数学-（冲刺高分必刷）专项14 三角形和旋转综合压轴挑战突破（原版）

冲刺高分必刷专题14三角形和旋转综合压轴挑战突破1．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．（1）直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．2．（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤

作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．3．（2022•青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当EQ⊥AD时，求t的值；（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

4．（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．5．（2022•岳阳）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．（1）特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：＝，直线AD与直线CE的位置关系是；（2）探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（19°＜α＜60°），连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan（60°﹣α）的值．6．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．

7．（2022•达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：【初步探究】（1）如图2，当ED∥BC时，则α＝；（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：；【深入探究】（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由．

8．（2021•锦州）在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；（2）如图2，当tanα＝时，①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE+EH的最小值；若不存在，请说明理由．9．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．

（1）证明：△AHB≌△AGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？10．（2020•甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．（1）求证：DC平分∠ADE；（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．11．（2022•清丰县校级三模）如图，△ABC中，CA＝CB、∠ACB＝α，过点B作直线l∥AC，D为线段AB上一动点，连接CD，将射线DC绕点D顺时针旋转α，交直线l于点E．（1）如图1，当α＝90°时，线段CD和ED的数量关系是．（2）如图2，当0°＜α

＜180°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．（3）若α＝120°，AC＝，当△DEB为直角三角形时，请直接写出线段DE的长．12．（2022•武进区校级一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），（Ⅰ）连接AB，若把线段AB绕点B逆时针旋转90°，则得线段A0B，请在图①中用无刻度的直尺和圆规作出点A的对应点A0（不写作法，保留作图痕迹），直接写出点A0的坐标；（Ⅱ）若把△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点分别为A′，O′，如图②，求点O′和点A′的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，求P′B+BA+AP的最小值．13．（2022•东丽区二模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点

B（0，6），把△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB'O'，点B，O旋转后的对应点为B'，O'，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求BB'的长；（Ⅱ）如图②，若α＝120°，求点O'的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OB上有一点P，旋转后的对应点为P'，当AP'+O'P取得最小值时，求点P的坐标．（直接写出结果即可）14．（2022•湖北模拟）在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，直线AC与BD交于点M．（1）如图1，若∠OAB＝∠OCD＝45°，求的值；（2）如图2，若∠OAB＝∠OCD＝α，求的值（用含α的式子表示）；（3）若∠OAB＝∠OCD＝30°，OD＝2，OB＝4，将三角形OCD绕着点O在平面内旋转，直接写出当点A、C、D在同一直线上时，线段BD的长．15．（2022•六盘水模拟）[问题提出]如图1，在△ABC中，每个内角都小于120°，在△ABC内有一点P，请确定点P的位置，使PA+PB+PC最小．（1）[问题解决]如图2，把△CAP绕点C顺时针旋转60°得到△CED，连接PD和AE，当点B，P，D，E四点共线时，PA+PB+PC的最小值即为线段BE的长，此时∠APB＝度；

（2）[问题拓展]如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是△ABC内一点，若∠APC＝135°，PA＝2，PC＝1，求PB的长；（3）[实际应用]如图4，△ABC是A，B，C三座城市位置的平面示意图，要在△ABC内规划建设一个物流基地（用点P表示），连接PA，PB，PC，并使PA+PB+PC最小；经测量：AC＝40km，BC＝30km，∠ACB＝60°，求PA+PB+PC的最小值．16．（2022•西青区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2）分别是坐标轴上的点，连接AB．把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′BO′．点A，O旋转后的对应点为点A′，O′．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点O′落在AB边上时，求α的值和点O′的坐标：（Ⅱ）如图②，当α＝60°时，求AA′的长和点O′的坐标：（Ⅲ）连接AO′，直接写出在旋转过程中△AO′A′面积的最大值．17．（2022•历下区二模）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB

边上一点，且点E不与A、B重合，ED⊥AC于点D．（1）当∠B＝30°时，①＝；②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（2）当∠B＝45°时，将△ADE绕点A旋转，使得∠DEB＝90°，若AC＝5，AD＝，请直接写出线段CD的长．18．（2022•南关区校级模拟）【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD的取值范围是．【应用】如图②，在△ABC中，D为边BC的中点、已知AB＝10，AC＝6，AD＝4，求BC的长．【拓展】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF．已知BE＝5，CF＝6，则EF的长为．

19．（2022•伊川县模拟）已知△ACB和△EDB均为直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，直线AE与直线CD交于点M．（1）观察猜想如图①，当∠ABC＝∠EBD＝45°时，线段AE和CD的数量关系是；∠AMC＝°．（2）探究证明如图②，当∠ABC＝∠EBD＝30°时，线段AE和CD的数量关系是什么？∠AMC的度数又是多少？请说明理由．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BC＝9，BD＝6，将△EDB绕点B旋转，在整个旋转过程中，当A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线AE的距离．20．（2022•息烽县二模）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝°；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．

21．（2021•东莞市校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点A，E为直线l上一点，将△ACE绕点C顺时针旋转90°至△BCE'的位置，且点E'恰好在直线l上．（1）求证：∠AE'B＝90°且E'C平分∠AE'B；（2）若AE'＝CE'＝2+，求证：△ACE≌△OAE'；（3）在（2）的条件下，求S△ABC．22．（2021•东港区校级一模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．

（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．23．（2022•立山区一模）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接