数学-专项9四边形（真题23模拟24）-备战2023年中考数学历年真题+1年模拟新题分项详解（重庆专用）【解析版】

备战2023年中考数学历年真题+1年模拟新题分项详解（重庆专用）专题9四边形（真题23模拟24）历年历年中考真题一．选择题（共12小题）1．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．

2．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50° B．55° C．65° D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解析】解：∵ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠FAO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE（SAS）．∴∠FAO＝∠EOB＝20°，

∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．故选：C．3．（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1 B． C．2 D．2【分析】根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON+∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON+∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，，∴△DOM≌△CON（ASA），∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，∴△DOC的面积是1，

∴正方形ABCD的面积是4，∴AB2＝4，∴AB＝2，故选：C．4．（2021•重庆）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（）A．60° B．65° C．75° D．80°【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OM＝OP，从而得出∠DPM＝150°，利用四边形内角和定理即可求得．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，∵O为MN的中点，∴OP＝，∵∠PMN＝30°，∴∠MPO＝30°，∴∠AMP＝∠MPO+∠MBP＝30°+45°＝75°，故选：C．5．（2017•云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形

【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．【解析】解：设这个多边形是n边形，则（n﹣2）•180°＝900°，解得：n＝7，即这个多边形为七边形．故选：C．6．（2016•重庆）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）A．18﹣9π B．18﹣3π C．9﹣ D．18﹣3π【分析】由菱形的性质得出AD＝AB＝6，∠ADC＝120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AD＝AB＝6，∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，∴DF＝AD•sin60°＝6×＝3，∴图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积＝6×3﹣＝18﹣9π．故选：A．7．（2015•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（）

A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12【分析】首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），可求得OC的长，进而根据菱形的性质，可求得OB的长，且∠AOB＝30°，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．【解析】解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵顶点C的坐标为（m，3），∴OE＝﹣m，CE＝3，∴OC＝＝6，∵菱形ABOC中，∠BOC＝60°，∴OB＝OC＝6，∠BOD＝∠BOC＝30°，∵DB⊥x轴，∴DB＝OB•tan30°＝6×＝2，∴点D的坐标为：（﹣6，2），∵反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交D点，∴k＝xy＝﹣12．故选：D．8．（2015•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）

A．2 B．4 C．2 D．4【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．【解析】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y＝的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE＝2，BE＝2，∴AB＝2，S菱形ABCD＝底×高＝2×2＝4，故选：D．9．（2014•重庆）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB＝OC，再根据等边对等角可得∠OBC＝∠ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

【解析】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠ACB＝30°，∴∠AOB＝∠OBC+∠ACB＝30°+30°＝60°．故选：B．10．（2014•重庆）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．25π﹣6 B．π﹣6 C．π﹣6 D．π﹣6【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据阴影部分的面积等于半圆的面积减去△AOB的面积，列式计算即可得解，【解析】解：∵菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，∴AC⊥BD且OA＝AC＝×8＝4，OB＝BD＝×6＝3，由勾股定理得，AB＝＝＝5，∴阴影部分的面积＝•π（）2﹣×4×3＝π﹣6．故选：D．11．（2014•重庆）五边形的内角和是（）A．180° B．360° C．540° D．600°【分析】直接利用多边形的内角和公式进行计算即可．【解析】解：（5﹣2）•180°＝540°．故选：C．12．（2013•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）

A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm【分析】根据翻折的性质可得∠B＝∠AB1E＝90°，AB＝AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE＝AB，然后根据CE＝BC﹣BE，代入数据进行计算即可得解．【解析】解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B＝∠AB1E＝90°，AB＝AB1，又∵∠BAD＝90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE＝AB＝6cm，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣6＝2cm．故选：C．二．填空题（共3小题）13．（2016•重庆）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，DE＝DC，连接AE，将△ADE沿AE翻折，点D落在点F处，点O是对角线BD的中点，连接OF并延长OF交CD于点G，连接BF，BG，则△BFG的周长是（+）．【分析】如图，延长EF交BC于M，连接AM，OM，作FN⊥CD于N，FR⊥BC于R，GH⊥OM于H交FR于T，首先证明△AMF≌△AMB，得BM＝MF，设BM＝MF＝x，在RT△EMC中利用勾股定理求出x，推出BM＝MC，设GC＝y，根据FT∥OH，得＝＝＝＝，列出方程求出GC，再想办法分别求出FG、BG、BF即可解决问题．【解析】解；如图延长EF交BC于M，连接AM，OM，作FN⊥CD于N，FR⊥BC于R，GH⊥OM于H交FR于T．

在RT△AMF和RT△AMB中，，∴△AMF≌△AMB，∴BM＝MF，设BM＝MF＝x，在RT△EMC中，∵EM2＝EC2+MC2，∴（2+x）2＝（6﹣x）2+42，∴x＝3，∴BM＝MC＝3，∵OB＝OD，∴OM＝CD＝3，∵FR∥EC，∴＝，∴＝，∴FR＝，设CG＝y，则FT＝﹣y．OH＝3﹣y，∵FT∥OH，∴＝＝＝＝，∴＝，∴y＝2，∴CG＝2，NG＝CN﹣CG＝，在RT△FNG中，FG＝＝＝，在RT△BCG中，BG＝＝2，∵AB＝AF，MB＝MF，∴AM⊥BF，

∵AM•BF＝2××AB×BM，∴BF＝，∴△BFG的周长＝+2+＝（+）．故答案为（+）．或延长EF交BC于M，连接OM，易证△ABM≌△AFM，所以MF＝BM＝OM＝3，所以EF＝EG＝CG＝2，所以BG＝2．在三角形ABM中易得BF＝．易知∠FGE＝∠BGC，FG＝BG，所以FG＝．解法二：如图，连接DF交AE于P，连接OP，设BD交AE于H．由翻折可知，AE垂直平分DF，P为DF中点，由△ABH∽△EDH，得到＝＝，即DH＝BD＝×6＝，又O为BD中点，所以H为OD中点，所以HP∥OF，HP＝OF，所以E为DG中点，且OF⊥DF，在Rt△ADE中，AD＝6，DE＝2，DP⊥AE于P，由小时可得PE＝，DP＝，在Rt△DFG中，PE是中位线，所以EG＝DE＝2，FG＝2PE＝①在Rt△DPH中，DP＝，DH＝，所以PH＝，在Rt△DOF中，PH是中位线，所以OF＝2PH＝，PF＝DP＝＝OF，在Rt△OPF中，，所以OP＝，在Rt△DBF中，OP是中位线，所以BF＝2OP＝②在Rt△BCG中，BC＝6，CG＝2，所以BG＝2③由①②③可知△BFG的周长是BF+FG+BG＝．

14．（2016•重庆）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE＝．则四边形ABFE′的面积是．【分析】如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S四边形ABFE′＝S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB即可解决问题．【解析】解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝OB＝OD＝OC，∠DAC＝∠CAB＝∠DAE′＝45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE＝DE′，AE＝AE′，∴AD垂直平分EE′，∴EN＝NE′，∵∠NAE＝∠NEA＝∠MAE＝∠MEA＝45°，AE＝，∴AM＝EM＝EN＝AN＝1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN＝EO＝1，AO＝+1，∴AB＝AO＝2+，

∴S△AEB＝S△AED＝S△ADE′＝×1×（2+）＝1+，S△BDE＝S△ADB﹣2S△AEB＝1+，∵DF＝EF，∴S△EFB＝，∴S△DEE′＝2S△ADE﹣S△AEE′＝+1，S△DFE′＝S△DEE′＝，∴S四边形AEFE′＝2S△ADE﹣S△DFE′＝，∴S四边形ABFE′＝S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB＝．故答案为．15．（2014•重庆）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的周长为28．【分析】根据菱形的性质可得：AB＝AD，然后根据∠A＝60°，可得三角形ABD为等边三角形，继而可得出边长以及周长．【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∵BD＝7，∴AB＝BD＝7，∴菱形ABCD的周长＝4×7＝28．故答案为：28．三．解答题（共8小题）

16．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；（2）求证：AE＝CF．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．（2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论．【解析】（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝40°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．17．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．

（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF，∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE＝，∠DCF＝，∴∠BAE＝∠DCE，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF．18．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积．

（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM+2CE．【分析】（1）作CG⊥AD于G，设PG＝x，则DG＝4﹣x，在Rt△PGC和Rt△DGC中，由勾股定理得出方程，解方程得出x＝1，即PG＝1，得出GC＝4，求出AD＝6，由三角形面积公式即可得出结果；（2）连接NE，证明△NBF≌△EAF得出BF＝AF，NF＝EF，证明△ANB≌△CEA得出∠CAE＝∠ABN，推出∠ABF＝∠FAC＝45°，得出FC＝AF＝BF，再证明△ANE≌△ECM得出CM＝NE，由NF＝NE＝MC，得出AF＝MC+EC，即可得出结论．【解析】（1）解：作CG⊥AD于G，如图1所示：设PG＝x，则DG＝4﹣x，在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2，在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，解得：x＝1，即PG＝1，∴GC＝4，∵DP＝2AP＝4，∴AD＝6，∴S△ACD＝×AD×CG＝×6×4＝12；（2）证明：连接NE，如图2所示：∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°，∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC，在△NBF和△EAF中，，∴△NBF≌△EAF（AAS），∴BF＝AF，NF＝EF，

∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，∵∠ANB＝90°+∠EAF，∠CEA＝90°+∠MEC，∴∠ANB＝∠CEA，在△ANB和△CEA中，，∴△ANB≌△CEA（SAS），∴∠CAE＝∠ABN，∵∠NBF＝∠EAF，∴∠ABF＝∠FAC＝45°∴FC＝AF＝BF，∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF，在△ANE和△ECM中，，∴△ANE≌△ECM（ASA），∴CM＝NE，又∵NF＝NE＝MC，∴AF＝MC+EC，∴AD＝MC+2EC．19．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．

（1）如图1，若∠D＝30°，AB＝，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．【分析】（1）作BO⊥AD于O，由平行四边形的性质得出∠BAO＝∠D＝30°，由直角三角形的性质得出BO＝AB＝，证出∠ABE＝∠AEB，得出AE＝AB＝，由三角形面积公式即可得出结果；（2）作AQ⊥BE交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，证明△ABG≌△AFP得出AG＝FP，再证明△BPC≌△PED得出PC＝ED，即可得出结论．【解析】（1）解：作BO⊥AD于O，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝30°，∴∠AEB＝∠CBE，∠BAO＝∠D＝30°，∴BO＝AB＝，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝，∴△ABE的面积＝AE×BO＝××＝；（2）证明：证法1：过A作AQ⊥BE交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图2所示：∵AB＝AE，AQ⊥BE，∴∠ABE＝∠AEB，BQ＝EQ，∴PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，∴∠ABP＝∠AEP，∵AB∥CD，AF⊥CD，

∴AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵AQ⊥BE，∴∠ABG+∠BAQ＝∠FAP+∠BAQ＝90°，∴∠ABG＝∠FAP，在△ABG和△FAP中，，∴△ABG≌△AFP（ASA），∴AG＝FP，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABP+∠BPC＝180°，∠BCP＝∠D，∵∠AEP+∠PED＝180°，∴∠BPC＝∠PED，在△BPC和△PED中，，∴△BPC≌△PED（AAS），∴PC＝ED，∴ED﹣AG＝PC﹣AG＝PC﹣FP＝FC；证法2：过A作AN⊥BE交DC的延长线于N，交BE于Q，交BC于P，如图3所示：∵AB∥CD，∴∠BAQ＝∠ANF，∵∠BAQ+∠GAQ＝∠BGA+∠GAQ＝90°，

∴∠BAQ＝∠BGA＝∠ANF，又∵∠BAG＝∠AFN＝90°，AB＝AF，∴△ABG≌△FAN（AAS），∴AG＝FN，∴AG+FC＝FN+FC＝CN，由（1）得：AB＝AE，∵AN⊥BE，∴∠BAP＝∠DAP，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠BPA，∴∠BAP＝∠BPA，∴AB＝PB＝AE，同理：CP＝CN，∵AD＝BC，∴ED＝CP＝CN，∴ED＝AG+FC，∴ED﹣AG＝FC．20．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．

【分析】（1）利用勾股定理即可得出BH的长，进而运用公式得出△ABE的面积；（2）过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，判定△AME≌△BNG（AAS），可得ME＝NG，进而得出BE＝GC，再判定△AFO≌△CEO（AAS），可得AF＝CE，即可得到DF＝BE＝CG．【解析】解：（1）∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4，又∵Rt△ABH中，BH＝＝，∴S△ABE＝AE×BH＝×4×＝；（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°，∵AB＝AE，∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，又∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG，设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，∴AB＝BG，∴AE＝BG，在△AME和△BNG中，，∴△AME≌△BNG（AAS），

∴ME＝NG，在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE，∴BE＝GC，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，∴DF＝BE＝CG．21．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．【分析】（1）依据BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12，可得等腰Rt△BCF中，BF＝sin45°×BC＝12，再根据勾股定理，即可得到Rt△ABF中，AF＝＝5；（2）连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，判定四边形APEG是正方形，即可得到PF＝

EF，AP＝AG＝CH，进而得出△APB≌△HCE，依据AB＝EH，AB＝BE，即可得到BE＝EH．【解析】解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12，∴等腰Rt△BCF中，BF＝sin45°×BC＝12，又∵AB＝13，∴Rt△ABF中，AF＝＝5；（2）如图，连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，∵BE＝BA，BF⊥AC，∴AF＝FE，∴BG是AE的垂直平分线，∴AG＝EG，AP＝EP，∵∠GAE＝∠ACB＝45°，∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE＝90°，△APE是等腰直角三角形，即∠APE＝90°，∴∠APE＝∠PAG＝∠AGE＝90°，又∵AG＝EG，∴四边形APEG是正方形，∴PF＝EF，AP＝AG＝CH，又∵BF＝CF，∴BP＝CE，∵∠APG＝45°＝∠BCF，∴∠APB＝∠HCE＝135°，∴△APB≌△HCE（SAS），∴AB＝EH，又∵AB＝BE，∴BE＝EH．

22．（2013•重庆）如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，AE＝CF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．（1）求证：OE＝OF；（2）求证：△BOF≌△BCF；（3）若BC＝2，求AB的长．【分析】（1）利用矩形的性质得出∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，进而求出△AOE≌△COF（AAS），得出答案即可；（2）连接OB，根据矩形性质即可证明结论；（3）首先求出∠BAC＝30°，进而得出∠BEF＝2∠OBE，利用勾股定理求出AB即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF；（2）证明：连接OB，如图所示：∵BF＝BE，OE＝OF，∴BO⊥EF，∠EBO＝∠FBO，∴∠BOF＝90°∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCF＝90°，∵∠BEF＝2∠BAC，∠BEF＝∠BAC+∠EOA，∴∠BAC＝∠EOA，∴AE＝OE，∵AE＝CF，OE＝OF，∴OF＝CF，在Rt△BOF和Rt△BCF中，，∴Rt△BOF≌Rt△BCF（HL）；（3）解：∵BF＝BE，OE＝OF，∴BO⊥EF，由（1）知，△AOE≌△COF，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴BO＝AC＝OA，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠BEF＝2∠BAC，∴∠BEF＝2∠OBE，在Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°，∴∠BAC＝30°，∴AC＝2BC＝4，∴AB＝＝＝6．23．（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G

为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1＝∠2．（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的长；（2）求证：∠CEG＝∠AGE．【分析】（1）求出DC＝CE＝2CF＝4，求出AB，根据勾股定理求出BE即可；（2）过G作GM⊥AE于M，证△DCF≌△ECG，推出CG＝CF，求出M为AE中点，得出等腰三角形AGE，根据性质得出GM是∠AGE的角平分线，即可得出答案．【解析】（1）解：∵CE＝CD，点F为CE的中点，CF＝2，∴DC＝CE＝2CF＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝；（2）证明：解法一、过G作GM⊥AE于M，∵AE⊥BE，GM⊥AE，∴GM∥BC∥AD，∵在△DCF和△ECG中，，∴△DCF≌△ECG（AAS），∴CG＝CF，CE＝CD，∵CE＝2CF，∴CD＝2CG，

即G为CD中点，∵AD∥GM∥BC，∴M为AE中点，∴AM＝EM（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等），∵GM⊥AE，∴AG＝EG，∴∠AGM＝∠EGM，∴∠AGE＝2∠MGE，∵GM∥BC，∴∠EGM＝∠CEG，∴∠CEG＝∠AGE；解法二、延长AG，交BC延长线于M，在△ECG和△DCF中，，∴△ECG≌△DCF（AAS），∴CF＝CG，∵CE＝CD，F为CE的中点，∴DG＝CG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADG＝∠MCG，在△ADG和△MCG中，，

∴△ADG≌△MCG（ASA），∴AG＝MG，∵∠AEC＝90°，∴EG＝AM＝GM，∴∠GEC＝∠M，∵∠AGE＝∠GEC+∠M，∴∠CEG＝∠AGE．一年模拟新题一年模拟新题一．选择题（共24小题）1．（2022•沙坪坝区校级模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ADC＝120°，过点O的直线与AD，BC分别交于点E，F，若四边形BEDF是矩形，则∠DOE的度数是（）

A．60° B．45° C．30° D．15°【分析】根据菱形的性质可得△ABD，△BCD均为等边三角形，然后由矩形的性质可得∠FDE＝∠BED＝90°，DF平分∠BDC，然后由等边三角形的判定与性质可得答案．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，∴∠ADB＝∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝60°，AD∥BC，∴△ABD，△BCD均为等边三角形，∵四边形BEDF是矩形，∴DF⊥AD⊥BC，BE⊥AD⊥BC，∴∠FDE＝∠BED＝90°，DF平分∠BDC，∴∠BDF＝30°，∠DBF＝60°，∴∠ODE＝∠OED＝60°，∴△EOD为等边三角形，∴∠DOE＝60°，故选：A．2．（2022•渝中区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为（）

A． B． C． D．【分析】连接CE，由平行四边形的性质可得AO＝CO，CD＝AB＝，再由线段垂直平分线的性质得CE＝AE＝2，然后由勾股定理的逆定理证出∠CED＝90°，则∠AEC＝90°，最后由勾股定理即可求解．【解析】解：如图，连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，CD＝AB＝，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝2，∵CE2+DE2＝22+12＝5，CD2＝（）2＝5，∴CE2+DE2＝CD2，∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC＝，故选：A．

3．（2022•开州区模拟）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F，连接DE，若BC＝6，BF＝2，则DE＝（）A．2 B．4 C．3 D．3【分析】连接BE，由正方形的性质求得AB，进而求得AF与EF，再由勾股定理求得BE，最后根据轴对称性质求得DE．【解析】解：连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝6，∠EAF＝45°，∵EF⊥AB，∴EF＝AF＝AB﹣BF＝6﹣2＝4，∴BE＝，∵正方形ABCD关于AC对称，∴DE＝BE＝2，

故选：A．4．（2022•九龙坡区模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，已知BC＝4，AB＝3，则OB的长为（）A．3 B． C． D．【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出AC，进而利用矩形的性质解答即可．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OB＝OD，OA＝OC，∵BC＝4，AB＝3，∴AC＝，∴OB＝BD＝AC＝2.5，故选：D．5．（2022•沙坪坝区校级模拟）如图，点E为正方形ABCD的边CD上的一点，DE＝1，CD＝4，连接AE，F为边CB延长线上一点，且BF＝DE，连接AF，EF，过点A作AG⊥FE交EF于点G，连接GB，则线段GB的长度为（）

A． B． C．2 D．【分析】如图，连接CG，过点G作GH⊥CF于H，先用勾股定理计算AE＝，证明△ADE≌△ABF（SAS），得AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，则△AEF是等腰三角形，EF＝AE＝，利用直角三角形斜边中线可得CG的长，由三角形中位线定理可得GH的长，最后用勾股定理可得结论．【解析】解：如图，连接CG，过点G作GH⊥CF于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝∠ABF＝90°，∵DE＝1，AD＝CD＝4，

∴AE＝＝，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS），∴AE＝AF，∵AG⊥EF，∴EG＝FG，∵GH∥CE，∴FH＝CH＝，∴GH＝CE＝，∴BH＝4﹣＝，∴BG＝＝．故选：B．6．（2022•重庆模拟）如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，若CF＝3，EF＝4，则AE的长是（）

A．3 B．4 C．5 D．7【分析】过E作EK⊥AB于K，根据四边形ABCD是正方形，EK⊥AB，EF⊥BC，可得BF＝EF＝4＝EK＝BK，即有AK＝CF＝3，在Rt△AKE中，AE＝＝5．【解析】解：过E作EK⊥AB于K，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°，AB＝BC，∵EK⊥AB，EF⊥BC，∴BF＝EF＝4＝EK＝BK，∴AK＝AB﹣BK＝BC﹣BF＝CF＝3，

在Rt△AKE中，AE＝＝＝5，故选：C．7．（2022•大足区模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为CD的中点，且AC＝6，BD＝8，则OE等于（）A．2.5 B．3 C．4 D．5【分析】由菱形的性质得OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，AC⊥BD，再由勾股定理求出CD＝5，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠COD＝90°，在Rt△COD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，∵E为CD的中点，∴OE＝CD＝2.5，故选：A．

8．（2022•重庆模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为1，P为正方形内一点，且△PBC为等边三角形，某同学根据条件得出四个结论：①△PAD为等腰三角形；②△PBC的面积为；③AP2＝2﹣；④△PBD的面积为．其中正确的是（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【分析】过P作PN⊥BC于N，过A作AM⊥BP于M，根据四边形ABCD是正方形，△PBC为等边三角形，可证明△ABP≌△DCP（SAS），即得AP＝DP，即△PAD为等腰三角形，可判断①正确；在Rt△BPN中，BN＝PB＝，PN＝BN＝，得△PBC的面积为BC•PN＝×1×＝，可判断②错误；用勾股定理可判断③正确；求出S△ABP＝PB•AM＝，知S△CDP＝，从而得S四边形PBCD＝+，即可得△PBD的面积为，判断④正确．【解析】解：过P作PN⊥BC于N，过A作AM⊥BP于M，如图：

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵△PBC为等边三角形，∴PB＝PC＝BC＝1，∠PBC＝60°＝∠PCB，∴∠ABP＝30°＝∠DCP，∴△ABP≌△DCP（SAS），∴AP＝DP，即△PAD为等腰三角形，故①正确；在Rt△BPN中，BN＝PB＝，PN＝BN＝，∴△PBC的面积为BC•PN＝×1×＝，故②错误；在Rt△ABM中，AM＝AB＝，BM＝AM＝，∴PM＝PB﹣BM＝1﹣，在Rt△APM中，AP2＝AM2+PM2＝（）2+（1﹣）2＝2﹣，故③正确；∵S△ABP＝PB•AM＝×1×＝，∴S△CDP＝，∵S△PBC＝BC•PN＝×1×＝，∴S四边形PBCD＝+，∵S△BCD＝BC•CD＝，∴S△PBD＝S四边形PBCD﹣S△BCD＝，即△PBD的面积为，故④正确；

∴正确的有：①③④，故选：C．9．（2022•重庆模拟）四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AD＝CD，点O为AC中点，DO的延长线交AB于E．若BE＝3，BC＝4，则AB的长为（）A．5 B．7 C．8 D．9【分析】连接CE，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质证得CE＝AE，在Rt△ACE中，根据勾股定理求出CE，即可求出AB．【解析】解：连接CE，∵AD＝CD，点O为AC中点，∴AC⊥DE，∴CE＝AE，在Rt△ACE中，BE＝3，BC＝4，∴CE＝＝＝5，∴AE＝5，∴AB＝AE+BE＝5+3＝8，故选：C．

10．（2022•沙坪坝区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，点G为AD上一点，连接AE、BG交于点F，连接CF，当∠BCF＝∠GBA时，线段CF的长度是（）A． B． C． D．【分析】根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BAG＝90°，BE＝BC＝3，BC∥AD，根据勾股定理得到AE＝5，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】解：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，∴∠ABC＝∠BAG＝90°，BE＝BC＝3，BC∥AD，

∴AE＝＝＝5，∠CBF＝∠BGA，∵∠BCF＝∠GBA，∴∠BFC＝∠BAG＝90°，∴EF＝BC＝3，∴AF＝2，∵BE∥AG，∴△BEF∽△GAF，∴＝，∴＝，∴AG＝2，∴BG＝＝＝2，∵∠BFC＝∠BAG＝90°，∠BCF＝∠GBA，∴△BCF∽△GBA，∴＝，∴＝，∴CF＝，故选：D．11．（2022•沙坪坝区模拟）下列多边形中，内角和最小的是（）A． B． C． D．【分析】边数为n的多边形的内角和＝（n﹣2）×180

°，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形的内角和，再得出选项即可．【解析】解：三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，五边形的内角和等于（5﹣2）×180°＝540°，六边形的内角和等于（6﹣2）×180°＝720°，所以三角形的内角和最小，故选：A．12．（2022•渝中区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．8 B．16 C．24 D．32【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH＝2，则，BD＝4，由菱形对角线的性质可得AC＝8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∵OA＝4，∴AC＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝16．故选：B．

13．（2022•铜梁区模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF．若CD＝，则AF的长为（）A．3 B． C． D．【分析】根据矩形的性质得出AB＝CD＝，AO＝CO＝BO＝DO，进而利用勾股定理解答即可．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝，AO＝CO＝BO＝DO，∵DF垂直平分OC，∴OD＝OC，∴OD＝DC＝OC，∴△ODC是等边三角形，∴OD＝DC＝OC＝，∴AC＝2，∴BC＝，∵△ODC是等边三角形，DE⊥AC，∴∠CDE＝∠ODE＝30°，∴DC＝CF＝，∴CF＝1，∴BF＝2，

∴AF＝，故选：B．14．（2022•沙坪坝区校级一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF＝CE＝4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为（）A． B． C．5 D．2【分析】先证明△ADE≌△DCF，进而得∠AGF＝90°，用勾股定理求得AF，便可得GH．【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADE＝∠C＝90°，AD＝DC＝BC，∵BF＝CE，∴CF＝DE，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，

∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠CDF+∠DEA＝90°，∴∠AGF＝∠DGE＝90°，∵点H为AF的中点，∴GH＝AF，∵AB＝6，BF＝4，∴AF＝，∴GH＝，故选：B．15．（2022•大渡口区模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则点D到CF的距离为（）A． B． C． D．【分析】由正方形的性质及三角形的中位线的性质可求得DC＝8，利用勾股定理及直角三角形的斜边上的中线的性质可求解DE，CF的长，进而求出△DCF面积为8，设点D到CF的距离为x，则x•CF＝8，可得点D到CF的距离．【解析】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝DC，∵点F是DE的中点，OF＝6，∴BE＝2OF＝12，∵CE＝4，∴DC＝BC＝8，在Rt△DCE中，DE＝，

∴CF＝DE＝，∴△CDE的面积＝CE•DC＝×4×8＝16，∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，∴△DCF面积＝8，设点D到CF的距离为x，则x•CF＝8，∴•x×2＝8，解得x＝，∴点D到CF的距离为．故选：D．16．（2022•沙坪坝区校级一模）下列说法正确的是（）A．平行四边形的对角互补 B．矩形的对角线相等且互相垂直 C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．有一个角是90°的菱形是正方形【分析】根据正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，逐一进行判断即可．【解析】解：A．平行四边形的对角互补，错误，不符合题意；应该是平行四边形的对角相等；B．矩形的对角线相等且互相垂直，错误，不符合题意；应该是矩形的对角线相等；C．有一组邻边相等的四边形是菱形，错误，不符合题意；应该是有一组邻边相等的平行四边形是菱形；D．有一个角是90°的菱形是正方形，正确，符合题意．故选：D．17．（2022•重庆模拟）如图，点E、F分别在菱形ABCD的BC、DC边上，添加以下条件不能证明△ABE≌△ADF的是（）

A．CE＝CF B．∠BAF＝∠DAE C．AE＝AF D．∠AEC＝∠AFC【分析】由菱形的性质和全等三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝DC，∠B＝∠D，A、∵CE＝CF，∴BC﹣CE＝DC﹣CF，即BE＝DF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），故选项A不符合题意；B、∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF＝∠DAE﹣∠EAF，即∠BAE＝∠DAF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），故选项B不符合题意；

D、∵∠AEC＝∠AFC，∴∠AEB＝∠AFD，在△ABE和