辽宁省朝阳市凌源市2022-2023学年高二下学期期中数学（解析版）

高二数学考试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

设集合A={x∣-l≤x<3},8={1,2,3,4},则AB=

A.{1}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】由交集的定义求解即可.

【详解】因为集合4={x∣-IWX<3},B={l,2,3,4},

则AB={1,2}.

故选：B.

2.已知z(l+i)=5+3i,贝Ijz=()

A.4-iB.-4+iC.4+iD.-4-i

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可得出答案.

,j5+3i(5+3i)(l-i)8-2i，.

［详解］z=-j~~~~ir_TZ~~ʒrɪ-ɔ-=4-1.

l+i(l+ι)(l-ι)2

故选：A.

3.已知α=ln2,⅛=log25,。=2上则()

A.b<c<aB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【答案】C

9

解得AB+8C=',

2

9

即AC=-

2

故选:C.

6.已知/(x)是定义在R上的奇函数，/(x)的导函数为了'(X),若/(x)≥COSΛ恒成立，则

/(x)≥sinx的解集为()

A.[-π,÷∞)B.[π,+∞)C.D.[0,÷0?)

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的单调性求解.

【详解】令函数g(x)=f(X)-SinX,则g(x)=/(X)-CoSX,

因为/'(X)NCOSX,所以.g'(x)≥O,g(x)是增函数,

因为F(X)是奇函数,所以"0)=0，⅛(0)=∕(0)-sin0=0,

所以g(x)N0的解集为［0,+纥)，即/(X)Nsinx的解集为［0,+∞)；

故选：D.

7.如图,某手链由10颗较小的珠子(每颗珠子相同)和11颗较大的珠子(每颗珠子均不相同)串成,若10颗小

珠子必须相邻,大珠子的位置任意,则该手链不同的串法有()

A.4种B.d种c.种D.ɪ种

22

【答案】B

【解析】

【分析】相邻问题利用捆绑法解决即可.

Λ>'

【详解】将10颗小珠子看成一个整体,不同的串法有—种.

2

故选:B.

2TT

8.在四面体ABe。中，ABlBC,ABYAD,向量8C与AO的夹角为可，若AB=6,BC=AD=3,

则该四面体外接球的表面积为()

A18πB.36πC.54πD.72π

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，将四面体补形为直三棱柱，与余弦定理可得OE的长，再由正弦定理可得VAoE外接

圆的半径，从而得到外接球的半径，即可得到结果.

Bc

【详解】•

—2兀

将四面体ABe。补成如图所示的直三棱柱ADE—5FC,因为向量BC与Ar)的夹角为丁，所以

2兀

ZEAD^-,则DE?=AD2+AE2-2AP∙AE∙COSNE4O=27,VADE外接圆的半径

DF_______

rɪ-----=3,该四面体外接球的半径R=再l于=3&，所以该四面体外接球的表面积为

ZSInX-LL∕∖Ly

4π×(3√2)2=72π.

故选:D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人

发放了一份相关的知识问卷.该讲座结束后，共收回问卷100份.据统计，这IOO份问卷的得分X(满

分为100分)近似服从正态分布N(80,25),下列说法正确的是()

附：若X-N,,4),则P(〃—b<X≤4+cr)=0.683,P(〃一2b<X≤'+2cr)=0.954,

P("-3cr<X≤'+3b)=0.997.

A.这100份问卷得分数据的期望是80,标准差是25

B.这IOO份问卷中得分超过85分的约有16份

C.P(70<X<75)=P(85<X<90)

D.若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布N(8(),25)

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正态分布N(80,25),得到〃=80,。=5,可判定A错误；求得P(X>85)=0.1585,

可判定B正确；由正态分布概率密度曲线的对称性，可判定C正确；根据同一份问卷发放到不同社区，得

到的数据不一定相同，可判定D错误.

2

【详解】由题意得，该问卷得分数据服从正态分布N(80,25),可得数据的期望是〃=80,方差是σ-=25，

标准差是cr=5,所以A错误；

1_∩ZSOO

由P(X>85)==^^=0.1585,可得IoOXo.1585,16,

2

所以该问卷中得分超过85分的约有16份，所以B正确；

由正态分布概率密度曲线的对称性，可得P(70<X<75)=P(85<X<90),所以C正确；

由同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，所以D错误.

故选：BC.

10.已知函数"x)=2sin(5+o)(0>O,∣d<7i)的部分图象如图所示，则/(x)的图象可以由函数

g(x)=2sinx的图象()

A.先纵坐标不变，横坐标变为原来的;，再向左平移」个单位长度得到

212

TT

B.先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移一个单位长度得到

12

C.先向右平移一TT个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的1;得到

122

D.先向右平移刍个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的;得到

6N

【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数图象求出/(x)解析式，进而判断图象的平移过程即可.

2sin⅛9=-l

【详解】由图象得，/(x)的图象经过点(0,—1)和(三,2),代人解析式得,2$皿］改+(|=2

Tt

(P=----F2ZCTI,⅛∈Z

r

6TVr∖IIT2兀兀

结合图象得,又①>0,∖φ∖<π,T--,

πωπ2IGl3

—+2攵兀,κ∈Z

π

(P-----

所以《6,故/(x)=2Sin

ω=2

先纵坐标不变，横坐标变为原来的得y=2sin2x,

再向左平移出个单位长度得到y=2sin2(x+生)=2sin(2x+2π--)=2sin(2x--)；

121266

TETl

先向右平移七个单位长度，得y=2sin(x-:)，

66

1TT

再纵坐标不变，横坐标变为原来的£得到y=2sin(2x—2).

而B、C平移过程不满足.

故选：AD

11.已知等比数列｛%｝的前“项积为4=32,且4=",则下列结论正确的是()

A.4=1B.｛%｝的公比为

C.Tn≤2'°D.aya1an=aya1all,n(∕?∈N+,w<11)

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，根据4=(可求出生；B选项，结合A选项和题干条件可得公比；C选项，注意到｛%｝

的前5项大于1，第7项后均在(0,1)中，α6=l,故刀="取到最大值；D选项，利用等比数列的基本量

进行证明.

【详解】因为4=(,所以4=*=1,A正确；

因为=缰=占，解得q=LB正确；

q322

注意到“6=1，故1≤"<5,"∈Z∏寸，aιl>1；"≥7,∕ιeZ时，an∈(0,1),

所以〃=5或〃=6时，7；取到最大值(7；Ja=25+4+3+2+1=2'c错误；

〃1)n(n-}1)

ac+2

因q%n~°∖i~"T=(9')Q=42，

(10-π)(ll-π)/i(rt-ɪ1)

+2++w522

a1-a2∙...∙ai^n=a''"q'"=(7^^)""q=q»

左边等于右边成立，D正确.

故选：ABD

12.己知函数/。)=ehl*+ι,下列结论正确的是()

A./(X)在(0,+8)上单调递增

B.〃力的最大值为1

C.当x∈(0,l)时，/(l+x)>/(l-x)

D.若函数g(x)=∕(∕(x))一加恰有2个零点，则机的取值范围为(0,1)

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于选项AB,通过对函数求导，直接求出函数的单调区间和最大值，即可判断出选项AB的正

误；对选项C,通过构造函数E(X)=/(1+X)-"1一X),利用F(X)的单调性即可判断出选项C的正

误；对于选项D,令/(x)=f,从而得到/⑺=加，再利用/O)的单调性即可判断出选项D的正误.

【详解】选项AB,易知/(x)的定义域为(0,+8),/(χ)=e2+i=M,所以f(χ)=e(1f),

ee

当O<x<l时，f↑χ)>O,即/U)在区间(0』)上单调递增，

当x>l时，∕,(χ)<0,即/(χ)在区间(1,+8)上单调递减，

则/Cr)≤/(I)=1,故选项A错误，选项B正确；

选项C,令E(X)=/(l+x)-∕(l-x)=h+(x-l)e',xe(0,l),则

F∖x)=x(ev-ɪ)=,因为XW(0,1),所以尸'(x)>0,即尸(X)在区间(0,1)上单调递增,

则F(X)"(0)=0,即/(l+x)>∕(l-x),故选项C正确；

选项D,令/(χ)=f,由g(x)=O,得到/«)=用，

因为/(χ)在区间(0』)上单调递增，在区间(L+∞)上单调递减，f(χ)≤F(I)=I,

当X趋近于O时，/(X)趋近于0,当X趋近于+8时，/(X)趋近于0,

所以Xe(O,+8)时，恒有/(x)>0,所以/(x)=f∈(0,1],

如图1,当加≤0或加>1时，/«)=根无解，

则g(x)=/(/(x))-加无零点，不合题意；

当m=1时，/(f)=1时，t-l,由/(x)=l,得到X=1,即∕n=l时，

则g(x)=∕(∕(x))一加有且只有一个零点，不合题意；

当〃2∈(0,l)时，/«)=加有两个解G∈(0,l)√2∈(l,+∞),

因为f∣∈(O,l),如图2,F(X)=I有且仅有两解3,A,t2∈(l,+∞),/(X)=L无解，

则g(x)=/(/(X))-W有且两个零点，符合题意；

【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题

求解的通法是：

(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

(2)求导数，得单调区间和极值点；

(3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与X轴的交点情况进而求解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知单位向量a，O满足+—=g,则〃/=.

【答案】ɪ#«0.5

【解析】

【分析】根据向量的运算法则和数量积的运算公式，准确运算，即可求解.

【详解】因为=2a--0,一a∙匕=2卜7∣-W-ab=2-∖-ab=^,所以a∕=g.

故答案为：ɪ.

22

14.双曲线上—与=1的焦点到渐近线的距离为2,则该双曲线的离心率为________.

5b2

【答案】^⅛⅛-√5

55

【解析】

【分析】根据点到直线的距离公式求出），并根据离心率公式求解即可.

b

【详解】由于对称性，令右焦点（Go）到渐近线y=-x,即版—畋=0的距离为2,

a

∖bc∖he

所以—=/=2,

√a2+b2c

又〃=5,∙∙c—Ja2+廿=3,

.c33√5

..e——=-7==------.

a√55

故答案为：正

5

15.一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为ICm的球状物体后，水面高度为

6cm,如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm,若从/=0S时刻开始，该球状物体的半径以ICmzS的速

度变长（在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出），则在

∕=2s时刻，水面上升的瞬时速度为cπ√s.

【答案】4

【解析】

【分析】根据体积公式求出函数V=0+'(I+')，再求导函数可以求得瞬时速度.

2727

【详解】杯中水的体积为π×32×6--×π×l3=^^.

33

设在该过程中水面高度为〃，则πχ32χ∕ι=目二+4兀O+'),即〃=蹙+W+]

332727

令函数〃加等+萼则/'(/)=4(l+∕[,r(2)=4.故在f=2s时刻,

水面上升的瞬时速度为4cm∕s.

故答案为：4.

16.已知数列｛叫满足2%+2+a”=3α,,+∣,4=1,々=5，记A(”,a")，B[n,9),O为坐标原点，则

QAB面积最大值为.

【答案】4

【解析】

【分析】先由递推公式推出｛4+「%｝为等比数列，求出其通项公式，用累加法求出｛4｝的通项公式，再列

出关于二OLB面积的函数式，求出其最值即可.

【详解】因为2α,+2+aιl=3an+l,所以2an+2-2an+t=an+i-an,

即4+2-α,,+∣=g(4+1一4)，

因为g—4=4,所以｛4田-5｝是以4为首项T为公比的等比数歹∣J,

所以4m―q=41g),由累加法得:

所以4=q+(生-4)+，+(%—%T)=l+4+4x—F+4x

2

∕i-l

1

=l+4×-ɪ-9-24^"

1—

2

因为24-">0,所以4=9-2""<9,

43n

5βΛβ=∣∣Aβ∣∙n=∣(9-9+2-")∙n=n∙2-

令函数"〃)=〃•23-",则/(〃+1)_/(〃)=(〃+])•22-"-〃•23^"=(1_〃).22-".

当〃≥1时，/(n+l)-∕(∏)<O,而/(1)=∕(2),所以/(〃)在[2,+8)上单调递减.

/(〃)3=/(D=/(2)=4,故qOAB面积的最大值为4.

故答案为：4.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕.某校为了

鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表

所示.

男学生女学生合计

关注度极高454085

关注度一般5IO15

合计5050IOO

(1)若从该校随机选1名学生，已知选到的学生对新闻大事的关注度极高，求他是男学生的概率；

(2)用频率估计概率，从该校随机选20名学生，记对新闻大事关注度极高的学生的人数为X,求X的

期望.

9

【答案】(1)—

17

(2)17

【解析】

【分析】(1)由条件概率公式求解即可；

(2)从该校随机选1名学生，求出该学生对新闻大事关注度极高的概率，由题意得X~820,二，由

二项分布的期望公式求解即可.

【小问1详解】

记事件A为“选到的是男学生“，记事件B为“选到的学生对新闻大事的关注度极高”.

45

I1JP(B)85_17

100

【小问2详解】

θʒ17

从该校随机选1名学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为一=—

10020

由题意得X~5^20,—,

17

则E(X)=20x—=17.

1,20

1〕ICl1

18.已知等差数列《一卜满足一+2=—，4=工.

J生ɔ

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列｛4♦♦口82｝的前”项和为&证明：'≤4.

【答案】(1)%=丁二

2π-l

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据等差数列通项公式计算即可；

(2)应用裂项相消法结合函数单调性证明可得.

【小问1详解】

设数列［的公差为"，

IAJ

贝IJ--I---l---C=2=ld,

aι《

所以L=L+2(〃-3)二2〃一1.

册%

故an=-----

"2n-l

【小问2详解】

1

a',+'a,,+2—(2n+l)(2π+3)—式2n+l^2〃+3J'

11、1111

+

2/7+12〃+3,2132〃+364〃+6

+8）上单调递增,

所以-^⅛eI111

^⅛,°7---∈

64〃+615,6

故，＜亨

19.如图，在正三棱柱&aG-ABC中，。为AB的中点,

GE=ZIGaO<4<1),AA=有钻=2有.

TT

（2）若直线BG与平面AlBlE所成角为求2的值.

【答案】（1）证明见解析

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）先证明AlB1_L平面。CGF,得至UOELAlB,再证明平面AIB1E即可;

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角即可得解.

【小问1详解】

证明：取Aia的中点F,连接ERDF,DC,FC1.

由题意，得DE=EF=瓜DF=AA=2上,

所以。0+EF2=。产，PliJDEVEF.

7

因为AlBlJ_CIF,&&。尸，ClF力尸=Z,。/，。FU平面QCClF,

所以AlB1J_平面DCC1F,又Z)EU平面DCC1F,所以DEVA1B,

因为AlBlnEF=R4片,£77U平面AlBlE,所以OEi.平面AlBlE

【小问2详解】

以。为坐标原点，DB,DC,。尸的方向分别为X轴，y轴，Z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

则A(—1,0,26)，B(1,0,0),C1(0,^,2√3),B1(1,0,2^).

设E(0,6,J,ae(O,2^，4E=(l,6a-2®,A0'=(2,O,O),BC1=(-l,^,2√3).

设平面A1B1E的法向量为/=(x,y,z),

/2∙A1B∣=2x=0,

"n∙A1E=x+6y+(〃—26)z=0,

取y=2"-α,则〃=(θ,2√3-π,√3).

设直线BC1与平面AlB1E所成的角为仇

-∣cos<HBC>∣-l,7-βc,l-l-^+12l

则sin。一""'g>卜眄^1--=’

2

"1'∣442-4岛+15

化简得3。2一8疯/+12=0,解得α=竿或α=2√i

当。=26时，点E与点Cl重合，此时7=0,不符合题意.

CE2X2石C7

所以九=，=3=3,即2的值为今

3

C1C2石3

20.在①α=2,②力=2这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并给予解答：问题：锐角

.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c-匕=2αcosB,,求ABel周长的取

值范围.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】

1

【分析】根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦公式，求得COSA=],得到A=]π,若选①：由正弦

定理化简得到b+c=爰(SinB+sinC)=4sin(8+：1,根据_ABC为锐角三角形，求得看＜8＜曰，

进而求得2b＜0+c≤4,得到JmC周长的取值范围；若选②，由正弦定理化简得到

2(SinA+sin。)Jj

“—\)V___|_17ΓTL

SinB-B，由-ABC为锐角三角形，求得一＜8＜一，进而求得

tan—62

2

√3+l＜a+c＜4+2√3.得到ABC周长的取值范围.

【详解】解：因为2c—h=2acos5,由正弦定理得2sinC-SinB=2sinAcos3,

又因为A+8+C=π,所以C=兀一(A+3),所以SinC=Sin(A+3),

所以2sinAcosB+2cosAsinB-SirLB=2sinAcosB,

所以2cosΛ=1,即cosA=一,

2

因为A∈所以A=三，

若选①：若4=2,

b^cb+c4

由正弦定理sin3sinCSinA.兀»可得.二r^τ;=~fτ

sin—7sιnβ+sιnC√3

4

所以b+c=-y=(sin8+sinC)

vɜ

4=4sinffi+-

sinβ+cosB

=对lfI6；

0<B<工

ɔTrTr

因为ABC为锐角三角形，则满足｛C,可得一<8<一,

n2πnπ62

则一<3—<—,所以——<sinfB+-≤1,可得2JJ<Z?+c≤4,

3632I6J

则.43C周长的取值范围为(2+26.6].

若选②：若匕=2,由正弦定理二—=-—；=—―-

sιnβsinCSinA

可得a+。.2(SinA+sinC)_^+2s'n「B

Λ∕3(1+COSB)ɪ

sinBsinBSinB

>∣3-2COS2—

2-l=+i,

C.B___B+—B

2sιn-cos-tan—

222

0<B<-

2一,0π„π

因为为锐角三角形，则满足,可得一<8<一,

π62

0<--θ<—

32

则—<—<—,所以2—∙∖∕3<tan一<1,所以y/3+l<α+c<4+2>]3,

12242

则./BC周长的取值范围为（3+6,6+26卜

21.已知离心率为学的桶圆C:三+£=l（a>b〉O）经过点A（2,1）.

（1）求椭圆C的方程.

（2）不经过点A且斜率为攵的直线/与椭圆C相交于P,Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为

试问Z是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

√V2

【答案】（1）—+^-=1

82

（2）定值为-?

2

【解析】

【分析】（1）将点A（2,l）的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出α,6,c；

（2）设直线1的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明.

【小问1详解】

a2fα2=8

4122

由题可知，—+77=1，解得，∖b2=2,故椭圆C的方程为三+二=1；

a2

2,22C=68

a-=b^+cI

【小问2详解】

直线/的方程为y=H+八Pa,y),Q(X2,%),

(22

£_21=1

联立方程组｛82^'整理得(1+4公卜2+8也氏+4加2—8=0,

∖y=kx+m,

则Δ=Mk2m2-(4+16Λ2)(W-δ)=128A:2-16W2+32,

由题意，必须有△>(),即必须满足128二一16加2+32>0，

Skm4m2-8

此时，x+x=

l2币/'∙M2=rΓ.

y1-1y2-1(Ax1+zn-l)(Ax2+m-l)

λpλq

xλ-2x2-2(x1-2)(x2-2)

⅛xx+⅛(m-l)(x+x)+(m-l)_-4Λ2÷∕∕z2-2m÷l

12124

12

xlx2-2(x1+X2)÷4∖6k+16Λ∕72+4m-4

整理得422+2km+m-1=Clk+l)(m÷2⅛-l)=0,

因为/不经过点A,所以相+2Z—IW0,所以22+1=0,即k二一一，

2

的Lk定值，且该定值为-?；

2

r2、,21

综上，椭圆C的方程为二+匕=1,无为定值，且该定值为一-.

822

【点睛】在计算过程中，128公-16∕√+32>0是对直线/的Z和巾的一个约束，因为1必须经过椭圆C

内部的点；对4炉+2k〃+〃z—1=(2攵+1)(加+2攵—1)=0的因式分解比较难，不容易看出.

22.已知函数/(x)=αlnx+αr+l.

(1)当α=l时，求/(x)的图像在点(IJ⑴)处的切线方程；

(2)若不等式/(x)<xe'