1数与数的发展

趣味数学主讲人：李小春手机/p>

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Qq：14586701湖南农业大学东方科技学院九教南105第一章数与数学的发展第一节数的发展第二节数学的发展1.1整数的诞生

公共汽车上，有一位年轻的妈妈抱着她的小宝宝坐在车窗边，她正在教她的小宝宝数数呢。她伸出一个手指问：“这是几呀？”正在咿呀学语的小孩望了望妈妈，答道：“一”。妈妈伸出了两个手指问：“这是几呀？”小孩想了想答道：“二”。妈妈又伸出三个手指，小孩犹豫了好一阵，回答：“三。”再伸四个手指时，小孩答不出来了。在这个小孩看来，那些手指实在太多了，他已经数不清了。其实，能数到三，对一个黄口孺子来说，已经很不简单了。第一节数的发展

要知道，学会数数，那可是人类经过成千上万年的奋斗才得到的结果。我们的祖先--类人猿，他们根本不识数，他们对事物只有“有”与“无”这两个数学概念。

结绳记事法

五千年前的埃及和美索不达米亚开始采用此方法。埃及人是把数字写在一种纸草上，美索不达米亚的巴比伦人是把数字写在软粘土上，他们都是用单划表示个位数，用不同的记号表示十位数和更高位的数。结绳记事契刻文字

又经过了很长的时间，原始人终于从一头野猪，一只老虎，一把石斧，一个人，……这些不同的具体事物中抽象出一个共同的数字--“1”。数“1”的出现对人类来说是一次大的飞跃。

例如在一个马来人的部落里，如果你去问一个老头的年龄，他只会告诉你：“我8岁”。这是怎么回事呢？因为他们还不会数超过“8”的数。对他们来说，“8”就表示“很多”。有时，他们实在无法说清自己的年龄，就只好指着门口的棕榈树告诉你：“我跟它一样大。”

总之，人类由于生产、分配与交换的需要，逐步得到了“数”，这些数排列起来，可得：

1，2，3，4，…，10，11，12，…这就是自然数列。古汉语中数字的痕迹“九霄”指天的极高处“九派”泛指江河支流之多这说明，在一段时期内，“九”曾用于表示“很多的意思。可能由于古人觉得，打了一只野兔又吃掉，野兔已经没有了，“没有”是不需要用数来表示的。所以数“0”出现得很迟。换句话说，零不是自然数。后来由于实际需要又出现了负数。我国是最早使用负数的国家。西汉（公元前二世纪）时期，我国就开始使用负数。《九章算术》中已经给出正负数运算法则。人们在计算时就用两种颜色的算筹分别表示正数和负数，而用空位表示“0”，只是没有专门给出0的符号。“0”这个符号，最早在公元五世纪由印度人阿尔耶婆哈答使用。到这时候，“整数”才完整地出现了。1.2.十进制手指与数学的关系

几百万年前原始人捕杀的野兽抬到火堆边点数。他们是怎么点数的呢？就用他们的“随身计数器”吧。一个，二个，……，每个野兽对应着一根手指。等到十个手指用完，怎么办呢？先把数过的十个放成一堆，拿一根绳，在绳上打一个结，表示“手指这么多野兽”（即十只野兽）。再从头数起，又数了十只野兽，堆成了第二堆，再在绳上打个结。这天，他们的收获太丰盛了，一个结，二个结，……，很快就数到手指一样多的结了。于是换第二根绳继续数下去。假定第二根绳上打了3个结后，野兽只剩下6只。那么，这天他们一共猎获了多少野兽呢？1根绳又3个结又6只，用今天的话来说，就是

1根绳=10个结，1个结=10只。所以1根绳3个结又6只=136只。海德堡人狩猎复原图

其它的进位制比如玛雅人用的是二十进制。我国古时候还有五进制（算盘）而巴比仑人则用过六十进制，现在的时间进位，还有角度的进位就用的六十进制，换算起来就不太方便。英国人则用的是十二进制（1英尺=12英寸，l箩=12打，1打=12个）。在我们的日常生活中还用到过什么别的进制吗？干支记数法是一种特有的60进制的记数方法十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥干支计数法六十甲子

干支干支干支干支干支干支干支干支干支干支甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥1.3记数法直到两万五千年前，人们说“用你的枪头换我的鹿”的时候，还只能用一个指头表示一只鹿，三个指头表示三个枪头。这种一个指头表示一件东西、三个指头表示三件东西的原始计数法，就是他们掌握的全部算术知识了。在那以后的几千年里，他们一直把任何大于三的数量理解为“一群”，或者“一堆”。

五千到八千年前，生产力的发展导致国家雏形的产生，生产规模的扩大则刺激了人们对大数的需要。比如某个原始国家组织了一支部队，国王陛下总不能老是说：“我的这支战无不胜的部队共计有9名士兵！”于是，慢慢地就出现了“十”、“百”、“千”、“万”这些符号。在我国商代的甲骨文上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的刻文。即在八日辛亥那天消灭敌人共计2656人。在商周的青铜器上也刻有一些大的数字。以后又出现了“亿”、“兆”这样的大数单位。而在古罗马，最大的记数单位只有“千”。他们用M表示一千。“三千”则写成“MMM”。“一万”就得写成“MMMMMM－MMMM”。真不敢想象，如果他们需要记一千万时怎么办，难道要写上一万个M不成？

在古印度，使用了一系列大数单位后，最后的最大的数的单位叫做“恒河沙”。是呀，恒河中的沙子你数得清吗！然而，古希腊有一位伟大的学者，他却数清了“充满宇宙的沙子数”，那就是阿基米德。他写了一篇论文，叫做《计沙法》，在这篇文章中，他提出的记数方法，同现代数学中表示大数的方法很类似。他从古希腊的最大数字单位“万”开始，引进新数“万万（亿）”作为第二阶单位，然后是“亿亿”（第三阶单位），“亿亿亿”（第四阶单位），等等，每阶单位都是它前一阶单位的1亿倍。

阿基米德的同时代人、天文学家阿里斯塔克斯曾求出地球到天球面距离10，000，000，000斯塔迪姆（1斯塔迪姆=188米），这个距离当然比现在我们所认识的宇宙要小得多，这才仅仅是太阳到土星的距离。阿基米德假定这个“宇宙”里充满了沙子。然后开始计算这些沙子的数目。最后他写道：“显然，在阿里斯塔克斯计算出的天球里所能装入的沙子的粒数，不会超过一千万个第八阶单位。”如果要把这个沙子的数目写出来，就是或者就得在1后边写上63个0：1，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000。这个数，我们现在可以把它写得简单一些：即写成

而这种简单的写法，据说是印度某个不知名的数学家发明的。现在，我们还可更进一步把这种方法推广到记任何数，例如：32，000，000就可记为1.4皮亚诺公理一位聪明天真的小朋友问他的妈妈：“为什么2加2等于4？”妈妈答道：“连这么简单的算术都不懂！”于是这位母亲伸出左手的两个指头，又伸出右手的两个指头，左右的两个指头往一起一并，说：“这就叫2加2，你数一数，看是不是4？”孩子勉强点头，接着又问：“可是4是什么玩意儿呢？”妈妈语言无语。是呀，如果说母亲说这些指头的数目就叫做4，孩子再追问什么叫做999999999，那可就不好用指头之类的东西来比划着解释了！

为什么2+2=4,4+4=8，等等，确实是一个严肃的数学问题。

原始人已有自然数的原始概念。他们用小石头来记录捕捉的猎物的个数（或用“结绳记事”法）公元6世纪，印度数学家引入零的符号“0”，它是自然数的“排头”。到了19世纪，皮亚诺（G.Peano，1858～1932）提出了五条算术公理，才从理论上彻底解决了什么是自然数，为什么2＋2＝4等数学上的这些几本问题，五条公理：

公理10是自然数。公理2

任何自然数的后继是自然数。公理30不是任何数的后继。公理4

不同的自然数后继不同。公理5

对于某一性质，若0有此性质，而且若某自然数有此性质时，它后继也有此性质，则一切自然数都有此性质。

第五公理谈的是数学归纳法。一个自然数生出它的后继的过程是加法，记成0＋1＝1，1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，n＋1＝（n＋1）等等。

由皮式的公理可以明确无误地回答什么是自然数的问题，例如4是什么？答：4是3的后继，或曰4是3之子，3呢？3是2的后继，2呢？2是1的后继，1呢？1是0的后继，0呢？0是祖宗，它不是谁的后继，是自然数的发源点。2＋2＝4证明如下：因为1＋1＝2，所以2＋2＝（1＋1）＋（1＋1），由结合律得

2＋2＝（1＋1）＋（1＋1）＝（1＋1＋1）＋1，又因为1＋1＋1＝（1＋1）＋1＝2＋1＝3

所以2＋2＝3＋1，而3＋1＝4，故知2＋2＝4是正确的。证毕。

有了加法的概念，减法是加法的逆运算，乘法是几个数连加的“简写”，除法是乘法的逆运算。可见，从皮式公理出发已经把＋－×÷的概念弄的水落石出，不再是那种原始的直观感觉（例如结绳记事）或死记的九九表了。

查阅《现代汉语》上的加法词目，词典称：“加法，数学中的一种运算方法，两个或两个以上的数合成一个数的方法。”这种解释实在科学，例如它只说“合成一个数”，并不说这个数（我们称其为和）是多少。事实上，现代数学对于1＋1的和未必总是算出2来的。遥想原始人只是“有”与“无”两个概念，就是现代，有时也只需要考虑有与无，是与否，而不必细说有多少，例如我们要写字，关心的是有笔还是没有笔，至于有笔时有几枝，那都是一回事，如果这个时候规定0代表无（或否），1代表有（或是），则应有

0＋0＝00＋1＝11＋0＝11＋1＝1

这个1＋1＝1的算式有点不习惯，但对于此处的实际背景，如此定义加法是再合适不过了。这种1＋1不等于2，而等于1的加法称为“逻辑和”，1＋1＝1。于是播放电视也是如此1.5无理数公元前5世纪，图3.5黄金比的几何作图法(一)毕德哥拉斯学派发现了一些直角三角形的三边不能用整数或整数之比来表示的事实有理数和无理数的小数表达式任何有理数都具有一个有限的或循环的小数表达式，反之，任何有限的或循环的小数表达式都表示一个有理数。而无理数的小数表达式是无限不循环的；反之，任何无限不循环小数表达式都表示一个无理数。重要的性质：在任何两个不同的正无理数之间都存在一个有理数。事实上，如果a和b（o＜a＜b）表示两个无理数，且它们的小数表达式为设i是使得（n=0，1，2，…）的第一个n值。于是，就是a和b之间的一个有理数。1.6复数虚数是负数开平方的产物，它是在代数方程求解过程中逐步为人们所发现的公元三世纪的丢番图只接受正有理根而忽略所有其它根，当方程两个负根或虚根时，他就称它是不可解的。十二世纪印度的婆什伽罗指出：“负数没有平方根，因为负数不可能是平方数”卡当（1545）解方程得到根和。这使卡当迷惑不解，并称负数的平方根是“虚构的”、“超诡辩的力量”。

17世纪，尽管用公式法解方程时经常产生虚数，但是对它的性质，当时仍没有认识。莱布尼兹说：“那个我们称之为虚的－1的平方根，是圣灵在分析奇观中的超凡显示，是介于存在与不存在之间的两栖物，是理想世界的瑞兆。”

1.7大数

有这么一个故事，说的是两个匈牙利贵族决定做一次数数游戏——谁说出的数字最大谁赢。“好，”一个贵族说，“你先说吧!”

另一个绞尽脑汁想了好几分钟，最后说出了他所想到的最大数字：“3”。现在轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了一刻钟以后，他表示弃权说：“你赢啦!”

现在，我们都习惯地认为，我们想把某个数字写成多大，就能写得多大——战争经费以分为单位来表示啦，天体间的距离用英寸来表示啦，等等——只要在某个数字的后面接上一串零就是了。你可以一直这样写下去，直到手腕发酸为止。这样，尽管目前已知的宇宙中所有原子的数目已经很大，等于300000000

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000，上面这个数可以改写得短一些，即写成

在古代，那些很大的数目字，如天上的星星，海里面游鱼的条数，沙滩上的沙子的粒数等等，都是“不计其数”，就像“5”这个数字对原始部落来说也是“不计其数”，只能说成“很多”。曾经有个人在大数目上吃了亏，那就是印度的舍罕王。国王奖赏象棋（国际象棋）的发明人和进贡者，宰相西萨.班.达依尔。这个大臣看起来胃口不到，在每个象棋的格子上以两倍递增的麦子数目铺满象棋就可以了。国王还很欣赏这位大臣认为他要的不多。结果却发现麦子根本够。

根据宰相的要求，一共要需要有18446744073709551615颗麦粒!这位宰相的要求竟是全世界在2000年内所生产的全部小麦!

另一个由大数日字当主角的故事也出自印度，它是和“世界末日”的问题有关的。偏爱数学的历史学家鲍尔(Ball)是这样讲述这段故事的：在世界中心贝拿勒斯一的圣庙里，安放着一个黄铜板，板上插着三根宝石针。，每根针高约1腕尺(1腕尺大约合20英寸)，像韭菜叶那样粗细。梵天…在创造世界的时候，在其中的一根针上从下到上放下了由大到小的64片金片。这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，都有一个值班的僧侣按照梵天卜渝的法则，把这些金片在三根针上移来移去：一次只能移一片，并且要求不管在哪一根针上，小片永远在大片的上面。当所有64片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归十尽。移动金片的规律是：不管把哪一片移到另一根上．移动的次数总要比移动上面一片增加一倍。第一片只需一次第二片就按几何级数加倍。这样，当把第64片电移走后：总的移动次数便和西萨‘班·达依尔所要求的麦粒数一样多，即18446744073709551615次

那么移动全部金针需要多少时间呢?一年有31558000秒。假如僧侣们每一秒钟移动一次，日夜不停，节假日照常干，也需要将近5800亿年才能完成。把这个纯属传说的寓言和按现代科学得出的推测对比一下倒是很有意思的。按照现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星(包括地球)足在大约30亿年前南不定形物质形成的。我们还知道，给恒星，特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100亿～150亿年(见“创世的年代”一章)。因此，我们太阳系的整个寿命无疑要短于200亿年，而不像这个印度传说中所宣扬的那样长!不过，传说毕竟只是传说啊!印刷行数问题

假设有一台印刷机器可以连续印出一行行文字，并且每一行都能自动换一个字母或其他印刷符号，从而变成与其他行不同的字母组合。这样一架机器包括一组网盘，盘与盘之间像汽车里程表那样装配，盘缘刻有全部宁母和符号。这样，每一片轮盘转动一周，就会带动下一个轮盘转动一个符号。纸张通过滚筒自动送人盘下。这样的机器制造起来没有太大的困难，图4是这种机器的示意图。

开始印刷出的都是没有什么意思，如：

也能找出有意思但又是胡说八道的句子：horsehassixlegsand不过，只要找下去，可以找到包括莎士比亚的每一行著作，甚至世界上所有的句子。既然如此，还要出版社干什么呢？直接装这个机器就是了，可为什么没有人这么干呢？

英语中有26个字母、10个数码(0，l，2，…，9)、还有14个常用符号(空白、句号、逗号、冒号、分号、问号、惊叹号、破折号、连字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号)．其50个字符。再假设这台机器有65个轮盘，以对应每一印刷行的平均字数。印出的每一行中，排头的那个字符可以是50个字符当中的任何一个，因此有50种可能性，对这50种可能性当中的每一种，第二个字符又有50种可能性，因此共有50×50=2500种，那么整行的可能性，或者即

这个数字有多大呢？假定前面提到过宇宙的每个原子都变成一台独立的印刷机，这样有部机器同时工作。再假定所有机器从地球诞生以来就一直工作，即工作了30亿年或者是秒，再假定这些机器工作的频率是以原子的振动进行工作，那一秒可印出

行那么，这些机器印出的总行数大约是这只不过是上述可能性的三千分之一而已。无穷大的计数上面谈了很多很大的数，虽然大的惊人，但是只要有足够的时间，人们还是写的出来的。然而，有些无穷大的数，它比我们所能写出的无论多长的数都还要大，如“整数的个数”和“一直线所有几何点的个数”，这些都是无穷大的。但这些数除了是无穷大外，我们还能说什么呢？我们可以比较一下上面那两个无穷大的数吗？

“所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数，究竟哪个大些?”——这个问题有意义吗?乍一看，提这个问题可真是头脑发昏，但是，著名数学家康托尔(GeorgCantor)首先思考了这个问题。因此，他确实可被称为“无穷大数算术”的奠基人。

无穷大的数进行大小的比较时，会有这个问题：这些数不能读出来，也无法写出来，怎么比较呢？这就像原始人面对一大堆野兽究竟是兔子多还是野鸡多呢？原始人的数数不超过3，那他们怎么比较兔子多还是野鸡的多呢？他们采用的方法是一一配对法则。康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法正好与此相同：我们可以给两组无穷大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都一个不剩，这两组无穷大就是相等的；如果有一组还有些数没有配出去，这一组就比另一组大些，或者说强些。显然这个方法很合理，但是面对实践的时候，会大吃一惊。如所有的偶数和奇数可一一对应。所有的整数和偶数可一一对应无穷大的世界里，部分可能等于全部希尔伯特对无穷大的叙述：我们设想有一家旅店，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了位新客，想订个房间。旅店主说：“对不起，所有的房间都住满了。”现在再设想另一家旅店，内设无限多个房问，所有房间也都客满了。这时也有一位新客来临，想订个房间。“不成问题!”旅店主说。接着，他就把一号房间里的旅客移至二号房间，二号房间的旅客移到三号房间，三号房间的旅客移到四号房问，等等，这一来，新客就住进了巳被腾空的一号房间。我们再设想一家有无限多个房间的旅店，各个房间也都住满了。这时，又来了无穷多位要求订房间的客人，“好的，先生们，请等一会儿。”旅店主说，，她把一号房间的旅客移到二号房间，二号房间的旅客移到四号房间，三号房间的旅客移到六号房间，如此，如此。现在，所有的单号房间都腾出来了：新来的无穷多位客人可以住进去了定义：能与自然数集N构成一一对应关系的集合，就称为可列集或可数集。记为（读阿莱夫）。所有的普通分数的数目和所有的整数相同那么是不是所有的无穷大数都是相等的呢？结论：线段上的点比整数的个数要多的多！也就是说线上的点数所构成的无穷大数大于（或强于）所有整数或分数所构成的无穷大数。现考虑一寸长的线段与整数的一一对应关系，那么线段上的每一个点用这一点到这条线上一端的距离来表示。如0.7350624780056…

或者0.38250375632

…上面写的这些小数和这类分数有什么不同呢？规则：每个普通分数可以化成无穷循环小数。如已证所有循环小数的数目必定与所有整数的数目相等

因为一条线段上的点不可能都有循环小数表示，绝大多数点都是有不循环的小数表示的，所以，一一对应关系不成立，现反证如下N不属于左表的小数10.38602563078…非3非7非3非6非5非3等等20.57350762050…30.99356753207…0.52740740.25763200456…50.00005320562…0.05277365642………结论

无论多长的线段的点数是一样多的简证右图，AB和AC为不同长度的两条线段，现在要比较它们的点数。过AB的每一个点作BC的平行线，都会与AC相交，这样就形成了一组点。如D与D’，E与E’等，对AB上的任意一点，AC上都有一个点和它相对应，反之亦然。这样，就建立了一一对应的关系。可见，按照我们的规则，这两个无穷大数是相等的。重要结论平面上所有的点数和线段上所有的点数相等立方体内所有的点数和平面上或线段上的所有点数相等。假定线段上某点的位置是O．75120386…。我们可以把这个数按奇分位和偶分位分开，组成两个不同的小数：

0.7108…和0.5236…以这两个数分别量度正方形的水平方向和垂直方向的距离，便得出一个点，这个点就叫做原来线段上那个点的“对偶点”。反之亦然无穷大数的头三级最大的质数定义：不能用两个或两个以上较小整数的乘积来表示的数。如，1，2，3，5等等。欧几里德问题－最大的质数不存在最大的质数反证如下：设N为最大的质数，则为一个数，但这个数是不能被到N为止任何质数整除的，因此这个数是质数，矛盾。1.8＋－×÷工艺品（1）1×6363121×63762312321×637762231234321×6377762223123454321×63＝777762222312345654321×637777762222231234567654321×6377777762222223123456787654321×63777777762222222312345678987654321×63777777776222222223例如第五行的7777622223是这样得到的：

7777×（100000－1）＝7777700000－77777

＝777762222377777×99999＝7×9×（11111×11111）＝123454321×63（2）（1＋1＋1）×37＝111，（5＋5＋5）×37＝555，（2＋2＋2）×37＝222，（6＋6＋6）×37＝666，（3＋3＋3）×37＝333，（7＋7＋7）×37＝777，（4＋4＋4）×37＝444，（8＋8＋8）×37＝888，（9＋9＋9）×37＝999道理111÷37＝3（3）7×15873＝111111，35×15873＝55555514×15873＝222222，42×15873＝66666621×15873＝333333，49×15873＝77777728×15873＝444444，56×15873＝88888863×15873＝999999111111÷7＝15873

（1＋2＋1）×121＝22×22，（1＋2＋3＋2＋1）×12321＝333×333，（1＋2＋3＋4＋3＋2＋1）×1234321＝4444×4444，（1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1）×123454321＝55555×55555，（1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×1234564321＝

666666×666666，（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1×12345674321＝7777777×7777777，（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×123456784321＝88888888×88888888（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×123456784321＝999999999×999999999，[1+2+3+…+(n-1)]+n+[(n－1)＋（n－2）＋…＋3＋2＋1]=

=

121＝11×11，

12321＝111×111，

1234321＝1111×1111，

123454321＝11111×11111，

12345654321＝111111×111111，

1234567654321＝1111111×1111111，

123456787654321＝11111111×11111111，

12345678987654321＝111111111×111111111

11…1

×）11…111…1111…11＋）11…11

12…（n－1）n（n－1）…211三大类科学：自然科学、社会科学、认识和思维的科学。自然科学：数学、物理学、化学、天文学、地理学、生物学、工程学、农学、医学等学科。第二节数学的发展数学是自科之父，数学是思维的体操数学的本质：研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。或简单讲，数学是研究数与形的科学。

2.1初等数学时期初等数学时期是指从原始人时代到17世纪中叶，这期间数学研究的主要对象是常数、常量和不变的图形。形成几何、算术、代数、三角等独立学科。大致相当于现在中小学数学课的主要内容。主要的形成地：公元前3000年左右，黄河流域的中国；尼罗河下游的埃及；幼发拉底河与底格里斯河的巴比伦国；印度河与恒河的印度。主要成果1.巴比伦数学泥版表明：（1）公元前2000年左右即开始使用60进位制的记数法进行计算，并出现了60进位的分数，用与整数同样的法则进行计算；发明倒数、乘法、平方、立方、平方根、立方根的数表并借助于倒数表，除法常转化为乘法进行计算。（2）公元前300年左右，已得到60进位的达17位的大数；具有解一次、二次(个别甚至有三次、四次)数字方程的经验公式；会计算简单直边形的面积和简单立体的体积，并且可能知道勾股定理的一般形式。巴比伦人对于天文、历法很有研究，因而算术和代数比较发达。特征：巴比伦数学具有算术和代数的特征，几何只是表达代数问题的一种方法。这时还没有产生数学的理论。2古埃及根据两卷纸草书（一种植物）。公元前1850年，包含25个问题(叫“莫斯科纸草文书”，现存莫斯科)；另一卷约写于公元前1650年，包含85个问题(叫“莱因德纸草文书”，是英国人莱因德于1858年发现的)。（1）采用10进位制的记数法。正整数运算基于加法，乘法是通过屡次相加的方法运算的。除了几个特殊分数之外，所有分数均极化为分子是一的“单位分数”之和，分数的运算独特而又复杂。利用了三边比为3：4：5的三角形测量直角。（2）测量土地。几何问题多是讲度量法的，涉及到田地的面积、谷仓的容积和有关金字塔的简易计算法。只强调应用，并没有出现对公式、定理、证明加以理论推导的倾向。埃及数学的一个主要用途是天文研究，也在研究天文中得到了发展。3古希腊

古典时期（公元前6世纪－公元前4世纪）代表人物：泰勒斯、毕达哥拉斯学派。主要成就：芝诺悖论；几何“三大问题”；柏拉图强调几何对培养逻辑思维能力的重要作用；亚里士多德建立了形式逻辑；德谟克利特把几何量看成是由许多不可再分的原子所构成。附注：1.化圆为方——求作一正方形使其面积等於一已知圆；2.三等分任意角；3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。亚历山大里亚时期（公元前4世纪末至公元1世纪）三大成就：欧几里得的几何学；阿基米德的穷竭法和阿波罗尼的圆锥曲线论。标志着当时数学的主体部分——算术、代数、几何基本上已经建立起来了。公元前47年，罗马人征服了希腊并焚毁了亚历山大里亚图书馆，公元640年，回教徒征服埃及，残留的书籍被阿拉伯征服者欧默下令焚毁。由于外族入侵和古希腊后期数学本身缺少活力，希腊数学衰落了。5世纪到15世纪，数学发展的中心转移到了东方的印度、中亚细亚、阿拉伯国家和中国。一千多年里由于天文学的需要使得计算有很大的发展。4印度（公元五至十二世纪的全盛时期）主要成就：499年阿耶波多著的天文书《圣使策》的第二章，已开始把数学作为一个学科体系来讨论。628年婆罗门这多(梵藏)著《梵图满手册》，讲解对模式化问题的解法，由基本演算和实用算法组成；讲解正负数、零和方程解法，由一元一次方程、一元二次方程、多元一次方程等组成。已经有了相当于未知数符号的概念，能使用文字进行代数运算。5阿拉伯穆罕默德统一了整个民族，并在他死(632年)后不到半个世纪内征服了从印度到西班牙的大片土地，包括北部非洲和南意大利。阿拉伯文明在1000年前后达到顶点，在1100年到1300年间，东部阿拉伯世界先被基督教十字军打击削弱，后来又遭到了蒙古人的蹂躏。1492年西部阿拉伯世界被基督教教徒征服，阿拉伯文明被推毁殆尽。

繁荣时期(公元8至15世纪)三个特点：实践性；与天文学有密切关系；对古典著作做大量的注释。翻译欧几里得、阿基米得等人的希腊数学著作。花拉子模著的《代数学》成为阿拉伯代数学的范例。1200年之后，阿拉伯数学进入衰退时期。初期的阿拉伯数学在12世纪被译为拉丁文，通过达·芬奇等传播到西欧，使西欧人重新了解到希腊数学。6西欧中世纪（5世纪到14世纪）”黑暗时代“文艺复习（15世纪开始）主要成就：最壮观的数学成就是塔塔利亚、卡尔达诺、拜别利等发现三次和四次方程的代数解法，接受了负数并使用了虚数。16世纪最伟大的数学家是韦达，他的《分析方法入门》改进了符号，使代数学大为改观；斯蒂文创设了小数；雷提库斯是把三角函数定义为直角三角形的边与边之比的第一个人，他编制三角函数表。

“＋”、“—”、“＝”等符号开始出现。

1614年，耐普尔首创了对数，1624年布里格斯引入了相当于现在的常用对数，2.2变量数学时期（17世纪中叶到19世纪20年代）。以笛卡儿的解析几何的建立为起点(1637年)，接着是微积分的兴起。17世纪主要内容：数量的变化及几何变换。主要成果：解析几何、微积分、高等代数等学科，构成了现代大学数学课程(非数学专业)的主要内容。三件大事：伽里略实验数学方法的出现；笛卡儿的重要著作《方法谈》及其附录《几何学》于1637年发表；微积分学的建立。18世纪主要代表：有伯努利家族、隶莫弗尔、泰勒、麦克劳林、欧拉、克雷罗、达朗贝尔、兰伯特、拉格朗日和蒙日等。18世纪数学的各个学科，如三角学、解析几何学、微积分学、数论、方程论、概率论、微分方程和分析力学得到快速发展。同时还开创了若干新的领域，如保险统计科学、高等函数(指微分方程所定义的函数)、偏微分方程、微分几何等。19世纪伟大成就：柯西于1821年在《分析教程》一书中，发展了可接受的极限理论，它就是把微积分的理论基础牢固地建立在极限的概念上；高斯的《算术研究》(1801年，数论)其它成就：蒙日的《分析在几何学上的应用》(1809年，微分几何)；拉普拉斯的《分析概率论》(1812年)；彭赛莱的《论图形的射影性质》(1822年)；斯坦纳的《几何形的相互依赖性的系统发展》(1832年)等。3现代数学时期（19世纪20年代至今）主要研究：最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。重要发现：罗巴契夫斯基和里耶提出的非欧几何与哈密顿的乘法交换律不成立的代数——四元数代数（不可交换代数）1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。

在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。19世纪20～30年代，阿贝尔和伽罗华开创了近世代数学的研究。古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的。群论之后，多种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立。上述两大事件和它们引起的发展，被称为几何学的解放和代数学的解放。19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件：分析的算术化。19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，他们证明了实数系(由此导出多种数学)能从确立自然数系的公设集中导出。20世纪初期，证明了自然数可用集合论概念来定义，因而各种数学能以集合论为基础来讲述。

20世纪的第二个1/4世纪，拓扑学得到了推广。拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。科学家们认识到：任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合，都能在某种意义上构成拓扑空间。拓扑学的概念和理论，已经成功地应用于电磁学和物理学的研究。

20世纪40～50年代，世界科学史上发生了三件惊天动地的大事，即原子能的利用、电子计算机的发明和空间技术的兴起。数学几乎渗透到所有的科学部门中去，从而形成了许多边缘数学学科，例如生物数学、生物统计学、数理生物学、数理语言学等等。20世纪40年代以后，涌现出了大量新的应用数学科目，例如对策论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、控制论、系统分析、可靠性理论等。60年代以来，还出现了如非标准分析、模糊数学、突变理论等新兴的数学分支。此外，近几十年来经典数学也获得了巨大进展，如概率论、数理统计、解析数论、微分几何、代数几何、微分方程、因数论、泛函分析、数理逻辑等等。以上简要地介绍了数学在古代、近代、现代三个大的发展时期的情况。如果把数学研究比喻为研究“飞”，那么第一个时期主要研究飞鸟的几张相片(静止、常量)；第二个时期主要研究飞鸟的几部电影(运动、变量)；第三个时期主要研究飞鸟、飞机、飞船等等的所具有的一般性质(抽象、集合)。从几何上看发展过程：欧氏几何学、解析几何学和非欧几何学就；而欧几里得、笛卡儿和罗巴契夫斯基更是可以作为各时期的代表人物。数学分支：算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、