新教材人教A版高中数学必修第二册有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算 同步讲义

40、有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算

【考点分析】

考点一：随机试验的概念

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.

我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：

①试验可以在相同条件下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

考点二：样本空间的概念

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本

空间，一般地，用Ω表示样本空间，用3表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ωl,

CO2....ωn,则称样本空间α={<υι,S,…,g}为有限样本空间.

考点三：随机事件、必然事件与不可能事件

①一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙

述方便，我们将样本空间。的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件

称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.

②。作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Q总

会发生，我们称。为必然事件.

③空集0不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为0为不可能事件.

考点四：事件之间的关系

定义符号图示

一般地，若事件A发生，则事件

包含

B一定发生，称事件B包含事件BDA（或AQB）

关系冷

A（或事件A包含于事件B）

如果事件B包含事件A,事件A

相等

也包含事件B,即B2A且Λ3β,A=B

关系°

则称事件A与事件B相等

考点五：交事件与并事件的概念及辨析

定义符号图示

并事件一般地,事件A与事件B至少有一个发生，AUB

（或和事件）这样的一个事件中的样本点或者在事件A（或A+B）Ω

中，或者在事件B中，我们称这个事件为

事件A与事件B的并事件（或和事件）

一般地，事件A与事件B同时发生，这样

交事件的一个事件中的样本点既在事件A中，也ACIBCZIZ）

（或积事件）在事件B中，我们称这样的一个事件为事（或AB）_______q_

件A与事件B的交事件（或积事件）

考点六：互斥事件和对立事件的概念及辨析

定义符号图示

一般地，如果事件4与事件8不能同时发

生，也就是说AnB是一个不可能事件，

互斥事件Λ∩B=00S

即A∩B=0,则称事件A与事件B互斥（或__________∩

互不相容）

一般地，如果事件A和事件B在任何一次

试验中有且仅有一个发生，即AUB=α,AUB=β

对立事件

且A∩β=0,那么称事件A与事件B互为A∩B=0_______n_

对立，事件A的对立事件记为不

【题型目录】

题型一：随机事件的概念

题型二：互斥事件和对立事件的概念

【典型例题】

题型一：随机事件的概念

【例1】以下事件是随机事件的是（）

A.标准大气压下，水加热到ioæe,必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯

C.长和宽分别为α力的矩形，其面积为必D.实系数一元一次方程必有一实根

【答案】B

【分析】根据随机事件的概念判断即可

【详解】解：A.标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题

意；

B.走到卜字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；

C.长和宽分别为a力的矩形，其面积为必是必然事件；故本选项不符合题意；

D.实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件.故本选项不符合题意.

【例2】已知集合4是集合B的真子集，则下列关于非空集合A,B的四个命题:

①若任取XeA,则XeB是必然事件；

②若任取x⅛≡A,则xe8是不可能事件;

③若任取xeB,则XeA是随机事件；

④若任取Xe8,则XeA是必然事件.

其中正确的命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】、

由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出

答案.

【详解】因为集合A是集合8的真子集，所以集合4中的元素都在集合8中，集合B中存在

元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：

对于①：集合A中的任何一个元素都是集合2中的元素，任取xeA,则xe3是必然事件，

故①正确；

对于②：任取XeA,则XeB是随机事件，故②不正确；

对于③：因为集合4是集合8的真子集，

集合B中存在元素不是集合4中的元素，

集合8中也存在集合A中的元素，

所以任取XdB,则XdA是随机事件，故③正确；

对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，

任取xe8,则XeA是必然事件，故④正确；

所以①③④正确，正确的命题有3个.

【例3】给出下列事件：①明天进行的某场足球比赛的比分是3:1；②同时掷两颗骰子，向上

一面的两个点数之和不小于2；③下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃；④射击一次，

命中靶心；⑤当X为实数时，X2÷4X+4<0.

其中，必然事件有,不可能事件有.

【答案】②⑤

【分析】根据随机事件和必然事件的定义进行判断.

【详解】①为随机事件：

②同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数最小均为1,此时和为2,其他情况均大于2,所以

向上一面的两个点数之和不小于2,为必然事件；

③下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃,为随机事件；

④射击一次，命中靶心，为随机事件；

⑤当X为实数时，X2+4X+4=（X+2）2≥0,所以⑤为不可能事件.

【题型专练】

1.下面四个选项中，是随机现象的是（）

A.刻舟求剑B.水中捞月C.流水不腐D.守株待兔

【答案】D

【分析】根据事件发生的可能性，从而选出正确答案.

【详解】A,B为不可能现象，C为必然现象，D为随机现象

2.若X是实数，则下列事件是不可能事件的是（）

A.x+l<OB.—2x+1<0

C.X2-2X+3>0D.x>l-2x

【答案】B

【分析】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数X满足式子，就不属于不可能事件，

故对错误选项使用特殊值法即可，对正确选项则需要证明.

【详解】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数X满足式子，就不属于不可能事件，

则

对于A,令》=-2,则》+1=-2+1=-1<0,故选项人不是不可能事件，故A错误；

对于B,由于d—2X+1=（X-1）2≥O,故不存在实数X使得X2-2X+1<0,即选项B是不可

能事件，故B正确；

对于C,令X=0,则J—2X+3=02-2X0+3=3>0,故选项C不是不可能事件，故C错误；

对于D,令x=l,则x=l,l-2x=l-2xl=T,[l∖]χ>l-2x,故选项D不是不可能事件,

故D错误；

3.已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列

判断错误的是（）

A.事件“都是红色球”是随机事件

B.事件“都是白色球”是不可能事件

C.事件“至少有一个白色球”是必然事件

D.事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件

【答案】C

【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可.

【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4

个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.

故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确：

事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；

事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；

事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确.

题型二：互斥事件和对立事件的概念

【例1】在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，则下列说法正确的

是（）

A.“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件

B.“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”是互斥事件

C.“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，也是对立事件

D.“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件

【答案】D

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，结合题意逐项检验即可求解.

【详解】“至少一张是移动卡”和”两张都是移动卡''可以同时发生，故不是互斥事件，故A错

误；

“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误；

“恰有一张是移动卡''和"两张都是移动卡”是互斥事件，不是对立事件，故C错误；

“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件，故D正确.

【例2】已知6件产品中有3件正品，其余为次品.现从6件产品中任取2件，观察正品件数与

次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（）

A.恰好有1件次品和恰好有2件次品B.至少有1件次品和全是次品

C.至少有1件正品和至少有1件次品D.至少有1件次品和全是正品

【答案】D

【分析】对每个选项中事件的关系分析，选出正确选项.

【详解】对于A项，恰好有I件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件；

对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是刻立事件：

对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；

对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件.

【例3】某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至多有1名

男生”与事件”至多有1名女生”（）

A.是对立事件B.都是必然事件

C.不是互斥事件D.是互斥事件但不是对立事件

【答案】C

【分析】根据两个事件的关系可得正确的选项.

【详解】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均为随机事件，故B错误.

事件”至多有1名男生''有两种情况：2名学生都是女生或2名学生一男一女.

”至多有1名女生”有一种情况：2名学生一男一女.

故两个事件不是对立事件、互斥事件，故AD错误，C正确，

【例4】设N为两个随机事件，如果N为互斥事件，那么（）

A.而UW是必然事件B.MUN是必然事件

C.A?与"一定为互斥事件D.历与后一定不为互斥事件

【答案】A

【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解.

【详解】因为M,N为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示

（第二种情况）

无论哪种情况，而UN均是必然事件.故A正确.如果是第一种情况，MUN不是必然事

件，故B不正确，如果是第一种情况，而与可不一定为互斥事件，故C不正确，如果是第

二种情况，而与可一定为互斥事件，故D不正确.

【例5】某校高一年级开设了甲、乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件R="只选择甲

兴趣班”，％="至少选择一个兴趣班”，。3=”至多选择一个兴趣班"，Q.=''一个兴趣班都不

选”，则（）

A.α与α是互斥事件

B.5与QI既是互斥事件也是对立事件

C.Q2与Ω,不是互斥事件

D.α与。4是互斥事件

【答案】BC

【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断即得.

【详解】事件。产”只选择甲兴趣班”；％=”至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选

择乙兴趣班，选择甲乙两种兴趣班；。3=”至多选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择

乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；QI="一个兴趣班都不选”；

所以，。与A不是互斥事件，故A错误；

α与Qa既是互斥事件也是对立事件，故B正确；

Q与5不是互斥事件，故C正确；

Q,与QI不是互斥事件，故D错误.

【题型专练】

1.从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球，那么互斥而不对立的事件是（）

A.至多有2个白球与恰有3个白球B.至少有1个白球与都是红球

C.恰有1个红球与恰有3个白球D.至多有1个红球与至多有1个白球

【答案】D

【分析】根据给定条件，分析各个选项中的两个事件包含的基本事件，再结合对立事件、互

斥事件的定义判断作答.

【详解】从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球的基本事件有：4个红球，1个白球

3个红球，2个白球2个红球，3个白球1个红球，

对于A,至多有2个白球的事件有：2个白球2个红球，1个白球3个红球，4个红球，

恰有3个白球的事件是3个白球1红球的事件，显然两个事件互斥且对立，A不是；

对于B,至少有1个白球的事件有：1个白球3个红球，2个白球2个红球，3个白球1红球，

都是红球的事件是4个红球，显然两个事件互斥且对立，B不是；

对于C,恰有1个红球的事件是3个白球1红球的事件，因此恰有1个红球与恰有3个白球

为同一事件，C不是；

对于D,至多有1个红球的事件是1个红球3个白球的事件，至多有1个白球的事件有：1

个白球3个红球，4个红球，

显然这两个事件不能同时发生，可以同时不发生，即至多有1个红球与至多有1个白球是互

斥而不对立的事件，D是.

2.命题“事件A与事件8对立”是命题“事件A与事件B互斥”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

［分析］根据对立事件与互斥事件的概念判断即可.

【详解】解：若事件A与事件B是对立事件，则事件A与事件B一定是互斥事件；

若事件A与事件B是互斥事件，不一定得到事件A与事件B对立，

故命题“事件A与事件3对立”是命题“事件A与事件B互斥”的充分不必要条件；

3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A=｛2名全是男生｝,B=

｛2名全是女生｝,C=｛恰有一名男生｝,D=｛至少有一名男生｝,则下列关系不正确的是（）

A.A⊂DB.BD=<Z>C.AUC=DD.AUB=BUD

【答案】D

【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，则Au。，AUC=O,

可判断A,C;事件8与。是互斥