2022-2023学年新疆昌吉州高中学联体高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆昌吉州高中学联体高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.复数Z=空的虚部为（）

A.—ɪiBC--D--

∙IJ22

2.已知向量五=(2,m),b=(-1,2).若方〃3，则m=（)

A.1B.2C.—4D.4

3.若复数Z满足Iz∙(2+i)∣=√^Tθ.其中i是虚数单位，则∣z∣2的值为（）

A.√-2B.2C.√-3D.3

4.设有直线m、n和平面a、β,下列四个命题中，正确的是（）

A.若m〃a,n∕∕a,则m〃ZI

B.若mua,TiUa,m∕∕β,n∕∕β,则a〃6

C.若a_L0,mua,则m10

D.若aJL0,mLβ,ma,则m〃a

5.某校高一年级的学生人数为640、高二年级的学生人数为600、高三年级的学生人数为560,

现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高三年级应该抽取的人

数为（）

A.28B.30C.32D.36

6.已知向量五，3满足石=（L1）,a-b=2^则五在石上的投影向量的坐标为（）

.yJ~27-2、

A.B.(1,1)C.(T-I)D∙(一好F)

7.小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了

如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距25

米的C,D两观测点，且C,D与教学楼底部B在同一水平面上，

在C,D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45。，30°,

并测得NBCD=I20。，则教学楼4B的高度是（）

A.20米B.25米C.15/3米D.20√~Σ米

8.若三棱锥P-4BC的所有顶点都在同一个球的表面上，其中P4_L平面ABC,PA=Z0,

AB=AC=2,/.BAC=90°,则该球的体积为（）

16ττC32ττ

A.16τr,~C.8ττD∙~

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法中，正确的是（）

A.极差和标准差都能描述一组数据的离散程度

B.如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差也改变

22

C.一个样本的方差s2=^[（x1-3）+（x2-3）+∙∙∙+（X2O-3）2],则这组数据总和等于60

D.数据的,a2,an的方差为S2,则数据2&,Ia2........2αrι的方差为2s?

10.正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长是5cτn,则下列说法正确的是（）

A.该正六棱台的上底面积是6√^3cnι2

B.该正六棱台的侧面面积是15cτ∏2

C.该正六棱台的表面积是（60/3+24<7T）cm2

D.该正六棱台的高是3cm

11.下列说法其中正确的说法为（）

A.若五〃ab∕∕c,则五〃了

B.右OA+OB+OC=0>SAAoc，SAABC分别表不^AOC>△4BC的面积，则SM":SbABC=1：

3

c.两个非零向量五,C若I五—Bl=Ial+3|，则五与B共线且反向

D.若五〃a则存在唯一实数/1使得力=4万

12.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿矩形对角线BD将△BCD折起形成四面体ABCD,

在这个过程中，现在下面四个结论其中所有正确结论为（）

A,在四面体ABCD中，当ZMIBC时，BC1AC

B.四面体ABCD的体积的最大值为g

C.在四面体ABCD中，BC与平面4B。所成角可能为方

D.四面体ABCD的外接球的体积为定值

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一

周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

党史学习时间(小时)7891()11

党员人数610987

则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是.

14.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次,

记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，则事件M发生的概率是.

15.在△4BC中，。为BC边上一点，ZB=≡BC=4,AC=2Λ∏,若使△4BD的个数有且

仅有两个，则线段4。长度的范围为

16.如图，正方体4BCD-4]BιGDι的棱长为2,E,F,G分

别为棱BC,CG,BBl的中点，则①直线EF到平面力遇。。1的距

离为2；②直线AE与直线GG的夹角的余弦值为|；③点C与点G

到平面4EF的距离之比为1：2；④平面4EF截正方体所得截面

面积为9.上述结论中正确的序号是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量五=(1,√^3).b=(-2,0).

(1)求下一7的坐标及IW—司;

(2)求方-方与方之间的夹角.

18.(本小题12.0分)

一个袋子中装有标号为1,2,3,4,5的5个球，除标号外没有其他差异,

(1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件4="第一次摸出球的标号小于第二

次摸出球的标号”，写出样本空间并求事件A发生的概率；

（2）采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球,设事件B="第一次摸出球的标号是奇数”，

设事件C="第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件B与事件C是否相互独立?

19.（本小题12.0分）

如图，在三棱柱BCF-40E中，若G,"分别是线段4C,OF的中点.

(1)求证：GH∕∕^∖BFC.

（2）在线段CD上是否存在一点P,使得平面GHP〃平面BCF,若存在，指出P的具体位置并证

明；若不存在，说明理由.

20.（本小题12.0分）

某超市从2023年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理

得到如图表所示的甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图：

分组（日销售量）频率（甲种酸奶）

[040)0.10

[10,20)0.20

[20,30)0.30

[30,40)0.25

[40,50)0.15

（1）求出频率分布直方图中α的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；

（2）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的平均值分别为《、工乙,求出X1；

（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替，试估计甲种酸奶在未来一个月（按

30天计算）的销售总量.

H销售量/箱

21.(本小题12.0分)

在①(SinA-Sine)Sin(4+B)=sin2>4—SiMB,②V^SMBCOSB-^cos2B=1,③bcosC=

α-?CS讥B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.

己知α,b,C是AABC的三个内角4,B,C的对边，且.

⑴求B；

(2)若b=2,求△力BC的周长的取值范围.

22.(本小题12。分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCO是菱形，∆ABC=60o,AB=2,ACnBO=0,PO1

底面力BCD,P。=2,点E在棱PO上，且CEIPD.

(I)求证：AC_L平面PBD.

(2)求二面角P-AC-E的余弦值.

(3)求四面体4-CDE的体积.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：含=誓P=生尹=|-如

ɪ十Iɪ--£乙N/

则该复数的虚部为-今

故选：C.

利用复数的运算，化简为标准型，根据虚部的定义，可得答案.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由向量W=(2,τn),B=(—1,2)，

因为弓〃至，可得2x2=Wix(-1),

解得m=-4.

故选：C.

根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.

本题主要考查了共线向量的坐标关系，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由复数Z满足∣z∙(2+i)∣=中，其中i是虚数单位，

根据复数模的运算性质,可得∣z•(2+0|=∣z∣∙∖2+i∖=∣z∣∙√-5=√Iθ.

解得IZl=-∖Λ^2＞所以|z『=2.

故选：B.

根据复数模的运算性质，结合题意求得∣z∣=，2,即可求解.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：4不对，由面面平行的判定定理知，Tn与n可能相交，也可能是异面直线；B不对,

由面面平行的判定定理知少相交条件；

C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；

故选：D.

由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断4、B、D：由面面垂直的性质定理判断C.

本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：高三年级应该抽取的人数为90X=28.

6〃40+二600%+5皿60

故选：A.

根据分层抽样的定义求解.

本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：脸上的投影向量的坐标为I码COSe..=需需=（1,1）.

故选：B.

根据已知条件，再结合投影向量的公式，即可求解.

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：设4B=x,在RtAABC中，∆ACB=45°,所以BC=AB=X,

在RtZkACD中，∆ADB=30°,所以Bz）=「AB=√^3χ,

在4BeC中，乙BCD=120o,CD=24,

由余弦定理可得：3/=X2+252—2×25XCoSl20°,

化为：2M-25X-625=0,

解得X=25或X=-12.5（不合题意，舍去），

所以教学楼力B的高度是25米.

故选：B.

设4B=x,利用直角三角形的边角关系表示出BC、BD,再利用余弦定理列方程求出AB的高度.

本题考查了解三角形、余弦定理的应用问题，也考查了推理能力与计算能力，属中档题.

8.【答案】D

【解析】解：由题意将此三棱锥放入长方体中，如图所示，

设外接球的半径为R,则由长方体的外接球的直径等于长方体的体

对角线可得：

2R=J22+22+(2√7)2=4，所以R=2,

所以外接球的体积V=1nR3=^兀X23=半.

故选：D.

由题意将三棱锥放入长方体中，由长方体的外接球的直径等于长方体的对角线求出外接球的半径,

进而求出外接球的体积.

考查三棱锥与长方体的关系，及球体的体积公式，属中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于A中，数据的极差和标准差是数字特征的重要数据，极差和标准差都能描述一

组数据的离散程度，所以A正确；

对于B中，如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变，

所以B错误；

22

对于C中，一个样本的方差S?[(x1-3)+(x2-3)+∙∙∙+(X20-3)2],

可得这20个数据的平均数为3,所以这组数据总和等于20X3=60,所以C正确；

对于。中，数据%,a2,...,αn的方差为S?,则数据2%,2a2,...,2an的方差为2?S2=4s?,所

以。错误.

故选:AC.

根据数据的数字特征的定义，可判定A正确；根据两组变量间的平均数和方差的性质，可判定8

错误；由方差得到这20个数据的平均数为3,可判定C正确；根据方差的性质，可判定力错误.

本题主要考查统计的知识，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：如图在正六棱台ABCDEF-4出6。偈&中,

因为4Bl=2cm,AB=6cm,AA1=5cm,

所以侧面的梯形ABBiAi的高即正六棱台斜高为：

J52一(等)2=E，

所以梯形4BB14的面积为：S=I×(2+6)X√^21=

故正六棱台的侧面积为：6S=6×4√^21=24√71cm2,故B错误；

由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成，

o2

所以该正六棱台的上底面积为：S1=6×∣×2×2×sin60=6√^cm.故A正确；

-2

同理下底面积为：S2=6×∣×6×6×sin60°=54√3cm,

所以该正六棱台的表面积是6S+Sι+S2=(60√^3+24√-21)cτn2,故C正确；

正六棱台的高为0。1=ʌ/52—(6—2)2=3cm,故D正确.

故选：ACD.

画出该几何体，利用己知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高

即可.

本题主要考查了棱台的结构特征，属于中档题.

11.【答案】BC

【解析】解：对于A：a∕∕b>b∕∕c>且必力6)，故为〃B，故A错误;

对于8：OA+OB+OC=Q>

则点。为三角形4BC的重心，即SMOc：SAABC=L3,故B正确；

对于C：两个非零向量为，b，若I五一石I=|初+|3|，则五与E共线且反向，故C正确;

对于。：若五〃aK≠0.则存在唯一实数;I使得H=4石，故。错误；

故选：BC.

直接利用向量的传递性和向量的线性运算及三角形的面积特点以及向量共线的充要条件的应用判

断A、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：向量的共线，向量的线性运算，向量的模，三角形的面积，主要考查学生

的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

12.【答案】ABCD

【解析】解：对于4

DA1BC,BCIDC=

BCJL平面AeT)=

BCLAC,所以4对；

对于B,当面BC。运动

到与底面垂直时，三棱锥顶点C距离底面最远，此时高最大,

体积为∙(ɪ,4-3)∙(ɪ)=ɪ*所以B对；

对于C,当面BCC运动到与底面垂直时，

BC与平面ABD所成角为SinNCBC=/>?，

即aBD>全所以全所以C对；

对于D,取矩形中心0,在ABCD折起过程中，。点与四顶点距离始终是定值,

即外接球半径不变，所以四面体4BCD的外接球的体积为定值，所以。对.

故选:ABCD.

4根据线面基本定理证明即可；B运动思想找到最大值位置，再计算最大体积即可；C运动思想找

到最角即可；D找到外接球是关键.

本题以命题的真假判断为载体，考查了立体几何中直线与平面位置关系，考查了体积与线面角计

算问题，属中档题.

13.【答案】9

【解析】解：党员人数一共有6+10+9+8+7=40,40X60%=24,

那么第60百分位数是第24和25个数的平均数，

第24和25个数分别为9,9,所以第60百分位数是9=9.

故答案为：9.

根据百分位数的定义即可求出结果.

本题考查百分位数的定义，属于基础题.

14.【答案】:

【解析】解：依题意，抛掷该正四面体两次的总的基本事件有：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),

(4,3),(4,4),共16件，

事件M所包含的基本事件有(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).共8件,

所以P(M)=盘=J.

IoZ

故答案为：ɪ

利用列举法，结合古典概型求解即可.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

15.【答案】（3Y3,2ΛΛ7）

【解析】解:⅛∆ABC中，利用余弦定理ac2=BA2+BC2-2BA-

BC-CosB,代入数据，28=BA2+16-4B4,即：BA2-4BA-

12=0,

解得48=6.AB=-2（舍去），

如图，过A作AEi.BC,垂足为E,则AE=4Bsin60。=3C，所

以AD∈（3√3,2yΓ7）.

故答案为：(3√^N,2√^7).

先求出AB的长度，再利用垂线段最短讨论4。的取值范围.

本题考查解三角形中解的个数讨论，考查数形结合的思想，属于中档题.

16.【答案】①②③

【解析】解：对于4,平面44。DI〃平面BlBCC1，EFU

平面团8CC1，

二直线EF到平面CDl的距离为2,故①正确；

对于B,如图，取4也的中点M,连接MCi,易知MCJ/AE,

.∙∙NMCiG是直线AE与直线CIG的夹角，

∙.∙MC1=GC1=√22+12=√~5,MG=

J(√^5)2+l2=√^^6>

，由余弦定理可得，

COSZMCG==ɪ=ξ-故②错误；

12MC1GCι2×55J

对于C,记点C与点G到平面AEF的距离分别为由、d2,

∣∣

••1Vc-AEF=ɪ∙S^AEF-d1=VA.CEF=∙≡∙2=,

yG-AEF=I'ShAEF'ʤ=^A-GEF=j,~γ^'2=|>

ʌ%：d2=1：2,即点C与点G到平面4EF的距离之比为1：

2,故③正确；

对于连接尸Di、AD1,易知AD"/EF,则4、仇、AE四

点共面，

即平面4EF截正方体所得截面为梯形4D/E,

作FNLADi,垂足为N,

∙∙∙FD1=AE=√^5,EF=√^^2,AD1=2∖∏∙,

'FN=JO2-存¥=~

S梯形皿FE=I∙+2√^)∙ʃ=∣>故④错误.

故答案为：①②③.

对于A,由面面平行的性质容易判断；对于B,易知NMolG是直线AE与直线GGTT的夹角，再由余

YEF

弦定理即可判断：对于C,分别求得%，VG-AEF'即可判断；对于。，平面AEF截正方体所得

截面为梯形ADiFE,然后求其面积即可判断.

本题主要考查了空间中的距离，异面直线所成角，截面面积的计算问题，属于中档题.

17.【答案】解：(1)/一b=(3,C),

∖a-b∖=√9+3=2√3;

(2)CoSe-E,初=患=?，

⅛(ɑ—b,ɑ)∈[0,π]>可得位一％,方>=*

【解析】(1)先求出向量的坐标，再根据模长公式求解即可；

(2)应用向量夹角公式，并结合向量数量积坐标公式计算可得.

本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题.

18.【答案】解:(1)5球中不放回的摸出2球，这个试验的样本空间C={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(2,1),(2,3),

(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}.

则A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},

n(0)=2O,n(½)=10,从而P⑷=篇，

(2)5球中有放回的摸出2球，这个试验的样本空间n(0)=25,

MB)=I5,从而P(B)=端=言=|,

⅛JX1O2

从

3而P=-==

nX-2--5-

zl5

n(BC)=6,从而P(BC)=喘=

f4lJZJaQ

此时P(Be)=P(B)P(C),

所以事件B与事件C相互独立.

【解析】(1)由题意写出样本空间，利用古典概型公式求解概率；

(2)利用独立事件的定义判断.

本题主要考查相互独立事件，试验的样本空间，考查运算求解能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)证明：连接DB,则G为DB的中点，且“为OF的中点,

.∙.GH为4DBF的中位线，

.∙.GH//BF,又GHC面BFC,BF⊂ffiBFC,

ʌGH〃面BFC；

(2)在CD上存在点P使得平面GHP〃平面BCF,P为CD的中点，证明如下:

取CC的中点P,连接HP,GP,且H为DF的中点，

.∙.HP//FC,S.HPU平面BeF,FCU平面BCF,

.∙.HP〃平面BCF,同理，GP〃平面BcF,且HPQGP=P,HPU平面GHP,GPU平面GHP,

••・平面GHP〃平面BCF.

【解析】(1)可连接DB,根据题意知G为DB的中点，然后即可得出GH〃8凡从而可得GH〃面BFC；

(2)在CC上存在点P,使得平面GHP〃平面BCF,P为CO的中点，证明过程为：连接HP,GP,可

说明HP〃/C,从而得出HP〃平面BCF,而同理可得出GP〃平面BCF,然后根据面面平行的判定

定理即可得出平面GHP〃平面BCF.

本题考查了三角形中位线的性质，线面平行和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础

20.【答案】解：(1)由乙种酸奶日销售量的频率分布直方图可得:

10α=1-(0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.15,

解得α=0.015,

根据表中数据可作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如图所示:

频率

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O1020304050甲种酸奶

H销售量/箱

(2)记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为可、4,

则X甲=5X0.1÷15×0.2÷25×0.3÷35×0.25÷45×0.15=26.5,

%乙=5×0.2÷15×0.1+25×0.3÷35×0.15+45×0.25=26.5.

(3)由(2)得甲种酸奶的平均日销售量为26.5箱，

故甲种酸奶未来一个月的销售总量为26.5×30=795(箱).

【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，列出方程求得ɑ的值，进而作频率分布直方图;

(2)利用频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；

(3)由(2)得甲种酸奶的平均日销售量为26.5箱，进而甲种酸奶未来一个月的销售总量.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的计算，属于基础题.

21*【答案】解:(1)选①,由(Shl4—sinC)sin(4+B)=sin2?I-Sin2人

可得(SinA-S讥C)Sin(A+B)=(SiTlA-SinB)(Sin力+sinB),

因为A+B+C=Tr及正弦定理，可得(α—C)SinC=(α—b)(sinA+SinB),

所以(α—c)c=(a—b)(a+b),整理得ɑ?+c2-b2—ac,

则CoSB=S*?二庐=L因为0<B<ττ,所以8=今

2ac2J

选②，由，"5s讥BCoS8—BCOS28=1,可得√^"5s讥28—cos28=2,即Sin(2B—看)=1,

因为0<B<7T,可得Y<2BY<称兀，所以2BY=%即B=去

666OZɔ

选③，由bcosC=a-早CSEB，由正弦定理得S讥BCOSe=SinA—SinCsinB

艮PSiTlBCOSC=Sin(B+C)—SinCsinB

^VsinBcosC=SinBcosC+cosBsinCʃSinCsinB，

整理得S出C(COSB―?SiTlB)=0，

因为OVCV兀，SinC>0,可得COSB—SinB=0，即SnB=∖Λ3,

因为OVBVTT,所以8=宗

(2)由8=S,b=21可得工=室=28

3StnB3

所以周长LC=α+b+c=24—ɪ-(sITIA+SiTIC),

又由4+8+C=τr,可得A+C=年，

1△ABC=2+—ɪ-(SizL4+SiTlC)=2+—^―(si?Vl+sin(ɪ-√4))

=2+警(√3sin(∕l+/=2+4sin(A+,

又因为O<A<%，可得[V4+?<亭所以,<Sin(A+1)≤1,

所以4<2+4sin(A+1)<6,所以△ABC的周长的取值范围为(4,6]