数学-专项09 二次函数与胡不归综合应用（专项训练）（带答案）

专题09二次函数与胡不归综合应用（专项训练）1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则2OP+AP的最小值为．【答案】6【解答】解：连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，∵y＝0时，﹣x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴B的坐标为（2，0），∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+3，∴A的坐标为（，3），∴OA＝＝2，而AB＝AO＝2，∴AB＝AO＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠OAP＝30°，∴PH＝AP，∵AP垂直平分OB，∴PO＝PB，∴OP+AP＝PB+PH，当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，而BC＝AB＝3，∴2OP+AP＝2（OP+AP）的最小值为6．故答案为：6．

2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1．（1）求抛物线解析式．（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；（3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．版权所有【解答】解：（1）∵C（0，﹣2），∴OC＝2，∵tan∠CAO＝1，∴＝1，∴OA＝2，A（﹣2，0），将A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：过A作AM∥BC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点M'，作直线AM'交抛物线于Q'，如图：

∵AM∥BC，∴∠QAB＝∠ABC，即Q是满足题意的点，∵B（3，0），C（0，﹣2），∴直线BC解析式是y＝x﹣2，设直线AM解析式为y＝x+m，将A（﹣2，0）代入得﹣+m＝0，∴m＝，∴直线AM解析式为y＝x+，M（0，），解得（与A重合，舍去）或，∴Q（5，），∵M、M'关于x轴对称，∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'（0，﹣），∴Q'是满足题意的点，设直线AQ'为y＝kx﹣，将A（﹣2，0）代入得﹣2k﹣＝0，∴k＝﹣，∴直线AQ'为y＝﹣x﹣，解得（舍去）或，

∴Q（1，﹣2）；综上所述，点Q坐标是（5，）或（1，﹣2）；（3）在y轴上存在一个点P，使PC+PD值最小，理由如下：过P作PH⊥AC于H，过D作DH'⊥AC于H'，交y轴于P'，如图：∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴抛物线对称轴是直线x＝，∴D（，0），∵OA＝OC＝2，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OCA＝45°＝∠OAC，∴△PCH是等腰直角三角形，∴PH＝PC，∴PC+PD最小即是PH+PD最小，∴当P运动到P'，H和H'重合时，PC+PD的最小，最小值是DH'，∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC，∴△ADH'是等腰直角三角形，∴DH'＝AD，∵A（﹣2，0），D（，0），∴AD＝，∴DH'＝，即PC+PD的最小值是．

3．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；（3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．版权所有【解答】解：把x＝﹣5代入y＝﹣x+，解得y＝3，∴D（﹣5，3），把D（﹣5，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，解得a＝，∴抛物线的解析式为；（2）设直线BD与y轴交于点E，∴E（0，），由可得A（﹣2，0），B（4，0），C（0，），由S△BCD＝S△ABP，∴CE•|xB﹣xD|＝AB•|yP|，∴（﹣）×（4+5）＝（4+2）×|yP|，

∴|yP|＝，∴yP＝±，∵抛物线的顶点为（1，﹣），∴yP＝，∴P点坐标为或；（3）存在点F，使得2AF+DF的值最小，理由如下：过点D作DM平行于x轴，故∠BDM＝30°，过F作FH⊥DM于H，∴sin30°＝＝，∴HF＝DF，∴2AF+DF＝2（AF+DF）＝2（AF+HF）＝2AH，当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF取最小值，∵A（﹣2，0），∴F（﹣2，2），∵D（﹣5，3），∴AH＝3，∴2AF+DF的最小值为6．4．如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．（1）求A，B两点的坐标；（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；

【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣6x+7中，令y＝0得：﹣x2﹣6x+7＝0，解得x＝﹣7或x＝1，∴A（﹣7，0），B（1，0）；（2）过P作PN⊥x轴于N，交AC于M，如图：抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，在y＝﹣x2﹣6x+7中，令x＝0得y＝7，∴C（0，7），∴AC＝＝7，∴sin∠CAB＝＝＝，在Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠CAB＝AM，

∴PM+AM最小，即是PM+MN最小，由垂线段最短可知PM+AM的最小值即为PN的长，∵点P，C（0，7）关于抛物线的对称轴直线x＝﹣3对称，∴PN与OC关于抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴直线x＝﹣3对称，P（﹣6，7），∴PN＝OC＝7，即PM+AM的最小值为7，由A（﹣7，0），C（0，7）得直线AC解析式为y＝x+7，在y＝x+7中，令x＝﹣6得y＝，∴M（﹣6，）；5．已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值．【解答】解：（1）设点A、B的横坐标分别为x1，x2，令y＝0可得﹣x2﹣x+c＝0，∴x1•x2＝﹣2c，∵tan∠CAB•tan∠CBA＝1，即＝1，∴OC2＝OA•OB＝（﹣x1）•x2＝2C，即c2＝2c，解得c1＝0（舍去），c2＝2，

∴抛物线y＝﹣x2﹣x+2，令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，故点A（﹣4，0），点B（1，0）；（2）△PAC的内切圆圆心正好落在x轴上，则x轴为∠CAP的角平分线，作点C关于x轴的对称点C'（0，﹣2），设直线AC'的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣4，0），C'（0，﹣2）代入，得，解得，∴直线AC'的解析式为y＝x﹣2，联立抛物线与直线得，解得，，故点P坐标（2，﹣3）；（3）过点A作直线AD，使sin∠OAD＝，过点M作ME⊥AD于点E，如图，

在Rt△MAE中，sin∠OAD＝，∴ME＝AM，∴MC+AM＝MC+ME，当点M、C、E三点共线时，MC+ME最小为CE，∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，∴∠EAM＝∠OCM，在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝，OC＝2，∴tan∠OCM＝＝＝，cos∠OAD＝＝，∴OM＝1，CM＝，∴AM＝4﹣1＝3，在Rt△AEM中，sin∠OAD＝，AM＝3，∴EM＝3•sin∠OAD＝，∴MC+ME＝+＝．故MC+AM的最小值．6．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求

EF+BF的最小值．版权所有【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴OA＝2，∵OC＝OA，∴OC＝3，即C（0，3），将C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，如图：∵y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝2，∴P横坐标为2，即ON＝2，∴AN＝2﹣（﹣2）＝4，∵AP＝2PE，

∴AN＝2NH，∴NH＝2，∴E横坐标为4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，∴E（4，3），由（1）可