数学-2020年北京二模-新定义问题（学生版）

2020年北京二模——新定义问题1．对于平面直角坐标系内任意一点P，过P点作轴于点M，轴于点N，连接，则称的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．（1）点的垂点距离分别为________，___________，____________；（2）点P在以为圆心，半径为3的上运动，求出点P的垂点距离h的取值范围；（3）点T为直线位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．2．对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点．（1）如图，，，，①点P关于点B的定向对称点的坐标是；②在点，，中，______是点P关于线段AB的定向对称点．

（2）直线分别与x轴，y轴交于点G，H，⊙M是以点为圆心，为半径的圆．①当时，若⊙M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，求的取值范围；②对于，当时，若线段GH上存在点J，使得它关于⊙M的定向对称点在⊙M上，直接写出b的取值范围．3．对于平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，的半径为1．（1）若，①求的值；②若点C在直线上，求的最小值；（2）以点A为中心，将线段顺时针旋转得到，点E在线段组成的图形上，若对于任意点E，总有，直接写出b的取值范围．4．过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆．特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆．在平面直角坐标系中，点．（1）已知点，，，分别以，为圆心，1为半径作，，以为圆心，2为半径作，其中是点和轴的点线圆的是________；（2）记点和轴的点线圆为，如果与直线没有公共点，求

的半径的取值范围；（3）直接写出点和直线的最小点线圆的圆心的横坐标的取值范围．5．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形，的“近距”，记作；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形，的“远距”，记作．已知点，．（1）（点，线段）______，（点，线段）______；（2）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，若（线段，线段），①求的值；②直接写出（线段，线段）______；（3）的圆心为，半径为1．若（线段），请直接写出（，线段）的取值范围．6．在平面内，对于给定的，如果存在一个半圆或优弧与的两边相切，且该弧上的所有点都在的内部或边上，则称这样的弧为的内切弧．当内切弧的半径最大时，称该内切弧为的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）在平面直角坐标系中，．

（1）如图1，在弧，弧，弧中，是的内切弧的是____________；（2）如图2，若弧G为的内切弧，且弧G与边相切，求弧G的半径的最大值；（3）如图3，动点，连接．①直接写出的完美内切弧的半径的最大值；②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T．点P为弧T上的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交x轴和直线于点D，E，点F为线段的中点，直接写出线段长度的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，存在半径为2，圆心为(0，2)的，点为上的任意一点，线段绕点逆时针旋转90°得到线段，如果点在线段上，那么称点为的“限距点”．（1）在点中，的“限距点”为____________________________；（2）如果过点且平行于轴的直线上始终存在的“限距点”，画出示意图并直接写出的取值范围；（3）的圆心为，半径为1，如果上始终存在的“限距点”，请直接写出的取值范围．

8．过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”．（1）如图，在等腰中，，．①在下图中画出一条的形内弧；②在中，其形内弧的长度最长为______．（2）在平面直角坐标系中，点，，．点M为形内弧所在圆的圆心．求点M纵坐标的取值范围；（3）在平面直角坐标系中，点，点G为x轴上一点．点P为最长形内弧所在圆的圆心，求点P纵坐标的取值范围．9．已知：如图，⊙O的半径为r，在射线OM上任取一点P（不与点O重合），如果射线OM上的点P'，满足OP·OP'=r2，则称点P'为点P关于⊙O的反演点．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2．(1)已知点A(4，0)，求点A关于⊙O的反演点A'的坐标；(2)若点B关于⊙O的反演点B'恰好为直线与直线x=4的交点，求点B的坐标；(3)若点C为直线上一动点，且点C关于⊙O的反演点C'在⊙O的内部，求点C的横坐标m的范围；(4)若点D为直线x=4上一动点，直接写出点D关于⊙O的反演点D'的横坐标t的范围．

10．平面直角坐标系中，给出如下定义：对于图形G及图形G外一点P，若图形G上存在一点M，满足PM=2，且使点P绕点M顺时针旋转90°后得到的对应点P’在这个图形G上，则称点P为图形G的“2旋转点”．已知点A（－1，0），B（－1，2），C（2，-2），D（0，3），E（2，2），F（3，0）（1）①判断：点B________线段AF的“2旋转点”（填“是”或“不是”）；②点C，D，E中，是线段AF的“2旋转点”的有_________；（2）已知直线，若直线l上存在线段AF的“2旋转点”，求b的取值范围；（3）⊙T是以点T（t，0）为圆心，为半径的一个圆，已知在线段AD上存在这个圆的“2旋转点”，

直接写出t的取值范围．11．在平面中，给定线段AB和C，P两点，点C与点P分布在线段AB的异侧，满足

，则称点C与点P是关于线段AB的关联点．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，．（1）在，，三个点中，点O与点P是关于线段AB的关联点的是________；（2）若点C与点P是关于线段OA的关联点，求点P的纵坐标m的取值范围；（3）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段AB上存在点P与点O是关于线段EF的关联点，直接写出b的取值范围．12．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且，．给出如下定义：若平面上存在一点P，使是以线段为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．

（1）已知点A的坐标为．①若点B的坐标为，在点、和中，是点A、点B的“直角点”的是_________；②点B在x轴的正半轴上，且，当直线上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；（2）的半径为r，点为点、点的“直角点”，若使得与有交点，直接写出半径r的取值范围．13．如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是上不重合的两个点，连结

．当时，我们称点P为的“关于的关联点”．

（1）如图2，当点P在上时，点P是的“关于