福建省三明市沙县区第一中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题

沙县⼀中

20232024

学年上学期第三次⽉考⾼⼀数学试卷⼀单选题（本⼤题共8⼩题，每题5分，共0分）1.已知集合

，则 ＝（ ）＜ ＜ ＜ 1} D.{x|4≤x≤6}2. ，，试⽐较a

b c（ ）（ ）已知 ，，B. C. 3.函数 的零点所在的区间是（ ）B. C. 4.函数 的图象⼤致为（ ）B.D.“我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了

” ：今有圆材埋在壁中，不知⼤⼩，以锯锯之 何以锯锯之 何

现有⼀类似问题，不确定⼤⼩的圆柱形⽊材，部分埋在墙壁中，. 与弦 围成的⼸其截⾯如图所示⽤锯去锯这⽊材形的⾯积为（ ）B. C. “ ” ” （ ）6.已知 ，则函数 的图象关于轴对称是 的A 不必要条件 B.必要不充分条件充分C.充要条件7 设函数

D.，则）

既不充分也不必要条件A.是偶函数，且在 单调递增 B.是奇函数，且在 单调递减C.是偶函数，且在 单调递增 D.是奇函数，且在 单调递减8.已知 且 ，函数 ，满⾜时，恒有成⽴，那么实数的取值范围（ ）B. C. ⼆ 多选题

（本⼤题共4⼩题，每题5分，少选2分，共20.0分）9.下列函数中，与 是同⼀个函数的是（ ）A B. C. D.10.已知

且 ，则下列不等关系⼀定成⽴的是（ ）B.D.已知函数

，若关于的⽅程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数 取值范围的有（ ）B.D.12.已知定义在

上的函数满⾜ ， ，且 为奇函数，则（ ）A.为奇函数B.为偶函数C. 3是周期为

的周期函数三填空题（本⼤题共4⼩题，每题5分，共0分）13.对于命题

p p， ，则命题 的否定为 ．14.已知

为的最⼩值 .为15. [a

b](a<b)

ba

x 不等式

2的解集区间⻓度为

m则实数定义区间， .的值为

的⻓度为

，若关于的 . ，16.已知函数

（ ， ）的图象与轴的交点为 ，且在区间是上有且仅有⼀个零点，则 的取值范围 .是四 解答题1

（本⼤题共6⼩题，共70.0分.解．解

答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤）2 ，求 ．（18.

）已知在平⾯直⻆坐标系中，已知⻆ 的终边与单位圆交于点 ，将⻆ 的终边顺时针旋转 后得到⻆ ，记⻆ 的终边与单位圆的交点为 ．1 ，求点的坐标；（）若2 ，求 的值．（）若19.(1)

已知函数 ．．判断 的奇偶性并证明，判断 的单调性并证明．当 时(2) 下，若实数 满⾜，求 的取值范围．在 条件

. ⼀次监测时的总量为20.⽣物爱好者甲对某⼀⽔域 某种⽣物在⾃然⽣⻓环境下的总量 进⾏监测第. ⼀段时间的监测得到⼀组如下表的数据：（单位：吨，此时开始计时，时间⽤（单位：⽉）表示甲经过⽉02816吨为了研究该⽣物总量 与时间与的变化关.系：① ；② 且1 2 两个函数模型的解析式；（）请根据表中提供的前 列数据确定2 34 由翻⼀番时经（）根据第，列数据过了2个⽉，根据你选择的函数模型，若总量 再翻⼀番时还需要经过多少个⽉？（参考数据：）21. .已知函数 为奇函数（）求函数的最⼤值 .1 与最⼩值，并分别写出取最⼤值与最⼩值时相应的取值集合2 .（22.

）求函数 的单调递减区间的局若函数 对于定义域内的某个区间内的任意⼀个满⾜ 则称函数 为上 “的局部奇函数；满⾜

“ .局部偶函数

知函数 其中”.为常数

，则称函数 为上的 ”已（）若 为 “ ” ，求不等式 的解集；2 上是局部奇函数，在区间上是局部偶函数，（）已知函数 在区间 “

” “ ”（i）求函数的值域；（（ .上的任意实数 不等式 的取值范围沙县⼀中

20232024

学年上学期第三次⽉考⾼⼀数学试卷⼀单选题（本⼤题共8⼩题，每题5分，共0分）1.已知集合

，则 ＝（ ）＜ ＜ ＜A

1} D.{x|4≤x≤6}【答案】【解析】.【分析】化简集合 ，按照补集定义求出 ，再按交集定义，即可求解,【详解】或 ，，.故选:.【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题2. ，，试⽐较a

b c（ ）（ ）已知 ，，B. C.B【答案】【解析】.【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将与01相⽐较，即可得到结论【详解】∵ ，，，∴B.故选：3.函数 的零点所在的区间是（ ）B. C. C【答案】【解析】.【分析】判断函数零点问题，要先考虑函数定义域和单调性，再运⽤零点存在定理确定零点所在区间【详解】由知函数定义域为 ，且在 为增函数，⼜.，.故函数的零点所在的区间为C.故选：4.函数 的图象⼤致为（ ）B.D.A【答案】【解析】.【分析】⾸先判断奇偶性，再由区间 上的函数值，利⽤排除法判断即可【详解】根据题意，函数，其定义域为 ，由 ，函数为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C D、；当 时， ，，则 ，排除A故选：．

“ ” ：今有圆材埋在壁中，不知⼤⼩，我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了

⼀类似问题，不确定⼤⼩的圆柱形⽊材，部分埋在墙壁中，现有. 与弦 围成的⼸其截⾯如图所示⽤锯去锯这⽊材形的⾯积为（ ）B. C. D.B【答案】【解析】【分析】设圆的半径为，利⽤勾股定理求出，再根据扇形的⾯积及三⻆形⾯积公式计算可得；【详解】解：设圆的半径为，则，，由勾股定理可得 ，即，解得 ，所以 ， ，所以 ，因此 .B故选：“

” ” （ ）6.已知 ，则函数 的图象关于轴对称是 的不必要条件 B.必要不充分条件充分C.充要条件B

D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】【分析】求出函数 的图象关于轴对称所满⾜的条件，和 进⾏⽐较【详解】 关于， 是可以推出， ， 推不出 的图象关于轴对称是 的必要不充分条件B（故选：（7.设函数

，则f(x) ）A.是偶函数，且在 单调递增 B.是奇函数，且在 单调递减C.是偶函数，且在 单调递增 D.是奇函数，且在 单调递减D【答案】【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当时，利⽤函数单调性的性质可判断出 单调递增，排除B；当时，利⽤复合函数单调性可判断出 单调递减，.从⽽得到结果【详解】由 得 定义域为，关于坐标原点对称，⼜，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时， ，；在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在 上单调递减，在定义域内单调递增，D .： 在 上单调递减根据复合函： 在 上单调递减D.故选：【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的⽅法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据⾃变量的范围化简函数，根据单调性的“ ” .性质和复合函数同增异减性得到结论8.已知 且 ，函数 ，满⾜时，恒有成⽴，那么实数的取值范围（ ）B. C.D.D【答案】【解析】解【分析】由函数单调性的定义可得函数在 上单调递增，结合分段函数、对数函数的单调性，列出不等式即可得 .解【详解】因为函数满⾜时，恒有成⽴，即函数满⾜时，恒有成⽴，所以函数在 上单调递增，所以 ，解得 .故选：

（本⼤题共4⼩题，每题5分，少选2分，共20.0分）⼆ 多选题9.下列函数中，与 是同⼀个函数的是（ ）B.C.AC【答案】【解析】【分析】从函数的定义域是否相同及函数的解析式是否相同两个⽅⾯判断．【详解】 的定义域为 ，值域为 ，对于A选项，函数 ，故是同⼀函数；对于B选项，函数，与 解析式、值域均不同，故不是同⼀函数；对于C，且定义域为 ，故是同⼀函数；数对于D，与函数 定义域不相同，故不是同⼀函 .数AC．故选：.【点睛】本题考查同⼀函数的概念，解答的关键点在于判断所给函数的定义域、解析式是否相同10.已知

且 ，则下列不等关系⼀定成⽴的是（ ）B.D.BD【答案】【解析】【分析】⽤对数函数的性质判断D.

A；⽤指数函数的单调性判断

B；举反例论证C；⽤正切函数的性质判断【详解】由条件知 ，⼜ ，A对：存在B

，故 不⼀定成⽴，故A错误；，故B正确；对：因为指数函数 当 时是减函数C ，满⾜已知条件，但，故C错误；对：当 时D

且正切函数在定义域上为增函数，故，故D正确；对：为正切函数的周期BD故选：已知函数

，若关于的⽅程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数 取值范围的有（ ）B.D.BCD【答案】【解析】有根转化为曲线和直线 .运算即可得解【详解】解：因为关于的⽅程 恰有两个不同的实数解，所以函数的图象与直线 的图象有两个交点，作出函数图象，如下图所示，所以当时，函数与 的图象有两个交点，所以实数

m．的取值范围是．四 求个选项中只要是 的⼦集就满⾜要 四 求BCD.故选：12.已知定义在

上的函数满⾜ ， ，且 为奇函数，则（ ）A.为奇函数B.为偶函数C. 3是周期为

的周期函数D.BC【答案】【解析】.【分析】根据抽象函数的特点得到抽象函数的对称性，奇偶性和周期性，再根据周期性求值即可【详解】因为 ，所以 ，即 ，，所以是周期为3的周期函数C因为为奇函数，所以，以替换可得 ，即 ，

正确；⼜因为周期为

3且 ，所以 ，，所以为偶函数，所以B正确 A所以 ，

错误；D对于：因为

，令 ，则 ，因为 为奇函数，所以 ，所以 关于点中⼼对称，所以 ，所以 ，3因为 是周期为

的周期函数，所以 ，所以 ，所以，D错误，BC故选：为奇函数等价于函数 关于点中⼼对称 题，等价于函数 周期为3等则能快速解决抽象函数问 中⼼对称 题三填空题（本⼤题共4⼩题，每题5分，共0分）13.对于命题

p p， ，则命题 的否定为 ．【答案】 ，【解析】.【分析】利⽤全称量词命题的否定直接写出结论即得【详解】命题 ， 是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题，的否定是： .故答案为： ，14.已知

，则 的最⼩值 .为##2.25为【答案】【解析】.【分析】利⽤基本不等式中 的妙⽤即可求解【详解】解：因为 ，所以时等号成⽴，.所以 的最⼩值为故答案为： .15. [a

b](a<b)

ba

x 不等式

2的解集区间⻓度为

m则实数定义区间 .的值为

， ⻓度为

，若关于的 . ，3【答案】【解析】【分析】.设 是⽅程 的两个根，由 可求【详解】设 是⽅程 的两个根，则 ，3.故答案为：

，解得 .16.已知函数

（ ， ） 图象与轴的交点为 ，且在区间 .上有且仅有⼀个零点，则 的取值范围是【答案】【解析】【分析】根据结合 求得，然后求出 在坐标原点两侧最接近0的两个零点 可，根据题意列不等式求解即零点 可【详解】由题意知 ，则 .

为 ，所以 ，所以因.令 ，得 ，令 ，得 ，所以 在坐标原点两侧最接近0的两个零点分别为和，由题意 且 ，解得 ，即 的取值范围是.故答案为：

（本⼤题共6⼩题，共70.0分.

答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤）四 解答题 解1 ．2 ，求 ．（）已知1 （）【答案（） 2【解析】1【分析（2

）根据对数运算性质即可求解.；再根据特殊⻆的三⻆函数值即可求解.（）先利⽤诱导公式进⾏化简1【详解（）原式2（）因为所以18.在平⾯直⻆坐标系中，已知⻆ 的终边与单位圆交于点 ，将⻆ 的终边顺时针旋转 后得到⻆ ，记⻆ 的终边与单位圆的交点为 ．1 ，求点的坐标；（）若2 ，求 的值．（）若1【答案（）2（）【解析】1

三⻆函数定义以及诱导公式即可求解；【分析（

）根据） .（）由 11

结合条件，即可求出 和 ，然后利⽤弦化切即可求出结果【⼩问 详解】因为⻆ 的终边与单位圆交于点 ，所以 ， ．因为⻆ 的终边顺时针旋转 后得到⻆ ，所以，，所以当 时，因为⻆ 的终边与单位圆的交点为 ，所以点 的坐标为 .2【⼩问1）知1）知，

详解】， ，因为 ，，，所以．因为，，所以所以 .19.(1)

已知函数 ．．判断 的奇偶性并证明，判断 的单调性并证明．当 时(2) 下，若实数 满⾜ ，求 的取值范围．在 的条件(1)

；，证明⻅解析 (2)；

函数 是

(上的单调增函数，证明⻅解析；3).(【答案】 奇函数【解析】【分析】；根据函数奇偶性的定义判断并证明即可；根据函数单调性的定义判断并证明即可(2) 下，根据函数单调性的性质可得，解不等式即可求出 的取值范围．在 的条件.【详解】 函数 是奇函数证：函数 的定义域为 ，数因为 ，所以函数 奇函数；数函数 是

上的单调增函 .，因为 ，所以 ， ， ，所以 ，即 ，.上的单调增函所以函数 是上的单调增函(2)

上的单调增函数，所以，解得,由 知函数 是.所以 的取值范围为【点睛】思路点睛：解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：不等式转化成 形式；将函数；考查函数 的单调性根据据函数 在给定区间

“”，转化为形如

的常规”或” 不等式，的常规从⽽得解．

. ⼀次监测时的总量为20.⽣物爱好者甲对某⼀⽔域的某种⽣物在⾃然⽣⻓环境下的总量 进⾏监测第. ⼀段时间的监测得到⼀组如下表的数据：（单位：吨，此时开始计时，时间⽤（单位：⽉）表示甲经过⽉02816吨为了研究该⽣物总量 与时间与的变化关.系：① ；② 且1 2 两个函数模型的解析式；（）请根据表中提供的前 列数据确定2 34 由翻⼀番时经（）根据第，列数据过了2个⽉，根据你选择的函数模型，若总量 再翻⼀番时还需要经过多少个⽉？（参考数据：）1 ；【答案（）2 24个⽉（）【解析】1

2 两个函数模型的解析式，解⽅程组，即可得到本题答案；【分析（2

）分别代⼊前

列数据到两个函数模型的解析式，选择数据差距较⼩的函数模型；然后把 代（）分别把 和 代⼊到.⼊到 ，解出，即可得到本题答案1【⼩问 详解】2将前 列数据代⼊解析式①得： ，解之得： ，① ；2将前 列数据代⼊解析式②得： ，解之得： ，.②2【⼩问

详解】当 时，模型① ，模型② ；当 时，模型① ，模型②；选模型②；当总量 再翻⼀番时有：，解之得 ，个⽉时，总量 能再翻⼀ .番即再经过番21. .已知函数 为奇函数（）求函数的最⼤值 .1 与最⼩值，并分别写出取最⼤值与最⼩值时相应的取值集合2 .（）求函数 的单调递减区间1 ； 取最⼤值2;【答案（） 时 取最⼩值2 与 .（）【解析】1 ，结合 可求 从⽽可得 ，【分析（）根据奇函数的性质可得根据正弦函数的性质即可求解；（） .2 ，根据正弦函数的单调性即可求解1【⼩问

详解】依题意有即