苏教数学电子题库 第章.3.知能优化训练

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．若O是▱ABCD的两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是__________．①eq\o（AD,\s\up6（→））与eq\o（AB,\s\up6(→))；②eq\o（DA，\s\up6（→))与eq\o（BC，\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→））与eq\o(DC，\s\up6（→))；④eq\o（OD，\s\up6（→)）与eq\o(OB，\s\up6(→)）.解析：只要是平面上不共线的两个向量都可作为基底,eq\o(AD,\s\up6（→））与eq\o（AB,\s\up6(→）)是有公共点的不共线向量，eq\o(CA，\s\up6(→）)与eq\o（DC,\s\up6（→))也是有公共点的不共线向量．答案:①③2．若O是▱ABCD两对角线的交点，eq\o（AB,\s\up6（→））＝4e1，eq\o（BC，\s\up6（→))＝6e2，则3e2－2e1＝__________.解析:3e2－2e1＝eq\f（1，2)(6e2－4e1）＝eq\f(1，2)（eq\o（BC，\s\up6(→)）－eq\o(AB,\s\up6(→））),结合图形可知，上式＝eq\f(1,2)（Aeq\o(D，\s\up6（→)）－eq\o(AB,\s\up6(→）))＝eq\f(1，2)eq\o（BD,\s\up6（→））＝eq\o(BO，\s\up6（→）)。答案：eq\o(BO,\s\up6（→)）3．已知e1,e2是平面所有向量的一组基底，那么下列一组向量不能作为基底的是__________．①e1和e1＋e2②e1－2e2和e2－2e1③e1－2e2和4e2－2e1④e1＋e2和e1－e2解析：因为4e1－2e1＝－2(e1－2e2)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线．答案：③4．下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是__________．解析：平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平面内所有向量的基底,基底本身也可以用这组基底表示．故①错,②对；由于零向量与平面内的任一向量共线，故③正确．答案：②③一、填空题1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1、e2不共线,则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是__________．解析：∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2（a＋b)．∴a＋b与c共线．答案:共线2．设e1、e2是平面的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2,则e1＋e2＝______a＋______b.解析：由方程组:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝e1＋2e2，，b＝－e1＋e2，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（e1＝\f（1，3）a－\f(2，3)b,e2＝\f(1，3）a＋\f(1,3）b)）。所以e1＋e2＝(eq\f（1，3)a－eq\f（2,3）b)＋（eq\f(1，3)a＋eq\f(1，3）b）＝eq\f(2，3）a＋（－eq\f(1,3）)b。答案：eq\f（2,3）－eq\f(1，3)3．已知eq\o(OA，\s\up6(→））＝a，eq\o(OB,\s\up6(→））＝b,C为线段AB上距A较近的一个三等分点,D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示eq\o(OD,\s\up6(→）)为__________．解析：∵eq\o(OD，\s\up6（→）)＝eq\o（OA，\s\up6(→))＋eq\o（AD,\s\up6(→）)，eq\o(AD，\s\up6(→））＝eq\o(AC，\s\up6（→）)＋eq\o(CD，\s\up6（→））＝eq\f（1，3）eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1，3）eq\o(CB,\s\up6(→））＝eq\f(1,3）eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\f(2，9)eq\o（AB,\s\up6(→)）＝eq\f(5，9）eq\o(AB,\s\up6(→）).∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(5,9）b－eq\f（5，9）a，∴eq\o（OD,\s\up6(→）)＝a＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（5，9）b－\f(5,9）a）)＝eq\f（4,9)a＋eq\f(5，9)b。答案：eq\f（4,9）a＋eq\f(5,9）b4．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2,则a写成λ1b＋λ2c的形式是__________．解析:由题可设a＝xb＋yc，即－e1＋3e2＝x（4e1＋2e2）＋y(－3e1＋12e2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝4x－3y,,3＝2x＋12y。))∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－\f（1，18）,,y＝\f(7，27）.)）答案：a＝－eq\f（1,18）b＋eq\f(7，27)c5．已知O、A、B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2eq\o（AC,\s\up6（→))＋eq\o(CB，\s\up6（→)）＝0，若eq\o(OA，\s\up6(→)）＝a，OB＝b，则eq\o(OC,\s\up6(→）)可用a，b表示为________．解析：由2eq\o（AC,\s\up6（→））＋eq\o(CB，\s\up6(→))＝0可知，A为线段CB的中点，则OA＝eq\f（1,2)（eq\o(OC，\s\up6（→))＋eq\o（OB，\s\up6（→)）),eq\o（OC,\s\up6（→))＝2eq\o（OA,\s\up6（→)）－eq\o(OB,\s\up6（→))＝2a－b。答案：2a－b6．设向量e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则a＝e1＋λe2与向量b＝－e1＋2e2共线的充要条件是λ＝__________。解析:依题意a与b共线，应满足a＝mb（m∈R），即e1＋λe2＝m（－e1＋2e2)，又e1，e2不共线,∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1＝－m,，λ＝2m，））解得λ＝－2.答案：－27．已知D，E,F分别是△ABC的边BC，CA,AB上的点，且eq\o（BD，\s\up6（→)）＝eq\o(DC,\s\up6(→）)，eq\o（AE，\s\up6（→))＝2eq\o(EC，\s\up6(→)），eq\o(AF,\s\up6（→)）＝2eq\o(FB,\s\up6（→))，则2eq\o（AD,\s\up6（→)）＋3eq\o(BF，\s\up6(→))＋3eq\o（CE,\s\up6(→）)＝__________.解析:由eq\o(BD，\s\up6(→））＝eq\o（DC,\s\up6（→)），易知eq\o（AD，\s\up6（→）)＝eq\f(1，2）(eq\o（AB，\s\up6（→)）＋eq\o(AC，\s\up6(→)）），所以2eq\o(AD，\s\up6(→）)＝eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\o(AC,\s\up6（→）)，再由eq\o（AE，\s\up6（→））＝2eq\o(EC，\s\up6（→）),eq\o（AF,\s\up6（→))＝2eq\o（FB，\s\up6（→)），可知3eq\o（BF,\s\up6（→)）＝eq\o(BA，\s\up6(→）），3eq\o(CE，\s\up6(→））＝eq\o（CA，\s\up6（→)），所以2eq\o（AD，\s\up6（→)）＋3eq\o(BF,\s\up6（→））＋3eq\o(CE,\s\up6(→））＝0.答案：08．已知λ1＞0，λ2＞0，e1，e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1__________，a与e2__________(填“共线"或“不共线"）．解析：若a与e1共线，则存在实数λ使a＝λe1＝λ1e1＋λ2e2,则e1与e2共线,与e1,e2不共线矛盾．答案：不共线不共线二、解答题9．平行四边形ABCD中,M为DC的中点,N为BC的中点，设eq\o(AB,\s\up6(→））＝b,eq\o（AD，\s\up6（→))＝d,eq\o(AM,\s\up6(→)）＝m，eq\o（AN，\s\up6（→）)＝n。(1)以b，d为基底，表示eq\o（MN,\s\up6(→)）；（2)以m、n为基底，表示eq\o(AB，\s\up6（→））。解：如图所示．(1)eq\o(MN,\s\up6(→）)＝eq\o（AN，\s\up6(→)）－eq\o(AM，\s\up6(→))＝（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN，\s\up6（→））)－(eq\o(AD,\s\up6(→）)＋eq\o（DM,\s\up6(→））)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（b＋\f（1，2）d））－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d＋\f(1，2）b)）＝eq\f（1,2）b－eq\f（1,2）d.（2）m＝eq\o（AD,\s\up6(→)）＋eq\o(DM，\s\up6（→))＝d＋eq\f(1，2)eq\o(AB，\s\up6(→））,①n＝eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o(BN，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\f(1,2）d，所以2n＝2eq\o（AB，\s\up6（→）)＋d，②由①②消去d,得eq\o（AB，\s\up6（→))＝eq\f（4，3）n－eq\f(2，3)m。10．如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面上任意一点,求证：若存在实数p，q，r使得peq\o（OA，\s\up6(→))＋qeq\o（OB,\s\up6（→)）＋req\o(OC,\s\up6（→）)＝0，且p＋q＋r＝0，则必有p＝q＝r＝0.证明：由题意可得r＝－（p＋q)．又∵peq\o(OA，\s\up6（→))＋qeq\o(OB,\s\up6(→）)＋req\o(OC，\s\up6(→))＝0，∴peq\o(OA,\s\up6(→))＋qeq\o（OB,\s\up6(→）)－(p＋q）eq\o(OC，\s\up6(→))＝0,∴p(eq\o(OA，\s\up6(→))－OC)－q(eq\o(OC,\s\up6（→)）－eq\o(OB，\s\up6(→)))＝0，即peq\o（CA，\s\up6(→）)－qeq\o(BC，\s\up6（→)）＝0。∴peq\o（CA,\s\up6（→））＋qeq\o(CB,\s\up6（→)）＝0eq\a\vs4\al（＝)0·eq\o（CA，\s\up6(→））＋0·eq\o（CB，\s\up6(→)）.由平面向量基本定理可知，其分解是惟一的，∴p＝0，q＝0,∴p＋q＝0,∴r＝0.故p＝q＝r＝0。11．如图所示，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，AN＝2NC,AM与BN相交于点P，求证：eq\o(AP，\s\up6(→)）＝4eq\o（PM,\s\up6(→）).证明:记eq\o（BM,\s\up6(→））＝e1，eq\o(CN,\s\up6（→））＝e2，所以eq\o（AC，\s\up6（→)）＝－3e2，eq\o(CM，\s\up6(→））＝－e1，则eq\o（AM，\s\up6（→）)＝eq\o(AC，\s\up6(→）)＋eq\o（CM，\s\up6（→））＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→)）＝eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\o（CN，\s\up6（→）)＝2e1＋e2。因为A，P,M共线,且B，P，N共线，所以存在实数λ，μ，使eq\o(AP,\s\up6(→））＝λeq\o(AM，\s\up6(→))＝－3λe2－λe1；eq\o（BP,\s\up6(→)）＝μeq\o（BN,\s\up6(→）)＝2μe1＋μe2,所以eq\o（BA,\s\up6（→）)＝eq\o（BP，\s\up6（→）)＋eq\o(PA，\s\up6(→）)＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1＝（2μ＋λ）e1＋（μ＋3λ）e2，又eq\o(BA，\s\up6（→)）＝eq\o