数学-2023年中考数学综合压轴题训练-二次函数图象与系数的关系

2023年中考数学综合压轴题训练——二次函数图象与系数的关系一、综合题1．已知关于的一元二次方程，其中为常数.（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根.（2）已知函数的图象不经过第三象限，求的取值范围.2．已知二次函数（b为常数）．（1）若图象过，求函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当时，求函数的最大值和最小值．（3）若函数图象不经过第三象限，求b的取值范围3．在一次数学兴趣小组活动中，小果和小华两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的若干部分，并在每个扇形区域内标上数字）.游戏规则如下：两人分别同时转动各自制作的转盘，转盘停止后，若圆形转盘针所指区规内数据为a，等边三角形转盘指针所指区规内数据为b，当数据使二次函数图象对称轴在y轴的左侧时，小果获胜；否则小华获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）.（1）请用列表或画树状图的方法表示所以数据的可能结果；（2）请计算小果获胜的概率，并判定这个游戏是否公平.4．已知二次函数，（1）将二次函数的解析式化为的形式；（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n.（1）当m＝2时，①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，求x2的取值范围；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.6．已知抛物线经过点.（1）求的值.（2）若，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点，且，求此抛物线的表达式.7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2m+1与x轴交于点A，B.（1）若AB＝2，求m的值；（2）过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N.当MN≥2时，求m的取值范围.8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点.（1）求c的值及a，b满足的关系式；（2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）.①若m＝n，求a的值；②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值.9．已知抛物线：和抛物线：，其中．（1）下列说法你认为正确的序号是；抛物线和与y轴交于同一点；抛物线和开口都向上；抛物线和的对称轴是同一条直线；

当时，抛物线和都与x轴有两个交点（2）抛物线和相交于点E、F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由；（3）在中，若抛物线的顶点为M，抛物线的顶点为N，问：是否存在实数k，使？如存在，求出实数k；如不存在，请说明理由．10．已知抛物线y=-x2+bx+c(b，c为常数)经过点(0，-3)、(-6，-3)．（1）求此抛物线的解析式．（2）此抛物线的顶点坐标为（3）当-4≤x≤0时，求y的最大值和最小值．（4）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值．11．已知二次函数的大致图像如图所示，这个函数图象的顶点为点．（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点的坐标；（2）设该函数图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，图像的对称轴与轴交于点，如果，，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点在第一象限该函数的图象上，且点的横坐标为，如果的面积是，求点的坐标．12．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是；x与y的几组对应值如表，其中m＝.x…01234…y…50m010…（2）如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整.（3）结合函数图象，解决下列问题：①解不等式：.②若过定点的直线与函数的图象只有一个横坐标不等于2的交点，求出t的取值范围.13．已知二次函数.（1）若图象经过点.①的值为；②无论为何值，图象一定经过另一个定点.（2）若图象与轴只有1个公共点，求与的数量关系.（3）若该函数图象经过，写出函数图象与坐标轴的公共点个数及对应的的取值范围.14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点；一次函数（）的图像为直线.（1）求A、B两点的坐标；（2）当1≤x≤2时，≤≤，试说明：抛物线G的顶点不在直线上；（3）设，直线与线段AC交于D点，与y轴交于E点，与抛物线G的对称轴交于F点，当A、C两点到直线

距离相等时，是否存在整数n，使F点在直线BE的上方?若存在，求n的值；若不存在，请说明理由.15．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线：（）．（1）若抛物线过点，求出抛物线的解析式；（2）当时，的最小值是，求时，的最大值；（3）已知直线与抛物线（）存在两个交点，若两交点到轴的距离相等，求的值；（4）如图2，作与抛物线关于轴对称且对称轴相同的抛物线，当抛物线与抛物线围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围．16．在平面直角坐标系中，已知：函数y=（1）当m=0时，①求y随x增大而增大时，x的取值范围。②当≤x≤2时，求y的取值范围。③当a≤x≤a+1时，设y的最大值与最小值之差为h，当h=2时，求a的值。（2）若A（-2，2）、B（3，2），连结AB，当此函数的图象与线段AB只有两个公共点时，直接写出m的取值范围。17．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．（1）求m的值；（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知二次函数（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C.（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC交于点D，已知DC：CA=1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC，①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围.

答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵，∴无论为何值，方程总有两个不相等实数根（2）解：∵二次函数的图象不经过第三象限，二次项系数，∴抛物线开口方向向上，∵，∴抛物线与轴有两个交点，设抛物线与轴的交点的横坐标分别为，，∴，，解得，即的取值范围是2．【答案】（1）解：∵图象经过点，∴，解得．∴此函数解析式为．（2）解：．∵抛物线的开口向上，∴当，y随x的增大而减小，∴当时，y的最小值为，当时，y随x的增大而增大，∴当时y的最大值为，答：最小值，最大值8．（3）解：∵图象不经过第三象限，且开口向上，∴，即，∴对称轴直线，在y轴左侧，∴图象必在x轴上方（包括x轴），∴，∴．3．【答案】（1）解：根据题意画图如下：共有12种结果：（2）解：二次函数图象对称轴在y轴的左侧∴，即需要同号，小果胜；由（1）知，小果获胜的概率是，小华获胜的概率是，∵小果和小华概率不相等，∴游戏不公平；4．【答案】（1）解：（2）解：由（1）知，该抛物线解析式是：；，则二次函数图象的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是5．【答案】（1）解：①∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣2x+n.∵x1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.

∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，∴顶点的纵坐标为：n﹣1.②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，x＝﹣2到x＝1的距离为3，∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，（2）解：∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q.∴点Q的坐标为（3，2），∵n＝3，抛物线为y＝x2﹣mx+3.当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得；当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；当抛物线的顶点在线段PQ上时，2，解得m＝±2.结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或.故答案为：m≤﹣2或m＝2或.6．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，∴，可得.（2）解：由题可知，对称轴为直线∵，∴，即点在对称轴左侧；∵，∴，∴，解得，由（1）得，∴，∴抛物线表达式为.7．【答案】（1）解：抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2m+1的对称轴为直线.∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝2∴抛物线与x轴交于点A（0，0）、B（2，0），将（0，0）代入y＝mx2﹣2mx﹣2m+1中，得﹣2m+1＝0即；（2）解：抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2m+1与x轴有两个交点，∴△＞0即（﹣2m）2﹣4m（﹣2m+1）＞0，

解得：或m＜0，①若m＞0，开口向上，当MN≥2时，则有﹣2m+1≤2解得，所以，可得；②若m＜0，开口向下，当MN≥2时，则有﹣2m+1≥2解得所以可得，综上所述m的取值范围为或.8．【答案】（1）解：令x＝0，则c＝﹣4，将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，∴2a+b＝2；（2）解：∵抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，∴a＞0，∵A（0，﹣4）和B（2，0），∴对称轴x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，∴0＜a≤1；（3）解：①当m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，∴对称轴x＝1﹣＝﹣1，∴a＝；②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，∴N点在y＝﹣2x﹣3上，联立y＝﹣2x﹣3与y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有两个不同的实数根，∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，∵p+（﹣2﹣p）＝-=，∴a＝1.9．【答案】（1）①③④（2）解：由可知：点是抛物线和与y轴一个交点，两条抛物线相交的另一个交点E与点F的纵坐标相等，当时，二次函数和重合，当时，k的值变化时，线段EF的长不会变化，理由是：抛物线和的对称轴是同一条直线：直线，又；点F关于直线对称的点E的坐标为，则EF就等于，所以线段；（3）解：存在实数k，使，，抛物线，顶点，抛物线，顶点，由题意得：，解得：．10．【答案】（1）解：把(0，-3)、(-6，-3)代人y=-x2+bx+c，得解得∴此抛物线的解析式为y=-x2-6x-3．（2）(-3，6)（3）解：由(2)得抛物线的顶点坐标为(-3，6)．∵-1<0，∴抛物线开口向下．又∵-4≤x≤0，

∴当x=-3时，y有最大值6，当x=0时，y有最小值-3．（4）m=-2或m=-3-11．【答案】（1）解：∵，∴抛物线开口向下，根据对称轴公式可得：，当时，，则顶点，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点（2）解：如图所示，作DE⊥y轴，由（1）可知顶点，则OA=ED=1，∵DC⊥BC，∴∠DCE+∠BCO=90°，又∵∠DCE+∠CDE=90°，∴∠CDE=∠BCO，∴△CDE∽△BCO，∴，∵，∴当时，，即点C的坐标为∴，则：，解得：，经检验a=-1是方程的解，∴抛物线的解析式为：；（3）解：在（2）的条件下，如图所示，连接MC，M的坐标为，此时设直线CM的解析式为：，将C，M的坐标代入得：，解得：，即：直线CM的解析式为：，设直线CM与对称轴交于P点，则P的坐标为，，∴，解得：，将代入抛物线解析式得：，∴点M的坐标为．12．【答案】（1）任意实数；（2）解：如图，

（3）解：①由（2）中图象可得：

当时，，，

当时，

令，，

解得：，

当时，

令，，

解得：，

由函数图象分析可得：当时或或

②∵直线过定点，将代入，

解得：将代入，

解得：当

即

解得

∵过定点的直线与函数的图象只有一个横坐标不等于2的交点

∴或或13．【答案】（1）2；（-1，2）（2）解：∵图象与x轴有1个公共点，∴当y=0时，方程有两个相等的实数根，∴且，即，∵，∴，∴（3）解：∵函数图象经过，∴即，∴，∴，①当图象与坐标轴有1个公共点时，即与x轴没有交点，，则或，解得，②当图象与坐标轴有2个公共点时，即与x轴只有1个交点或者函数过原点，当函数与x轴只有1个交点时，，解得，当函数过原点时，，解的，故当或时，函数与坐标轴有2个交点；③当图象与坐标轴有3个公共点时，即与x轴有2个不同的交点，且函数不过原点，

则或，解得或且，综上所述：图象与坐标轴有1个公共点时，，图象与坐标轴有2个公共点时，或，图象与坐标轴有3个公共点时，或且.14．【答案】（1）令，得，即，解得∵A在B的左侧，∴A（），B（3,0）（2）由得顶点坐标为：（），对称轴为∵，开口向下∴当1≤x≤2时，≤≤得，即∴当时，∴抛物线G的顶点不在直线上（3）4,5,6,7,8理由：当时，∴C（0,9）∵A、C两点到直线距离相等∴直线过A，C两点的中点∵A（）∴D（）将点D代入得：，即∴直线可化为：∴E（0，）设BE的解析式为：则，解得故BE的解析式为：∵点F为直线与对称轴交点∴F（）又点F在直线BE上方∴，解得又∵∴∵为整数∴.15．【答案】（1）解：将代入得，，解得，∴抛物线的解析式为；（2）由题意可知，抛物线的对称轴为直线，∴顶点横坐标在范围内，∵的最小值是且，∴顶点坐标为．∵，开口向上，∴当时，随的增大而增大，即当时，有最大值，

∴把顶点坐标代入，得，解得，∴，∴当时，，即的最大值是；（3）∵抛物线与轴的交点为，直线与轴的交点也为，∴直线与抛物线（）其中一个交点坐标为，∴交点到轴的距离为1，∴另一交点的纵坐标为，∴，解得，∴另一交点坐标为，将代入得，解得；（4）的取值范围是．∵抛物线的对称轴为直线，当时，，所以顶点坐标为，因为与对称，所以整数点也是对称出现的，∵，当时，抛物线中，∴在轴上的整数点为3个，∴与轴围成的区域内的整数点为4个，∴当时，，解得；且当时，，解得，∴．16．【答案】（1）解：①x≤0或x≥1②1≤y≤4③当a+1≤0，即a≤-1时，h=-（a+1）2+2-（-a2+2）=-2a-1∴-2a-1=2，a=当-1<a≤0时，由图象可知h≤1当0<a≤1时，h=（a+1）2-1，由（a+1）2-1=2，得a=-1±，∵0<a≤1，a=1+当a>1时，（a+1）2-a2=2，∴a=，∵a>1，∴a=舍去综上所述：a=-或a=-1+（2）≤m<2