预习06向量在几何和物理中的应用举例（七大考点）（原卷版）

预习06向量在几何和物理中的应用举例一、向量在几何中的应用1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”.①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.③把运算结果“翻译”成几何关系.2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.3.平面向量及三角形的“四心”.设为所在平面上一点,内角所对的边分别为，①O为的外心；②O为的重心；③O为的垂心(三角形三边高的交点)；④O为的内心二、向量在物理中的应用（1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.（2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.（3）动量是向量的数乘运算.（4）功是力与位移的数量积.用向量解决物理问题的一般步骤（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.考点01证明线段垂直【方法点拨】（1）基底法：利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用数量积的运算律算出值0;（2）坐标法：建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入数量积的坐标公式算出0【例1】已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【例2】在中，分别为边上的点，且.设.(1)用表示；(2)用向量的方法证明：.【变式11】如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.【变式12】在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．(1)求重心E的坐标；(2)用向量法证明：．【变式13】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．(1)求的余弦值．(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．考点02求夹角问题【方法点拨】（1）基底法：利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式求解;（2）坐标法：建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入【例3】如图，在平面直角坐标系中，O是原点.已知点，.试求的度数.【例4】如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点(1)若，求AE的长；(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．【变式21】已知的三个顶点分别为,求的大小．【变式22】如图，在中，是边的中点，与交于点.(1)求和的长度；(2)求.【变式23】在长方形中，，，为线段的中点，为线段上一点（不含端点），利用向量知识判断当点在什么位置时，．考点03求线段长度【方法点拨】（1）基底法：利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式求解;（2）坐标法：建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入模的坐标公式【例5】用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半．【例6】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.【变式31】如图，已知中，，，，点是的内切圆圆心（即三条内角平分线的交点），直线与交于点.(1)设，求和的值；(2)求线段的长.【变式32】如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.【变式33】如图，在中，.(1)求的长；(2)求的长.考点04求几何最值【方法点拨】（1）基底法：①利用其底转化向量;②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论（2）坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标;②将平面向量的运算坐标化;③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解【例7】已知正六边形边长为2，是正六边形的外接圆的一条动弦，，P为正六边形边上的动点，则的最小值为.【例8】如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式41】如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（

）A． B． C． D．1【变式42】如图，已知在边长为2的正三角形中，点P，Q，R分别在边，，上，且，则的最大值为.【变式43】如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为．考点05三角形“四心”问题【例9】已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例10】是所在平面上一点，若，则是的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【变式51】已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（

）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【变式52】若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+λ(λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（

）A．外心 B．内心C．重心 D．垂心【变式53】已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的心.（在重心、内心、外心、垂心中选择）考点06力的合成【例11】已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（

）．A．N B．5N C．10N D．N【例12】如图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体的摩擦力．【变式61】马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（

）（参考数据：取重力加速度大小为，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5【变式62】如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为.（注：重力加速度取，精确到0.01N）【变式63】如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．考点07速度、位移的合成【例13】在平面内以点O的正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标：(1)向量表示沿北偏东移动了3个单位长度；(2)向量表示沿西北方向移动了4个单位长度；(3)向量表示沿南偏西移动了3个单位长度；(4)向量表示沿东南方向移动了4个单位长度.【例14】一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少.（

）A．km/h B．km/hC．km/h D．km/h【变式71】如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．【变式72】一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移．【变式73】一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向.(1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；(2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？一、单选题1．已知的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则点P在（

）A．的内部 B．线段AB上 C．直线BC上 D．的外部2．四边形中，，，则四边形的面积（

）A． B．5 C．10 D．203．一个质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成角且，，则（）A． B． C． D．4．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（

）A． B．C． D．5．如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（

）A．2 B． C． D．3二、多选题7．如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上（含原点）上滑动，则的值可能是（

）A．1 B．C．2 D．8．在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（

）A． B．C．的余弦值为 D．9．点O在所在的平面内，则下列结论正确的是（）A．若，则点O为的垂心B．若，则点O为的外心C．若，则1D．若且，则点O是的内心三、填空题10．点是三角形内一点，若，则.11．已知两点分别是四边形的边的中点，