专题29等差数列通项与前n项和-2024年数学高频考点重点题型

专题29等差数列通项与前n项和公式核心体系等差数列二、关键能力1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．三、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2022年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大，属中档题型.四、自主梳理 1．等差数列的定义(1)文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．(2)符号语言：an＋1－an＝d(n∈N)．2．等差数列的通项公式（☆☆☆）若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．推广：an＝am＋(n－m)d．3．等差中项（☆☆☆）如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫a和b的等差中项，且有A＝eq\f(a＋b,2)．4．等差数列的前n项和公式(1)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．(2)Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)．5.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即SKIPIF1<0成等差数列.（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．五、高频考点+重点题型考点一、等差数列的基本量例11.（2023·全国新课标Ⅰ卷T20）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求．【答案】(1)(2)注：基本量运算【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.【详解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）为等差数列，，即，，即，解得或，，，又，由等差数列性质知，，即，，即，解得或（舍去）当时，，解得，与矛盾，无解；当时，，解得.综上，.例12.【2022年新高考2卷】已知an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且(1)证明：a1=b1；【答案】(1)证明见解析；(2)9．注：利用基本量探究【解析】（1）设数列an的公差为d（2）根据题意化简可得m=2(1)设数列an的公差为d，所以，a1+d−2(2)由（1）知，b1=a1=d2，所以bk=am+a训练题组一（基本量运算）1、【2021·全国高考真题】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.注：基本量运算【解析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.2.【2019·江苏高考真题】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.【答案】16.注：d与【解析】由题意可得：，解得：，则.3.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若eq\f(S3,S3＋S6)＝eq\f(1,5)，则eq\f(a3,a3＋a6)等于()A.eq\f(2,15)B.eq\f(1,4)C.eq\f(5,16)D.eq\f(1,3)答案：C注：d与解答：由eq\f(S3,S3＋S6)＝eq\f(1,5)得d=2a1，则eq\f(a3,a3＋a6)=516题组训练二（利用基本量探究）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是___________.【答案】5【解析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其单减性，求得最小值.【详解】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，故为正整数，关于d单减，则当时，，当时，，不符；故的最小值为5，故答案为：52．（2023·全国新课标Ⅱ卷T18）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.考点二、等差数列的性质及其应用例21.【2021·北京高考真题】和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.【详解】由已知条件可得，则，因此，.故选：B.例22.等差数列{an}的前n项和为Sn，若SnA．130B．170C．210D．260【答案】C【解析】因为数列{an}为等差数列，所以由等差数列性质可得：Sn，S2n−Sn例23.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为A．23B．2n+13n+1C．2n−13n−1【答案】C【解析】anb训练题组一1.已知公差不为0的等差数列{an}满足aeq\o\al(2,5)＋aeq\o\al(2,6)＝aeq\o\al(2,7)＋aeq\o\al(2,8)，则S12＝________.答案：0解析：因为aeq\o\al(2,5)＋aeq\o\al(2,6)＝aeq\o\al(2,7)＋aeq\o\al(2,8)，所以aeq\o\al(2,7)－aeq\o\al(2,5)＋aeq\o\al(2,8)－aeq\o\al(2,6)＝0，所以2d(a7＋a5)＋2d(a8＋a6)＝0，又d≠0，a8＋a5＝a6＋a7，所以2(a7＋a6)＝0，所以S12＝eq\f(12a1＋a12,2)＝eq\f(12a6＋a7,2)＝0.训练题组二1．【2020年新课标2卷理科】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【解析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.训练题组三1.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，T【答案】62【解析】a7记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0，a1+a2017=0，则【答案】01009或1008【解析】，，，，，，，，，故当取得最大值时，或，故答案为：0，1009或1008．3.在等差数列{an}中，a1＝－2020，其前n项和为Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，则S2022＝________.答案：2022解析：设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则eq\f(Sn,n)＝An＋B，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列．因为eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公差为1，又eq\f(S1,1)＝eq\f(a1,1)＝－2020，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以－2020为首项，1为公差的等差数列，所以eq\f(S2022,2022)＝－2020＋2021×1＝1，所以S2022＝2022.考点三、前n项和的综合应用例31.【多选题】【2021·全国高三其他模拟】等差数列的前项和为，已知，，则（）A．B．的前项和中最小C．的最小值为49D．的最大值为0【答案】BC【解析】由已知条件先计算出和，然后计算的值对A进行判断；求出的表达式，计算出最小值即可对B进行判断；求出的表达式，运用导数求出最小值判断C选项；求出的表达式对D进行判断.【详解】设数列的公差为d，则

解得，，A错误；

，当n=5时取得最小值，故B正确；

，设函数，

则，当时，，

当时，，

所以，，且，，

所以最小值为49，C正确；，没有最大值，D错误．故选：BC例32.．（2023·全国甲卷T17）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【详解】（1）因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．（2）因为，所以，，两式相减得，，，即，．训练题组已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前n项和最大.则当时，___________.【答案】【解析】首先根据题意求出，再根据等差数列的前n项即可求解.解：由题意可知，，解得，又，则，所以，.由，得，解得或(舍)，故故答案为：20.2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差数列前n项和，由S15>0，S16<0，得，∴，若视为函数则对称轴在之间，∵，∴Sn最大值是，分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，递减，前8项中递增，∴前8项中最大最小时有最大值，∴最大．3.（多选）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝20，S7＝98，则下列结论中正确的是()A.a1＋a5＝34B.|a8|<|a9|C.Sn≤S9D.满足Sn<0的n的最小值为17答案：AD解析：因为S7＝eq\f(7（a1＋a7）,2)＝7a4＝98，所以a4＝14.对于A，因为a2＝20，所以a1＋a5＝a2＋a4＝34，故A正确；对于B，设等差数列{an}的公差为d，由a4－a2＝2d＝－6，得d＝－3，所以an＝a2＋(n－2)×(－3)＝26－3n.因为a8＝26－3×8＝2，a9＝26－3×9＝－1.所以|a8|>|a9|，故B错误；对于C，由d＝－3知数列{an}为递减数列，又a8＝2>0，a9＝－1<0，所以S8为Sn的最大值，故C错误；对于D，因为S16＝eq\f(16（a1＋a16）,2)＝8(a8＋a9)＝8>0，S17＝eq\f(17（a1＋a17）,2)＝17×a9＝－17<0，所以满足Sn<0的n的最小值为17，故D正确．故选AD.考点四、证明等差数列例41.【2021·全国高考真题（理）】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.例42.已知各项均为正数的数列满足，且，．（1）证明：数列是等差数列；（2）数列的前项和为，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）将已知递推关系移项配方整理可得，进而利用等差中项法证明数列是等差数列；（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.【详解】解：（1）由结合数列各项均为正数得则，所以数列是等差数列；（2），则公差∴，∴.训练题组一1．【2022年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和．已知(1)证明：an(2)若a4,a【答案】(1)证明见解析；(2)−78．【分析】（1）依题意可得2Sn+n2（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到an的通项公式与前(1)解：因为2Snn+n=2当n≥2时，2Sn−1①−②得，2S即2a即2n−1an−2n−1an−1所以an是以1(2)解：由（1）可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n−13，所以所以，当n=12或n=13时Sn训练题组二1.【2021年甲卷理科】已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明过程见解析【解析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选①③作条件证明②：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：定义法设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+与关系式设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：待定系数法设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立．则有，解得．所以．【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.2.【2019·全国II卷】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（I）证明：{an–bn}是等差数列；{an+bn}是等比数列，（II）求{an}和{bn}的通项公式.【答案】（I）见解析；（2），.【解析】（1）由题设得，即．又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．由题设得，即．又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．（2）由（1）知，，．所以，。3.（多选）设{an}是无穷数列，An＝an＋an＋1(n＝1,2，…)，则下面给出的四个判断中，一定正确的有()A.若{an}是等差数列，则{An}是等差数列B.若{An}是等差数列，则{an}是等差数列C.若{an}是等比数列，则{An}是等比数列D.若{An}是等差数列，则{a2n}是等差数列答案：AD解析：若{an}是等差数列，设公差为d，则An＝an＋an＋1＝a1＋(n－1)d＋a1＋nd＝2a1＋2nd－d，则An－An－1＝(2a1＋2nd－d)－[2a1＋2(n－1)d－d]＝2d，所以{An}是等差数列，故A正确；若{An}是等差数列，设公差为d，An－An－1＝an＋an＋1－(an－1＋an)＝an＋1－an－1＝d，即数列{an}的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B不正确，D正确；若{an}是等比数列，设公比为q，当q≠－1时，则eq\f(An,An－1)＝eq\f(an＋an＋1,an－1＋an)＝eq\f(an－1q＋anq,an－1＋an)＝q，当q＝－1时，则An＝an＋an＋1＝0，故{An}不是等比数列，故C不正确．考点五、数学文化小型应用题例51.我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯【答案】A注：通项应用【解析】由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.例52.(多选)朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是()A.4B.5C.7D.8答案：BD注：前n项和应用解析：依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为a1，公差为d＝1，设一共放n(n≥2)层，则总的根数为Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)＝100，整理，得2a1＝eq\f(200,n)＋1－n.因为a1∈N*，所以n为200的因数，eq\f(200,n)＋(1－n)≥2且为偶数，验证可知n＝5，8满足题意．故选BD.训练题组一1.（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元【答案】C【解析】本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列的公差为，由题意可知，五年累计总投入资金为：，因为，所以，当且仅当时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.2.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A．174斤 B．184斤C．191斤 D．201斤【答案】B【解析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d＝17，n＝8，S8＝996，以第一个儿子分到的绵数a1为首项，所以8a1＋eq\f(8×8－1,2)×17＝996，解得a1＝65，所以第8个儿子分到的绵数a8＝a1＋(n－1)·d＝65＋7×17＝184.故选B.训练题组二1.《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国．齐国与长安相距3000里．良马第一日走193里，以后逐日增加13里．驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为()A.1055里 B.1146里C.1510里 D.1692里答案：B解析：良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以97为首项，－0.5为公差的等差数列，则两马同时出发后第8日，良马行193×8＋eq\f(8×7,2)×13＝1908(里)，而驽马行97×8＋eq\f(8×7,2)×(－0.5)＝762(里)，所以良马与驽马相距1908－762＝1146(里)．巩固训练一、单项选择题1．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于()A．－2B．0C．3D．6答案：A解析：a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2，故选A.2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A．58 B．88 C．143 D．176答案：B解析：等差数列前n项和公式，．3．是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）A．64 B．100 C．110 D．120答案：B解析：设等差数列的公差为，由a1+a2=4，a7+a8=28，可得：解方程组可得.故选：B4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2C．4 D．8答案：C解析：设公差为，，，联立解得，故选C.5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：A当r＝1时，an＋1＝ran＋r⇒an＋1＝an＋1，∴数列{an}为公差为1的等差数列，即充分性成立；∵an＋1＝ran＋r，a1＝1，∴a2＝2r，a3＝2r2＋r，∴若数列{an}为等差数列，则4r＝1＋2r2＋r，解得r＝1或r＝eq\f(1,2)，即必要性不成立．综上，“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件，故选A．6．(2022·汕头二模)已知数列{an}中各项均为非负数，a2＝1，a5＝16，若数列{eq\r(an)}为等差数列，则a13＝()A．169 B．144C．12 D．13解析：B由题意a2＝1，a5＝16，所以eq\r(a2)＝1，eq\r(a5)＝4，因为数列{eq\r(an)}是等差数列，所以d＝eq\f(\r(a5)－\r(a2),5－2)＝1，且eq\r(a1)＝0满足各项均为非负数，则有eq\r(a13)＝eq\r(a1)＋(13－1)d＝12，可得a13＝122＝144．故选B．7．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()A．65B．176C．183D．184答案：D解析：根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.由等差数列前n项和公式可得8a1＋eq\f(8×7,2)×17＝996，解得a1＝65.由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.则第八个孩子分得斤数为184.8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6，则S2020＝________.答案：2020解析：由等差数列的性质可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列．设其公差为d，则eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6d＝6，∴d＝1.故eq\f(S2020,2020)＝eq\f(S1,1)＋2019d＝－2018＋2019＝1，∴S2020＝1×2020＝2020.二、多项选择题9．设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是()A．d<0 B．a7＝0C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值答案：ABD解析：S6＝S5＋a6>S5，则a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8<S7，a8<0.a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＝S9，由a7＝0，a6>0知S6，S7是Sn中的最大值．从而ABD均正确．10．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式成立的是（）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．答案：ABC解析：对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．三、填空题11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2a4a6a8=120，且+++=，则S9的值为．答案：解析：由题意得+++=+++=，则2(a2+a8)=14，即a2+a8=7，所以S9==(a2+a8)=．12．已知等差数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足=3n2an+，an≠0，n≥2，n∈N*，那么a=．答案：3解析：在=3n2an+中，分别令n=2，n=3及a1=a，得(a+a2)2=12a2+a2，(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2，因为an≠0，所以a2=122a，a3=3+2a．因为数列{an}是等差数列，所以a1+a3=2a2，即2(122a)=a+3+2a，解得a=3．经检验a=3时，an=3n，Sn=，Sn1=，满足Sn2=3n2an+Sn12．所以a=3．13．【2020年新高考1卷（山东卷）】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】【解析】【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.14．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，则eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f