2022-2023学年陕西省榆林市高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省榆林市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={幻0<2刀+1<2},8={-1,0,1,2},则4（~18=（）

A.{-l,0,l}B.{1,2}C.{0,l}D.{0}

2.已知向量益=（m+3,2）,E=（m,l）,若五与石共线，则实数m的值为（）

A.-3B.-ɪɛ.3D.1

3.等差数列{ajt}的前n项和为5,且a4+α7=16，贝IJSIO=（）

A.30B.40C.60D.80

4.下列函数中，在区间上单调递增的是（）

A.y=sin2xB.y=ln∣x∣C.y=2~xD.y=tanx

5.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社

区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前

和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）

O12345678910居民编号

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的方差小于讲座后正确率的方差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

6.在区间［—2,5］上随机抽取一个实数贝次满足/<1的概率为（）

AYB.IC.［DT

7777

7.设小、孔是两条直线，a、S是两个平面，若a〃氏TnUa,nc/?,则下列说法一定正确

的是（）

A.m∕∕nB.m∕∕β

C.zn、n是两条异面直线D.nɪ1∙Ti

8.已知函数/（x）=Sin（3%+0）3>0,-π<φ<0）的部分y

图像如图所示，则/（窄）=（）O一

J∑π、、一,农、五

9.已知4B为双曲线/_1=1上两点，且线段AB的中点坐标为（一1,一4）,则直线48的斜

率为（）

A.IB.IC.D.-|

10.从6名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，

则不同的组队方案共有（）

A.108种B.96种C.60种D.36种

11.将边长为2,NBAD=60。的菱形4BC。沿对角线BC折成直二面角,得到四面体4-BCD,

则四面体4-BCD的外接球的表面积为（）

A.2。EHB.20兀C.竽D.⅞

27ɔɔ

12.若函数/（乃=?+"x-a存在最小值，且其最小值记为g（a）,则g（a）的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13∙己知i是虚数单位,复数z=S,贝归的虚部为—.

14.己知抛物线C：y2=4x的焦点为凡点M在C上，若M到直线X=-3的距离为7,则IMFl=

15.函数f（x）是定义在R上的偶函数,满足f（1+x）=/（1-X）,若Xe[0,1]时，f（χ）=4x,

则/苧=

16.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于祛码的用来测量物体质量

的“环权”,已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列｛α",该数列的前3项

成等差数列，后7项成等比数列，且臼=1,α5=12,α9=192,则.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在中，角A,B,C的对边分别是α,b,c,满足2bcosB=ccosA+αcosC.

(1)求sinB；

(2)若b=2,α+c=4,求△4BC1的面积.

18.(本小题12.0分)

某学校组织学生参加“一带一路”知识竞赛，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采用分

层随机抽样的方法抽取了100名学生进行调查，分数分布在450〜950分之间，根据调查的结

果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示.将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.

(1)求频率分布直方图中α的值；

(2)现采用分层随机抽样的方法从分数落在［550,650)、［750,850)内的两组学生中抽取10人，

再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量

X,求X的分布列及数学期望.

频率.

旃

0.0025

0.0015

0.0010

°、/4505506507508509501数

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为正方形，PAL^ABCD,E,F分别是BC,PC的

中点.

(I)求证：AD1PB-,

(2)若PA=AB=2,求平面4EF与平面4EC所成角的余弦值.

P

20.(本小题12.0分)

已知椭圆C：W+g=l(α>b>0)的焦距为2,离心率为今

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y=久+沉与椭圆C交于M,N两点，。为坐标原点，且丽・丽=0,求实数Tn的值.

21.(本小题12.0分)

x

己知函数/(x)=X-e+α恰有两个零点X],x2(x1<x2).

(1)求实数a的取值范围；

(2)若函数g(x)=f(X)-f(-2x),求证：g(x)在(一8,0)上单调递减；

(3)证明：2x1+X2<0.

22.(本小题12.0分)

平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为3二

(α为参数)，以坐标原点。为极点,

X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程是pcos。+2psinθ-12=0.

(1)求曲线C的极坐标方程;

(2)设射线匕：6=*(p≥0)与曲线C交于点4,与直线1交于点8,求MBl的值.

23.(本小题12.0分)

设函数f(%)=∣x-l∣+2∣x+5∣.

(1)求不等式f(x)<10的解集；

(2)若∣α∣<3,网<3,求证：∖a+b∖+∖a-b∖<f(χ-).

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由集合4={x∣0<2%+1<2}={x∣-ɪ<X<∣},B={一l,0,l,2},

根据集合交集的概念及运算，可得4CB={O}.

故选：D.

先求得集合4={x|-T<x<},根据集合交集的概念及运算，即可求解.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：因为五=(m+3,2)与E=(m,l)共线，

所以(Tn+3)x1—2Xnl=0,

所以m=3.

故选：C.

根据向量共线的坐标表示列方程求Tn的值.

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由等差数列{αn}的前n项和为Sn,且Q4+α7=l6,可得的+Qlo=Q4+“7=16,

所以SIo=更号皿2=誓=80.

故选：D.

根据题意，利用等差数列的性质，求得αι+的o=16,结合SIo="婚④，即可求解.

本题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：对于4令一3+2k7rS2x≤5+2kτr,keZ,

可得一7+kτι≤%≤g+kττ,kEZ,

44

所以函数y=s讥2x在(一1,一令单调递减，在(一Sw)单调递增，在6,1)单调递增，不符合题意；

对于B,函数/(-x)=Inl-Xl=InlXl=/(%),所以函数f(x)为偶函数,

所以函数y=ln∣x∣在(―1,0)单调递减，在(0,1)上单调递增，不符合题意；

对于C中，函数y=2τ=g)x,根据指数函数的性质，可得函数y=2-x在(-1,1)单调递减，不符

合题意；

对于。中，根据正切函数的图象与性质，可得y=Snx在(-1,1)单调递增，符合题意.

故选：D.

根据初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

本题主要考查了函数单调性的判断，属于中档题.

5.【答案】B

【解析】解：讲座前中位数为7°%£5%>70%,所以4错；

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答

题的正确率的平均数大于85%,所以B对：

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方

差，所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以。错.

故选：B.

由图表信息，结合中位数、平均数、方差、极差的概念，逐项判断即可得解.

本题主要考查了统计图的应用，考查了平均数、中位数、方差和极差的计算，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：由/<1,解得一l<x<l,

则在区间［-2,5］上随机抽取一个实数X,则X满足/<1的概率为拌合=

故选：A.

解不等式得到-1<X<1,从而根据长度比求出几何概型的概率.

本题主要考查了几何概型的概率公式，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：nɪuα,n(∑β,Ra∕∕β,

・•・根据平面与平面平行的性质，可得m〃S，

故选：B.

根据平面与平面平行的性质，可得结论.

本题考查面面平行的性质的应用，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由函数f(x)的图像，可得力=”(一2兀)=3"=卜今

可得3=焉，所以f(%)=5苗(3》+0),

又由f(ττ)=Sin/+>)=1,可得知+0=ɪ+2kπtk∈Z,

解得0=-守+2kττ,k∈Z,因为一"V"VO,所以8=所以/(%)=SinqX-'

≡∕⅛=sin(∣×⅛-∣)=sin⅞=<≡.

故选：C.

根据函数/(x)的图像，求得函数的解析式为f(x)=sin("进而求得/(等)的值.

本题主要考查根据函数y=Asin{ωx+⑴)的部分图像求函数的解析式，正弦函数的图像和性质,

属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：设4(%1，%)，B(X2/2)，

则有好—卷=1，据—卷=1,

两式相减得至IJ(Xl-χ2)(ɪι+外)一—y2)(yι+y2)=0，

又线段48的中点坐标为(-1,-4),

所以(乙一X2)(—2)-一丫2)(-8)=0,得到矣=I

所以AB的斜率为今

故选：B.

设出A（XI,%）,B（X2,丫2），利用点差法即可求出结果.

本题考查点差法的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：从10名医生中选取3名医生有C；o种方法，选取的医生全是男医生的有C湃中方法，全

是女医生的有废种方法，

所以不同的组队方案共有CK一或一盘=120-20-4=96（种）.

故选:B.

根据给定条件，利用组合应用问题结合排除法列式计算作答.

本题考查排列组合相关知识，属于基础题.

Ii.【答案】C

【解析】解：如图所示,

因为边长为2,ABAD=60。的菱形4BCD,

可得△4BD和4BCD均为等边三角形，且边长为2,沿对角线BD折成直二面角,

取BD的中点为E,分别连接∕D,CE,则4。IBD且CElBD,

所以NAEC为二面角的平面角，所以NAEC=90。，

取等边AABD和△BCD的中心分别为O2,O1,

设三棱锥4-BCD的外接球的球心为O,连接。。1，OO2,

根据球的截面圆的性质，可得。。11平面BCD,且。。21平面4BD,

因为等边△4BD和△BCD,且边长为2,可得4E=CE=V^3,

且O2E=OIE=Ool=?，OIC=浮，

2

在直角△OOiC中，OC=λ/oo^+o1c=J(浮/+(亨)2=警，

即外接球的半径为R=Wl

所以四面体/—BCD的外接球的表面积为S=4TT7?2=4ττX(λɜɪʒ)2=^y^∙

故选：C.

取BD的中点为E,连接AD,CE,得至IJNAEC=90。，取等边△ZBD和△BCD的中心分别为。2,O1,

得到。OIj■平面BCD,且。。2,平面4BD,设三棱锥4-BC。的外接球的球心为。，利用求得截面

圆的性质，求得R=—,结合球的表面积公式，即可求解.

本题主要考查球的表面积的求解，属于中档题.

12.【答案】A

【解析】解：因为/(x)=?+仇X-α,所以/(x)的定义域为(0,+8),尸⑺=一/+：=裳

当α≤0时，/'(x)>0恒成立，所以/Q)在定义域上单调递增，不满足题意；

当Q>O时,令/'(X)<。得O<X<a,此时>%)单调递减,

令/(x)>0得％>α,此时/(%)单调递增，

所以当X=Q时，/(%)取得最小值，即g(α)=f(a)=I-Vlna-a,

√(α)=i-l=⅛

令g'(Q)>。得OVQV1，此时g(α)单调递增，令g'(ɑ)V。得α>1,此时g(α)单调递减，

所以当α=l时，g(a)取得最大值，即。(@)加以=g(l)=0∙

故选：A.

先利用导数确定函数/(%)的单调性，从而确定g(ɑ),然后再利用导数确定g(α)的最大值.

本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】一T

i

【解析】解：由复数Z=Tr=冷井八=百一白，所以复数Z的虚部为一点

(LIJLLɪ)乙乙L

故答案为：-

根据复数的运算法则，求得Z=T-夕，结合复数的定义，即可求解.

本题主要考查复数的运算，属于基础题.

14.【答案】5

【解析】解：由抛物线C：y2=4χ的焦点为尸(1,0),准线方程为χ=-l,

因为点M在C上，且M到直线X=-3的距离为7,

可得M到直线X=—1的距离为7-2=5,即点M到准线的距离为5,

根据抛物线的定义，可得点M到焦点的距离等于点M到准线的距离，

所以IMH=5.

故答案为：5.

根据题意转化为点M到准线X=-1的距离为5,结合抛物线的定义，即可求解.

本题考查了抛物线的性质，考查了运算能力，属于中档题.

15.【答案】2

【解析】解：因为/(l+x)=/(l—%),且/(X)是定义在R上的偶函数，

所以f(l+x)=f(x-1),

令t=x-l,则X=t+1,

所以/(t+2)=f(t),即/(x)=f(x+2),

所以函数/'(x)的周期为2,

又因为X∈[0,1]时，f(x)=4x,

所以/(等)=/(506×2-∣)=/(-∣)=∕⅛=4×i=2.

故答案为：2.

根据f(l+x)=f(l-x),结合f(x)是定义在R上的偶函数，可得函数/Q)的周期为2,然后由

f(等)=f(506×2-∣)=∏-∣)=f(》求解.

本题主要考查函数奇偶性与周期性的综合，函数的求值，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】2

【解析】解：设前3项的公差为d,后7项公比为q>0,

则V="=詈=16,且q>。，可得q=2,

则g=l+2d=J即l+2d=3,可得d=1,

所以fl⅛=%+d=2.

故答案为：2.

设前3项的公差为d,后7项公比为q>0,由q'=段求出q,即可得解.

本题考查等差数列，等比数列的通项，属于基础题.

17.【答案】解：(1)∙・•2bcosB=ccosA+acosC,

・•・2sinBcosB=SinCcosA+SinAcosC=SinG4+C)=sinBf

又B∈(0,π),ʌSinB>0,

・•・consB-1

・•・SinB=√1-cos2B=

(2)由⑴可知CoSB=米

根据余弦定理CoSB=^±c2-h∖Bill=Qww

2ac22ac

即α?+c2=ac+4,SP(a+c)2=3ac+4,

又α+c=4,则16=3αc+4,即αc=4,

4BC的面积SAABC=∖acsinB=ɪ×4×ʃ=V-3∙

【解析】(1)根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；

(2)利用余弦定理可推出αc=4,利用三角形面积公式即可求得答案.

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)根据频率分布直方图的性质，可得IOOX(0.0015+α+0.0025+0.0015+

0.0010)=1,

解得α=0.0035.

(2)由题意，从［550,650)中抽取7人，从［750,850)中抽取3人，

随机变量X的所有可能取值为0，1，2,3,

可得P(X=O)=S=着，P(X=I)=警=希，

P(X=2)=等=卷，P(X=3)=∣∙=1⅛

x4u

tɪθ∙CJQJ∙4U

所以随机变量X的分布列为：

X0123

3563211

P

120120120120

所以期望为E(X)=OX奇+lx粽+2X卷+3x卷=4

【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；

(2)根据题意，得到X的所有可能取值0,1,2,3,利用超几何分布的概率公式，求得相应的概率,

列出分布列，结合期望的公式，即可求解.

本题主要考查频率分布直方图，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中

档题.

19.【答案】解：(1)证明：因为P4_L平面4BCD,4。U平面48CD,

所以24J.A。，

因为底面力BCD为正方形，

所以AB_L4D,

又ABnP4=A,且ABU平面P4B,PAU平面P4B,

所以4。1平面PAB,

又PBU平面PAB,

所以AD1PB.

(2)由(I)可知，AP,AB,AO两两垂直，

以点4为原点，分别以4B、AD.AP所在直线为X轴、y轴、Z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),

又E,F分别是BC,PC的中点,

ʌF(l,l,l),E(2,l,0).

.∙.AF=(1,1,1),AEt=(2,1,0),½?=(0,0,2),

设平面4EF的法向量为记=(X,y,z),

嚼黑即版江U

取工=1,则y=—2,z=l.

・・・平面AEF的一个法向量为沆=

易知平面4EC的一个法向量为存=(0,0,2),

-ττ>―AP∙沅2V-6

•••z.西制=丽=女=丁

・•・平面4EF与平面4EC所成角的余弦值为《.

6

【解析】(1)先证明P414。，ABLAD,由线面垂直的判定定理证明4。_L平面P4B,再证明4。1

PB；

(2)由(1)可知，AP.AB、AD两两垂直，以点4为坐标原点，分别以4B、AD,4P所在直线为X轴、

y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，根据题中数据，分别求出平面AEF和平面ZEC的法向量，根据

向量夹角公式，求出法向量夹角，进而求解.

本题考查空间中垂直关系的证明，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，

推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由椭圆C：胃+，=1的焦距为2,离心率为

可得,解得a2=4,∕√=3,

所以椭圆C的方程为1+4=1.

43

1%2y2

2

(2)联立方程组五+©=1,整理得7M+8mx+4m-12=0,

Iy=%÷m

由/=64m2-28(4zn2-12)>0,

解得-C<m<√^7.

设M(XI,为)，N(X2,丫2)，

4m12

则+X2=-X1X2=y∙

所以=(Xl+M)(X2+m)=X1X2+6(Xl+X2)+62=3m~12

因为θʌ/=(x1,y1),ON=(x2,y2)»

4πι2-123τn2-127而一24

所以OM∙ON=XX+7ιyl0,

12277-7-

解得Wl=+空,

-7

即实数巾的值为+空.

【解析】(1)根据题意，列出关于α,b的方程组，求得α,b的值，即可求解；

5

(2)联立方程组，根据Zl>0,求得一，万<m<二,且勺+不=-≡,X1X2=等3，得到=

当士，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.

本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档

题.

21.【答案】解：(D由题意得f'(x)=l一姬,

当％<0时，∕,(x)>0；当％>0时，∕z(x)<0.

・•・函数/"(%)在(-8,0)上单调递增；在(0,+8)上单调递减,

λfMmax=/(0)=Q-L

又当工→-8时，ex→0,/(%)可取到负的无穷小值；

当工→+8时，一e“→-∞,/(%)也可取到负的无穷小值;

函数/(%)=%-峭+Q恰有两个零点，・•・f(x)mα%=Q-1>0，即Q>1.

・•・实数Q的取值范围为(L+8).

(2)证明：•・・g(%)=Q—e"+α)-(-2%-e—2%+α)=3%—e*+e一2χ,χ∈(-0ojo),

∙'∙g'(%)=3—ex-2e-2x,令∕ι(x)=3-ex—2e~2x,x∈(-∞,0),

・•.h,(χ)y—4e~2x—ex,

x

又x∈(-8,0)时，有4e-2%>ι,e<1,

・•.h!(x)>0,八(元)在(一8,0)上单调递增,

•••9'(%)在(-8,0)上单调递增，从而g'(x)<g'(0)=0,

∙,∙g(x)在(-8,0)上单调递减.

(3)证明:由⑴知,x1<0<X2,

要证2%+X2<0,只需证Λ⅛<-2x1,

∙.∙/(x)在(0,+8)上单调递减，

••・只需证/(&)>/■(一2%).

∙∙∙/(ɪi)=/。2)=0-

.•・只需证/01)>f(-2xι),其中Xι<0,

••・只需证gQι)=/(x1)-/(-2xι)>0,其中/<0,

由(2)知，当x<0时，g(x)>g(O)=O,

∙∙∙/(ɪi)-/(-2xι)>0.

・•・2x1+乃V0.

【解析】(1)求出函数的导数，判断其单调性，根据函数/(x)=X-蜡+a恰有两个零点列出不等

式，求得答案；

(2)写出g(x)=3x—e*+e-2jc,χ∈(-8,0),利用其导数证明单调性即可；

(3)采用逆推分析的方法，将证明2*1+&<0成立，转化为证明&<-2%成立，继而根据/(x)在

(0,+8)