2011年-2018年重庆市历年高考理科数学试卷真题及答案（共6套）

2011年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2011•重庆）复数=（） A． B． C． D．2．（2011•重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2011•重庆）已知，则a=（） A．1 B．2 C．3 D．64．（2011•重庆）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（） A．6 B．7 C．8 D．95．（2011•重庆）下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|，在其上为增函数的是（） A．（﹣∞，1] B． C． D．（1，2）6．（2011•重庆）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（） A． B． C．1 D．7．（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（） A． B．4 C． D．58．（2011•重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（） A． B． C． D．9．（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（） A． B． C．1 D．10．（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（） A．﹣8 B．8 C．12 D．13二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2011•重庆）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=_________．12．（2011•重庆）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|=_________．13．（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_________．14．（2011•重庆）已知，且，则的值为_________．15．（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点_________．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（2011•重庆）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．17．（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源在片区的个数的ξ分布列与期望．18．（2011•重庆）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（I）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．19．（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．20．（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．21．（2011•重庆）设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤ak≤．

2011年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2011•重庆）复数=（） A． B． C． D．考点：复数代数形式的混合运算。专题：计算题。分析：利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：复数====故选C点评：题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（2011•重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。专题：计算题。分析：由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．解答：解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．3．（2011•重庆）已知，则a=（） A．1 B．2 C．3 D．6考点：极限及其运算。专题：计算题。分析：先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．解答：解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故答案选D．点评：关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．4．（2011•重庆）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（） A．6 B．7 C．8 D．9考点：二项式系数的性质。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x5与x6的系数，列出方程求出n．解答：解：二项式展开式的通项为Tr+1=3rCnrxr∴展开式中x5与x6的系数分别是35Cn5，36Cn6∴35Cn5=36Cn6解得n=7故选B点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．（2011•重庆）下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|，在其上为增函数的是（） A．（﹣∞，1] B． C． D．（1，2）考点：对数函数的单调性与特殊点。分析：根据零点分段法，我们易将函数f（x）=|lg（2﹣x）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论．解答：解：∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据“同增异减”的原则确定每一段函数的单调性是解答本题的关键．6．（2011•重庆）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（） A． B． C．1 D．考点：余弦定理的应用。专题：计算题。分析：将已知的等式展开；利用余弦定理表示出a2+b2﹣c2求出ab的值．解答：解：∵（a+b）2﹣c2=4，即a2+b2﹣c2+2ab=4，由余弦定理得2abcosC+2ab=4，∵C=60°，∴，故选A．点评：本题考查三角形中余弦定理的应用．7．（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（） A． B．4 C． D．5考点：基本不等式。专题：计算题。分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．8．（2011•重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（） A． B． C． D．考点：圆的标准方程；两点间的距离公式。专题：数形结合。分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选B点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．9．（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（） A． B． C．1 D．考点：点、线、面间的距离计算；球内接多面体。专题：计算题。分析：由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，而球心到小圆圆心的距离为，则推出顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心的距离为1，即可求出底面ABCD的中心与顶点S之间的距离．解答：解：由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球心到小圆圆心的距离为，顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心的距离为1，所以底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为1故选C点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，考查逻辑推理能力，计算能力，转化与划归的思想．10．（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（） A．﹣8 B．8 C．12 D．13考点：二次函数的性质。专题：计算题。分析：将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．解答：解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，z=m+k取得最小值，即zmin=13．故选D．点评：此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2011•重庆）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=74．考点：等差数列的性质。专题：计算题。分析：根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果．解答：解：等差数列{an}中，a3+a7=37，∵a3+a7=a2+a8=a4+a6=37∴a2+a4+a6+a8=37+37=74，故答案为：74点评：本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算的错误是一个送分题目．12．（2011•重庆）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。专题：计算题。分析：利用向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．解答：解：===5﹣4cos60°=3∴故答案为点评：本题考查求向量的模常利用向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．13．（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。专题：计算题。分析：本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况，正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，写出概率，得到结果．解答：解：由题意知本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是++==故答案为：点评：本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清题目所给的条件符合什么规律，在按照规律解题．14．（2011•重庆）已知，且，则的值为．考点：三角函数的恒等变换及化简求值。专题：计算题。分析：利用题设等式，两边平方后即可求得sin2α，进而根据同角三角函数的基本关系求得cos2α，利用正弦的两角和公式把原式的分母展开，把cos2α和sinα﹣cosα的值代入即可．解答：解：∵∴sinα﹣cosα=，两边平方后求得1﹣2sinαcosα=∴sin2α=∵sinα﹣cosα=＞0∴∴2α∈（，π）∴cos2α=﹣=﹣∴===﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了三角函数恒等变换及化简求值．主要是利用了同角三角函数中平方关系解题．15．（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点（2，0）．考点：圆与圆锥曲线的综合。专题：计算题。分析：先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．解答：解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x+2=0，故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，所以F在圆上．故答案为：（2，0）．点评：主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（2011•重庆）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值。专题：计算题。分析：利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．解答：解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．17．（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源在片区的个数的ξ分布列与期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率。专题：计算题。分析：（I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222，得到概率．（II）由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望值．解答：解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222∴根据等可能事件的概率公式得到P==（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列是∴Eξ=点评：本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．18．（2011•重庆）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（I）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。专题：计算题；综合题；转化思想。分析：（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．解答：解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣\frac{3}{2}x2﹣3x+1∴f（1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）=0，则x=0或x=3∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．19．（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题；综合题；数形结合。分析：（I）要求四面体ABCD的体积，必须确定它的高和底面，由已知，△ABC作为底面，高易作，根据线段的长度，即可求得四面体ABCD的体积；（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根据该角为60°，找到各边之间的关系，利用平移的方法找出异面直线AD与BC所成角，解三角形，即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值．解答：解：（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC．故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=，在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，由勾股定理易知BC=，AB=．故四面体ABCD的体积V==．（II）设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG∥AD，GH∥BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成角或其补角．设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，由题设知∠DEF=60°．设AD=a，则DF=AD•SsinCAD=，在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，从而GH=BC=EF=，因Rt△ADE≌Rt△BDE，故在Rt△BDF中，FH=．又FG=AD=，从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得cosFGH==．点评：此题是个中档题．考查棱锥的体积公式和异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，找二面角的平面角时注意三垂线定理及其逆定理的应用，体现了数形结合和转化的思想．20．（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义。专题：计算题。分析：（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a和c，则b可得，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出P，M，N的坐标，根据题设等式建立等式，把M，N代入椭圆方程，整理求得x2+2y220+4（x1x2+2y1y2），设出直线OM，ON的斜率，利用题意可求得x1x2+2y1y2=0，进而求得x2+2y2的值，利用椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值求得c，则两焦点坐标可得．解答：解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=∴b==∴椭圆的方程为：（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），即x=x1+2x2，y=y1+2y2，∵点M，N在椭圆上，所以，故x2+2y2=（x12+4x22+4x1x2）+2（y12+4y22+4y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=﹣∴x1x2+2y1y2=0∴x2+2y2=20所以P在椭圆设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，由椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值，因为c=，则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．21．（2011•重庆）设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤ak≤．考点：数列与不等式的综合；数列递推式。专题：综合题。分析：（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2=﹣2，由此能求出S2和a3．（Ⅱ）由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn，Sn≠1，an+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤an﹣1≤．解答：解：（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2≠0，∴S2=﹣2．由S2+a3=a3S2，解得．（Ⅱ）证明：因为Sn+1=a1+a2+a3+…+an+an+1=an+1+Sn，由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn，∴Sn≠1，an+1≠1，且，又从而对k≥3，有0≤ak≤．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

参与本试卷答题和审题的老师有：394782；qiss；涨停；yhx01248；wdnah；Mrwang；zhwsd；zlzhan；minqi5；sllwyn；邢新丽；rxl。（排名不分先后）菁优网2012年6月8日

2012年高考重庆理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的（1）在等差数列中，，则的前5项和（A）7（B）15（C）20（D）25（2）不等式的解集为（A）（B）（C）（D）（3）对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（A）相离（B）相切（C）相交但直线不过圆心（D）相交且直线过圆心（4）的展开式中常数项为（A）（B）（C）（D）105（5）设是方程的两根，则的值（A）-3（B）-1（C）1（D）3（6）设向量，且，则（A）（B）（C）（D）10（7）已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为[0,1]上的增函数”是“为[3，4]上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件（8）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数有极大值和极小值（B）函数有极大值和极小值（C）函数有极大值和极小值（D）函数有极大值和极小值（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（10）设平面点集，则所表示的平面图形的面积为（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上（11）若，其中为虚数单位，则.（12）.（13）设的内角的对边分别为，且则.（14）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=.（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数极值．17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望.18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）设其中（Ⅰ）求函数的值域；（Ⅱ）若在上为增函数，求的最大值19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱中，，，为的中点。（Ⅰ）求点C到平面的距离;（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过作直线交椭圆于，，求直线的方程21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知的前项和满足，其中（Ⅰ）求证：首项为1的等比数列；（Ⅱ）若，求证：，并给指出等号成立的充要条件。

试卷解析试卷总评2012年高考重庆卷数学文理科的特点是"稳中有降、梯度合理、试题亲切、背景公平"。稳中有降：1、整份试题继承了去年试题的框架结构，全面考查了《考试大纲》各部分的内容，函数、三角函数、不等式、数列、圆锥曲线等仍是稳定的主干考点；2、客观题（选择、填空）的压轴题都较往年降低了难度，连接解答题的难度也略低于往年，试题面向全体考生，体现了向新课改主干知识平稳过渡。梯度合理：整份试题层次分明，问题设置科学、合理，对数学基础、数学水平、数学能力不同的学生有着较好的区分度，部分试题设计巧妙，能考察学生综合分析以及继续学习的潜能，不仅有利于优秀学生的发挥，也有利于数学中等生取得满意的成绩。试题亲切：全卷试题表述清晰、富有数学美感，考生审题无文字障碍；淡化特殊技巧，回归常态，运算量适中；试题紧扣教材，对高中主干知识考察的明晰且突出，经典数学问题的重构与改编所考察的数学思想与方法体现出了命题者的匠心独用。背景公平：全卷无偏、难、怪、繁的试题，体现数学应用意识的一些题目选材自然、具有生活体验，如学生轮流投篮胜负的探讨、学校课表安排等题目，这些题目对城乡学生的审题、分析以至于解题过程均体现出公平的认知背景，同时也较好地体现了新课改中数学文化的渗透。值得一提的是，命题者注重文理科差异，命题具有针对性。(21道试题中有9道是同源题目，其他均采用了不同的试题，考察体现了文理科学生的数学学习能力差异)总之，整份试题应该说是一份对如何考查双基内容作出了完美的诠释的试题，不仅是一份有利于高校选拔人才的试卷，更对高中数学课堂教学改革起到了风向标的引领作用。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的（1）在等差数列中，，则的前5项和（A）7（B）15（C）20（D）25【答案】：B【解析】：，【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，解题时要认真审题，仔细解答．（2）不等式的解集为（A）（B）（C）（D）（3）对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（A）相离（B）相切（C）相交但直线不过圆心（D）相交且直线过圆心（4）的展开式中常数项为（A）（B）（C）（D）105【答案】B【解析】：令解得展开式中常数项为【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的常数项（5）设是方程的两根，则的值（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】：A【解析】：，则【考点定位】本此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值．（6）设向量，且，则（A）（B）（C）（D）10（7）已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为[0,1]上的增函数”是“为[3，4]上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件【答案】：D【解析】：由是定义在R上的偶函数及[0,1]上的增函数可知在[-1,0]减函数，又2为周期，所以[3，4]上的减函数【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性，进而来考查函数的周期性．根据图象分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键．（8）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数有极大值和极小值（B）函数有极大值和极小值（C）函数有极大值和极小值（D）函数有极大值和极小值（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】：A【解析】：，，，【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．（10）设平面点集，则所表示的平面图形的面积为（A）（B）（C）（D）【答案】：D【解析】：由对称性：围成的面积与围成的面积相等得：所表示的平面图形的面积为围成的面积即【考点定位】本题考查极限的求法和应用，因都没有极限，可先分母有理化再求极限；（13）设的内角的对边分别为，且则【答案】：【解析】：由得由正弦定理得由余弦定理得则【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值本题的突破点，然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值．（14）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=。（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.【答案】：【解析】：语文、数学、外语三门文化课间隔1节艺术课排列有种排法，语文、数学、外语三门文化课相邻有种排法，语文、数学、外语三门文化课两门相邻有种排法，故所有的排法种数有+，在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为【考点定位】本题在计数时根据具体情况选用了插空法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义．三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数极值．17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】：设分别表示甲、乙在第k次投篮中，则（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知（Ⅱ）的所有可能值为1，2，3。由独立性知综上知，有分布列123P从而，（次）【考点定位】本题考查离散型随机变量的分布列和期望即相互独立事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）设其中（Ⅰ）求函数的值域；（Ⅱ）若在上为增函数，求的最大值【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】：：（Ⅰ）因，所以函数的值域为（Ⅱ）因在每个闭区间（）上为增函数，故（）在每个闭区间（）上为增函数19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱中，，，为的中点。（Ⅰ）求点C到平面的距离;（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】：（Ⅰ）因，D为AB的中点，得。又故面所以到平面的距离为（Ⅱ）：如答（19）图1，取为的中点，连接，则又由（Ⅰ）知面故，故为所求的二面角的平面角。因是在面上的射影，又已知由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以≌，因此，得从而所以在中，（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过作直线交椭圆于，，求直线的方程【答案】：（Ⅰ）+=1（Ⅱ）和【解析】：：（Ⅰ）如答（20）图，设所求椭圆的标准方程为+=1（），右焦点为因是直角三角形且，故为直角，从而，即，结合得。故，所以离心率，在中，故由题设条件得，从而因此所求椭圆的的标准方程为：+=1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由题意，直线的倾斜角不为0，故可设直线21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知的前项和满足，其中（Ⅰ）求证：首项为1的等比数列；（Ⅱ）若，求证：，并给指出等号成立的充要条件。【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）当且仅当或时等号成立【解析】：（Ⅰ）由，即，因，故，得又由题设条件知，两式相减得，即由，知，因此综上对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。（Ⅱ）当时，显然，等号成立设且，由（Ⅰ）知，所以要证的不等式化为即证：，当时，上面不等式的等号成立当时，与同为负；当时与同为正，因此当且时，总有，即上面不等式对从1到求各得由此得综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013重庆，理1)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则U(A∪B)＝()．A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}2．(2013重庆，理2)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()．A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．(2013重庆，理3)(－6≤a≤3)的最大值为()．A．9B．C．3D．4．(2013重庆，理4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()．A．2,5B．5,5C．5,8D．8,85．(2013重庆，理5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．B．C．200D．2406．(2013重庆，理6)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()．A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内7．(2013重庆，理7)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()．A．B．C．D．8．(2013重庆，理8)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()．A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤99．(2013重庆，理9)4cos50°－tan40°＝()．A．B．C．D．10．(2013重庆，理10)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||＜，则||的取值范围是()．A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．(2013重庆，理11)已知复数(i是虚数单位)，则|z|＝__________.12．(2013重庆，理12)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝__________.13．(2013重庆，理13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．14．(2013重庆，理14)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为__________．15．(2013重庆，理15)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝__________.16．(2013重庆，理16)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013重庆，理17)(本小题满分13分，(1)小问6分，(2)小问7分．)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．18．(2013重庆，理18)(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分．)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．

19．(2013重庆，理19)(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分．)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB．(1)求PA的长；(2)求二面角B－AF－D的正弦值．20．(2013重庆，理20)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝，，求tanα的值．

21．(2013重庆，理21)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．

22．(2013重庆，理22)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)对正整数n，记In＝{1,2，…，n}，.(1)求集合P7中元素的个数；(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：D解析：∵A∪B＝{1,2,3}，而U＝{1,2,3,4}，故U(A∪B)＝{4}，故选D．2．答案：D解析：全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D．3．答案：B解析：方法一：＝，因为－6≤a≤3，所以当时取得最大值.方法二：∵－6≤a≤3，∴3－a≥0，a＋6≥0.而(3－a)＋(a＋6)＝9，由基本不等式得：(3－a)＋(a－6)≥，即，∴，当且仅当3－a＝a＋6，即时取等号．4．答案：C解析：由甲组数据中位数为15，可得x＝5；而乙组数据的平均数，可解得y＝8.故选C．5．答案：C解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V＝×(2＋8)×4×10＝200，故选C．6．答案：A解析：由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A．7．答案：A解析：圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值．又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为|C3C2|－4＝，故选A．8．答案：B解析：由程序框图可知，输出的结果为s＝log23×log34×…×logk(k＋1)＝log2(k＋1)．由s＝3，即log2(k＋1)＝3，解得k＝7.又∵不满足判断框内的条件时才能输出s，∴条件应为k≤7.9．答案：C解析：4cos50°－tan40°＝＝＝＝.10．答案：D解析：因为⊥，所以可以A为原点，分别以，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，则＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0.由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，即0≤1－x2＋1－y2＜.所以＜x2＋y2≤2，即.所以||的取值范围是，故选D．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．答案：解析：，∴.12．答案：64解析：由a1＝1且a1，a2，a5成等比数列，得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2，故S8＝8a1＋d＝64.13．答案：590解析：方法一：从12名医生中任选5名，不同选法有种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有种，只去骨科和内科两科医生的选法有种，只去脑外科和内科两科医生的选法有种，只去内科一科医生的选法有种，故符合条件的选法有：792－21－55－125－1＝590种．方法二：设选骨科医生x名，脑外科医生y名，则需选内科医生(5－x－y)人．(1)当x＝y＝1时，有种不同选法；(2)当x＝1，y＝2时，有种不同选法；(3)当x＝1，y＝3时，有种不同选法；(4)当x＝2，y＝1时，有种不同选法；(5)当x＝2，y＝2时，有种不同选法；(6)当x＝3，y＝1时，有种不同选法．所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．答案：5解析：在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝20，可得BC＝.由弦切角定理，可得∠BCD＝∠A＝60°.在Rt△BCD中，可求得CD＝，BD＝15.又由切割线定理，可得CD2＝DE·DB，可求得DE＝5.15．答案：16解析：由极坐标方程ρcosθ＝4，化为直角坐标方程可得x＝4，而由曲线参数方程消参得x3＝y2，∴y2＝43＝64，即y＝±8，∴|AB|＝|8－(－8)|＝16.16．答案：(－∞，8]解析：方法一：设f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＝可求得f(x)的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a≤8，故a的取值范围是(－∞，8]．方法二：由绝对值不等式，得|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，∴不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解时，a的取值范围为(－∞，8]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x＞0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.18．解：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝.(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝，P(X＝0)＝.综上知X的分布列为X01050200P从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．19．解：(1)如图，连接BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形．又AC平分∠BCD，故AC⊥BD．以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CD＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3，又OD＝CD＝，故A(0，－3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)．因PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，由F为PC边中点，F.又＝，＝(，3，－z)，因AF⊥PB，故·＝0，即6－＝0，(舍去)，所以||＝.(2)由(1)知＝(，3,0)，＝(，3,0)，＝(0,2，)，设平面FAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n1·＝0，n1·＝0，得因此可取n1＝(3，，－2)．由n2·＝0，n2·＝0，得故可取n2＝(3，，2)．从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝，故二面角B－AF－D的正弦值为.20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，由余弦定理有cosC＝，故.(2)由题意得＝.因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①因为，A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝，解得sinAsinB＝.由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.21．解：(1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则.从而e2＋＝1.由得，从而.故该椭圆的标准方程为.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x02＋＝(x－2x0)2－x02＋8(x∈[－4,4])．设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x02.因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，即(x1－x0)2－y12＝0.由椭圆方程及x1＝2x0得，解得，.从而|QP|2＝8－x02＝.故这样的圆有两个，其标准方程分别为，.22．解：(1)当k＝4时，中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝PnIn，不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3A，即3∈B．同理6∈A,10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾．再证P14符合要求，当k＝1时，可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.当k＝4时，集中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：，.当k＝9时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：，.最后，集中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.综上，所求n的最大值为14.注：对P14的分拆方法不是唯一的．

2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)在复平面内表示复数的点位于（）第一象限第二象限第三象限第四象限(2)对任意等比数列,下列说法一定正确的是（）成等比数列成等比数列成等比数列成等比数列(3)已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由观测的数据得线性回归方程可能为（）A.B.C.D.(4)已知向量，且，则实数=（）D.(5)执行如题（5）图所示的程序框图，若输出的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A.B.C.D.(6)已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（）(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72(8)设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.3(9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.3(10)已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.二、填空题本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.(11)设全集，则______.(12)函数的最小值为_________.(13)已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.(14)过圆外一点作圆的切线（为切点），再作割线，分别交圆于，，若，AC=8，BC=9，则AB=________.(15)已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，正半轴为极轴线与曲线的公共点的极经________.(16)若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.(17)（本小题13分，（=1\*ROMANI）小问5分，（=2\*ROMANII）小问8分）已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（=1\*ROMANI）求和的值；（=2\*ROMANII）若，求的值.(18)（本小题满分13分，（=1\*ROMANI）小问5分，（=2\*ROMANII）小问8分））一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列（注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数）.(19)（本小题满分12分，（1）小问6分，（=2\*ROMAN2）小问7分））如图（19），四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.（1）求的长；（2）求二面角的正弦值.(20)（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.(1)确定的值；(2)若，判断的单调性；(3)若有极值，求的取值范围.(21)（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）如题（21）图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..(22)（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）设（1）若，求及数列的通项公式；（2）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.2014年高考重庆卷理科数学参考答案一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)【答案】A【解析】(2)【答案】D(3)【答案】A【解析】(4)【答案】C(5)【答案】C【解析】(6)【答案】D【解析】(7)【答案】B【解析】原三棱柱：底面三角形两直角边为3和4，高为4；截掉高为3的上部棱锥后余下的几何体的表面积（8）【答案】B【解析】设，，且，则，，(9)【答案】B【解析】先排歌舞，再排其它：（1）歌舞中间有一个，插空法：(10)【答案】A【解析】二、填空题本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。(11)【答案】【解析】(12)【答案】【解析】(13)【答案】【解析】考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.(14)【答案】4【解析】(15)【答案】【解析】

若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.(16)【答案】【解析】三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17.（本小题13分，（I）小问5分，（II）小问8分）【解析】（I）（II）18.（本小题满分13分）【解析】（I）（II）X的分布列如下：x123p19.（本小题满分12分）【解析】（I）（II）（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）【解析】（1）（2）（3）21.【解析】（I）（II）（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）【解析】（I）（II）

2015年高考重庆市理科数学真题一选择题1．已知集合A=,B=，则（）A． B．AB= C．AB D．BA2．在等差数列中，若=4，=2，则=（）A．-1 B．0 C．1 D．63．重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．234．“x>1”是“（x+2）<0”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．6．若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为（）A． B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A．s B．s C．s D．s8．已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B． C．6 D．9．若tan=2tan，则（）A．1 B．2 C．3 D．410．设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．（-1,0）（0,1） B．（-，-1）（1，+）C．（-，0）（0，） D．（-，-）（，+）二、填空题11．设复数a+bi（a，bR）的模为，则（a+bi）（a-bi）=________.12．的展开式中的系数是________(用数字作答).13．在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.14．如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.15．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______.16．若函数f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______.17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望18．已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论在上的单调性.19．如图，三棱锥中，平面分别为线段上的点，且（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）求二面角的余弦值。20．设函数（Ⅰ）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围。21．如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且（Ⅰ）若求椭圆的标准方程（Ⅱ）若求椭圆的离心率22．在数列中，（I）若求数列的通项公式；（II）若证明：2015年高考重庆市理科数学真题详细答案一选择题1．答案：D解析过程：由于，故A、B、C均错，D是正确的，选D.2．答案：B解析过程：由等差数列的性质得，选B.3．答案：B解析过程：从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.4．答案：B解析过程：,因此选B.5．答案：A解析过程：这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，，故选A.6．答案：A解析过程：由题意，即，所以，，，选A.7．答案：C解析过程：由程序框图，的值依次为0，2，4，6，8，因此（此时）还必须计算一次，因此可填，选C.8．答案：C解析过程：圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，，即，.选C.9．答案：C解析过程：＝，选C.10．答案：A解析过程：由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由得，解得，所以，所以，因此渐近线的斜率取值范围是，选A.二、填空题11．答案：3解析过程：由得，即，所以.12．答案：解析过程：二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为.13．答案：解析过程：由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.14．答案：2解析过程：首先由切割线定理得，因此，，又，因此，再相交弦定理有，所以.15．答案：解析过程：直线的普通方程为，由得，直角坐标方程为，把代入双曲线方程解得，因此交点.为，其极坐标为.16．答案：-6或4解析过程：由绝对值的性质知的最小值在或时取得，若，或，经检验均不合；若，则，或，经检验合题意，因此或.17．答案：见解析解析过程：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取1个”，则由古典概型的概率计算公式有(Ⅱ)X的所有可能值为0，1，2，且综上知，X的分布列为X012P故(个).18．答案