当－eq\f(1,2)≤a≤0时，讨论f(x)的单调性．答案解析1．充分而不必要2.③3.b<a<c4．②5.[－1，eq\f(1,2))6.(eq\f(1,3)，1)7.－eq\f(1,4)8．－2eq\r(6)9．π解析因为f(x)＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))，所以由f(x)＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))＝1得ωx＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)＋2kπ或ωx＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)＋2mπ(m，k∈Z)，所以由相邻交点距离的最小值为eq\f(π,3)得ωeq\f(π,3)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,6)，ω＝2，T＝eq\f(2π,ω)＝π.10．左eq\f(π,6)解析由图象可知A＝1，T＝4×(eq\f(2π,3)－eq\f(5π,12))＝eq\f(π,4)×4＝π，于是ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)，而图象经过点(eq\f(5π,12)，0)，又|φ|<eq\f(π,2)，因此eq\f(5π,6)＋φ＝π，得φ＝eq\f(π,6)，即f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,6))．又g(x)＝cos2x＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝sin[2(x＋eq\f(π,6))＋eq\f(π,6)]，所以将f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位即可得到g(x)的图象．11．m>212.－eq\f(3,4)13．2解析如图，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)))(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1＋eq\f(1,3λ))eq\o(AB,\s\up6(→))eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))2＝(1＋eq\f(1,3λ))×2×2×cos120°＋eq\f(4,λ)＋eq\f(4,3)＝1，解得λ＝2.14.eq\f(\r(6)－\r(2),4)解析由已知sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC及正弦定理可得a＋eq\r(2)b＝2c.cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\f(a＋\r(2)b,2)2,2ab)＝eq\f(3a2＋2b2－2\r(2)ab,8ab)≥eq\f(2\r(6)ab－2\r(2)ab,8ab)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，当且仅当3a2＝2b2即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),\r(3))时等号成立．15．解(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0，∴2a2－a－3＝0，∴a＝－1或a＝eq\f(3,2).(2)∵对一切x∈R函数值均为非负．∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝8(2a2－a－3)≤0.∴－1≤a≤eq\f(3,2).∴a＋3>0，∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2＝－(a＋eq\f(3,2))2＋eq\f(17,4)(a∈[－1，eq\f(3,2)])．∵二次函数g(a)在[－1，eq\f(3,2)]上单调递减，∴g(eq\f(3,2))≤g(a)≤g(－1)，即－eq\f(19,4)≤g(a)≤4.∴g(a)的值域为[－eq\f(19,4)，4]．16．解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(a,x).(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－eq\f(2,x)(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．17．解(1)当0<x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－eq\f(x3,30)－10；当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－eq\f(1000,3x)－2.7x.∴W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8.1x－\f(x3,30)－100<x≤10，,98－\f(1000,3x)－2.7xx>10.))(2)①当0<x≤10时，令W′＝8.1－eq\f(x2,10)＝0，得x＝9，可知当x∈(0,9)时，W′>0，当x∈(9,10]时，W′<0，∴当x＝9时，W取极大值，即最大值，且Wmax＝8.1×9－eq\f(1,30)×93－10＝38.6.②当x>10时，W＝98－(eq\f(1000,3x)＋2.7x)≤98－2eq\r(\f(1000,3x)·2.7x)＝38，当且仅当eq\f(1000,3x)＝2.7x，即x＝eq\f(100,9)时，W＝38，故当x＝eq\f(100,9)时，W取最大值38(当1000x取整数时，W一定小于38)．综合①②知，当x＝9时，W取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．18．解(1)f(x)＝eq\f(\r(2),2)cos(2x＋eq\f(π,4))＋sin2x＝eq\f(\r(2),2)(cos2xcoseq\f(π,4)－sin2xsineq\f(π,4))＋eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)sin2x.故f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈[0，eq\f(π,2)]时，g(x)＝eq\f(1,2)－f(x)＝eq\f(1,2)sin2x，故①当x∈[－eq\f(π,2)，0]时，x＋eq\f(π,2)∈[0，eq\f(π,2)]，由于对任意x∈R，g(x＋eq\f(π,2))＝g(x)，从而g(x)＝g(x＋eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)sin[2(x＋eq\f(π,2))]＝eq\f(1,2)sin(π＋2x)＝－eq\f(1,2)sin2x.②当x∈(－π，－eq\f(π,2))时，x＋π∈(0，eq\f(π,2))，从而g(x)＝g(x＋π)＝eq\f(1,2)sin[2(x＋π)]＝eq\f(1,2)sin2x.综合①②得g(x)在(－π，0]上的解析式为g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x，x∈－π，－\f(π,2)，,－\f(1,2)sin2x，x∈[－\f(π,2)，0].))19．解(1)由题意得eq\f(1＋cos2A,2)－eq\f(1＋cos2B,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，即eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(1,2)cos2A＝eq\f(\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B，sin(2A－eq\f(π,6))＝sin(2B－eq\f(π,6))．由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得2A－eq\f(π,6)＋2B－eq\f(π,6)＝π，即A＋B＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由c＝eq\r(3)，sinA＝eq\f(4,5)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(8,5).由a<c，得A<C，从而cosA＝eq\f(3,5)，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(4＋3\r(3),10)，所以△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(8\r(3)＋18,25).20．解(1)当a＝1时，f(x)＝lnx＋x＋eq\f(2,x)－1，此时f′(x)＝eq\f(1,x)＋1－eq\f(2,x2)，f′(2)＝eq\f(