11.6反比例函数的应用大题专练（重难点培优）-苏科版八年级下册数学尖子生同步培优练习（含答案解析）

第11章反比例函数11.6反比例函数的应用大题专练（重难点培优）姓名：_________班级：_________学号：_________一、解答题（共24小题）1．某汽车油箱的容积为，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到远的省城接客人，接到客人后立即按原路返回请回答下列问题：（1）油箱加满油后，汽车行驶的总路程（单位：与平均耗油量（单位：有怎样的函数关系？（2）小王以平均每千米耗油的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小王始终以此速度行驶，不需要加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？2．某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量（万支）与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：（1）该企业4月份的生产数量为多少万支？（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？3．为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，与成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，求关于的函数关系式？自变量的取值范围是什么？药物燃烧后与的函数关系式呢？（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？4．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速（千米小时）与时间（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．（1）这场沙尘暴的最高风速是千米小时，最高风速维持了小时；（2）当时，求出风速（千米小时）与时间（小时）的函数关系式；（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有小时．5．为了做好校园疫情防控工作，学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间教室的药物喷洒要，药物喷洒时教室内空气中的药物浓度（单位：与时间（单位：的函数关系式为，其图象为图中线段，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为，当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，如果后勤人员依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当最后一间教室药物喷洒完成后，一班能否能让人进入教室？请通过计算说明．6．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求与的函数表达式；（2）若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？7．你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条粗细横截面积的反比例函数，当时，．（1）求与的函数表达式；（2）若面条的总长度是，求面条的横截面积．8．某商场出售一批衬衫，衬衫的进价为80元件．在试销售期间发现，定价在某个范围内时，该衬衫的日销售量（件是日销售价（元的反比例函数，且当售价定为100元件时，每天可售出30件．（1）求出与之间的函数表达式；（2）若商场计划销售此种衬衫的日销售利润为1000元，则其售价应定为多少元？9．为防控新冠疫情，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内每立方米空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系．（1）求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数表达式；（2）如果室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于20分钟，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？10．已知刚服用某抗生素后．血液中的含药量（微克毫升）与服用的时间（小时）成正比例．药物浓度达到最高后，血液中的含药量（微克毫升）与服用的时间（小时）成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题：（1）抗生素及用小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药物有微克；（2）提据图象求出药物浓度达到最高值之后，与之间的函数解析式及的取值范围；（3）求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量．11．在力的作用下，物体会在力的方向上发生位移，力所做的功满足．当为定值时，与之间的函数图象如图所示：（1）求力所做的功；（2）试确定与之间的函数表达式；（3）当时，求的值．12．饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：（1）当时，求水温与开机时间（分的函数关系式．（2）求图中的值；（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少？13．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温与时间的关系如图所示．（1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；（2）怡萱同学加水时看到饮水机的水温刚好降到，她想加的水，请问她至少还要等待多长时间？14．2020年9月，中国在联合国大会上向世界宣布了2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和的目标．为推进实现这一目标，某工厂投入资金进行了为期6个月的升级改造和节能减排改造，导致月利润明显下降，改造期间的月利润与时间成反比例函数关系；到6月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加30万元．设2021年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题：（1）分别写出该工厂对生产线进行升级改造前后与的函数表达式；（2）当月利润少于90万元时，为该工厂的资金紧张期，则该工厂资金紧张期共有几个月．15．如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处挂一个重9.8牛的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，改变弹簧秤与中点的距离（单位：，看弹簧秤的示数（单位：牛，精确到0.1牛）有什么变化．小慧在做此《数学活动》时，得到下表的数据：510152025303540牛58.860.219.614.711.89.88.47.4结果老师发现其中有一个数据明显有错误．（1）你认为当时所对应的数据是明显错误的；（2）在已学过的函数中选择合适的模型求出与的函数关系式；（3）若弹簧秤的最大量程是60牛，求的取值范围．16．某厂从2017年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表：年度2017201820192020投入技改资金万元2.5344.5产品成本（万元件）7.264.54（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；（2）按照这种变化规律，若2021年投入技改资金5万元．①预计生产成本每件比2020年降低多少万元？②若打算在2021年把每件产品的成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）17．学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至时自动停止加热，进入冷却期，水温降至时自动加热，水温升至又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作，如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间（分与对应的水温为函数图象关系，已知段为线段，段为双曲线一部分，点为，点为，点为．（1）求出段加热过程的与的函数关系式和的值．（2）若水温在时为不适饮水温度，在内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？18．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．（1）求关于的函数表达式．（2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？（3）小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．19．为了预防“流感”，某学校对教室采取药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图所示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．根据题中所提供的信息解答下列问题：（1）求药物燃烧时关于的函数关系式及其自变量的取值范围；（2）药物燃烧后关于的函数关系式是；研究表明，①当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室；②当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，你认为此次消毒有效吗？请说明理由．20．南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方千立方米，总需用时间天，且完成首期工程限定时间不超过600天．（1）求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？21．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（A）与电阻是反比例函数关系，当电阻时，电流．（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围；（2）画出所求函数的图象；（3）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过，求用电器可变电阻应控制在什么范围？22．某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量（件由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价（元件，成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：售价810销售数量7058（1）求与之间的函数关系式；（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；（3）设销售总额为，求的最大值．23．某公司生产一种成本为20元件的新产品，在2018年1月1日投放市场，前3个月是试销售，3个月后，正常销售．（1）试销售期间，该产品的销售价格不低于20元件，且不能超过80元件，销售价格（元件）与月销售量（万件）满足函数关系式，前3个月每件产品的定价多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？（2）正常销售后，该种产品销售价格统一为元件，公司每月可销售万件，从第4个月开始，每月可获得的最大利润是多少万元？24．疫情期间，某药店出售一批进价为2元的口罩，在市场营销中发现此口罩的日销售单价（元与日销售量（只之间有如下关系：日销售单价（元3456日销售量（只2000150012001000（1）猜测并确定与之间的函数关系式；（2）设经营此口罩的销售利润为元，求出与之间的函数关系式，（3）若物价局规定此口罩的售价最高不能超过10元只，请你求出当日销售单价定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？参考答案一、解答题（共24小题）1．【分析】（1）利用公式：路程，即可得出汽车能够行驶的总路程（单位：千米）与平均耗油量（单位：升千米）之间的函数关系式；（2）分别得出往返需要的油量进而得出答案．【解答】解：（1）汽车能够行驶的总路程（单位：千米）与平均耗油量（单位：升千米）之间的函数关系为：；（2）去省城的耗油量（升，返回县城的油耗量（升，，还需加油（升．答：不加油不能回到县城，还需加油20升．2．【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将代入求出相应的的值即可；（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后与的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意为正整数．【解答】解：（1）当时，设与的函数关系式为，点在该函数图象上，，得，，当时，，即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为，点，在该函数图象上，，解得，技术改造完成后对应的函数解析式为，，解得为正整数，，3，4，5，6，7，答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．3．【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出函数解析式；（2）利用时分别代入求出答案．【解答】解：（1）设药物燃烧时关于的函数关系式为，代入得，，设药物燃烧后关于的函数关系式为，代入得，，药物燃烧时关于的函数关系式为药物燃烧后关于的函数关系式为：，；（2）有效，理由如下：把代入，得：，把代入，得：，，这次消毒是有效的．4．【分析】（1）由速度增加幅度时间可得4时风速为8千米时，10时达到最高风速，为32千米时，与轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时；（2）设，将代入，利用待定系数法即可求解；（3）由于4时风速为8千米时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，所以4.5时风速为10千米时，再将代入（2）中所求函数解析式，求出的值，再减去4.5，即可求解．【解答】解：（1）时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米时；时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米时，时，风速不变，最高风速维持时间为小时；故答案为：32，10；（2）设，将代入，得，解得．所以当时，风速（千米小时）与时间（小时）之间的函数关系为；（3）时风速为8千米时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，时风速为10千米时，将代入，得，解得，（小时）．故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有59.5小时．故答案为：59.5．5．【分析】根据题意确定点，则反比例函数表达式为，当时，，即可求解．【解答】解：一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要，当时，，故点，设反比例函数表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，故反比例函数表达式为，当时，，故一班学生能安全进入教室．6．【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式即可；（2）把代入中，即可求得结论．【解答】解：（1）设双曲线解析式为：，，，双曲线的解析式为：；（2）把代入中，解得：，，答：恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．7．【分析】（1）根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法进行解答；（2）把代入函数解析式计算即可求出面条的横截面积．【解答】解：（1）设反比例函数图象设解析式为：，由图得，反比例函数上一点坐标为代入：，有，解得：，又题中实际意义需，与的函数表达式为：；（2）令得：，解得：，答：面条的横截面积．8．【分析】（1）因为与成反比例函数关系，可设出函数式，然后根据当售价定为100元件时，每天可售出30件可求出的值．（2）设单件是元，根据每天可售出30件，且利润为1000元，根据利润售价进价可列方程求解．【解答】解：（1）设函数式为，，解得：，故与之间的函数表达式为：；（2）根据题意可得：，解得：．经检验：是原分式方程的解．答：此种衬衫的日销售利润为1000元，其售价应定为120元．9．【分析】（1）分类讨论：当时，利用得到与的关系式；当时，与为反比例函数关系式，；（2）计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于的持续时间，然后与20比较大小即可判断此次消毒是否有效．【解答】解：（1）当时，设含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数表达式为，把和代入得，，解得：，；当时，设含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数表达式为，把代入得，，，；（2）此次消毒有效．理由如下：当时，，解得，当时，，解得，因为，所以此次消毒有效．10．【分析】（1）由图象可得到结论；（2）由待定系数法可求得与之间的函数解析式，由图象可得函数定义域；（3）把代入反比例函数解析式可求得．【解答】解：（1）由图象可知，抗生素服用4小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有6微克，故答案为：4，6；（2）设与之间的函数解析式为，把时，代入上式得：，解得：，则；（3）当时，，答：该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量为2.4微克．11．【分析】（1）由图象可知，是反比例函数关系，当时，，代入即可求得；（2）利用待定系数法即可求得与之间的函数表达式；（3）利用反比例函数解析式即可求得．【解答】解：（1）把，，代入公式，即力所做的功是；（2），，由（1）可知，与之间的函数表达式为：；（3）由（2）可知，当时，，解得：．12．【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；（2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值；（3）利用已知由代入求出饮水机内水的温度即可．【解答】解：（1）当时，设水温与开机时间（分的函数关系式为，将、代入中，，解得：，当时，水温与开机时间（分的函数关系式为．（2）当时，设水温与开机时间（分的函数关系式为，将代入中，，解得：，当时，水温与开机时间（分的函数关系式为．当时，，图中的值为40．（3），当时，，答：散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为．13．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以分别求得水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；（2）根据题意和（1）中的函数解析式，可以计算出怡萱同学至少还要等待多长时间．【解答】解：（1）设水温上升阶段对应的函数解析式为，点，在该函数图象上，，解得，即水温上升阶段对应的函数解析式为；设水温下降阶段对应的函数解析式为，点在该函数图象上，，解得，即水温下降阶段对应的函数解析式为；由上可得，水温上升阶段对应的函数解析式为，水温下降阶段对应的函数解析式为，与的函数关系式每分钟重复一次；（2）怡萱同学加水时看到饮水机的水温刚好降到，此时饮水机处于降温阶段，将代入，可得，将代入，得，怡萱同学想加的水，她至少还要等待：（分钟），答：怡萱同学至少还要等待分钟．14．【分析】（1）根据待定系数法可得到反比例函数解析式；由工厂每月的利润都比前一个月增加30万元，可求出改造后与的函数表达式；（2）对于，时，，得到时，，对于，当时，，于是可得到结论．【解答】解：（1）设改造前与的函数关系式为，把，代入得，，改造前与之间的函数关系式为，把代入得，由题意设6月份以后与的函数关系式为，把，代入得，，，与之间的函数关系式为；（2）对于，时，，，随的增大而减小，时，，对于，当时，，，随的增大而增大，时，，时，月利润少于90万元，该工厂资金紧张期共有5个月．15．【分析】（1）根据表格数据，可发现与的乘积为定值294，从而可得答案；（2）根据，可得与的函数解析式；（3）根据弹簧秤的最大量程是60牛，即可得到结论．【解答】解：（1）根据杠杆原理知．当时，牛顿．所以表格中数据错了；（2）根据杠杆原理知．与的函数关系式为：；（3）当牛时，由得，根据反比例函数的图象与性质可得，由题意可知，的取值范围是．16．【分析】（1）有表格中数据分析可知，就可得到反比例函数关系；（2）①把代入求得的值即可得到预计成本比09年降低的数额；②把代入求得的值即可求解．【解答】解解：（1）由表中数据知，、关系，得：，、不是一次函数关系，表中数据是反比例函数关系；（2）①当得：，万元；答：预计成本比2020年降低0.4万元．②当，得，（万元）．答：还要投入技改资金约0.63万元．17．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）当时，，解得，当时，，解得，则，即可求解．【解答】解：（1）设直线的表达式为，则，即，将点的坐标代入上式得：，解得，故直线的表达式为，设反比例函数的表达式为，将点的坐标代入上式得：，解得，则反比例函数的表达式为，当时，即，解得，即；（2）当时，，解得，当时，，解得，则，即不适饮水温度的持续时间为分．18．【分析】（1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出关于的函数表达式；（2）将代入（1）中所求解析式，即可得出的值；（3）根据以及（1）中所求解析式，可得出的范围，进而与300进行比较即可求解．【解答】解：（1）由题意可得：，则，即关于的函数表达式为；（2），当时，，故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力；（3）他不能撬动这块石头，理由如下：，，，，，，他不能撬动这块石头．19．【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；（2）利用反比例函数解析式求法得出答案；①当时，代入得出答案；②将分别代入，得出答案．【解答】解：（1）药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，所以设关于的函数关系式是，将点代入，得；，即，自变量的取值范围是．（2）设药物燃烧后关于的函数关系式是，把代入得：，故关于的函数关系式是；①当时，代入得分钟，那么从消毒开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室；②此次消毒有效，添加理由如下：将分别代入，得，和，那么持续时间是分钟，所以有效杀灭空气中的病菌．故答案为：．20．【分析】（1）利用，进而得出与的函数关系，根据完成首期工程限定时间不超过600天，求出的取值范围；（2）利用实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，得出分式方程，进而求出即可．（也可以设原计划每天挖掘土石方千立方米，列分式方程，计算量比