玉林高中2016年级培优班数学补充资料7解析几何的存在性问题、定点定值问题及最值问题

./XX高中2015级培优班数学补充资料〔7存在性问题、定点定值问题与最值问题班别：____________姓名：_____________1、椭圆两焦点分别为F1、F2,P是椭圆在第一象限弧上一点,并满足,过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.〔1求P点坐标；〔2求证直线AB的斜率为定值；〔3求△PAB面积的最大值。2、已知椭圆E经过点A〔2,3,对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率〔I求椭圆E的方程；〔II求的角平分线所在直线的方程；〔III在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在,请找出；若不存在,说明理由.3、已知椭圆的两焦点为,,离心率.〔1求此椭圆的方程；〔2设直线,若与此椭圆相交于,两点,且等于椭圆的短轴长,求的值；〔3以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的直角三角形是否存在？若存在,请说明有几个；若不存在,请说明理由.4、已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线〔1求椭圆E的方程；〔2过点,斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请问x轴上是否存在点M,使为常数？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．5、已知椭圆的焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率,过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点．〔1求椭圆方程；〔2设点是线段上的一个动点,且,求的取值范围；〔3设点是点关于轴对称点,在轴上是否存在一个定点,使得三点共线？若存在,求出定点的坐标,若不存在,请说明理由．6.如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且△是面积为4的直角三角形.<Ⅰ>求该椭圆的离心率和标准方程;<Ⅱ>过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程XX高中2015级数学培优资料〔7答案存在性问题、定点定值问题与最值问题1、解：〔1由题得,,设,,∴,∵点在曲线上,则,∴,从而,得.则点P的坐标为.〔2由题意知,两直线PA、PB的斜率必存在,设PB的斜率为,则BP的直线方程为：.由得,设,则,同理可得,则,.所以：AB的斜率为定值.〔3设AB的直线方程：.由,得,由,得P到AB的距离为,则。]当且仅当取等号∴三角形PAB面积的最大值为。2、解析〔I设椭圆E的方程为将A〔2,3代入上式,得∴椭圆E的方程为〔II解法1：由〔I知,所以直线AF1的方程为：直线AF2的方程为：由点A在椭圆E上的位置知,直线l的斜率为正数.设上任一点,则若〔因其斜率为负,舍去.所以直线l的方程为：解法2：〔III解法1：假设存在这样的两个不同的点由于M在l上,故①又B,C在椭圆上,所以有两式相减,得即将该式写为,并将直线BC的斜率和线段BC的中点,表示代入该表达式中,得②①×2—②得,即BC的中点为点A,而这是不可能的.∴不存在满足题设条件的点B和C.解法2：假设存在,则得一元二次方程则是该方程的两个根,由韦达定理得于是∴B,C的中点坐标为又线段BC的中点在直线即B,C的中点坐标为〔2,3,与点A重合,矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.3、解：〔1设椭圆方程为,则,,所求椭圆方程为.〔2由,消去y,得,则得〔*设,则,,,,解得.,满足〔*〔3设能构成等腰直角三角形ABC,其中B〔0,1,由题意可知,直角边BA,BC不可能垂直或平行于x轴,故可设BA边所在直线的方程为〔不妨设k<0,则BC边所在直线的方程为,由,得A用代替上式中的k,得,由,得k<0,解得：或,故存在三个内接等腰直角三角形.-4、解：〔1依题意椭圆的焦点在x轴,且即〔2假设存在点M符合题意,设AB：代入得：则要使上式与K无关,则有,存在点满足题意．5、解：〔1由题意知,又,所以,所以〔2由〔1得,所以,设的方程为,联立得,,,〔*,,由题意得,代入可得,所以得〔3设,则有,所以,,所以,整理得：代入〔*式解得所以在轴上存在一个定点,使得三点共线．6.解:设所求椭圆的标准方程为,右焦点为.因是直角三角形,又,故为直角,因此,得.结合得,故,所以离心率.在中,,故由题设条件,得,从而.因此所求椭圆的标准方程为