2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第14讲导数的概念及运算（原卷版）

第14讲导数的概念及运算思维导图知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝eq\f(1,x)3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．题型归纳题型1导数的运算【例11】（2020春•房山区期末）已知函数，则它的导函数等于A． B． C． D．【例12】（2020春•南阳期末）已知：函数，其导函数．若函数的导函数，且，则的值为A． B．1 C． D．【跟踪训练11】（2020•新课标Ⅲ）设函数，若（1），则．【跟踪训练12】（2020春•金凤区校级期末）已知（1），则（1）的值为．【名师指导】1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．2．常见形式及具体求导6种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式先化为和、差形式，再求导复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元题型2求切线方程【例21】（2020春•蓝田县期末）曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．【例22】已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．【跟踪训练21】（2020•海东市模拟）已知函数，则曲线在点处的切线的方程为．【跟踪训练22】(2020·江西吉安一模)过点P(1,1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为()A．0 B．1C．2 D．3【名师指导】求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．题型3求切点坐标【例31】（2020春•大兴区期末）过点作曲线的切线，则切点坐标为A． B． C． D．【跟踪训练31】（2020•沈阳三模）过点作曲线的切线，则切点坐标为．【名师指导】求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．题型4由曲线的切线（斜率）求参数取值范围【例41】（2020春•海淀区校级期末）曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为A． B．6 C．12 D．【例42】（2020春•渭滨区期末）函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是A．， B．， C．，， D．，，【跟踪训练41】（2020春•未央区校级期末）直线与曲线相切，则的值为．【名师指导】1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．题型5两曲线的公切线问题【例51】（2020•上饶三模）已知与有相同的公切线，设直线与轴交于点，，则的值为A．1 B．0 C． D．【跟踪训练51】（2020•遂宁模拟）若存在，使得函数与在这两函数图象的公共点处的切线相同，则的最大值为A． B． C． D．【名师指导】解决此